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1 parent 6b8b0f7 commit 39d39e87bd3319981715f843dc1d644b15618305 Niklas Fischer committed Jan 18, 2012
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51 seminar.tex
@@ -63,6 +63,8 @@
\newcommand{\R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{\G}[0]{\mathfrak{C}}
+\newcommand{\E}[1][n]{\mathrm{E_{#1}}}
+\newcommand{\Id}[1][n]{\mathrm{Id_{#1}}}
\newcommand{\plainset}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\ouptoset}[1]{\plainset{1, ..., #1}} %one up to set
@@ -79,7 +81,6 @@
\newenvironment{enumerateRef}{\begin{enumerate}[ref={\thethmc\alph*},label={(\alph*) }, leftmargin=*]}{\end{enumerate}}
\newenvironment{enumerateBew}{\mbox{}\begin{enumerate}[label={zu (\alph*):}, leftmargin=*]}{\end{enumerate}}
-
\makeindex
\begin{document}
@@ -175,9 +176,9 @@ \section{Definitionen}
\subsection*{Definition}
Sei $\Phi$ die Funktion, die das homogene Anfangswertproblem
\[
- \dot M(t) = A(t)\cdot M(t) \; \forall t \in [T_0, T_1] \quad \text{mit} \quad M(\tau) = E_n
+ \dot M(t) = A(t)\cdot M(t) \; \forall t \in [T_0, T_1] \quad \text{mit} \quad M(\tau) = \E
\]
- löst. Offensichtlich ist $\Phi$ von der Wahl von $\tau$ abhängig. Definiere
+ löst. Hierbei steht $\E \in \R^{n \times n}$ für die Einheitsmatrix. Offensichtlich ist $\Phi$ von der Wahl von $\tau$ abhängig. Definiere
also $\tilde R$ als die Funktion, die $\tau$ auf die Funktion $\Phi$
abbildet:
\[
@@ -253,11 +254,11 @@ \section{Definitionen}
Betrachte die Anfangswertprobleme
\[
- \dot M(t) = A(t)\cdot M(t) \; \forall t \in [T_0, T_1] \quad \text{mit} \quad M(\tau_1) = E_n
+ \dot M(t) = A(t)\cdot M(t) \; \forall t \in [T_0, T_1] \quad \text{mit} \quad M(\tau_1) = \E
\]
und
\[
- \dot M(t) = A(t)\cdot M(t) \; \forall t \in [T_0, T_1] \quad \text{mit} \quad M(\tau_2) = E_n
+ \dot M(t) = A(t)\cdot M(t) \; \forall t \in [T_0, T_1] \quad \text{mit} \quad M(\tau_2) = \E
\]
mit Lösungen $\Phi_1$ bzw. $\Phi_2$.
Dann existiert zu jedem $\varepsilon > 0 $ ein $\delta := | \tau_1 - \tau_2 |$
@@ -271,9 +272,9 @@ \section{Definitionen}
\begin{Lemma}\label{Resolvente Eigenschaften}
Die Resolvente erfüllt die folgenden Eigenschaften
\begin{enumerateRef}
- \item\label{Resolvente Eigenschaften:1} $ R(t_1,t_1) = E_n$
+ \item\label{Resolvente Eigenschaften:1} $ R(t_1,t_1) = \E$
\item\label{Resolvente Eigenschaften:2} $ R(t_1, t_2) \cdot R(t_2, t_3) = R(t_1, t_3)$
- \item\label{Resolvente Eigenschaften:3} $ R(t_1, t_2) \cdot R(t_2, t_1) = E_n$
+ \item\label{Resolvente Eigenschaften:3} $ R(t_1, t_2) \cdot R(t_2, t_1) = \E$
\end{enumerateRef}
für alle $t_1, t_2, t_3 \in [T_0, T_1]$.
\end{Lemma}
@@ -282,10 +283,10 @@ \section{Definitionen}
\begin{enumerateBew}
\item Betrachten wir das zu $R(t_1, t_1) $ gehörige
Anfangswertproblem \[
- \dot M(t) = A(t) \cdot M(t) \; \forall t \in [T_0, T_1] \quad \text{mit} \quad M(t_1) = E_n
+ \dot M(t) = A(t) \cdot M(t) \; \forall t \in [T_0, T_1] \quad \text{mit} \quad M(t_1) = \E
\] mit Lösung $\Phi$.
Nun gilt: \[
- R(t_1, t_1) = \tilde R (t_1)(t_1) = \Phi(t_1) = E_n.
+ R(t_1, t_1) = \tilde R (t_1)(t_1) = \Phi(t_1) = \E.
\]
\item
Erinnern wir uns an die Vektorraumeigenschaft von homogenen Differentialgleichungen wie in \cite{KriegWalcher2010}[S. 43] beschrieben. Für uns interessant ist, dass die Abbildung die einem Anfangswert eine Lösungsfunktion zuordnet ein Isomorphismus ist. Wenn also die Funktion $\Phi$ das Anfangswertproblem \[
@@ -297,11 +298,11 @@ \section{Definitionen}
Mit dieser Eigenschaft kann die Aussage gezeigt werden. Betrachte $\tilde R(t_2)$ und $\tilde R(t_3)$. Diese beiden Funktionen sind die Lösungen der Anfangswertprobleme
\[
- \dot M_3 = M_3 A \quad \text{mit} \quad M_3(t_3) = Id
+ \dot M_3 = M_3 A \quad \text{mit} \quad M_3(t_3) = \E
\]
beziehungsweise
\[
- \dot M_2 = M_2 A \quad \text{mit} \quad M_2(t_2) = Id.
+ \dot M_2 = M_2 A \quad \text{mit} \quad M_2(t_2) = \E.
\]
Also löst $\tilde R(t_2) \cdot R(t_2,t_3)$ das Anfangswertproblem
\[
@@ -311,10 +312,10 @@ \section{Definitionen}
\[
R(t_2,t_2) \cdot R(t_2,t_3) = R(t_2,t_3) = \tilde R(t_3)(t_2).
\]
- Da die Funktion $(t,x) \mapsto A(t) x$ in $x$ lokal einer Lipschitzbedingung genügt, sind die Lösungen von Anfangswertproblemen eindeutig bestimmt. Aus der obigen Gleichung folgt also, dass die Bahnen von $\tilde R(t_3)$ und $\tilde R(t_2) \cdot R(t_2,t_3)$ übereinstimmen, was dazu führt, dass die Lösungsfunktionen in $t_3$ ausgewertet auch übereinstimmen.
+ Da die Funktion $(t,x) \mapsto A(t) x$ in $x$ lokal einer Lipschitzbedingung genügt, sind die Lösungen von Anfangswertproblemen eindeutig bestimmt. Aus der obigen Gleichung folgt also, dass die Bahnen von $\tilde R(t_3)$ und $\tilde R(t_2) \cdot R(t_2,t_3)$ übereinstimmen, was dazu führt, dass die Lösungsfunktionen in $t_1$ ausgewertet auch übereinstimmen.
\item
\[
- R(t_1, t_2) \cdot R(t_2, t_1) \overset{2.}= R(t_1, t_1) \overset{1.}= E_n
+ R(t_1, t_2) \cdot R(t_2, t_1) \overset{\ref{Resolvente Eigenschaften:2}}= R(t_1, t_1) \overset{\ref{Resolvente Eigenschaften:1}}= E_n
\]
\end{enumerateBew}
\end{Beweis}
@@ -400,7 +401,6 @@ \section{Definitionen}
\begin{Lemma}\label{Gram'sche Kontrollmatrix:definitheit}
\begin{enumerateRef}
\item $\G$ ist symmetrisch\label{Gram'sche Kontrollmatrix:Eigenschaften:symmetrie}
- \item $\G$ ist nichtnegativ\label{Gram'sche Kontrollmatrix:Eigenschaften:nichtnegativ}
\item $\G$ ist positiv semidefinit\label{Gram'sche Kontrollmatrix:Eigenschaften:definitheit}
\end{enumerateRef}
\end{Lemma}
@@ -412,15 +412,7 @@ \section{Definitionen}
definiert ist, und $m_{i,j} = m_{j,i}$ ist das Integral über eine symmetrische
Matrix wieder symmetrisch. Wähle nun $M := R(T_1,\tau)\cdot B(\tau)$, dann ist
$\G$ symmetrisch.
-
- \item Für $x \in \R^n$ gilt: \todo{Kaputt! Skalarprodukt von Matrix?}
- \begin{align*}
- \G = & \int_{T_0}^{T_1} R(T_1, \tau) B(\tau) B(\tau)^T R(T_1, \tau)^T d\tau \\
- =& \int_{T_0}^{T_1} \langle B(\tau)^T R(T_1, \tau)^T, B(\tau)^T R(T_1, \tau)^T \rangle d\tau \\
- =& \int_{T_0}^{T_1} | B(\tau)^T R(T_1, \tau)^T|^2 d\tau.
- \end{align*}
- Also ist jeder Eintrag von $\G$ nichtnegativ.
- \item Analog zu \ref{Gram'sche Kontrollmatrix:Eigenschaften:nichtnegativ} gilt für $x \in \R^n$:
+ \item Es gilt für $x \in \R^n$:
\begin{align*}
x^T \G x = & x^T \int_{T_0}^{T_1} R(T_1, \tau) B(\tau) B(\tau)^T R(T_1, \tau)^T d\tau \; x\\
=& \int_{T_0}^{T_1} \langle B(\tau)^T R(T_1, \tau)^T x, B(\tau)^T R(T_1, \tau)^T x\rangle d\tau \\
@@ -500,7 +492,6 @@ \section{Definitionen}
Also kann das Kontrollproblem nicht kontrollierbar sein, wenn $\G$ singulär ist.
\end{enumerate}
\end{Beweis}
-
Mit $\bar u$ ist jetzt also eine allgemeine Steuerung gefunden. Aber $\bar u$
erfüllt auch noch eine Minimalitätsbedingung:
@@ -533,7 +524,7 @@ \section{Definitionen}
\end{align*}
Also gilt auch
\[
- \int_{T_0}^{T_1}|u(\tau)d\tau|^2 = \int_{T_0}^{T_1}|\bar u(\tau) |^2 + 2 \int_{T_0}^{T_1}\bar u(\tau)^T v(\tau) d\tau+ \int_{T_0}^{T_1}|v(\tau)|^2 d\tau
+ \int_{T_0}^{T_1}|u(\tau)d\tau|^2 = \int_{T_0}^{T_1}|\bar u(\tau) |^2 + 2 \int_{T_0}^{T_1}\bar u(\tau)^T v(\tau) d\tau+ \int_{T_0}^{T_1}|v(\tau)|^2 d\tau.
\]
Für $\int_{T_0}^{T_1}\bar u(\tau)^T v(\tau) d\tau$ aber gilt
\begin{align*}
@@ -547,23 +538,23 @@ \section{Definitionen}
& \int_{T_0}^{T_1} R(T_1,\tau)B(\tau)v(\tau)d\tau \\
=& \int_{T_0}^{T_1} R(T_1,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau - \int_{T_0}^{T_1} R(T_1,\tau)B(\tau)\bar u(\tau)d\tau \\
\overset{\eqref{eqn:Gramsche Minimalitaet:star}}=& (x(T_1) - R(T_1,T_0)x(T_0)) - (\bar x(T_1)-R(T_1,T_0) \bar x(T_0)) \\
- \overset{{x, \bar x \text{ Lsg.}}}=& (x^1-R(T_1,T_0)x^0) - (x^1-R(T_1,T_0)x^0) \\
+ \overset{x, \bar x \text{ Lsg.}}=& (x^1-R(T_1,T_0)x^0) - (x^1-R(T_1,T_0)x^0) \\
=& 0
\tag{$\star\star$}\label{eqn:Gramsche Minimalitaet:star2}
\end{align*}
wobei \eqref{eqn:Gramsche Minimalitaet:star} aus mit Umstellen aus \ref{Resolvente AWP:2} folgt:
\begin{align*}
- & x(T_1) =R(T_1,T_0) x^0 + \int^{T_1}_{T_0}R(T^1,\tau)b(\tau)d\tau \\
- \Leftrightarrow & x(T_1) - R(T_1,T_0) x^0 = \int^{T_1}_{T_0}R(T^1,\tau)b(\tau)d\tau
- \tag{$\star$}\label{eqn:Gramsche Minimalitaet:star}
+ & x(T_1) =R(T_1,T_0) x^0 + \int^{T_1}_{T_0}R(T^1,\tau)b(\tau)d\tau \\
+ \Leftrightarrow {}& x(T_1) - R(T_1,T_0) x^0 = \int^{T_1}_{T_0}R(T^1,\tau)b(\tau)d\tau
+ \tag{$\star$}\label{eqn:Gramsche Minimalitaet:star} .
\end{align*}
Mit \eqref{eqn:Gramsche Minimalitaet:star2} gilt also
\[
\int_{T_0}^{T_1} R(T_1,\tau)B(\tau)v(\tau)d\tau = 0
\]
und damit
\[
- \int_{T_0}^{T_1}|u(\tau)d\tau|^2 = \int_{T_0}^{T_1}|\bar u(\tau) |^2 + \underbrace{\int_{T_0}^{T_1}|v(\tau)|^2 d\tau}_{\geq 0}
+ \int_{T_0}^{T_1}|u(\tau)d\tau|^2 = \int_{T_0}^{T_1}|\bar u(\tau) |^2 + \underbrace{\int_{T_0}^{T_1}|v(\tau)|^2 d\tau.}_{\geq 0}
\]
\end{Beweis}
$\bar u$ ist also diejenige Steuerung, sodass $\int_{T_0}^{T_1} |u(\tau)|^2d\tau$ minimal ist.

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