+ 二分探索パーティション法による O(log min(m,n)) 実装 +
+ + +
+ 2つのソート済み配列
+ nums1 と
+ nums2
+ が与えられたとき、それらをマージした際の中央値を求める問題です。
+ 要件として
+ O(log(m+n)) の時間計算量が求められています。
+
+ 戦略：短い配列に対して二分探索を行い、両配列を「左半分」と「右半分」に分割するパーティション点を探します。 + 正しいパーティションでは、左半分の最大値 ≤ + 右半分の最小値が成立します。 +
+from __future__ import annotations
+
+from typing import Final, List
+
+
+class Solution:
+ """
+ Median of Two Sorted Arrays
+ - Time: O(log(min(m, n)))
+ - Space: O(1)
+ 速度・メモリ最適化版（二分探索パーティション法）
+ """
+
+ def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
+ """
+ 2つのソート済み配列の中央値を計算する。
+
+ Args:
+ nums1: 非減少順の整数配列（長さ 0..1000）
+ nums2: 非減少順の整数配列（長さ 0..1000）
+
+ Returns:
+ 中央値（偶数長の場合は中央2要素の平均）
+ """
+ # --- 短い配列をAにする（探索範囲を最小化） ---
+ if len(nums1) > len(nums2):
+ nums1, nums2 = nums2, nums1
+
+ A: List[int] = nums1
+ B: List[int] = nums2
+ a_len: int = len(A)
+ b_len: int = len(B)
+
+ # 総数と奇偶を事前計算（ループ内の分岐削減）
+ total: int = a_len + b_len
+ total_is_odd: bool = (total & 1) == 1
+ half: int = (total + 1) >> 1 # 左側に含める要素数
+
+ # 整数センチネル（制約±1e6を超える値）
+ NEG: Final[int] = -10_000_007
+ POS: Final[int] = +10_000_007
+
+ lo: int = 0
+ hi: int = a_len
+
+ # --- 二分探索によるパーティション点の探索 ---
+ while lo <= hi:
+ i: int = (lo + hi) >> 1 # Aの左パート長
+ j: int = half - i # Bの左パート長
+
+ # 境界値の取得（範囲外はセンチネル）
+ a_left: int = NEG if i == 0 else A[i - 1]
+ a_right: int = POS if i == a_len else A[i]
+ b_left: int = NEG if j == 0 else B[j - 1]
+ b_right: int = POS if j == b_len else B[j]
+
+ # パーティション条件のチェック
+ if a_left <= b_right and b_left <= a_right:
+ # 正しいパーティションを発見
+ if total_is_odd:
+ # 奇数長：左側の最大値が中央値
+ return float(a_left if a_left > b_left else b_left)
+ # 偶数長：左側最大と右側最小の平均
+ left_max: int = a_left if a_left > b_left else b_left
+ right_min: int = a_right if a_right < b_right else b_right
+ return (left_max + right_min) * 0.5
+
+ # パーティション調整
+ if a_left > b_right:
+ # Aの左が大きすぎる → Aの左パートを減らす
+ hi = i - 1
+ else:
+ # Aの右が大きすぎる → Aの左パートを増やす
+ lo = i + 1
+
+ # 入力が正しければここには到達しない
+ return 0.0
+ フローの説明：
+ 1. 短い配列をAにする（探索範囲を最小化）
+ 2. 中央値を求めるための半分の長さ（half）を計算
+ 3. 二分探索でパーティション点iを探索
+ 4. パーティション点jを自動的に決定（j = half - i）
+ 5. 境界値を取得してパーティション条件をチェック
+ 6. 条件を満たせば中央値を返す、満たさなければiを調整して再探索
+
+ 短い配列に対する二分探索のみを行うため、探索回数は短い配列の長さの対数に比例します。 + 各ステップは定数時間の比較と計算のみです。 +
++ 固定個数のローカル変数のみを使用します。配列のマージやコピーは不要で、 + 入力サイズに依存する追加メモリは確保しません。 +
+| 手法 | +時間 | +空間 | +
|---|---|---|
| + 二分探索パーティション（本実装） + | +O(log min(m,n)) | +O(1) | +
| マージ後ソート | +O((m+n)log(m+n)) | +O(m+n) | +
| 2ポインタ線形走査 | +O(m+n) | +O(1) | +