From fd87bc8fb9b4d1e5da028f3ed0e253623b84515c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Joachim <joachim@Joachim-ThinkPad.fritz.box>
Date: Fri, 10 Mar 2017 20:24:03 +0100
Subject: [PATCH] Kosmetische Verbesserungen

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 RieGeo.tex | 325 +++++++++++++++++++++++++++--------------------------
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index ec2d1c26..d0d98775 100644
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+++ b/RieGeo.tex
@@ -126,7 +126,7 @@ \subsubsection*{Karten und Atlanten}
 Auf $\MdR^n$, $n\ne 4$, existiert bis auf Diffeomorphismus genau eine differenzierbare Struktur. Auf $\MdR^4$ existieren weitere, „exotische“ differenzierbare Strukturen.
 \end{bemerkung}
 
-\item Die Sphären $S^n \da  \{ p = (p_1,\ldots,p_{n+1})\in \MdR^{n+1} \mid \|p\| = 1\}$. Wir behaupten: $S^n$ ist eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit.
+\item Die Sphären $S^n \da  \left\{ p = (p_1,\ldots,p_{n+1})\in \MdR^{n+1} \mid \|p\| = 1\right\}$. Wir behaupten: $S^n$ ist eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit.
 
 Als Topologie wählen wir die Teilmengen-Topologie, d.h. $U\subset S^n$ offen $\gdw \exists U'\subset \MdR^{n+1}$ offen, so dass $U=S^n\cap U'$. Daher folgt auch, dass die Sphären auch hausdorff’sch sind und eine abzählbare Basis haben.
 
@@ -139,11 +139,11 @@ \subsubsection*{Karten und Atlanten}
 
 Die Abbildungen $\varphi_i^{\pm}: U_i^\pm \to \MdR^n$ (Projektion in Richtung $i$-te Koordinaten-Achse) für $i=1,\dots,n+1$ mit
 \[
-\varphi_i^{\pm}(p) \da (u^1(p), \dots, u^{i-1}(p),u^{i+1}(p),\dots,u^{n+1}(p)) 
+\varphi_i^{\pm}(p) \da \left(u^1(p), \dots, u^{i-1}(p),u^{i+1}(p),\dots,u^{n+1}(p)\right) 
 \]
 sind Karten mit glatten ($C^\infty$) Kartenwechsel, was wir am Beispiel $n=2$ überprüfen:
 \[
-(u^1,u^2) \xmapsto{(\varphi_3^+)^{-1}} (u^1,u^2,\sqrt{1-(u^1)^2-(u^2)^2}) \xmapsto{\varphi_1^+} (u^2,\sqrt{1-(u^1)^2-(u^2)^2})\quad ((u^1)^2 +(u^2)^2 < 1)
+\left(u^1,u^2\right) \xmapsto{(\varphi_3^+)^{-1}} \left(u^1,u^2,\sqrt{1-\left(u^1\right)^2-\left(u^2\right)^2}\right) \xmapsto{\varphi_1^+} \left(u^2,\sqrt{1-\left(u^1\right)^2-\left(u^2\right)^2}\right)\quad \left(\left(u^1\right)^2 +\left(u^2\right)^2 < 1\right)
 \]
 
 \item Kurven und Flächen in $\MdR^3$ sind $1$- bzw. 2-dimensionale Mannigfaltigkeiten
@@ -153,7 +153,7 @@ \subsubsection*{Karten und Atlanten}
 \item[(4a)] Der $n$-dimensionale reell-projektiver Raum $P^n\MdR$
 \begin{definition}
 Auf $X\da \MdR^{n+1}\setminus\{0\}$ betrachte die Äquivalenz-Relation
-\[ x \sim y \gdw \exists t \in \MdR,\; t\ne 0,\; y=tx, \text{ also } (y^1,\ldots,y^n) = (tx^1,\ldots,tx^{n+1})\]
+\[ x \sim y \gdw \exists t \in \MdR,\; t\ne 0,\; y=tx, \text{ also } \left(y^1,\ldots,y^n\right) = \left(tx^1,\ldots,tx^{n+1}\right)\]
 Die Äquivalenzklassen sind also Geraden durch den Ursprung. Nun definieren wir:
 % FIXME, Quotiontenraum schöner
 \[ P^n\MdR \da \faktor{\MdR^{n+1}\setminus\{0\}}{\sim} \]
@@ -179,7 +179,7 @@ \subsubsection*{Karten und Atlanten}
 
 Die Idee ist, auf $X\times X \subset \MdR^{n+1} \times \MdR^{n+1}$ die reelle Funktion $f$ zu betrachten:
 \[
-f(x,y) = f(x^1,\ldots,x^{n+1},y^1,\ldots,y^{n+1}) \da \sum_{i\ne j} |x^iy^j - x^jy^i|
+f(x,y) = f\left(x^1,\ldots,x^{n+1},y^1,\ldots,y^{n+1}\right) \da \sum_{i\ne j} \left|x^iy^j - x^jy^i\right|
 \]
 $f$ ist stetig und $f(x,y) = 0 \gdw y = t x$ für ein $t\ne 0$ $\gdw x\sim y$. Also ist $R = f^{-1}(\{0\})$. Da $f$ stetig ist, ist das Urbild einer abgeschlossenen Menge abgeschlossen, also ist $R$ abgeschlossen. Damit ist gezeigt, dass $\faktor{X}{\sim}$ hausdorff’sch ist.
 
@@ -201,7 +201,7 @@ \subsubsection*{Karten und Atlanten}
 & \folgt y = tx \\
 & \folgt [y] = [x]
 \end{align*}
-Auch ist $\varphi_i$ stetig, und surjektiv: $\varphi_i^{-1}(z^1,\ldots,z^n) = \pi(z^1,\ldots,z^{i-1},1,z^{i+1},\ldots,z^n)$.
+Auch ist $\varphi_i$ stetig, und surjektiv: $\varphi_i^{-1}\left(z^1,\ldots,z^n\right) = \pi\left(z^1,\ldots,z^{i-1},1,z^{i+1},\ldots,z^n\right)$.
 
 Die Koordinatenwechsel $\varphi_j\circ \varphi_i^{-1}$ sind affin, also $C^\infty$ (Übungsaufgabe).
 
@@ -311,7 +311,7 @@ \section{Tangentialvektoren und -räume}
 \subsection*{Erinnerung}
 $v \in T_p\MdR^n = \{p\} \times \MdR^n$ und $f:U(p) (\otm \MdR^n) \to \MdR$ sei $C^\infty$. Dann ist die Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v$:
 \[
-\partial_vf \da  \lim_{t\to0} \frac{f(p+tv) - f(p)}{t} = \left.\frac{d}{d^t}\right|_{t=0} f(p+tv)
+\partial_vf \da  \lim_{t\to0} \frac{f(p+tv) - f(p)}{t} = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} f(p+tv)
 \]
 Für $v=e_i$ erhält man die $i$-te partielle Ableitung
 \[ \frac{\partial f}{\partial x^i} = \partial_{e_i} f \]
@@ -367,8 +367,8 @@ \subsection*{Erinnerung}
 
 $T_pM$ ist ein $\MdR$-Vektorraum: ($v,w \in T_pM$, $f\in C^\infty(p)$, $a\in\MdR$)
 \begin{align*}
-\bigl(v + w\bigr)(f) &\da v(f) + w(f) \\
-\bigl(a\cdot v\bigr)(f)   &\da a\cdot v(f) 
+\left(v + w\right)(f) &\da v(f) + w(f) \\
+\left(a\cdot v\right)(f)   &\da a\cdot v(f) 
 \end{align*}
 
 % Der Satz ist irgendwie nicht sehr hilfreich:
@@ -380,7 +380,7 @@ \subsection*{Erinnerung}
 
 Sei $\varphi=(x^1,\ldots,x^n)$ ein Koordinatensystem (eine Karte) von $M$ im Punkt $p$. (d.h. $x^i=u^i\circ\varphi$). Für $f\in C^{\infty}(p)$ setze:
 \[
-\frac{\partial f}{\partial x^i}(p) \da \frac{\partial (f\circ \varphi^{-1})}{\partial u^i}\bigl(\varphi(p)\bigr) % \qquad \text{$i$-te partielle Ableitung im $\MdR^n$}
+\frac{\partial f}{\partial x^i}(p) \da \frac{\partial (f\circ \varphi^{-1})}{\partial u^i}\left(\varphi(p)\right) % \qquad \text{$i$-te partielle Ableitung im $\MdR^n$}
 \]
 
 Eine direkte Rechnung zeigt:
@@ -419,7 +419,7 @@ \subsection*{Erinnerung}
 \begin{enumerate}
 \item[(a)] $\ptv{i}$ ist ein Tangentialvektor in $p$. (Rechnung hier ausgelassen) und für die $k$-te Koordinatensystem $x^k\da u^k\circ \varphi$ gilt:
 \[
-\ptv{i}(x^k) = \frac{\partial (x^k\circ\varphi^{-1})}{\partial u^i}\bigl(\varphi(p)\bigr) = \frac{\partial u^k}{\partial u^i}\bigl(\varphi(p)\bigr) = \delta_{ik}\,.
+\ptv{i}(x^k) = \frac{\partial \left(x^k\circ\varphi^{-1}\right)}{\partial u^i}\left(\varphi(p)\right) = \frac{\partial u^k}{\partial u^i}\left(\varphi(p)\right) = \delta_{ik}\,.
 \]
 \item[(b)] Die Vektoren $\ptv{i}$, $i=1,\ldots,n$, sind linear unabhängig:
 Sei 
@@ -439,11 +439,11 @@ \subsection*{Erinnerung}
 w(x^k) = v(x^k) - \sum_{i=1}^m  a_i \ptv i (x^k) = a_k - \sum_{i=1}^m  a_i \delta_{ik} = 0 \quad (**)
 \]
 Nun wollen wir zeigen: $w=0$, d.h. $w(f) = 0$ für alle $f\in C^{\infty}(p)$.
-Sei $f\in C^\infty(p)$. Dann ist $g \da f \circ \varphi^{-1} \in C^\infty\bigl(\varphi(p)\bigr)$.
+Sei $f\in C^\infty(p)$. Dann ist $g \da f \circ \varphi^{-1} \in C^\infty\left(\varphi(p)\right)$.
 \begin{align*}
-w(f) &= w(f \circ \varphi^{-1} \circ \varphi) \\
+w(f) &= w\left(f \circ \varphi^{-1} \circ \varphi\right) \\
 &= w(g \circ \varphi) \\
-&\gleichnach{Lemma \ref{lem2}} w\bigl( g(0) + \sum_{j=1}^m (u^j\circ\varphi )\cdot(g_j \circ \varphi ) \bigr) \\
+&\gleichnach{Lemma \ref{lem2}} w\left( g(0) + \sum_{j=1}^m (u^j\circ\varphi )\cdot(g_j \circ \varphi ) \right) \\
 & \gleichnach{(T1),(T2)} 0 + \sum_{j=1}^m \underbrace{w(x^j)}_{\gleichwegen{(**)}0} \cdot (g_j\circ\varphi)(p) + \underbrace{x^j(p)}_{\gleichwegen{(*)}0} \cdot w(g_j \circ\varphi ) ) \\
 & = 0
 \end{align*}
@@ -500,14 +500,14 @@ \section{Tangentialabbildungen}
 Sei $w\in T_{\Phi(p)}N$ die linke Seite von $(*)$. Dann gilt nach dem Basis-Satz (Satz \ref{basissatz}) ist 
 \[ w = \sum w(y^i) \left.\frac{\partial}{\partial y^i}\right|_{\Phi(p)}\,.\]
 Nach der Definition des Differentials ist
-\[ w(y^i) = d\Phi_p(\ptv j)(y^i) = \frac{\partial(y^j\circ \Phi)}{\partial x^i}(p)\,.\]
+\[ w(y^i) = d\Phi_p\left(\ptv j\right)(y^i) = \frac{\partial\left(y^j\circ \Phi\right)}{\partial x^i}(p)\,.\]
 \end{beweis}
 
 \begin{definition}
 Die Matrix 
 \[
 \left( \frac{\partial (y^i\circ \Phi)}{\partial x^j}(p)\right) 
-= \left( \frac{\partial(y^i\circ \Phi \circ \xi^{-1})}{\partial u^j}\big(\xi(p)\big)\right)
+= \left( \frac{\partial\left(y^i\circ \Phi \circ \xi^{-1}\right)}{\partial u^j}\left(\xi(p)\right)\right)
 \qquad (1\le i\le n, 1\le j\le m)
 \]
 heißt Jacobi-Matrix von $\Phi$ bezüglich $\xi$ und $\eta$.
@@ -545,7 +545,7 @@ \section{Tangentialabbildungen}
 \end{satz}
 
 \begin{beweis}
-Wähle eine Karte $\xi$ um $p\in M$ und eine Karte $\eta$ um $\Phi(p)\in N$. Nach dem Satz über inverse Funktionen (Analysis II) ist $\eta \circ \Phi \circ \xi^{-1}$ ein lokaler Diffeomorphismus (da $d(\eta \circ \Phi \circ \xi^{-1}) = d\eta \circ d\Phi \circ (d\xi)^{-1}$, was jeweils reguläre lineare Abbildungen sind).
+Wähle eine Karte $\xi$ um $p\in M$ und eine Karte $\eta$ um $\Phi(p)\in N$. Nach dem Satz über inverse Funktionen (Analysis II) ist $\eta \circ \Phi \circ \xi^{-1}$ ein lokaler Diffeomorphismus (da $d\left(\eta \circ \Phi \circ \xi^{-1}\right) = d\eta \circ d\Phi \circ (d\xi)^{-1}$, was jeweils reguläre lineare Abbildungen sind).
 \end{beweis}
 
 \section{Tangentialvektoren an Kurven}
@@ -555,7 +555,7 @@ \section{Tangentialvektoren an Kurven}
 \index{Kurve}
 Eine Kurve ist eine $C^\infty$-Abbildung $c:I\to M$, wobei $I$ ein offenes Intervall in $\MdR$ (meist mit $0\in I$) und $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
 
-Die erste (und einzige) Koordinatenfunktion der trivialen Karte von $I\subset\MdR$ schreiben wir als $u\da u^1$. Der Tangentialvektor ist dann $\frac{d}{d u}|_t \da\frac{\partial}{\partial u^1}|_t \in T_tI = T_t\MdR$.
+Die erste (und einzige) Koordinatenfunktion der trivialen Karte von $I\subset\MdR$ schreiben wir als $u\da u^1$. Der Tangentialvektor ist dann $\left.\frac{d}{d u}\right|_t \da \left.\frac{\partial}{\partial u^1}\right|_t \in T_tI = T_t\MdR$.
 
 \begin{definition}
 Der Tangentialvektor an $c$ in $c(t)$ ist
@@ -569,15 +569,15 @@ \section{Tangentialvektoren an Kurven}
 \item Für $f\in C^\infty(M)$ ist $c'(t)(f) = \frac{d(f\circ c)}{du}(t)$ (Richtungsableitung)
 \item Falls $v\in T_pM$ und $c$ eine Kurve mit $c(0)=p$ und $c'(0) = v$, dann gilt:
 \[
-v(f) = \frac{d}{dt}\big(f\circ c\big) (0)
+v(f) = \frac{d}{dt}\left(f\circ c\right) (0)
 \]
 \item Ist $c:I\to M$ eine glatte Kurve und $\Phi:M\to N$ eine differenzierbare Abbildung, so ist $\Phi \circ c: I \to N$ eine glatte Kurve in $N$ und es gilt dass
 \[
-d\Phi_{c(t)}\big(c'(t)\big) = \big(\Phi \circ c\big)'(t)
+d\Phi_{c(t)}\left(c'(t)\right) = \left(\Phi \circ c\right)'(t)
 \]
 \begin{beweis}
-$d\Phi\big(c'\big)(f) = c'(f\circ \Phi) = \frac{d}{du}\big(f\circ \Phi \circ c\big) (t) 
-= \big(\Phi \circ c\big)'(t)(f)$
+$d\Phi\left(c'\right)(f) = c'(f\circ \Phi) = \frac{d}{du}\left(f\circ \Phi \circ c\right) (t) 
+= \left(\Phi \circ c\right)'(t)(f)$
 \end{beweis}
 \item Ist $\varphi$ eine Karte um $p$ und $c_i(t):\varphi^{-1}(\varphi(p) + te_i)$, $i=1,\ldots,n$ die $i$-te Koordinatenline\index{Koordinatenlinie} um $p$ bezüglich $\varphi$, so gilt
 \[
@@ -585,9 +585,9 @@ \section{Tangentialvektoren an Kurven}
 \]
 \begin{beweis}
 Sei $f\in C^\infty(p)$.
-\begin{align*}c_i\big(p\big) (f) &= \frac d{dt}\big(f\circ c_i\big)(0)  \\
-&= \frac d{dt} \big(f\circ \varphi^{-1}(\varphi(p) + te_i)\big)(0) \\
-&= \frac{\partial}{\partial u^i}\big(f\circ \varphi^{-1}\big)(\varphi(p))\\
+\begin{align*}c_i\left(p\right) (f) &= \frac d{dt}\left(f\circ c_i\right)(0)  \\
+&= \frac d{dt} \left(f\circ \varphi^{-1}(\varphi(p) + te_i)\right)(0) \\
+&= \frac{\partial}{\partial u^i}\left(f\circ \varphi^{-1}\right)(\varphi(p))\\
 &= \ptv{i}(f)
 \end{align*}
 \end{beweis}
@@ -610,20 +610,20 @@ \section{Untermannigfaltigkeiten und spezielle differenzierbare Abbildungen}
 \item Immersion:
 \begin{align*}
 \MdR^k &\to \MdR^{k+l} \\
-(x^1,\ldots,x^k) &\mapsto (x^1,\ldots,x^k,0,\ldots,0)
+\left(x^1,\ldots,x^k\right) &\mapsto \left(x^1,\ldots,x^k,0,\ldots,0\right)
 \end{align*}
 Man kann zeigen: Lokal sieht jede Immersion so aus.
 \item Submersion:
 \begin{align*}
 \MdR^{k+l} &\to \MdR^k\\
-(x^1,\ldots,x^{k+l}) &\mapsto (x^1,\ldots,x^k)
+\left(x^1,\ldots,x^{k+l}\right) &\mapsto \left(x^1,\ldots,x^k\right)
 \end{align*}
 Auch hier kann man zeigen, dass jede Submersion lokal so aussieht.
 
-\item  Die Kurve $c : \MdR \to \MdR^2$, $t\mapsto (t^3, t^2)$ ist differenzierbar, aber keine Immersion, denn
-\[ c'(o) = dc_0\Big(\underbrace{\frac d{dt}}_{\ne 0}\Big) = (0,0)\,.\]
+\item  Die Kurve $c : \MdR \to \MdR^2$, $t\mapsto \left(t^3, t^2\right)$ ist differenzierbar, aber keine Immersion, denn
+\[ c'(o) = dc_0\left(\underbrace{\frac d{dt}}_{\ne 0}\right) = (0,0)\,.\]
 
-\item  Die Kurve $c : \MdR \to \MdR^2$, $t\mapsto (t^3 - 4t, t^2 -4)$ ist eine Immersion, aber keine Einbettung.
+\item  Die Kurve $c : \MdR \to \MdR^2$, $t\mapsto \left(t^3 - 4t, t^2 -4\right)$ ist eine Immersion, aber keine Einbettung.
 
 \item $\MdR^2$ versehen mit der Äquivalenzrelation 
 \[
@@ -659,21 +659,21 @@ \section{Tangentialbündel und Vektorfelder}
 
 \begin{satz}[Tangentialbündel]
 Sei $M$ eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und 
-\[TM \da \bigcup_{p\in M} T_pM = \{(p,v)\mid p\in M, v\in T_pM\}\,.\]
+\[TM \da \bigcup_{p\in M} T_pM = \left\{(p,v)\mid p\in M, v\in T_pM\right\}\,.\]
 $TM$ ist eine $2n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit.
 \label{satz3}
 \end{satz}
 $TM$ heißt Tangentialbündel\index{Tangentialbündel} und ist ein Spezialfall eines Vektorraumbündels. In der Physik entspricht dies dem Phasenraum (Ort, Geschwindigkeit).
 
 \begin{beweis}
-\emph{(Skizze)} Sei $(U_\alpha, \varphi_\alpha)_{\alpha \in A}$ ein Atlas für $M$. Ist $\varphi_\alpha = (x_\alpha^1,\ldots, x_\alpha^n)$, so gilt nach Basis-Satz (\mbox{Satz \ref{basissatz}}), dass $\{\ptv{i} \mid i = 1,\ldots,n\}$ eine Basis von $T_pM$ für alle $p \in U_\alpha$ ist. Für $v\in T_pM$ gilt also $v= \sum_{i=1}^n v(x^i)\ptv{i}$.
+\emph{(Skizze)} Sei $(U_\alpha, \varphi_\alpha)_{\alpha \in A}$ ein Atlas für $M$. Ist $\varphi_\alpha = (x_\alpha^1,\ldots, x_\alpha^n)$, so gilt nach Basis-Satz (\mbox{Satz \ref{basissatz}}), dass $\left\{\ptv{i} \mid i = 1,\ldots,n\right\}$ eine Basis von $T_pM$ für alle $p \in U_\alpha$ ist. Für $v\in T_pM$ gilt also $v= \sum_{i=1}^n v(x^i)\ptv{i}$.
 
 Somit erhalten wir für jedes $\alpha\in A$ eine bijektive Abbildung 
 \[
 h_\alpha:
 \begin{aligned}
 V_\alpha \da TU_\alpha = \bigcup_{p\in U_\alpha} T_pM &\to \MdR^{2n} \\
-(p,v) &\mapsto \big(x^1(p), \ldots, x^n(p), v(x^1), \ldots, v(x^n)\big)
+(p,v) &\mapsto \left(x^1(p), \ldots, x^n(p), v(x^1), \ldots, v(x^n)\right)
 \end{aligned}
 \]
 \emph{Ohne Beweis:} $(V_\alpha, v_\alpha)_{\alpha\in A}$ ist ein differenzierbarer Atlas für $TM$.
@@ -684,12 +684,12 @@ \section{Tangentialbündel und Vektorfelder}
 
 Ein Vektorfeld\index{Vektorfeld} (VF) auf $M$ ist eine Abbildung $V : M \to TM$, $p\mapsto v_p$ mit $\pi \circ V = \text{id}_M$, d.h. $v_p \in T_pM$.
 
-Das Vektorfeld ist differenzierbar ($C^\infty$, glatt), falls $V: M \to TM$ eine differenzierbare Abbildung ist. Äquivalent dazu: Für alle $f\in C^\infty(M)$ ist $Vf\in C^\infty(M)$ mit $\big(Vf\big)(p) \da v_p(f)$.
+Das Vektorfeld ist differenzierbar ($C^\infty$, glatt), falls $V: M \to TM$ eine differenzierbare Abbildung ist. Äquivalent dazu: Für alle $f\in C^\infty(M)$ ist $Vf\in C^\infty(M)$ mit $\left(Vf\right)(p) \da v_p(f)$.
 
 Wir definieren für $p\in M$ und $f\in C^\infty(M)$:
 \begin{itemize}
-\item $\big(f\cdot V\big)(p) \da f(p) v_p$ sowie
-\item $\big(V+W\big)(p) \da v_p + w_p$.
+\item $\left(f\cdot V\right)(p) \da f(p) v_p$ sowie
+\item $\left(V+W\right)(p) \da v_p + w_p$.
 \end{itemize}
 Damit ist $\V M$ (die Menge aller Vektorfelder auf $M$) ein $C^\infty(M)$-Modul.
 \end{definition}
@@ -720,13 +720,13 @@ \section{Tangentialbündel und Vektorfelder}
 
 Aus den Axiomen (T1), (T2) für Tangentialvektoren folgt, dass $V\in\V M $ eine Derivation ist.
 
-Umgekehrt gilt, dass jede Derivation von einem Vektorfeld kommt:  Sei $\mathcal D$ eine Derivation. Definiere für jeden Punkt $p\in M$: $v_p(f) \da \mathcal D\big(f\big)(p)$. Aus (D1), (D2) folgt: $v_p\in T_pM$ und $V: M \to TM$, $p\mapsto v_p$ ist ein Vektorfeld.
+Umgekehrt gilt, dass jede Derivation von einem Vektorfeld kommt:  Sei $\mathcal D$ eine Derivation. Definiere für jeden Punkt $p\in M$: $v_p(f) \da \mathcal D\left(f\right)(p)$. Aus (D1), (D2) folgt: $v_p\in T_pM$ und $V: M \to TM$, $p\mapsto v_p$ ist ein Vektorfeld.
 
-Weiter gilt für alle $p\in M$: $\big(Vf\big)(p) = v_p\big(f\big) = \big(\mathcal D f\big) (p)$, also ist $Vf = \mathcal D f$, insbesondere ist $V$ glatt. Also entspricht $\V M $ den Derivationen auf $C^\infty M$.
+Weiter gilt für alle $p\in M$: $\left(Vf\right)(p) = v_p\left(f\right) = \left(\mathcal D f\right) (p)$, also ist $Vf = \mathcal D f$, insbesondere ist $V$ glatt. Also entspricht $\V M $ den Derivationen auf $C^\infty M$.
 
 Warum also führen wir Derivationen ein? Die entscheidende Eigenschaft ist dass das Produkt zwei Vektorfelder $V$ und $W$
 \[
-\big(V \cdot W\big) (f) \da V (W f)
+\left(V \cdot W\right) (f) \da V (W f)
 \]
 keine Derivation ist, da (D2) nicht erfüllt ist, also $(V\cdot W)$ kein Vektorfeld ist!
 
@@ -762,17 +762,17 @@ \section{Tangentialbündel und Vektorfelder}
 
 \subsection*{Vektorfelder und Differentialgleichungen}
 
-Sei $V\in \V M $. Eine Integralkurve von V ist eine differenzierbare Kurve $\alpha: I\to M$ mit $\alpha'(t) = V\big(\alpha(t)\big)$ für alle $t\in I$.
+Sei $V\in \V M $. Eine Integralkurve von V ist eine differenzierbare Kurve $\alpha: I\to M$ mit $\alpha'(t) = V\left(\alpha(t)\right)$ für alle $t\in I$.
 
 In einem Koordinatensystem $\varphi=(x^1,\ldots,x^n)$ gilt:
 \[
-\alpha'(t) = \sum_{i=1}^n \frac d{dt}(x^i\circ \alpha) \left.\frac\partial{\partial x^i}\right|_{\alpha(t)}
+\alpha'(t) = \sum_{i=1}^n \frac d{dt}\left(x^i\circ \alpha\right) \left.\frac\partial{\partial x^i}\right|_{\alpha(t)}
 \text{ sowie }
-V\big(\alpha(t)\big) = \sum_{i=1}^n V(x^i\circ \alpha) \left.\frac\partial{\partial x^i}\right|_{\alpha(t)}
+V\left(\alpha(t)\right) = \sum_{i=1}^n V\left(x^i\circ \alpha\right) \left.\frac\partial{\partial x^i}\right|_{\alpha(t)}
 \]
 Also gilt für $i=1,\ldots,n$
 \[
-\alpha'(t) = V(\alpha(t)) \gdw \frac d{dt}(x^i\circ \alpha) = V(x^i\circ\alpha)
+\alpha'(t) = V(\alpha(t)) \gdw \frac d{dt}\left(x^i\circ \alpha\right) = V\left(x^i\circ\alpha\right)
 \]
 Dies ist ein System von $n$ gewöhnlichen Differenzialgleichungen erster Ordnung. Aus Existenz- und Eindeutigkeitssätzen für solche Systeme (zum Beispiel Königsberger II, 4.2) folgt
 
@@ -801,7 +801,7 @@ \section{Definition einer Riemann’schen Metrik und Struktur}
 \index{Struktur!Riemann’sche}
 Eine Riemann’sche Metrik (oder Riemann’sche Struktur) auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Punkt $p\in M$ ein Skalarprodukt $\asp_p \equiv g_p(\cdot,\cdot)$ in $T_pM$ zugeordnet wird.
 
-Diese Zuordnung soll differenzierbar sein, das heißt für alle lokalen Koordinaten $\phi: U \to \MdR^n$; $q\mapsto \big(x^1(q), \ldots, x^n(q)\big)$ sind die Funktionen 
+Diese Zuordnung soll differenzierbar sein, das heißt für alle lokalen Koordinaten $\phi: U \to \MdR^n$; $q\mapsto \left(x^1(q), \ldots, x^n(q)\right)$ sind die Funktionen 
 \[
 g_{ij}:
 \begin{aligned}
@@ -809,7 +809,7 @@ \section{Definition einer Riemann’schen Metrik und Struktur}
 q &\mapsto g_{ij}(q) \da \left\langle \left.\frac\partial{\partial x^i}\right|_q, \left.\frac\partial{\partial x^j}\right|_q\right\rangle_q
 \end{aligned}
 \]
-$C^\infty$ für $1\le i,j\le n$. Die $(n\times n)$-Matrix $\big( g_{ij}(q)\big)$ ist symmetrisch und positiv definit für alle $q\in  U$.
+$C^\infty$ für $1\le i,j\le n$. Die $(n\times n)$-Matrix $\left( g_{ij}(q)\right)$ ist symmetrisch und positiv definit für alle $q\in  U$.
 
 Insbesondere gilt für $v = \sum_{i=1}^n a_i \left.\frac\partial{\partial x^i}\right|_q$ und $w = \sum_{j=1}^n b_j \left.\frac\partial{\partial x^i}\right|_q \in T_pM$:
 \[ \langle v,w\rangle_q = \sum_{i,j=1}^n a_i b_j g_{ij}(q) \]
@@ -832,7 +832,7 @@ \section{Definition einer Riemann’schen Metrik und Struktur}
 
 \section{Beispiele und Konstruktionen}
 \subsection{$n$-dimensionaler Euklidischer Raum}
-$M=\MdR^n$ mit Atlas $\{\text{id}\}$ ist eine Riemann’sche Struktur mit dem Standard-Skalarprodukt $\asp$. Dabei ist $g_{ij}(p) = \langle \ptv{i}, \ptv{j} \rangle = \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$, also ist $\big(g_{ij}(p)\big)$ die Einheitsmatrix.
+$M=\MdR^n$ mit Atlas $\{\text{id}\}$ ist eine Riemann’sche Struktur mit dem Standard-Skalarprodukt $\asp$. Dabei ist $g_{ij}(p) = \ksp{\ptv{i}}{\ptv{j}} = \ksp{e_i}{e_j} = \delta_{ij}$, also ist $\left(g_{ij}(p)\right)$ die Einheitsmatrix.
 
 \subsection{$n$-dimensionale hyperbolische Räume}
 $M = H^n \da \{ x = (x^1,\ldots, x^n) \in \MdR^n \mid x_n > 0 \}$. Dies ist eine offene Teilmenge von $\MdR^n$, also eine offene Untermannigfaltigkeit.
@@ -847,7 +847,7 @@ \subsection{$n$-dimensionale hyperbolische Räume}
 \]
 und die Matrix 
 \[
-\big(g_{ij}(x)\big) = 
+\left(g_{ij}(x)\right) = 
 \begin{pmatrix}
 \frac 1 {(x^n)^2}& & 0 \\
 & \ddots & \\
@@ -923,17 +923,17 @@ \subsection{Riemann’sche Produkte}
 
 Die Riemann’sche Produktmetrik auf $T^2$ bezüglich lokalen Koordinaten $(s,t)$:
 \begin{align*}
-g_{11}(s,t) &= \lsp {d\pi_1 ({\frac\partial{\partial s}} + 0)}{d\pi_1 ({\frac\partial{\partial s}} + 0)} + \lsp {d\pi_2 ({\frac\partial{\partial s}} + 0)}{d\pi_2 ({\frac\partial{\partial s}} + 0)} \\
+g_{11}(s,t) &= \lsp {d\pi_1 \left({\frac\partial{\partial s}} + 0\right)}{d\pi_1 \left({\frac\partial{\partial s}} + 0\right)} + \lsp {d\pi_2 \left({\frac\partial{\partial s}} + 0\right)}{d\pi_2 \left({\frac\partial{\partial s}} + 0\right)} \\
 &= \lsp {\frac\partial{\partial s}}{\frac\partial{\partial s}} + \lsp 0 0 = 1
 \end{align*}
 Analog: $g_{22}(s,t) = \cdots = \lsp {\frac\partial{\partial t}} {\frac\partial{\partial t}} = 1$
 \begin{align*}
-g_{12}(s,t) &= \lsp {d\pi_1 ({\frac\partial{\partial s}} + 0)}{d\pi_1 ({\frac\partial{\partial t}} + 0)} + \lsp {d\pi_2 ({\frac\partial{\partial s}} + 0)}{d\pi_2 ({\frac\partial{\partial t}} + 0)} \\
+g_{12}(s,t) &= \lsp {d\pi_1 \left({\frac\partial{\partial s}} + 0\right)}{d\pi_1 \left({\frac\partial{\partial t}} + 0\right)} + \lsp {d\pi_2 \left({\frac\partial{\partial s}} + 0\right)}{d\pi_2 \left({\frac\partial{\partial t}} + 0\right)} \\
 &= \lsp {\frac\partial{\partial s}}0 + \lsp 0 {\frac\partial{\partial s}} = 0
 \end{align*}
 also ist
 \[
-\Big( g_{ij}(s,t) \Big) = 
+\left( g_{ij}(s,t) \right) = 
 \begin{pmatrix}
 1 & 0 \\ 0 & 1
 \end{pmatrix}
@@ -957,7 +957,7 @@ \section{Existenz von Riemann’schen Metriken}
 Wir gehen in zwei Schritten vor: %Füllsatz, LaTeX komisch.
 \paragraph*{1. Schritt} (lokale Konstruktion für Kartengebiete)
 
-Gegeben eine Karte $\varphi_\alpha: U_\alpha \to \MdR^n$, $p\mapsto \varphi_\alpha(p) = \big(x^1_\alpha(p),\ldots,x^n_\alpha(p)\big)$. Wir benötigen $\frac{n(n+1)}2$ $C^\infty$-Funktionen $g_{ij}: U_\alpha \to \MdR$, so dass die $n\times n$-Matrix $\big(g_{ij}(q)\big)$ positiv definit wird für alle $q\in U_\alpha$.
+Gegeben eine Karte $\varphi_\alpha: U_\alpha \to \MdR^n$, $p\mapsto \varphi_\alpha(p) = \left(x^1_\alpha(p),\ldots,x^n_\alpha(p)\right)$. Wir benötigen $\frac{n(n+1)}2$ $C^\infty$-Funktionen $g_{ij}: U_\alpha \to \MdR$, so dass die $n\times n$-Matrix $\left(g_{ij}(q)\right)$ positiv definit wird für alle $q\in U_\alpha$.
 
 Eine Möglichkeit: Wähle Standardskalarprodukt $\asp$ auf $\varphi_\alpha(U_\alpha)\subset \MdR^n$, das heißt $\ksp {e_i}{e_j} = \delta_{ij}$ und setze für alle $u,v\in TqM$, $q\in U_\alpha$:
 \[
@@ -993,7 +993,7 @@ \section{Existenz von Riemann’schen Metriken}
 
 Sei $p\in M$ beliebig und $u,v \in T_pM$. Setze 
 \[
-\ksp uv_p \da \sum_{k\in I} f_k(p) \cdot g_k\big(p\big) (u,v)
+\ksp uv_p \da \sum_{k\in I} f_k(p) \cdot g_k\left(p\right) (u,v)
 \]
 Diese Summe ist endlich, da $f_k(p) \ne 0$ nur für endlich viele $k$.
 
@@ -1016,11 +1016,11 @@ \section{Existenz von Riemann’schen Metriken}
 
 Sei $c: I \to M$ eine differenzierbare Kurve in einer Riemann’schen Mannigfaltigkeit $M$. Dann ist die Länge von $c$
 \[
-L(c) \da \int_I \sqrt{\ksp {c'(t)}{c'(t)}}dt  = \int _I \|c'(t)\|dt
+L(c) \da \int_I \sqrt{\ksp {c'(t)}{c'(t)}}dt  = \int _I \left\|c'(t)\right\|dt
 \]
 (Ein Spezialfall sind $C^\infty$-Kurven in $\MdR^n$ versehen mit Standardskalarprodukt)
 
-Die Länge ist unabhängig von der Parametrisierung der Kurve und invariant unter Isometrien $\Phi : (M,\asp_1) \to (N,\asp_2)$, also $L(\Phi \circ c) = L(c)$, da $L(\Phi \circ c) = \int_I\|(\Phi \circ c)'\|_2dt = \int_I\|d\Phi_{c(t)}c'(t)\|_2dt \gleichnach{$\Phi$ iso.} \int_I\|c'\|_1dt = L(c)$.
+Die Länge ist unabhängig von der Parametrisierung der Kurve und invariant unter Isometrien $\Phi : (M,\asp_1) \to (N,\asp_2)$, also $L(\Phi \circ c) = L(c)$, da $L(\Phi \circ c) = \int_I\left\|(\Phi \circ c)'\right\|_2dt = \int_I\left\|d\Phi_{c(t)}c'(t)\right\|_2dt \gleichnach{$\Phi$ iso.} \int_I\left\|c'\right\|_1dt = L(c)$.
 
 
 \chapter{Affine Zusammenhänge und Parallelverschiebung}
@@ -1069,24 +1069,24 @@ \section{Affine Zusammenhänge}
 
 $D$ ist ein lokaler Begriff: Wähle Karte $(U,\varphi)$ mit Basisfelder $X_i=\frac\partial{\partial x^i}$. $X,Y\in \V U$: $X=\sum_{i=1}^n v^iX_i$, $Y=\sum_{j=1}^n w^j X_j$. Dann: 
 \begin{align*}
-D_XY &= D_{\sum_i v^iX_i}(\sum_jw^jX_j) \\
-     &\gleichnach{\clap{(Z1)}} \sum_i v^i D_{X_i}(\sum_jw^jX_j) \\
-     &\gleichnach{\clap{(Z2)}} \sum_i v^i \sum_j D_{X_i} (w^j X_j) \\
-     &\gleichnach{\clap{(Z3)}} \sum_{i,j} v^iw^j D_{X_i}X_j + \sum_{i,j} v^i X_i(w^j)X_j
+D_XY &= D_{\sum_i v^iX_i}\left(\sum_jw^jX_j\right) \\
+     &\gleichnach{\clap{(Z1)}} \sum_i v^i D_{X_i}\left(\sum_jw^jX_j\right) \\
+     &\gleichnach{\clap{(Z2)}} \sum_i v^i \sum_j D_{X_i} \left(w^j X_j\right) \\
+     &\gleichnach{\clap{(Z3)}} \sum_{i,j} v^iw^j D_{X_i}X_j + \sum_{i,j} v^i X_i\left(w^j\right)X_j
 \end{align*}
 wobei $D_{X_i}X_j = \sum_{k=1}^n \Gamma^k_{ij} X_k$ (diese Darstellung existiert wegen dem Basissatz \ref{basissatz}) für lokal definierte $C^\infty$-Funktionen $\Gamma_{ij}^k: U \to \MdR$ (Christoffel-Symbole)\label{Christoffel-Symbole}.
 
 Wir haben also:
 \[
-D_XY = \sum_{k=1}^n (\sum_{i,j=1}^n v^i w^j \Gamma_{ij}^k + X(w^k))X_k
+D_XY = \sum_{k=1}^n \left(\sum_{i,j=1}^n v^i w^j \Gamma_{ij}^k + X(w^k)\right)X_k
 \]
 Die Formel zeigt, dass $D_XY(p)$ bestimmt ist durch $v^i(p)$, $w^j(p)$ und $X_p(w^k)$ (und $\Gamma_{ij}^k$). Insbesondere braucht man das Vektorfeld $Y$ (bzw. $w^k$) nur „in Richtung $X$“ zu kennen.
 
-Wir folgern: Man kann Vektorfelder längs einer Kurve in Richtung dieser Kurve ableiten: Falls $Y$ ein Vektorfeld ist längs $c$ (also $Y\big(c(t)\big) = \sum_{i=1}^n w^k(t)X_k\big(c(t)\big)$), dann ist
+Wir folgern: Man kann Vektorfelder längs einer Kurve in Richtung dieser Kurve ableiten: Falls $Y$ ein Vektorfeld ist längs $c$ (also $Y\left(c(t)\right) = \sum_{i=1}^n w^k(t)X_k\left(c(t)\right)$), dann ist
 \[
-D_{c'}Y \da \sum_{k=1}^n\Big(\sum_{ij}^n {x^i}'(t) w^j(t) \Gamma_{ij}^k\big(c(t)\big) + {w^k}'(t)\Big)X_k(c(t))
+D_{c'}Y \da \sum_{k=1}^n\left(\sum_{ij}^n {x^i}'(t) w^j(t) \Gamma_{ij}^k\left(c(t)\right) + {w^k}'(t)\right)X_k(c(t))
 \]
-(wobei $\varphi \circ c(t) = \big(x^1(t),\ldots, x^n(t)\big)$ und damit $c' = \sum {x^i}'X_i$)
+(wobei $\varphi \circ c(t) = \left(x^1(t),\ldots, x^n(t)\right)$ und damit $c' = \sum {x^i}'X_i$)
 
 \begin{definition}
 Ein Vektorfeld $Y$ längs einer Kurve $c$ heißt parallel\index{paralleles Vektorfeld} bezüglich einem affinen Zusammenhang $D$, falls $D_{c'}Y = 0$.
@@ -1101,7 +1101,7 @@ \section{Affine Zusammenhänge}
 
 \begin{satz}[Eindeutigkeit der Parallelverschiebung]
 \label{eindpara}
-Sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit affinem Zusammenhang $D$. Sei $c: I=[a,b] \to M$ eine differenzierbare Kurve und $v_0 \in T_{c(a)}M$. Dann existiert genau ein paralleles Vektorfeld $V$ längs $c$ mit $V\big(c(a)\big)= v_0$.
+Sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit affinem Zusammenhang $D$. Sei $c: I=[a,b] \to M$ eine differenzierbare Kurve und $v_0 \in T_{c(a)}M$. Dann existiert genau ein paralleles Vektorfeld $V$ längs $c$ mit $V\left(c(a)\right)= v_0$.
 \end{satz}
 
 \begin{definition}
@@ -1121,7 +1121,7 @@ \section{Affine Zusammenhänge}
 \[
 \sum_k \bigg(\frac{dv^k}{dt} + \sum_{i,j} \frac{dx^i}{dt}v^j \Gamma_{ij}^k \bigg) X_k = 0
 \]
-wobei $V = \sum_{i=1}^n v^i X_i$, $X_i = \frac\partial{\partial x^i}$, $\varphi \circ c(t) = \big(x^1(t),\ldots,x^n(t)\big)$, $c'(t) = \sum_i \frac{dx^i}{dt}(t)X_i\big(c(t)\big)$. Das heißt wir haben ein System von $n$ linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung in $v_k(t)$:
+wobei $V = \sum_{i=1}^n v^i X_i$, $X_i = \frac\partial{\partial x^i}$, $\varphi \circ c(t) = \left(x^1(t),\ldots,x^n(t)\right)$, $c'(t) = \sum_i \frac{dx^i}{dt}(t)X_i\left(c(t)\right)$. Das heißt wir haben ein System von $n$ linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung in $v_k(t)$:
 \[
 0 = \frac{dv^k}{dt} + \sum_{i,j} \Gamma_{ij}^k \frac{dx^i}{dt} v^j, \qquad k=1,\ldots,n
 \]
@@ -1137,7 +1137,7 @@ \section{Der Levi-Civita-Zusammenhang}
 \begin{definition}
 Ein affiner Zusammenhang $D$ auf einer Riemann’schen Mannigfaltigkeit $(M,\asp)$ heißt verträglich \index{Zusammenhang!verträglicher}\index{verträglicher Zusammenhang}mit der Riemann’schen Struktur $\asp$ falls für jede differenzierbare Kurve $c:I\to M$ und jedes Paar von parallelen Vektorfeldern $V_1,V_2$ längs $c$ gilt:
 \[
-\lsp {V_1\big(c(t)\big)}{V_2\big(c(t)\big)}_{c(t)} \text{ ist für alle $t\in I$ konstant.}
+\lsp {V_1\left(c(t)\right)}{V_2\left(c(t)\right)}_{c(t)} \text{ ist für alle $t\in I$ konstant.}
 \]
 Das heißt dass die Parallelverschiebung $c\|_{t_1}^{t_2}: T_{c(t_1)}M \to T_{c(t_2)}M$ eine lineare Isometrie ist.
 \end{definition}
@@ -1199,12 +1199,12 @@ \section{Der Levi-Civita-Zusammenhang}
 \]
 da $\left[\frac{\partial}{\partial x_i},\frac{\partial}{\partial x_j}\right] f = \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial}{\partial x_j} f - \frac{\partial}{\partial x_j} \frac{\partial}{\partial x_i} f = 0$ wegen $f\in C^\infty$ und Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen. Weiter gilt:
 \[
-D_{X_i} X_j - D_{X_j}X_i  = \sum_k \Gamma_{ij}^kX_k - \sum_k \Gamma_{ji}^kX_k = \sum_k( \Gamma_{ij}^k - \Gamma_{ji}^k) X_k \folgt \Gamma_{ij}^k = \Gamma_{ji}^k
+D_{X_i} X_j - D_{X_j}X_i  = \sum_k \Gamma_{ij}^kX_k - \sum_k \Gamma_{ji}^kX_k = \sum_k\left( \Gamma_{ij}^k - \Gamma_{ji}^k\right) X_k \folgt \Gamma_{ij}^k = \Gamma_{ji}^k
 \]
 \end{bemerkung}
 
 \begin{satz}[Levi-Civita-Zusammenhang]
-Auf jeder Riemann’schen Mannigfaltigkeit $(M,\asp)$ existiert genau ein affiner Zusammenhang $D$, so dass gilt:
+Auf jeder Riemann’schen Mannigfaltigkeit $\left(M,\asp\right)$ existiert genau ein affiner Zusammenhang $D$, so dass gilt:
 \begin{enumerate}
 \item $D$ ist symmetrisch
 \item $D$ ist verträglich mit $\asp$
@@ -1228,7 +1228,7 @@ \section{Der Levi-Civita-Zusammenhang}
 \end{align*}
 Wir erhalten die Kozul-Formel\index{Kozul-Formel}
 \[
-\ksp Z {D_YX} = \frac 12 \Big( X \ksp Y Z + Y \ksp Z X  - Z \ksp X Y -\ksp {[X,Z]}Y - \ksp {[X,Y]} Z  - \ksp {[Y,Z]} X \Big) \mathrlap{\quad (*)}
+\ksp Z {D_YX} = \frac 12 \left( X \ksp Y Z + Y \ksp Z X  - Z \ksp X Y -\ksp {[X,Z]}Y - \ksp {[X,Y]} Z  - \ksp {[Y,Z]} X \right) \mathrlap{\quad (*)}
 \]
 Diese Formel zeigt, dass $D$ eindeutig durch die Riemann’sche Struktur $\asp$ bestimmt ist, denn seien $D$ und $\tilde D$ zwei affine Zusammenhänge, die (1) und (2) erfüllen, dann gilt $(*)$ für beide, also $\ksp Z {D_YX} = \ksp Z {\tilde D_Y X}$ für alle $X,Y,Z\in \V M$, was heißt dass $\ksp {D_YX - \tilde D_YX} Z = 0$, was heißt das $D_YX - \tilde D_YX=0$. Also ist $D=\tilde D$.
 
@@ -1238,11 +1238,11 @@ \section{Der Levi-Civita-Zusammenhang}
 \paragraph{Lokale Form von $D$} Gegeben eine Karte $(U,\varphi)$ mit Basisfelder $X_i \da \frac \partial {\partial x^i}$, $i=1,\ldots,n$, auf $U$.
 Wir haben $g_{ij}=\ksp {X_i} {X_j}$, $D_{X_i}X_j = \sum_{k=1}^n \Gamma_{ij}^k X_k$, $[X_i, X_j] = 0$. Kozulformel:
 \[
-\ksp {X_k} {D_{X_i}X_j} = \frac 1 2 \Big( \frac {\partial g_{ik}}{\partial x^j} + \frac {\partial g_{jk}}{\partial x^i} - \frac {\partial g_{ij}}{\partial x^k} + 0 \Big) = \lsp {X_k} {\sum_{l=1}^n \Gamma_{ij}^l X_l} = \sum_{l=1}^n \Gamma_{ij}^l g_{kl}
+\ksp {X_k} {D_{X_i}X_j} = \frac 1 2 \left( \frac {\partial g_{ik}}{\partial x^j} + \frac {\partial g_{jk}}{\partial x^i} - \frac {\partial g_{ij}}{\partial x^k} + 0 \right) = \lsp {X_k} {\sum_{l=1}^n \Gamma_{ij}^l X_l} = \sum_{l=1}^n \Gamma_{ij}^l g_{kl}
 \]
 $(g_{kl})$ hat inverse Matrix $(g^{mk})$. Damit
 \[
-\Gamma_{ij}^m = \frac 1 2 \sum_{k=1}^n g^{mk} \Big( \frac {\partial g_{ik}}{\partial x^j} + \frac {\partial g_{jk}}{\partial x^i} - \frac {\partial g_{ij}}{\partial x^k} \Big)\,.
+\Gamma_{ij}^m = \frac 1 2 \sum_{k=1}^n g^{mk} \left( \frac {\partial g_{ik}}{\partial x^j} + \frac {\partial g_{jk}}{\partial x^i} - \frac {\partial g_{ij}}{\partial x^k} \right)\,.
 \]
 Dieser Ausdruck zeigt nochmals: Levi-Civita-Zusammenhang ist eindeutig durch die Metrik bestimmt.
 
@@ -1272,7 +1272,7 @@ \section{Definition von Geodätischen}
 \item $\|\gamma'(t)\|_{\gamma(t)}$ ist konstant.
 
 \begin{beweis}
-$\|\gamma'\|^2 = \ksp {\gamma'}{\gamma'}$. Also $\frac d{dt} \|\gamma'\|^2 = \frac d{dt} \ksp {\gamma'}{\gamma'} = \ksp{D_{\gamma'}\gamma'}{\gamma'} + \ksp {\gamma'}{D_{\gamma'}\gamma'} = 0$
+$\left\|\gamma'\right\|^2 = \ksp {\gamma'}{\gamma'}$. Also $\frac d{dt} \left\|\gamma'\right\|^2 = \frac d{dt} \ksp {\gamma'}{\gamma'} = \ksp{D_{\gamma'}\gamma'}{\gamma'} + \ksp {\gamma'}{D_{\gamma'}\gamma'} = 0$
 \end{beweis}
 Ein (entarteter) Spezialfall ist $\gamma(t)$ konstant $p\in M$.
 \item Eine Geodätische ist proportional zur Bogenlänge parametrisiert:
@@ -1291,7 +1291,7 @@ \section{Lokale Darstellung und Differentialgleichung für Geodätische}
 
 Dann ist $\gamma'(t) = \sum_{i=1}^n x_i' (t) \left. \frac \partial{\partial x^i}\right|_{\gamma(t)}$. Die allgemeine Formel für Parallelfelder in lokalen Koordinaten (vgl 3.2) ergibt:
 \[
-0 = D_{\gamma '}\gamma' = \sum_{k=1}^n \Big(x''^k + \sum_{i,j=1}^n \Gamma_{ij}^k x'^i x'^j\Big) \frac{\partial}{\partial x^k}
+0 = D_{\gamma '}\gamma' = \sum_{k=1}^n \left(x''^k + \sum_{i,j=1}^n \Gamma_{ij}^k x'^i x'^j\right) \frac{\partial}{\partial x^k}
 \]
 lokal gilt also: $D_{\gamma '}\gamma'= 0$ ist äquivalent zu dem System von $n$ Differentialgleichung 2. Ordnung
 \[
@@ -1306,16 +1306,16 @@ \section{Das Geodätische Vektorfeld auf $TM$}
 y'^k &= -\sum_{i,j=1}^n \Gamma_{ij}^k(x(t)) y^i(t) y^j(t)
 \end{aligned}\mathrlap{\qquad (2)}
 \]
-Was ist die Interpretation der $y^i$ in der Mannigfaltigkeit? Die Geodätische $t\mapsto \gamma(t)$ in $M$ definiert die differenzierbare Kurve $t \mapsto \big(\gamma(t), \gamma'(t)\big)$ in $TM = \{(p,v) \mid p\in M, v\in T_pM\}$. Lokale Koordinaten für $TM$: Sei $(U,\varphi)$ eine Karte in $M$, $TU \cong U\times \MdR^n$ (nach Basissatz). Dies ergibt eine Darstellung von  $(p,v)$ als $(x^1,\ldots,x^n,y^1,\ldots,x^n)$ mit $v=\sum y^i \frac\partial{\partial x^i}$. Speziell gilt $\big(\gamma(t),\gamma(t)\big) \to \big(x^1(t),\ldots,x^n(t),x'^1(t), \ldots x'^n(t)\big)$.
+Was ist die Interpretation der $y^i$ in der Mannigfaltigkeit? Die Geodätische $t\mapsto \gamma(t)$ in $M$ definiert die differenzierbare Kurve $t \mapsto \left(\gamma(t), \gamma'(t)\right)$ in $TM = \{(p,v) \mid p\in M, v\in T_pM\}$. Lokale Koordinaten für $TM$: Sei $(U,\varphi)$ eine Karte in $M$, $TU \cong U\times \MdR^n$ (nach Basissatz). Dies ergibt eine Darstellung von  $(p,v)$ als $(x^1,\ldots,x^n,y^1,\ldots,x^n)$ mit $v=\sum y^i \frac\partial{\partial x^i}$. Speziell gilt $\left(\gamma(t),\gamma(t)\right) \to \left(x^1(t),\ldots,x^n(t),x'^1(t), \ldots x'^n(t)\right)$.
 
 \begin{lemma}
-Es existiert genau ein Vektorfeld $G\in \mathcal V(TM)$ auf $TM$ dessen Integralkurven (vergleiche 1.7) von der Form $\tilde \gamma(t) = \big(\gamma(t), \gamma'(t)\big)$ sind, wobei $\gamma(t)$ jeweils eine Geodätische in $M$ ist.
+Es existiert genau ein Vektorfeld $G\in \mathcal V(TM)$ auf $TM$ dessen Integralkurven (vergleiche 1.7) von der Form $\tilde \gamma(t) = \left(\gamma(t), \gamma'(t)\right)$ sind, wobei $\gamma(t)$ jeweils eine Geodätische in $M$ ist.
 \end{lemma}
 \begin{beweis}
 \begin{enumerate}[(a)]
-\item Eindeutigkeit (unter der Annahme der Existenz): Die Integralkurven von $G$ auf $TU$ sind nach Voraussetzung gegeben durch $\tilde \gamma(t) = \big( \gamma(t), \gamma'(t)\big)$. Diese Kurve ist aber Lösung von (2), also zu gegebener Anfangsbedingung eindeutig:
+\item Eindeutigkeit (unter der Annahme der Existenz): Die Integralkurven von $G$ auf $TU$ sind nach Voraussetzung gegeben durch $\tilde \gamma(t) = \left( \gamma(t), \gamma'(t)\right)$. Diese Kurve ist aber Lösung von (2), also zu gegebener Anfangsbedingung eindeutig:
 \[
-\tilde G\big(\tilde \gamma(t)\big) = \tilde\gamma'(t) = G\big(\tilde\gamma(t)\big)
+\tilde G\left(\tilde \gamma(t)\right) = \tilde\gamma'(t) = G\left(\tilde\gamma(t)\right)
 \]
 \item Existenz: Wir definieren die Komponenten von $G$ bezüglich Basisfelder lokal durch (2). Wegen (a) ist $G$ auf ganz $TM$ eindeutig.
 \end{enumerate}
@@ -1326,7 +1326,7 @@ \section{Das Geodätische Vektorfeld auf $TM$}
 \end{definition}
 
 \begin{satz}[Lokale Integralkurve]
-Für jede Karte $U$ und $p\in M$ existiert ein offenes $O\in TM$ mit $(p,0)\in O$ eine Zahl $\delta = \delta(p)$ und eine $C^\infty$-Abbildung $f: (-\delta,\delta)\times O \to TU\subset TM$, so dass $t \mapsto f\big(t,(q,v)\big)$ die eindeutige Integralkurve von $G$ ist mit $f\big(0,(q,v)\big)=(q,v)$ für alle $(q,v)\in O$.
+Für jede Karte $U$ und $p\in M$ existiert ein offenes $O\in TM$ mit $(p,0)\in O$ eine Zahl $\delta = \delta(p)$ und eine $C^\infty$-Abbildung $f: (-\delta,\delta)\times O \to TU\subset TM$, so dass $t \mapsto f\left(t,(q,v)\right)$ die eindeutige Integralkurve von $G$ ist mit $f\left(0,(q,v)\right)=(q,v)$ für alle $(q,v)\in O$.
 \label{intkurv}
 \end{satz}
 
@@ -1350,16 +1350,16 @@ \section{Die Expontential-Abbildung}
 
 \begin{lemma}[Homogenität von Geodätischen]
 \label{homgeo}
-Sei $a\in \MdR$, $a>0$. Falls die Geodätische $\gamma(t,q,v)$ auf $(-\delta,\delta)$ definiert ist, so ist die Geodätische $\gamma(t,q,a\cdot v)$ auf $(-\frac \delta a, \frac \delta a)$ definiert und es gilt $\gamma(t,q,a\cdot v) = \gamma(a\cdot t, q ,v)$.
+Sei $a\in \MdR$, $a>0$. Falls die Geodätische $\gamma(t,q,v)$ auf $(-\delta,\delta)$ definiert ist, so ist die Geodätische $\gamma(t,q,a\cdot v)$ auf $\left(-\frac \delta a, \frac \delta a\right)$ definiert und es gilt $\gamma(t,q,a\cdot v) = \gamma(a\cdot t, q ,v)$.
 \end{lemma}
 
 \begin{beweis}
-Betrachte die Kurve $h: (-\frac \delta a, \frac \delta a) \to M$; $t\mapsto \gamma(at,q,v)$. Es gilt: $h(0)= \gamma(0,q,v) = q$ sowie $h'(0) = \frac d{dt}\gamma(at,q,v)|_{t_0} = a \gamma'(0,q,v) = av$. Weiter ist $h'(t) = a\gamma'(at,q,v)$, also $D_{h'}h' = D_{a\gamma'}a\gamma' = a^2 D_{\gamma'}\gamma' = a^2\cdot 0 = 0.$
+Betrachte die Kurve $h: \left(-\frac \delta a, \frac \delta a\right) \to M$; $t\mapsto \gamma(at,q,v)$. Es gilt: $h(0)= \gamma(0,q,v) = q$ sowie $h'(0) = \frac d{dt}\gamma(at,q,v)|_{t_0} = a \gamma'(0,q,v) = av$. Weiter ist $h'(t) = a\gamma'(at,q,v)$, also $D_{h'}h' = D_{a\gamma'}a\gamma' = a^2 D_{\gamma'}\gamma' = a^2\cdot 0 = 0.$
 
 Das heißt: $h$ is eine Geodätische mit $h(0) = q$, $h'(0)=av$. Aus der Eindeutigkeit von Geodätischen (Satz \ref{lokgeo}) folgt, dass $\gamma(at,q,v) = h(t) = \gamma(t,q,av)$.
 \end{beweis}
 
-Nach Satz \ref{lokgeo} ist (für $q\in V=V(p)$) $\gamma(t,q,v)$ definiert für $|t|<\delta=\delta(p)$ und $\|v\| < \ep_1=\ep_1(p)$. Mit Lemma \ref{homgeo} folgt jetzt, dass $\gamma(t,q,\frac \delta 2 v)$ für $|t|<2$ definiert ist. Dann ist die Geodätische $\gamma(t,q,w)$ definiert für $q\in V, |t|<2$ und $w\in T_qM$, $\|w\|<\ep$. Damit ist gezeigt: 
+Nach Satz \ref{lokgeo} ist (für $q\in V=V(p)$) $\gamma(t,q,v)$ definiert für $|t|<\delta=\delta(p)$ und $\|v\| < \ep_1=\ep_1(p)$. Mit Lemma \ref{homgeo} folgt jetzt, dass $\gamma\left(t,q,\frac \delta 2 v\right)$ für $|t|<2$ definiert ist. Dann ist die Geodätische $\gamma(t,q,w)$ definiert für $q\in V, |t|<2$ und $w\in T_qM$, $\|w\|<\ep$. Damit ist gezeigt: 
 \begin{satz}
 \label{eindgeo}
 Für jeden Punkt $p\in M$ existiert eine Umgebung $V$ von $p$, $\ep = \ep(p)>0$ und eine differenzierbare Abbildung:
@@ -1375,8 +1375,8 @@ \section{Die Expontential-Abbildung}
 \begin{align*}
 \exp :\quad &O \subset TM \to M\\
 \exp(q,v) &\da \gamma(1,q,v) \\
-&= \gamma(1,q,\|v\| \frac v {\|v\|}) \\
-&= \gamma(\|v\|,q,\frac v {\|v\|})
+&= \gamma\left(1,q,\|v\| \frac v {\|v\|}\right) \\
+&= \gamma\left(\|v\|,q,\frac v {\|v\|}\right)
 \end{align*}
 \end{definition}
 
@@ -1394,9 +1394,9 @@ \section{Die Expontential-Abbildung}
 \end{satz}
 
 \begin{beweis}
-Wir benutzen den Umkehrsatz für Mannigfaltigkeit (Satz \ref{invfunk}). Zu zeigen ist: $d\exp_p|_0: T_p(B_r(0)) \cong T_pM \to T_{\exp_p(0)}M = T_pM$ ist ein Vektorraum-Isomophismus.
+Wir benutzen den Umkehrsatz für Mannigfaltigkeit (Satz \ref{invfunk}). Zu zeigen ist: $\left.d\exp_p\right|_0: T_p(B_r(0)) \cong T_pM \to T_{\exp_p(0)}M = T_pM$ ist ein Vektorraum-Isomophismus.
 
-Wähle dazu die Kurve $c(t) = tv$ (mit $c(0)=0$, $c'(0)=v$). Dann ist: $d\exp_p|_0(v) = \frac d{dt}|_0 (\exp _p \circ c)(t) = \frac d{dt}|_0 \exp_p(tv) = \frac d{dt}|_0 \gamma(1,p,tv) = \frac d{dt}|_0 \gamma(t,p,v) = v$. Also ist $d\exp_p|_0 = \text{id}$, und damit ein Vektorraum-Isomophismus.
+Wähle dazu die Kurve $c(t) = tv$ (mit $c(0)=0$, $c'(0)=v$). Dann ist: $\left.d\exp_p\right|_0(v) = \left.\frac{d}{dt}\right|_0 (\exp _p \circ\, c)(t) = \left.\frac{d}{dt}\right|_0 \exp_p(tv) = \left.\frac{d}{dt}\right|_0 \gamma(1,p,tv) = \left.\frac{d}{dt}\right|_0 \gamma(t,p,v) = v$. Also ist $\left.d\exp_p\right|_0 = \text{id}$, und damit ein Vektorraum-Isomophismus.
 \end{beweis}
 
 \begin{definition}
@@ -1412,7 +1412,7 @@ \section{Die Expontential-Abbildung}
 \item In $M=S^n$ mit der von $\MdR^{n+1}$ induzierten Metrik sind die Geodätischen die Großkreise (mit Bogenlänge parametrisiert, siehe 4.5). Durch Skizzen für die Fälle $n=1,2$ motiviert: $\exp_0$ ist ein Diffeomorphismus auf $B_\pi(0)$.
 \item Der Name „Exponentialabbildung“ kommt aus der Lie-Theorie. $G = U(1) \cong S^1$ sind die unitäre $(1\times 1)$-Matrizen, dann steht der Tangentialraum am Punkt 1 senkrecht, also $T_1U(1) \cong \mathrm{i}\MdR$, und daher $\exp_1(t) = \mathrm{e}^{t}$.
 \item In der Lie-Gruppe $G=(\MdR_{>0},\cdot)$ ist $T_1\MdR \cong (\MdR,+)$. Hier ist $\exp_1(t) = \mathrm{e}^t$.
-\item $G=O(n)=\{A\in \MdR^{n\times n} \mid A A^\top = E \}$. Hier ist $T_EO(n)$ die Menge der schiefsymetrischen Matrizen. Für $B\in T_EO(n)$ setze $A \da \exp(sB) \da E + sB + \frac{s^2}{2}B^2 + \frac{s^3}{3!}B^3 + \cdots$. Es gilt: $A\in O(n)$.
+\item $G=O(n)=\left\{A\in \MdR^{n\times n} \mid A A^\top = E \right\}$. Hier ist $T_EO(n)$ die Menge der schiefsymetrischen Matrizen. Für $B\in T_EO(n)$ setze $A \da \exp(sB) \da E + sB + \frac{s^2}{2}B^2 + \frac{s^3}{3!}B^3 + \cdots$. Es gilt: $A\in O(n)$.
 \end{beispiele}
 
 \section{Minimaleigenschaft von Geodätischen}
@@ -1421,9 +1421,9 @@ \section{Minimaleigenschaft von Geodätischen}
 
 Ein Vektorfeld längs $f$ ist eine differenzierbare Abbildung $V: A \to TM$ mit $V(u,v) \in T_{f(u,v)}M$. Die Parameterlinien $f(u,v_0)$ bzw. $f(u_0,v)$ mit $v_0$ bzw. $u_0$ fest definieren die „Tangential-Vektorfelder“ 
 \[
-\frac {\partial f}{\partial u}(u,v) \da df|_{(u,v)} \Big(\left.\frac\partial{\partial u}\right|_{(u,v)}\Big)
+\frac {\partial f}{\partial u}(u,v) \da df|_{(u,v)} \left(\left.\frac\partial{\partial u}\right|_{(u,v)}\right)
 \quad\text{sowie}\quad
-\frac {\partial f}{\partial v}(u,v) \da df|_{(u,v)} \Big(\left.\frac\partial{\partial v}\right|_{(u,v)}\Big)
+\frac {\partial f}{\partial v}(u,v) \da df|_{(u,v)} \left(\left.\frac\partial{\partial v}\right|_{(u,v)}\right)
 \]
 
 Weiter definieren wir die kovariante Ableitung für ein Vektorfeld $V$ längs $f$ wie folgt:
@@ -1437,19 +1437,19 @@ \section{Minimaleigenschaft von Geodätischen}
 \begin{lemma}[Symmetrie]
 \label{flaechsymm} Sei $M$ ein differenzierbare Mannigfaltigkeit und $D$ ein symmetrischer Zusammenhang auf $M$. Für eine parametrisierte Fläche $f: A \to M$ gilt:
 \[
-\frac D {\partial v} (\frac {\partial f}{\partial u}) =
-\frac D {\partial u} (\frac {\partial f}{\partial v})
+\frac D {\partial v} \left(\frac {\partial f}{\partial u}\right) =
+\frac D {\partial u} \left(\frac {\partial f}{\partial v}\right)
 \]
 \end{lemma}
 
 \begin{beweis}
-In lokalen Koordinaten $(U,\varphi)$ in der Umgebung eines Punktes von $f(A)\subset M$ sei $\varphi\circ f(u,v) = \big(x^1(u,v), \ldots, x^n(u,v)\big)$. Es gilt:
+In lokalen Koordinaten $(U,\varphi)$ in der Umgebung eines Punktes von $f(A)\subset M$ sei $\varphi\circ f(u,v) = \left(x^1(u,v), \ldots, x^n(u,v)\right)$. Es gilt:
 \begin{align*}
-\frac D {\partial v} (\frac {\partial f}{\partial u}) &= \frac D{\partial v} (\sum_{i=1}^n \frac {\partial x^i}{\partial u} \frac{\partial}{\partial x^i}) \\
+\frac D {\partial v} \left(\frac {\partial f}{\partial u}\right) &= \frac D{\partial v} \left(\sum_{i=1}^n \frac {\partial x^i}{\partial u} \frac{\partial}{\partial x^i}\right) \\
 &= \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 x^i}{\partial v\partial u} \frac{\partial}{\partial x^i} + \sum_{i=1}^n \frac{\partial x^i}{\partial u} D_{\sum_j \frac{\partial x^j}{\partial v}\frac{\partial}{\partial x^j}} \frac \partial {\partial x^i} \\
 &= \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 x^i}{\partial v\partial u} \frac{\partial}{\partial x^i} + \sum_{i,j=1}^n \frac{\partial x^i}{\partial u}\frac{\partial x^j}{\partial v}  D_{\frac{\partial}{\partial x^j}} \frac \partial {\partial x^i} \\
 \intertext{Wegen der Symmetrie von D erhalten wir dann durch zurückrechnen}
-&= \frac D {\partial u} (\frac {\partial f}{\partial v})
+&= \frac D {\partial u} \left(\frac {\partial f}{\partial v}\right)
 \end{align*}
 \end{beweis}
 
@@ -1462,20 +1462,20 @@ \section{Minimaleigenschaft von Geodätischen}
 \begin{beweis}
 Zerlege $w = w_T + w_N$, wobei $w_T$ die Komponente in Richtung $v$ und $w_N$ die dazu orthogonale Komponente ist (also $w_T = \ksp v w \frac v {\|v\|}$, $w_N = w- w_T$). Das Differential 
 \[
-d\exp_p|_v : T_v(T_pM) \cong T_pM \to T_{\exp_pv}M = T_qM
+\left.d\exp_p\right|_v : T_v(T_pM) \cong T_pM \to T_{\exp_pv}M = T_qM
 \]
 ist linear. Also: 
 \[
-d\exp_p|_v (w_T + w_N) = d\exp_p|_v(w_T) + d\exp_p|_v(w_N)
+\left.d\exp_p\right|_v (w_T + w_N) = \left.d\exp_p\right|_v(w_T) + \left.d\exp_p\right|_v(w_N)
 \]
 
 Es gilt zunächst
 \[
-d\exp_p|_v w_T = \left.\frac d{dt}\right|_0 \exp_p(v + tw_T) = \left.\frac d{dt}\right|_0 \exp_q(tw_T) = w_T
+\left.d\exp_p\right|_v w_T = \left.\frac d{dt}\right|_0 \exp_p(v + tw_T) = \left.\frac d{dt}\right|_0 \exp_q(tw_T) = w_T
 \]
 sowie
 \[
-d\exp_p|_v v = \left.\frac d{dt}\right|_0 \exp_p(v + tv) = \left.\frac d{dt}\right|_0 \exp_q(tv) = v
+\left.d\exp_p\right|_v v = \left.\frac d{dt}\right|_0 \exp_p(v + tv) = \left.\frac d{dt}\right|_0 \exp_q(tv) = v
 \]
 das heißt, das Gauß-Lemma gilt für $w=w_T$.
 
@@ -1489,11 +1489,11 @@ \section{Minimaleigenschaft von Geodätischen}
 
 Wir haben für $t=1$
 \[
-\left.\frac{\partial f}{\partial s}\right|_{(1,0)} \gleichnach{Lemma \ref{lem3}} (d\exp_p)_v(v'(0)) = d\exp_p|_v (w)
+\left.\frac{\partial f}{\partial s}\right|_{(1,0)} \gleichnach{Lemma \ref{lem3}} (d\exp_p)_v(v'(0)) = \left.d\exp_p\right|_v (w)
 \]
 und für $s=0$
 \[
-\left.\frac{\partial f}{\partial t}\right|_{(1,0)} = v = d\exp_p|_v(v)
+\left.\frac{\partial f}{\partial t}\right|_{(1,0)} = v = \left.d\exp_p\right|_v(v)
 \]
 Also ist zu zeigen:
 \[
@@ -1508,9 +1508,9 @@ \section{Minimaleigenschaft von Geodätischen}
 \begin{align*}
 \frac\partial {\partial t} \lsp {\left.\frac{\partial f}{\partial s}\right|_{(t,s)} }{\left.\frac{\partial f}{\partial t}\right|_{(t,s)} }_q &\gleichnach{Verträglichkeit} 
 \lsp {\frac D{\partial t}\frac{\partial f}{\partial s}}{\frac{\partial f}{\partial t}}_q + 
-\lsp {\frac{\partial f}{\partial s}}{\underbrace{\frac D{\partial t}\frac{\partial f}{\partial t}}_{=0}}_q \\
-&\gleichnach{Lemma \ref{flaechsymm}} \lsp {\frac D{\partial s}\frac{\partial f}{\partial t}}{\frac{\partial f}{\partial t}} \\
-&= \frac 1 2 \frac{\partial}{\partial s} \underbrace{\lsp {\frac{\partial f}{\partial t}}{\frac{\partial f}{\partial t}}}_{\mathclap{\text{konstant (Geodätische!)}}} = 0
+\lsp {\frac{\partial f}{\partial s}}{\smash{\underbrace{\frac D{\partial t}\frac{\partial f}{\partial t}}_{=0}}}_q \\
+&\gleichnach{\hphantom{Verträgl}\clap{Lemma \ref{flaechsymm}}\hphantom{ichkeit}} \lsp {\frac D{\partial s}\frac{\partial f}{\partial t}}{\frac{\partial f}{\partial t}} \\
+&\gleichnach{\hphantom{Verträglichkeit}} \frac 1 2 \frac{\partial}{\partial s} \underbrace{\lsp {\frac{\partial f}{\partial t}}{\frac{\partial f}{\partial t}}}_{\mathclap{\text{konstant (Geodätische!)}}} = 0
 \end{align*}
 Es war $t$ beliebig, also wählen wir $t=0$.
 \[
@@ -1519,8 +1519,8 @@ \section{Minimaleigenschaft von Geodätischen}
 \]
 Aber für ein festes $t$ gilt:
 \begin{align*}
-\left.\frac{\partial f}{\partial s}\right|_{(t,0)} &= (d\exp_p)_{tv(s)} (tv'(s))\bigg|_{s=0} \\
-&=d\exp_p|_{tv}(tw)
+\left.\frac{\partial f}{\partial s}\right|_{(t,0)} &= \left.d\exp_p\right|_{tv(s)} (tv'(s))\bigg|_{s=0} \\
+&=\left.d\exp_p\right|_{tv}(tw)
 \end{align*}
 
 \end{beweis}
@@ -1542,12 +1542,12 @@ \subsubsection*{Frage: Geodätische und Kürzeste}
 \]
 Nach dem Gauß-Lemma (\ref{gausslemma}) ist $\ksp {\frac{\partial f}{\partial t}} {\frac{\partial f}{\partial r}} = 0$, also 
 \[
-\|\frac{dc}{dt}\|^2 = \underbrace{\|\frac{df}{dr}\|^2}_{=1} |r'|^2 + \underbrace{\|\frac{df}{dt}\|^2}_{\ge 0} \ge |r'|^2\,.
+\left\|\frac{dc}{dt}\right\|^2 = \underbrace{\left\|\frac{df}{dr}\right\|^2}_{=1} |r'|^2 + \underbrace{\left\|\frac{df}{dt}\right\|^2}_{\ge 0} \ge |r'|^2\,.
 \]
 
-Damit gilt $\int_\ep^1 \|\frac{dc}{dt}\| dt \ge \int_\ep^1|r'|dt \ge \int_\ep^1r'dt = r(1) - r(\ep)$. (Beachte dass $r$ bei 0 nicht differenzierbar ist, aber $r(\ep) \to 0$ für $\ep \to 0$.) Also $L(c) = \int_0^1\|\frac{dc}{dt}\| dt \ge r(1) = c(1) = $ Endpunkt von $c = L(\gamma)$.
+Damit gilt $\int_\ep^1 \left\|\frac{dc}{dt}\right\| dt \ge \int_\ep^1|r'|dt \ge \int_\ep^1r'dt = r(1) - r(\ep)$. (Beachte dass $r$ bei 0 nicht differenzierbar ist, aber $r(\ep) \to 0$ für $\ep \to 0$.) Also $L(c) = \int_0^1\left\|\frac{dc}{dt}\right\| dt \ge r(1) = c(1) = $ Endpunkt von $c = L(\gamma)$.
 
-Die Gleichheit $L(c) = L(\gamma)$ gilt dann, wenn Gleichheit in allen Abschätzungen oben gilt, also $\|\frac{\partial f}{\partial t}\| = 0$, also $\frac{\partial f}{\partial t} = 0 \gleichnach{Kettenregel} d\exp_p(rv') \gdw rv'= 0\folgt v'=0 \folgt v$ ist konstant, das heißt, dass die Richtung konstant ist. Weiter muss dann $\int_\ep^1 |r'|dt = \int_\ep^1 r' dt$ sein, also $|r'| = r' >0$, also ist $c$ eine monotone Parametrisierung von $\gamma$, insbesondere $c([0,1]) = \gamma([0,1])$.
+Die Gleichheit $L(c) = L(\gamma)$ gilt dann, wenn Gleichheit in allen Abschätzungen oben gilt, also $\left\|\frac{\partial f}{\partial t}\right\| = 0$, also $\frac{\partial f}{\partial t} = 0 \gleichnach{Kettenregel} d\exp_p(rv') \gdw rv'= 0\folgt v'=0 \folgt v$ ist konstant, das heißt, dass die Richtung konstant ist. Weiter muss dann $\int_\ep^1 |r'|dt = \int_\ep^1 r' dt$ sein, also $|r'| = r' >0$, also ist $c$ eine monotone Parametrisierung von $\gamma$, insbesondere $c([0,1]) = \gamma([0,1])$.
 
 2. Fall: $c([0,1]) \not\subset B$. Sei $\ep$ der Radius von $B$ und $t_1\in [0,1]$ der erste Parameterwert mit $c(t_1) \in S_\ep(p) = \partial B_\ep (p) = \partial B$. Dann ist
 \[
@@ -1613,7 +1613,7 @@ \section{Der Riemann’sche Krümmungstensor}
 Das oben definierte $R$ ist somit ein „Maß“ für die Abweichung der Riemann’schen Mannigfaltigkeit $(M,\asp)$ von der euklidischen Geometrie.
 
 \begin{bemerkung}
-Bezüglich lokalen Basisfeldern $\frac{\partial}{\partial x^i}$ ($i=(1,\ldots,n)$) gilt: $[\frac\partial{\partial x^i},\frac\partial{\partial x^j}] = 0$ für $C^\infty$-Funktionen. Dann ist $R(\frac\partial{\partial x^i},\frac\partial{\partial x^j})\frac\partial{\partial x^k} = D_{\frac\partial{\partial x^j}}D_{\frac\partial{\partial x^i}} \frac\partial{\partial x^k} - D_{\frac\partial{\partial x^i}}D_{\frac\partial{\partial x^j}} \frac\partial{\partial x^k} $. „$R$ ist ein Maß für die Vertauschbarkeit der 2. kovarianten Ableitungen.“
+Bezüglich lokalen Basisfeldern $\frac{\partial}{\partial x^i}$ ($i=(1,\ldots,n)$) gilt: $\left[\frac\partial{\partial x^i},\frac\partial{\partial x^j}\right] = 0$ für $C^\infty$-Funktionen. Dann ist $R\left(\frac\partial{\partial x^i},\frac\partial{\partial x^j}\right)\frac\partial{\partial x^k} = D_{\frac\partial{\partial x^j}}D_{\frac\partial{\partial x^i}} \frac\partial{\partial x^k} - D_{\frac\partial{\partial x^i}}D_{\frac\partial{\partial x^j}} \frac\partial{\partial x^k} $. „$R$ ist ein Maß für die Vertauschbarkeit der 2. kovarianten Ableitungen.“
 \end{bemerkung}
 
 \begin{definition}
@@ -1633,8 +1633,9 @@ \section{Der Riemann’sche Krümmungstensor}
 \begin{beweis}
 Exemplarisch für $R(X,Y)(fZ) = fR(X,Y)Z\ \forall f\in C^\infty M$.
 
-$D_YD_X(fZ) = D_Y(fD_XZ + (Xf)Z) = (Yf)D_XZ + fD_YD_X Z + (YXf) Z + (Xf)D_YZ$. Also:
-$D_YD_X(fZ) - D_XD_Y(fZ) = f(D_YD_XZ - D_XD_YZ) + (YXf - XYf)Z$; $D_{[X,Y]}fZ = fD_{[X,Y]}Z + ([X,Y]f)Z\folgt R(X,Y)fZ = fR(X,Y)Z.$
+$D_YD_X(fZ) = D_Y(fD_XZ + (Xf)Z) = (Yf)D_XZ + fD_YD_X Z + (YXf) Z + (Xf)D_YZ$.
+\\Also: $D_YD_X(fZ) - D_XD_Y(fZ) = f(D_YD_XZ - D_XD_YZ) + (YXf - XYf)Z$;
+\\$D_{[X,Y]}fZ = fD_{[X,Y]}Z + ([X,Y]f)Z\folgt R(X,Y)fZ = fR(X,Y)Z.$
 \end{beweis}
 
 \begin{satz}[Symmetrie-Eigenschaften]
@@ -1650,12 +1651,14 @@ \section{Der Riemann’sche Krümmungstensor}
 
 \begin{beweis}
 \begin{enumerate}
-\item ist äquivalent zur Jacobi-Identität für Lie-Klammern (unter Verwendung der Torsionsfreiheit).
+\item ist äquivalent zur Jacobi-Identität für Lie-Klammern (mit Torsionsfreiheit).
 \item folgt direkt aus der Definition.
 \item ist äquivalent zu $\ksp {R(X,Y) W} W = 0$ (setzte $W=Z+T$ und verwende Satz \ref{tensorfeld}).
 
-Es ist $\ksp {R(X,Y)W} W = \ksp {D_YD_XW - D_XD_YW + D_{[X,Y]}W} W$, $\ksp {D_YD_X W} W \gleichnach{Levi-Civita, vertraeglich} Y \ksp{D_XW} W  - \ksp {D_X W} {D_Y W}$,
-analog $\ksp{D_XD_Y W} W$; $\ksp {D_{[X,Y]}W}W = \frac 12 [X,Y]\ksp W W$. Somit: $\ksp{R(X,Y)W}W = Y \ksp{D_XW}W - \ksp {D_XW}{D_YW} - X\ksp{D_YW}W + \ksp{D_YW}{D_XW} + \frac 12 [X,Y] \ksp W W = 0$.
+Es ist $\ksp {R(X,Y)W} W = \ksp {D_YD_XW - D_XD_YW + D_{[X,Y]}W} W$, 
+\\$\ksp {D_YD_X W} W \gleichnach{Levi-Civita, verträglich} Y \ksp{D_XW} W  - \ksp {D_X W} {D_Y W}$,
+analog $\ksp{D_XD_Y W} W$; 
+\\$\ksp {D_{[X,Y]}W}W = \frac 12 [X,Y]\ksp W W$. Somit: $\ksp{R(X,Y)W}W = Y \ksp{D_XW}W - \ksp {D_XW}{D_YW} - X\ksp{D_YW}W + \ksp{D_YW}{D_XW} + \frac 12 [X,Y] \ksp W W = 0$.
 \item Analog.
 \end{enumerate}
 \end{beweis}
@@ -1679,8 +1682,8 @@ \subsection*{Krümmungstensor in lokalen Koordinaten $(u,\varphi)$}
 \subsection*{Formel für $R_{ijk}^l$}
 \begin{align*}
 R(X_i,X_j)X_k &= D_{X_j}(D_{X_i}X_k) - D_{X_i}(D_{X_j}X_k) + D_{\underbrace{[X_i,X_j]}_{=0}}X_k \\
-&=  D_{X_j}(\sum_{m=1}^n \Gamma_{ik}^m X_m) - D_{X_i}(\sum_{m=1}^n \Gamma_{jk}^n X_m) \\
-&= \sum_{m=1}^n [ X_j (\Gamma_{ik}^m) X_m + \Gamma_{ik}^m \underbrace{D_{X_j}X_m}_{\sum_{l=1}^m \Gamma_{jm}^l X_l} ] - \sum_{m=1}^n [X_i (\Gamma_{ik}^m) X_m + \Gamma_{jk}^m \underbrace{D_{X_i}X_m}_{\sum_{l=1}^n \Gamma_{im}^l X_l } ] \\
+&=  D_{X_j}\left(\sum_{m=1}^n \Gamma_{ik}^m X_m\right) - D_{X_i}\left(\sum_{m=1}^n \Gamma_{jk}^n X_m\right) \\
+&= \sum_{m=1}^n [ X_j \left(\Gamma_{ik}^m\right) X_m + \Gamma_{ik}^m \underbrace{D_{X_j}X_m}_{\sum_{l=1}^m \Gamma_{jm}^l X_l} ] - \sum_{m=1}^n [X_i (\Gamma_{ik}^m) X_m + \Gamma_{jk}^m \underbrace{D_{X_i}X_m}_{\sum_{l=1}^n \Gamma_{im}^l X_l } ] \\
 \folgt R_{ijk}^l &= \frac{\partial}{\partial x^j} \Gamma_{ik}^l + \sum_{m=1}^n \Gamma_{ik}^m \Gamma_{jm}^l - \frac{\partial}{\partial x^i} \Gamma_{jk}^l - \sum_{m=1}^n \Gamma_{jk}^m \Gamma_{im}^l
 \end{align*}
 (so hatte es Riemann definiert)
@@ -1807,9 +1810,9 @@ \subsection*{Ergänzende Sätze (ohne Beweis, vergleiche: do Carmo, Kapitel 8)}
 \begin{satz*}
 $(M, \asp)$ hat konstante Schnittkrümmung, also
 \[ K(p,\sigma) = K_0\ \forall \sigma \subset T_pM\
-\forall p \in M \gdw \ksp {R(x,y)w} z = K_0 (\ksp x w \ksp y z - \ksp y w \ksp x z)
+\forall p \in M \gdw \ksp {R(x,y)w} z = K_0 \left(\ksp x w \ksp y z - \ksp y w \ksp x z\right)
 \]
-insbesondere ist $\ksp {R(x,y)x} y = K_0(\|x\|^2\|y\|^2 - \ksp x y ^2)$.
+insbesondere ist $\ksp {R(x,y)x} y = K_0\left(\|x\|^2\|y\|^2 - \ksp x y ^2\right)$.
 \end{satz*}
 
 \begin{satz*}[Hopf]
@@ -1836,7 +1839,7 @@ \section{Ricci-Krümmung}
 
 Die Skalar-Krümmung ist eine differenzierbare Funktion auf $S:M\to \MdR$, $p\mapsto \sum_{j=1}^n r(e_j)$, wobei $\{e_j\}$ eine Orthonormalbasis von $T_pM$ ist.
 \[
-S(p) = \sum_{j=1}^n r(e_j) = \sum_{j=1}^n \mathrm{Ric}(e_j, e_j) = \sum_{i,j=1}^n \ksp {R(e_j, e_i)e_j}{e_i} =\sum_{\mathclap{i,j=1,\,i\ne j}}^n K(p, [e_i, e_j])
+S(p) = \sum_{j=1}^n r(e_j) = \sum_{j=1}^n \mathrm{Ric}(e_j, e_j) = \sum_{i,j=1}^n \ksp {R(e_j, e_i)e_j}{e_i} =\sum_{\substack{i,j=1\\i\ne j}}^n K(p, [e_i, e_j])
 \]
 
 Eine Riemann’sche Mannigfaltigkeit $(M,g)$ heißt Einstein-Raum falls $\mathrm{Ric}(x,y) = \lambda g(x,y) \forall x,y\in \V M$, wobei $\lambda:M \to \MdR$ eine differenzierbare Funktion ist.
@@ -1866,11 +1869,11 @@ \section{Jacobi-Gleichung}
 
 Es gilt (vergleiche Beweis Gauß-Lemma):
 \[
-d\exp_p|_v w  = \frac{\partial f}{\partial s}(1,0) \in T_{\exp_p(v)}M\,.
-\] $\|d\exp_p|_v w\|$ ist ein Maß dafür, wie schnell die Geodätischen $t\mapsto f(t,s)$ auseinanderlaufen.
+\left.d\exp_p\right|_v w  = \frac{\partial f}{\partial s}(1,0) \in T_{\exp_p(v)}M\,.
+\] $\left\|\left.d\exp_p\right|_v w\right\|$ ist ein Maß dafür, wie schnell die Geodätischen $t\mapsto f(t,s)$ auseinanderlaufen.
 
 
-Betrachte dazu das Vektorfeld $d\exp_p|_{tv} tw = \frac{\partial f}{\partial s}(t,v)$ längs $\gamma(t) \da \exp_p(tv)$, $0\le t\le 1$. Wir halten fest: Da $\gamma$ eine Geodätische ist, gilt für alle $t,s$: $\frac D{\partial t}\frac{\partial f}{\partial t}(t,s)=0$.
+Betrachte dazu das Vektorfeld $\left.d\exp_p\right|_{tv} tw = \frac{\partial f}{\partial s}(t,v)$ längs $\gamma(t) \da \exp_p(tv)$, $0\le t\le 1$. Wir halten fest: Da $\gamma$ eine Geodätische ist, gilt für alle $t,s$: $\frac D{\partial t}\frac{\partial f}{\partial t}(t,s)=0$.
 
 \begin{lemma}
 $\ $\[
@@ -1887,13 +1890,13 @@ \section{Jacobi-Gleichung}
 \end{lemma}
 \begin{beweis}
 Betrachte Karte $(U,\varphi)$. Dann sind die Basisfelder also $V=\sum_{i=1}^n v^iX_i$, $v^i= v^i(u,v)$, 
-\\$\frac{D}{\partial u}V = \frac{D}{\partial u}(\sum_{i=1}^n v^iX_i) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial v^i}{\partial u} x_i + \sum_{i=1}^n v^i \frac{D}{\partial u}X_i$. 
-\\$\frac D {\partial v}(\frac D{\partial u} V) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial ^2 v^i}{\partial v \partial u} X_i + \sum_{i=1}^n \frac{\partial v^i}{\partial u} \frac D{\partial v} X_i + \sum_{i=1}^n \frac{\partial v^i}{\partial v} \frac{\partial D}{\partial u} X_i + \sum_{i=1}^n v_i \frac{D}{\partial v} \frac{D}{\partial u}X_i$
-\\$\folgt \frac{D}{\partial v}\frac D{\partial u} V - \frac D {\partial u}\frac D{\partial v} V = \sum_{i=1}^n v_i (\frac{D}{\partial v}\frac{D}{\partial u} X_i - \frac D{\partial u}\frac D{\partial v} X_i)$
+\\$\frac{D}{\partial u}V = \frac{D}{\partial u}\left(\sum_{i=1}^n v^iX_i\right) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial v^i}{\partial u} x_i + \sum_{i=1}^n v^i \frac{D}{\partial u}X_i$. 
+\\$\frac D {\partial v}\left(\frac D{\partial u} V\right) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial ^2 v^i}{\partial v \partial u} X_i + \sum_{i=1}^n \frac{\partial v^i}{\partial u} \frac D{\partial v} X_i + \sum_{i=1}^n \frac{\partial v^i}{\partial v} \frac{\partial D}{\partial u} X_i + \sum_{i=1}^n v_i \frac{D}{\partial v} \frac{D}{\partial u}X_i$
+\\$\folgt \frac{D}{\partial v}\frac D{\partial u} V - \frac D {\partial u}\frac D{\partial v} V = \sum_{i=1}^n v_i \left(\frac{D}{\partial v}\frac{D}{\partial u} X_i - \frac D{\partial u}\frac D{\partial v} X_i\right)$
 
 Berechne $\frac D{\partial v}\frac D{\partial u} X_i$: Für $f(u,v) = (x^1(u,v),\ldots, x^n(u,v))$ ist 
 \\$\frac {\partial f}{\partial u} = \sum_{j=1}^n \frac{\partial x^j}{\partial u} X_j$; $\frac {\partial f}{\partial v} = \sum_{k=1}^n \frac{\partial x^k}{\partial u} X_k$ und $\frac D {\partial u} X_i = D_{\frac {\partial f}{\partial u}} X_i = \sum_{j=1}^n \frac{\partial x^j}{\partial u} D_{X_j} X_j$. 
-\\$\frac D{\partial v}\frac D {\partial u} X_i = \sum_{j=1}^n \frac{\partial ^2 x^j}{\partial v\partial u} D_{X_j}  X_i + \sum_{j=1}^n \frac{\partial x^j}{\partial u} D_{\frac{\partial f}{\partial u}} (D_{X_j}X_i) = \sum_{j} \frac{\partial ^2 x^j}{\partial u\partial v} D_{X_j}X_i + \sum_j \frac{\partial x^i}{\partial u} (\sum_k \frac{\partial x^k}{\partial u} D_{X_k}D_{X_j}X_i)$.
+\\$\frac D{\partial v}\frac D {\partial u} X_i = \sum_{j=1}^n \frac{\partial ^2 x^j}{\partial v\partial u} D_{X_j}  X_i + \sum_{j=1}^n \frac{\partial x^j}{\partial u} D_{\frac{\partial f}{\partial u}} \left(D_{X_j}X_i\right) = \sum_{j} \frac{\partial ^2 x^j}{\partial u\partial v} D_{X_j}X_i + \sum_j \frac{\partial x^i}{\partial u} \left(\sum_k \frac{\partial x^k}{\partial u} D_{X_k}D_{X_j}X_i\right)$.
 \\$\folgt \left(\frac{D}{\partial v}\frac D{\partial u} - \frac D {\partial u}\frac D{\partial v}\right)X_i = \sum_{j,k=1}^n \frac{\partial x^j}{\partial u} \frac{\partial x^k}{\partial v} \underbrace{\left(D_{X_k}D_{X_j}X_i-D_{X_j}D_{X_k}X_i\right)}_{\gleichwegen{[X_j,X_k]=0} R(X_j,X_k)X_i}$
 \\$\folgt \frac{D}{\partial v}\frac D{\partial u} V - \frac D {\partial u}\frac D{\partial v}V = \sum_{i,j,k} v_i \frac{\partial x^j}{\partial u} \frac{\partial x^k}{\partial v} R(X_j,X_k)X_i \gleichwegen{R \text{ multilinear}} R\left(\frac{\partial f}{\partial u}, \frac{\partial f}{\partial v}\right)$
 \end{beweis}
@@ -1901,9 +1904,9 @@ \section{Jacobi-Gleichung}
 
 Weiter gilt:
 \begin{align*}
-0 = \frac D {\partial s} (\frac D {\partial t} \frac {\partial f}{\partial t}) &\gleichnach{Lemma 1} \frac D{\partial t} (\frac D {\partial s} \frac{\partial f}{\partial t}) - R(\frac {\partial f}{\partial s},\frac{\partial f}{\partial t}) \frac{\partial f}{\partial t} \\
-&\gleichnach{Lemma 3 Kap 4 + schiefsym.}
-\frac D{\partial t} (\frac D {\partial t} \frac{\partial f}{\partial s}) - R(\frac {\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}) \frac{\partial f}{\partial t}
+0 = \frac D {\partial s} \left(\frac D {\partial t} \frac {\partial f}{\partial t}\right) &\gleichnach{\hphantom{Lemma }\clap{Lemma 1}\hphantom{3 Kap 4}} \frac D{\partial t} \left(\frac D {\partial s} \frac{\partial f}{\partial t}\right) - R\left(\frac {\partial f}{\partial s},\frac{\partial f}{\partial t}\right) \frac{\partial f}{\partial t} \\
+&\gleichnach{\shortstack{Lemma 3 Kap 4\\ + schiefsym.}}
+\frac D{\partial t} \left(\frac D {\partial t} \frac{\partial f}{\partial s}\right) - R\left(\frac {\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}\right) \frac{\partial f}{\partial t}
 \end{align*}
 
 Wir setzen $\gamma(t) = \exp_p(tv) = f(t,0)$ und $J(t)\equiv J(\gamma(t)) \da \frac{\partial f}{\partial s} (t,0)$ ein Vektorfeld längs $\gamma$. Dann gilt die Jacobi-Gleichung:
@@ -1960,7 +1963,7 @@ \subsection*{Jacobi-Felder für Riemann’sche Mannigfaltigkeiten konstanter Kr
 
 Für ein beliebigs Vektorfeld $X$ längs $\gamma$ gilt die Formel (vgl. 5.2, Ergänzende Sätze):
 \[
-\ksp{R(\gamma',J) \gamma'}{X} = k_0 (\underbrace{\ksp{\gamma'}{\gamma'}}_{=1} \ksp J X - \ksp{\gamma'}X \underbrace{\ksp{J}{\gamma'}}_{=0}) = k_0 \ksp J X
+\ksp{R(\gamma',J) \gamma'}{X} = k_0 \left(\smash{\underbrace{\ksp{\gamma'}{\gamma'}}_{=1}} \ksp J X - \ksp{\gamma'}X \smash{\underbrace{\ksp{J}{\gamma'}}_{=0}}\right) = k_0 \ksp J X
 \] also 
 \[
 R(\gamma', J) \gamma' = k_0 J
@@ -2007,9 +2010,9 @@ \subsection*{Jacobi-Felder für Riemann’sche Mannigfaltigkeiten konstanter Kr
 
 
 \begin{satz}
-Sei $\gamma:[0,a]\to M$ eine normale Geodätische (also $\|\gamma'\| = 1$) und $J$ ein Jacobi-Feld längs $\gamma$ mit $J(0)=0$ und $J'(0)=\frac D{\partial t} J(0) = (D_{\gamma'}J)(0) \ad w$. Schließlich sei $v\da \gamma'(0)$.
+Sei $\gamma:[0,a]\to M$ eine normale Geodätische (also $\left\|\gamma'\right\| = 1$) und $J$ ein Jacobi-Feld längs $\gamma$ mit $J(0)=0$ und $J'(0)=\frac D{\partial t} J(0) = \left(D_{\gamma'}J\right)(0) \ad w$. Schließlich sei $v\da \gamma'(0)$.
 
-Wir betrachten $w$ als Element von $T_{av}(T_{\gamma(0)} M)$ und wählen Kurve $v(s)$ in $T_{\gamma(0)}M$ mit $v(0) = av$, $v'(0)=aw$. Für die parametrisierte Fläche $f(t,s) \da \exp_{\gamma(0)}(\frac t a v(s))$, $|s|<\ep$, $0\le \frac t a \le 1$ ist $\bar J(t) \da \frac{\partial f}{\partial s}(t,0)$ ein Jacobi-Feld längs $\gamma$ mit $J(t) = \bar J(t)$ für alle $t\in[0,a]$.
+Wir betrachten $w$ als Element von $T_{av}\left(T_{\gamma(0)} M\right)$ und wählen Kurve $v(s)$ in $T_{\gamma(0)}M$ mit $v(0) = av$, $v'(0)=aw$. Für die parametrisierte Fläche $f(t,s) \da \exp_{\gamma(0)}\left(\frac t a v(s)\right)$, $|s|<\ep$, $0\le \frac t a \le 1$ ist $\bar J(t) \da \frac{\partial f}{\partial s}(t,0)$ ein Jacobi-Feld längs $\gamma$ mit $J(t) = \bar J(t)$ für alle $t\in[0,a]$.
 \end{satz}
 
 \begin{beweis}
@@ -2019,15 +2022,15 @@ \subsection*{Jacobi-Felder für Riemann’sche Mannigfaltigkeiten konstanter Kr
 
 Weiter gilt
 \begin{multline*}
-\bar J'(t) = \frac D {\partial t} \frac {\partial f}{\partial s} (t,0) = \frac D {\partial t}(d\exp_p|_{\frac t a v(0)} \cdot \frac t a v'(0))  = \frac D{\partial t} (d\exp_p|_{tv} tw) \\ = \frac D{\partial t}( t d\exp_p|_{tv} w) = 1\cdot d\exp_p|_{tv} w + t \frac D{\partial t}(d\exp_p|_{tv} w)\,.
+\bar J'(t) = \frac D {\partial t} \frac {\partial f}{\partial s} (t,0) = \frac D {\partial t}\left(\left.d\exp_p\right|_{\frac t a v(0)} \cdot \frac t a v'(0)\right)  = \frac D{\partial t} \left(\left.d\exp_p\right|_{tv} tw\right) \\ = \frac D{\partial t}\left(t \cdot \left.d\exp_p\right|_{tv} w\right) = 1\cdot \left.d\exp_p\right|_{tv} w + t \frac D{\partial t}\left(\left.d\exp_p\right|_{tv} w\right)\,.
 \end{multline*}
-Daher ist $\bar J'(0) = d\exp_p|_0 w = w = J'(0)$.
+Daher ist $\bar J'(0) = \left.d\exp_p\right|_0 w = w = J'(0)$.
 \end{beweis}
 
 \begin{bemerkungen}
 \item Es gilt folgende Formel für ein Jacobi-Feld längs einer normalen Geodätischen $\gamma:[0,a] \to M$ mit $J(0) = 0$:
 \[
-J(t) = d\exp_p|_{t\gamma'(0)} (tJ'(0)),\quad t\in[0,a]
+J(t) = \left.d\exp_p\right|_{t\gamma'(0)} \left(tJ'(0)\right),\quad t\in[0,a]
 \]
 
 \item Eine analoge Konstruktion (Jacobi-Felder erzeugen durch Variation einer Geodätischen) gilt auch für Jacobi-Felder mit Anfangsbedingung $J(0)\ne 0$.
@@ -2036,7 +2039,7 @@ \subsection*{Jacobi-Felder für Riemann’sche Mannigfaltigkeiten konstanter Kr
 \section{Jacobi-Felder und Schnittkrümmung}
 
 \begin{satz}
-Sei $p\in M$, $\gamma:[0,a]\to M$ eine normale Geodätische mit $\gamma(0)=p$, $\gamma'(0)=v$ und $w \in T_v(T_pM) \cong T_pM$ mit $\|w\| = 1$.  Weiter sei $J(t) = d\exp_p|_{tv}(tw)$, $0\le t \le a$ ein Jacobi-Feld längs $\gamma$.
+Sei $p\in M$, $\gamma:[0,a]\to M$ eine normale Geodätische mit $\gamma(0)=p$, $\gamma'(0)=v$ und $w \in T_v(T_pM) \cong T_pM$ mit $\|w\| = 1$.  Weiter sei $J(t) = \left.d\exp_p\right|_{tv}(tw)$, $0\le t \le a$ ein Jacobi-Feld längs $\gamma$.
 
 Dann gilt für die Taylorentwicklung von $\|J(t)\|^2_{\gamma(t)} = \ksp {J(t)}{J(t)}_{\gamma(t)}$ bei $t=0$:
 \[
@@ -2088,11 +2091,11 @@ \section{Jacobi-Felder und Schnittkrümmung}
 
 \paragraph{Anwendung} Länge von geodätischen Kreisen. $p\in M$, $v,w\in T_pM$, $v\bot w$, $\|v\|=\|w\|=1$, $f(r,\theta) \da \exp_p(r (\cos \theta \cdot v + \sin \theta \cdot w))$. Für ein festes $r$ heißt $K_r(\theta) = f(r,\theta)$ für $0\le\theta\le2\pi$ ein geodätischer Kreis\index{geodätischer Kreis} von Radius $r$.
 
-Die Länge von $K_r$ ist $L(K_r)\da \int_{0}^{2\pi} \|\frac d{d\theta} K_r(\theta) \| d\theta = \int_0^{2\pi} \|\frac{\partial f}{\partial \theta}\|d\theta $, wobei $\frac{\partial f}{\partial \theta}$ ein Jacobi-Feld längs $\gamma_\theta(r) = \exp_p(rv(\theta))$ ist. Daher \[ L(K_r) = \int_0^{2\pi} [r - \frac 1 6 K(p,\sigma) r^3 + o(r^3)] d\theta = 2\pi r(1 - \frac 1 6 K(p,\sigma)r^2 + o(r^2))\,.\] Das ist die klassiche Formel von Betrand-Puiseux (1848) für Flächen in $\MdR^3$.
+Die Länge von $K_r$ ist $L(K_r)\da \int_{0}^{2\pi} \left\|\frac d{d\theta} K_r(\theta) \right\| d\theta = \int_0^{2\pi} \left\|\frac{\partial f}{\partial \theta}\right\|d\theta $, wobei $\frac{\partial f}{\partial \theta}$ ein Jacobi-Feld längs $\gamma_\theta(r) = \exp_p(rv(\theta))$ ist. Daher \[ L(K_r) = \int_0^{2\pi} \left[r - \frac 1 6 K(p,\sigma) r^3 + o(r^3)\right] d\theta = 2\pi r\left(1 - \frac 1 6 K(p,\sigma)r^2 + o(r^2)\right).\] Das ist die klassiche Formel von Betrand-Puiseux (1848) für Flächen in $\MdR^3$.
 
-Umgekehrt hat man $K(p,\sigma) = \frac3{\pi r^3} (2\pi r - L(K_r) + o(r^3))$ oder \[ K(p,\sigma) = \lim_{r\to0} \frac 3{\pi r^3}(2\pi r - L(K_r))\,.\]
+Umgekehrt hat man $K(p,\sigma) = \frac3{\pi r^3} \left(2\pi r - L(K_r) + o(r^3)\right)$ oder \[ K(p,\sigma) = \lim_{r\to0} \frac 3{\pi r^3}(2\pi r - L(K_r)).\]
 
-Im euklidischen ist $L(K_r) = 2\pi r$, also $K(p,\sigma) = 0$. Im sphärischen ist $L(K_r) = 2\pi \sin r = 2\pi(r - \frac{r^3}{3!} + \cdots )$, also $K(p,\sigma) = +1$. Im hyperbolischen ist $L(K_r) = 2\pi \sinh r = 2\pi (r + \frac{r^3}{3!} +\cdots)$, also $K(p,\sigma) = -1$.
+Im euklidischen ist $L(K_r) = 2\pi r$, also $K(p,\sigma) = 0$. Im Sphärischen ist $L(K_r) = 2\pi \sin r = 2\pi\left(r - \frac{r^3}{3!} + \cdots \right)$, also $K(p,\sigma) = +1$. Im Hyperbolischen ist $L(K_r) = 2\pi \sinh r = 2\pi \left(r + \frac{r^3}{3!} +\cdots \right)$, also $K(p,\sigma) = -1$.
 
 
 
@@ -2110,7 +2113,7 @@ \chapter{Riemann’sche Mannigfaltigkeiten als metrische Räume}
 \end{lemma}
 
 \begin{bemerkung}
-In allgemeinen topologischen Räumen gilt: Aus wegzusammenhängend folgt zusammenhängend, aber aus zusammenhängend folgt nicht zwingend wegzusammenhängend. Ein Beispiel dafür ist $X\da [(0,-1),(0,1)] \cup \{(x,\sin \frac1x)\in\MdR^2\mid x>0\}$ mit der von $\MdR^2$ induzierten Topologie. (Für einen Beweis siehe: Singer-Therpe, Elementary Topology \& Geometry, Seite 53)
+In allgemeinen topologischen Räumen gilt: Aus wegzusammenhängend folgt zusammenhängend, aber aus zusammenhängend folgt nicht zwingend wegzusammenhängend. Ein Beispiel dafür ist $X\da [(0,-1),(0,1)] \cup \left\{\left(x,\sin \frac1x\right)\in\MdR^2\mid x>0\right\}$ mit der von $\MdR^2$ induzierten Topologie. (Für einen Beweis siehe: Singer-Therpe, Elementary Topology \& Geometry, Seite 53)
 \end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
@@ -2131,7 +2134,7 @@ \chapter{Riemann’sche Mannigfaltigkeiten als metrische Räume}
 \end{beweis}
 
 \begin{bemerkung}
-Im Allgemeinen existiert zwischen zwei Punkten $p$ und $q$ einer Riemann’schen Mannigfaltigkeit keine Geodätische! Etwa in $(\MdR^2\setminus\{0\},\kan)$, wo Geodätische Geradenstücken entsprechen, gibt es keine Geodätische zwischen $(0,-1)$ und $(0,1)$.
+Im Allgemeinen existiert zwischen zwei Punkten $p$ und $q$ einer Riemann’schen Mannigfaltigkeit keine Geodätische! Etwa in $\left(\MdR^2\setminus\{0\},\kan\right)$, wo Geodätische Geradenstücken entsprechen, gibt es keine Geodätische zwischen $(0,-1)$ und $(0,1)$.
 \end{bemerkung}
 
 Setze $\Omega_{qp}\da \{$stückweise differenzierbare Kurven zwischen $p$ und $q\}$.
@@ -2267,7 +2270,7 @@ \chapter{Riemann’sche Mannigfaltigkeiten als metrische Räume}
 \end{korrolar}
 
 \begin{beweis}
-Wähle Folge $(q_n)_{n\in\MdN}$ in $M$, so dass $d(q_0,q_n)\to \infty$ für $n\to\infty$. Schreibe $q_n = \exp(t_n v_n)$, $\|v_n\|=1$. Die Folge $(v_n)_{n\in\MdN} \subset \{ w \in T_{q_0}M\mid \|w\|=1\}$ kompakt, also hat $(v_n)_{n\in\MdN}$ eine konvergente Teilfolge, ohne Einschränkung sei diese $(v_n)_{n\in \MdN}$: $v_n \to v$.
+Wähle Folge $(q_n)_{n\in\MdN}$ in $M$, so dass $d(q_0,q_n)\to \infty$ für $n\to\infty$. Schreibe $q_n = \exp(t_n v_n)$, $\|v_n\|=1$. Die Folge $(v_n)_{n\in\MdN} \subset \left\{ w \in T_{q_0}M\mid \|w\|=1\right\}$ kompakt, also hat $(v_n)_{n\in\MdN}$ eine konvergente Teilfolge, ohne Einschränkung sei diese $(v_n)_{n\in \MdN}$: $v_n \to v$.
 
 Nun haben wir die Geodätischen $\gamma_n(t) \da \exp_{q_0}(tv_n)$ und  $\gamma(t) \da \exp_{q_0}(tv)$. Zu zeigen ist $d(\gamma(t_1), \gamma(t_2)) = |t_1 - t_2|$: Aber $\lim_{n\to\infty} \gamma_n(t) = \lim_{n\to\infty} \exp_{q_0}(tv_n) = \exp_{q_0}(\lim_{n\to\infty}tv_n) = \exp_{q_0}(tv) = \gamma(t) \folgt$ Behauptung.
 \end{beweis}
@@ -2288,16 +2291,16 @@ \section{Schnittort einer vollständigen Riemann’schen Mannigfaltigkeit}
 \begin{beweis}
 \begin{enumerate}
 \item 
-Nach Hopf-Rinow existiert eine minimierende Geodätische $\gamma^*$ zwischen $\gamma(a)$ und $\gamma(b)$. Es ist dann $L(\gamma^*)\le L(\gamma)$, also nach Voraussetzung $L(\gamma*)=L(\gamma)$, also muss $\gamma$ minimierend sein.
+Nach Hopf-Rinow existiert eine minimierende Geodätische $\gamma^*$ zwischen $\gamma(a)$ und $\gamma(b)$. Es ist dann $L(\gamma^*)\le L(\gamma)$, also nach Voraussetzung $L(\gamma^*)=L(\gamma)$, also muss $\gamma$ minimierend sein.
 \item Sei $c$ eine Geodätische zwischen $\gamma(a)$ und $\gamma(b)$, $c\ne \gamma$, mit $L(c) = L(\gamma)$. Wähle $\delta>0$, so dass $W=W(\delta)$ eine total normale Umgebung von $\gamma(b)$ (siehe Satz \ref{totnormumg}). Betrachte die Kurve
 \[
 \alpha(t) \da 
 \begin{cases}
 c(t), & t\in [a,b] \\
-\gamma(t), & t\in [b,b+\frac\delta2]
+\gamma(t), & t\in \left[b,b+\frac\delta2\right]
 \end{cases}
 \]
-$\alpha$ verbindet $\gamma(0)$ und $\gamma(b+\frac\delta4)$. Da $W$ total normal ist existiert eine minimale Geodätische zwischen $\alpha(b-\frac\delta4)$ und $\alpha(b+\frac\delta4)$. $\alpha$ ist keine Geodätische (wegen dem „Knick“ bei $\gamma(b)$), also ist die Länge des minimalen geodätischen Segments zwischen $\alpha(b-\frac\delta4)$ und $\alpha(b+\frac\delta4)$ echt kleiner als das entsprechende Stück von $\alpha$. Daher existiert eine Kurve von $\gamma(a)$ nach $\gamma(\frac\delta4)$ die kürzer ist als $\alpha|_{[a,b+\frac\delta4]}$. Konstruktion ist $L(\gamma_{[a,b+\frac\delta4]}) = L(\alpha|_{[a,b+\frac\delta4]})$ und somit nicht mehr kürzeste nach $\gamma(b)$.
+$\alpha$ verbindet $\gamma(0)$ und $\gamma\left(b+\frac\delta4\right)$. Da $W$ total normal ist existiert eine minimale Geodätische zwischen $\alpha\left(b-\frac\delta4\right)$ und $\alpha\left(b+\frac\delta4\right)$. $\alpha$ ist keine Geodätische (wegen dem „Knick“ bei $\gamma(b)$), also ist die Länge des minimalen geodätischen Segments zwischen $\alpha\left(b-\frac\delta4\right)$ und $\alpha\left(b+\frac\delta4\right)$ echt kleiner als das entsprechende Stück von $\alpha$. Daher existiert eine Kurve von $\gamma(a)$ nach $\gamma\left(\frac\delta4\right)$ die kürzer ist als $\alpha|_{\left[a,\,b+\frac\delta4\right]}$. Konstruktion ist $L(\gamma_{\left[a,\,b+\frac\delta4\right]}) = L(\alpha|_{\left[a,\,b+\frac\delta4\right]})$ und somit nicht mehr kürzeste nach $\gamma(b)$.
 \item Annahme: $\gamma$ nicht minimierend auf $J\subseteq I$, dann wäre $\gamma$ nicht minimierend auf $I$.
 \end{enumerate}
 \end{beweis}
@@ -2321,8 +2324,8 @@ \section{Schnittort einer vollständigen Riemann’schen Mannigfaltigkeit}
 
 Für ein beliebiges, aber festes $p\in M$ ist
 \[
-U_p \da \{ w\in T_pM\setminus \{0\} \mid \|w\| < s\left(\frac w {\|w\|}\right)\} \cup \{0\}
-\] eine offene Umgebung von $0\in T_pM$. Der Rand von $U_p$, $\partial U_p$, ist die Menge $\{w\in T_pM | \|w\| = s\left(\frac w{\|w\|}\right)\} = \{s(v) \cdot v \in T_pM \mid v \in E_pM\}$. Der Schnittort\index{Schnittort} von $p\in M$ ist \[ \cut(p) \da \exp_p(\partial U_p)=\{\gamma_v(s(v))\mid \|v\|=1\}\,.\]
+U_p \da \left\{ w\in T_pM\setminus \{0\} \mid \|w\| < s\left(\frac w {\|w\|}\right)\right\} \cup \{0\}
+\] eine offene Umgebung von $0\in T_pM$. Der Rand von $U_p$, $\partial U_p$, ist die Menge $\left\{w\in T_pM | \|w\| = s\left(\frac w{\|w\|}\right)\right\} = \{s(v) \cdot v \in T_pM \mid v \in E_pM\}$. Der Schnittort\index{Schnittort} von $p\in M$ ist \[ \cut(p) \da \exp_p(\partial U_p)=\{\gamma_v(s(v))\mid \|v\|=1\}\,.\]
 
 \begin{beispiel}
 In $(S^n,\kan)$ sind die Geodätischen mit Bogenlänge parametrisierte Großkreise der Länge $2\pi$. Also sind Geodätische $\gamma_v(t)$ minimierend für $t<\pi$. Also ist für alle $p\in S^n$: $U_p=\{w\in T_pM \mid \|w\| <\pi\}$, also \[\exp_p(U_p) = \{q\in S^n \mid d(p,q)<\pi \} = S^n\setminus \{-p\}\] und \[\cut(p) = \{q\in S^n \mid d(p,q)=\pi \} = \{-p\}\,.\] Man kann also die Sphäre disjunkt zerlegen in $\exp_p(U_p)$ und $\exp_p(\partial U_p) = \cut(p)$. Dies gilt allgemein!
@@ -2349,7 +2352,7 @@ \section{Schnittort einer vollständigen Riemann’schen Mannigfaltigkeit}
 
 Da $q\in \exp_p(U_p)$ existiert eine minimierende Geodätische $\gamma:[a,b] \to M$ mit $\gamma(a) = p$ und $\gamma(b) = q$. $U_p$ ist offen also $\gamma$ auch minimierend auf $[a,b+\ep]$ für $\ep$ genügend klein.
 
-$q\in \cut(p)$ heißt: $q$ ist Schnittpunkt einer von $p$ ausgehenden Geodätischen, das heißt es existiert eine minimierende Geodätische $c:[\alpha,\beta] \to M$ mit $c(\alpha)=p$, $c(\beta)=q$, die nach $c(\beta)$ nicht mehr minimierend ist (insbesondere $c\ne \gamma$), aber mit $L(c|_{[\alpha,\beta]}) = L(\gamma|_{[a,b]}) = d(p,q)$. Nach Lemma 2 (2) angewandt auf $\gamma$ ist die Geodätische $\gamma$ nicht mehr minimierend nach $\gamma(b)$, im Widerspruch zur Annahme!
+$q\in \cut(p)$ heißt: $q$ ist Schnittpunkt einer von $p$ ausgehenden Geodätischen, das heißt es existiert eine minimierende Geodätische $c:[\alpha,\beta] \to M$ mit $c(\alpha)=p$, $c(\beta)=q$, die nach $c(\beta)$ nicht mehr minimierend ist (insbesondere $c\ne \gamma$), aber mit $L(c|_{[\alpha,\,\beta]}) = L(\gamma|_{[a,\,b]}) = d(p,q)$. Nach Lemma 2 (2) angewandt auf $\gamma$ ist die Geodätische $\gamma$ nicht mehr minimierend nach $\gamma(b)$, im Widerspruch zur Annahme!
 \end{beweis}
 
 \subsection*{Weitere Eigenschaften von $\cut(p)$}
@@ -2366,7 +2369,7 @@ \subsection*{Weitere Eigenschaften von $\cut(p)$}
 \begin{beweis}
 Sei $q\in\exp_p(U_p)$ und $\exp_p(v_1) = q = \exp_p(v_2)$. Nehmen wir an, dass $v_1\ne v_2$, so hat man zwei minimierende Geodätische $\gamma_1\ne \gamma_2$ zwischen $p$ und $q$, das heißt nach Definition des Schnittortes bzw. Lemma 2(4), dass $q\in \cut(p)$, im Widerspruch zur Annahme.
 \end{beweis}
-\item Für ein kompaktes $M$ nimmt die stetige Funktion $s: E_pM \to \MdR$ ein Maximum bzw. Minimum an und ist somit beschränkt. Also ist $\overline {U_p} = \{tv \in T_pM \mid v\in E_pM, 0\le t\le s(v)\}$ homöomoph zum Einheitsball $B_p \da \{tv \in T_pM | v\in E_pM, 0\le t \le 1\}$.
+\item Für ein kompaktes $M$ nimmt die stetige Funktion $s: E_pM \to \MdR$ ein Maximum bzw. Minimum an und ist somit beschränkt. Also ist $\overline {U_p} = \{tv \in T_pM \mid v\in E_pM, 0\le t\le s(v)\}$ homöomoph zum Einheitsball $B_p \da \{tv \in T_pM \mid v\in E_pM, 0\le t \le 1\}$.
 \item 
 Da $\exp_p: \overline{U_p} \to M$ surjektiv ist (Satz \ref{zerlsatz}) und auf $U_p$ injektiv ist, erhält man eine kompakte Riemann’sche Mannigfaltigkeit topologisch dadurch, dass man die Randpunkte eines Einheitsballs „geeignet“ identifiziert (beispielsweise werden für $S^n$ alle Punkte identifiziert). Die topologische Komplexität einer kompakten Mannigfaltigkeit steckt also im Schnittort.
 \end{enumerate}
@@ -2401,15 +2404,15 @@ \subsection*{Weitere Eigenschaften von $\cut(p)$}
 \begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{-1}
 \item $(\MdR^n,\kan)$ hat keine Schnittpunkte, da die Geodätischen Geraden sind. Also $\cut(p) = \emptyset$ für jeden Punkt $p\in \MdR^n$, und laut Zerlegungssatz gilt $\MdR^n=\exp_p(T_pM)$.
-\item Hyperbolische Ebene $(H^2,\frac1{y^2}
-\bigl(\begin{smallmatrix}
+\item Hyperbolische Ebene $\left(H^2,\frac1{y^2}
+\left(\begin{smallmatrix}
 1 & 0 \\ 0 & 1
-\end{smallmatrix}\bigr))$: Auch hier gilt $\cut(p) = \emptyset$ für jeden Punkt $p\in H^2$, also $H^2 = \exp_p(T_pH^2)$.
+\end{smallmatrix}\right)\right)$: Auch hier gilt $\cut(p) = \emptyset$ für jeden Punkt $p\in H^2$, also $H^2 = \exp_p(T_pH^2)$.
 \begin{bemerkung}
 Allgemeiner gilt der Satz von Hadamard-Cartan: Für eine einfach zusammenhängende und zusammenhängende Riemann’sche Mannigfaltigkeit $M$ mit nichtpositiver Schnittkrümmung. So gilt $\cut(p) = \emptyset$ für alle $p\in M$.
 \end{bemerkung}
-\item $(\mathbb P ^n,\kan) = (\faktor{S^{\mathrlap{n}}}\sim,$ die von $S^n$ indizierte Metrik$)$, wobei $p\sim q$ genau dann, wenn $p$ und $q$ Antipoden sind. Hier sind Geodätische minimierend für $d(p,\cdot)<\frac\pi 2$. Sei $pr:S^n\to \mathbb{P}^n$; $pr(p)\da [p] = \{p,-p\}$ die Projektion von $S^n$ auf $\mathbb{P}^n$. Dann ist 
-\[\cut(p)=pr(\text{„Äquator“}) = pr(q\in S^n\mid d(p,q)=\frac\pi2) = \faktor{S^{n-1}}\sim = \mathbb{P}^{n-1}\,.\]
+\item $(\mathbb P ^n,\kan) = \left(\faktor{S^{\mathrlap{n}}}\sim,\text{ die von }S^n\text{ induzierte Metrik}\right)$, wobei $p\sim q$ genau dann, wenn $p$ und $q$ Antipoden sind. Hier sind Geodätische minimierend für $d(p,\cdot)<\frac\pi 2$. Sei $pr:S^n\to \mathbb{P}^n$; $pr(p)\da [p] = \{p,-p\}$ die Projektion von $S^n$ auf $\mathbb{P}^n$. Dann ist 
+\[\cut(p)=pr(\text{„Äquator“}) = pr\left(q\in S^n\mid d(p,q)=\frac\pi2\right) = \faktor{S^{n-1}}\sim = \mathbb{P}^{n-1}\,.\]
 Weiter ist $\exp_p(U_p)$ die offene „obere Hemisphäre“ und damit diffeomorph zu $\MdR^n$, etwa durch die Zentralprojektion
 $Z: S_+^n \to \MdR^n$ oder die Orthogonalprojektion $O:S^n_+ \to D^n = \{x\in\MdR^n \mid \|x\|<1\}$.
 
@@ -2436,7 +2439,7 @@ \section{Volumenberechnung mit dem Zerlegungs-Satz}
 
 Sei zuerst $G\subset M$ ein Gebiet, also offen, zusammenhängend und relativ kompakt, das ganz in einer Karte $(U,\varphi)$ liegt (mit $\varphi(p) = (x^1,\ldots,x^n)$ als Koordinaten).
 
-In der linearen Algebra bezeichnen wir das Volumen des von $a_1,\ldots,a_n\in\MdR^n$ aufgespannten Parallelepipeds als $V=\sqrt{\det(\ksp {a_i} {a_j})}$ (Gramische Determinante).
+In der linearen Algebra bezeichnen wir das Volumen des von $a_1,\ldots,a_n\in\MdR^n$ aufgespannten Parallelepipeds als $V=\sqrt{\det(\ksp {a_i} {a_j})}$ (Gramsche Determinante).
 
 \begin{definition}
 Das Volumen\index{Volumen} des Gebietes bezeichnen wir als
@@ -2472,12 +2475,12 @@ \section{Volumenberechnung mit dem Zerlegungs-Satz}
 \end{itemize}
 Das heißt: Wir können $\exp_p^{-1}: \exp_p(U_p) \to T_pM\cong \MdR^n$ als Karte benutzen.
 
-Sei $c(t)\da \exp_p(tu)$ eine normale Geodätische und $\{u,e_2,\ldots,e_n\}$ eine Orthonormalbasis von $T_pM$. Weiter seien $Y _i(t)$, $i=1,\ldots,n$, die eindeutigen Jacobifelder längs $c(t)$ mit $Y _i(0)=0$ und $Y'_i(0)=e_i$. Es gilt (siehe \ref{schnittort}): $d\exp_p|_{tu}(u)= c'(t)$ und $d\exp_p|_{tu}(te_i)=Y _i(t)$, $i=2,\ldots,n$.
+Sei $c(t)\da \exp_p(tu)$ eine normale Geodätische und $\{u,e_2,\ldots,e_n\}$ eine Orthonormalbasis von $T_pM$. Weiter seien $Y _i(t)$, $i=1,\ldots,n$, die eindeutigen Jacobifelder längs $c(t)$ mit $Y _i(0)=0$ und $Y'_i(0)=e_i$. Es gilt (siehe \ref{schnittort}): $\left.d\exp_p\right|_{tu}(u)= c'(t)$ und $\left.d\exp_p\right|_{tu}(te_i)=Y _i(t)$, $i=2,\ldots,n$.
 
-$(t(=x^1),x^2\ldots,x^n)$ seien die Koordinaten in $T_pM$ bezüglich der Orthonormalbasis $\{u,e_2,\ldots,e_n\}$. Dann gilt:
+$\left(t\,(=x^1),x^2\ldots,x^n\right)$ seien die Koordinaten in $T_pM$ bezüglich der Orthonormalbasis $\{u,e_2,\ldots,e_n\}$. Dann gilt:
 \begin{align*}
-\frac{\partial}{\partial t}|_{c(t)} &= c'(t) \text{ und } c'(0)=u \\
-\frac{\partial}{\partial x^i}|_{c(t)} &= \frac{\partial}{\partial s}|_0 \exp_p(tu+se_i) = d\exp_p|_{tu}(e_i) = \frac 1 t Y _i(t)
+\left.\frac{\partial}{\partial t}\right|_{c(t)} &= c'(t) \text{ und } c'(0)=u \\
+\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_{c(t)} &= \left.\frac{\partial}{\partial s}\right|_0 \exp_p(tu+se_i) = \left.d\exp_p\right|_{tu}(e_i) = \frac 1 t Y _i(t)
 \end{align*}
 Also:
 \begin{align*}
@@ -2512,16 +2515,16 @@ \section{Volumenberechnung mit dem Zerlegungs-Satz}
 \[ \vol(S^n)= \int_{S^{n-1}} \int_0^\pi \left(\frac{\sin(t)}{t}\right)^{n-1} t^{n-1} dt du = \vol(S^{n-1}) \int_0^\pi (\sin t)^{n-1}dt \]
 Diese Rekursionsformel führt zu:
 \begin{align*}
-\vol(S^{2n}) &= \frac {2 (2\pi)^n} {(2n-1)(2n-3)\cdots 3\cdot 1} \\
-\vol(S^{2n+1}) &= 2\frac {\pi^{n+1}} {n!}
+\vol\left(S^{2n}\right) &= \frac {2 (2\pi)^n} {(2n-1)(2n-3)\cdots 3\cdot 1} \\
+\vol\left(S^{2n+1}\right) &= 2\frac {\pi^{n+1}} {n!}
 \end{align*}
 Das heißt auch: $\vol(S^n)\to 0$ für $n\to \infty$.
 \item Hyperbolische Räume $H^n$. Hier ist $s(u)=\infty$ für alle $u\in S^{n-1}\subset T_pM$. $Y_i(t) = \sinh(t)E_i(t)$. $J(u,t) = \left( \frac {\sinh(t)} t \right)^{n-1}$.
 Daraus ergibt sich $\vol(H^n)=\infty$. Betrachten wir also einen Ball von Radius $R$ (das heißt $B_R(p) \da \{ q\in H^n, d(p,q)\le R\}$):
 \[
-\vol(B_R(p)) = \int_{S^{n-1}} \int_0^R (\sinh t)^{n-1} dt du = \vol(S^{n-1}) \int_0^R (\sinh t)^{n-1} dt
+\vol\left(B_R(p)\right) = \int_{S^{n-1}} \int_0^R (\sinh t)^{n-1} dt du = \vol\left(S^{n-1}\right) \int_0^R (\sinh t)^{n-1} dt
 \]
-Für sehr große $R$ wächst $\vol(B_R(p))$ wie $\mathrm{e}^{(n-1)R}$: Das Volumenwachstum von Bällen vom Radius $R$ in hyperbolischen Räumen ist exponentiell in $R$. Vergleiche das mit dem Volumenwachstum von Bällen von Radius $R$ in $\MdR^n$, welches polynomial ist.
+Für sehr große $R$ wächst $\vol\left(B_R(p)\right)$ wie $\mathrm{e}^{(n-1)R}$: Das Volumenwachstum von Bällen vom Radius $R$ in hyperbolischen Räumen ist exponentiell in $R$. Vergleiche das mit dem Volumenwachstum von Bällen von Radius $R$ in $\MdR^n$, welches polynomial ist.
 
 Diese Beobachtungen waren Ausgangspunkt um den Krümmungsbegriff in allgemeinen metrischen Räumen einzuführen.
 \end{enumerate}