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\subsection{Stetigkeit}
\begin{Def}\label{d:stetig}
Sei $f:\Omega_{\subset\mb{R}^n}\to\mb{R}^k$. $f$ ist stetig an der Stelle $x\in\Omega$ falls $\forall \left\{ x_k \right\}\subset\Omega$ mit $x_k\to x$.
\[\Limi{k} f(x_k)=f(x)\]
\end{Def}
Falls $f: \Omega\to \mb{R}^k$, $x\in \Omega$ und $y\in \mb{R}^k$ erf\"ullen die Bedingung
\[
f(x_k) \to y \qquad \forall \mbox{ Folge }\{x_k\}\subset \Omega\setminus \{x\} \mbox{ mit } x_k\to x\, ,
\]
dann schreiben wir
\[
\lim_{z\to x} f(z) = y\, .
\]
Deswegen,
\[
f \mbox{ stetig in } x \iff \lim_{z\to x} f(z) = f(x)\, .
\]
\begin{Lem}
\label{l:1102282}
Eine \"aquivalente Definition der Stetigkeit an der Stelle $x$:
\[\forall \varepsilon>0\s\exists \delta>0: f\left( K_\delta(x)\cap \Omega \right)\subset K_\varepsilon(f(x))\]
\end{Lem}
\begin{Bem}
Aus diesem Lemma folgt:
\[
y = \lim_{z\to x} f(z) \iff (\forall \varepsilon > 0\; \exists \delta : 0<\|z-x\|<\delta \implies \|f(z)-y\|<\varepsilon)\, .
\]
\end{Bem}
\begin{Bew}
{\bf $\varepsilon$-$\delta$ $\implies$ Folgendefinition.} Sei $x_k\to x$. Das Ziel ist $f(x_k)\to f(x)$ zu zeigen.
D.h., $\forall \varepsilon>0$ eine $N$ zu finden s.d.
\[ \underbrace{\Norm{f(x_k)-f(x)}}_{\underbrace{d(f(x_k),f(x))}_{f(x_k)\in K_\varepsilon(f(x))}}<\varepsilon\s\forall k\geq N\]
Sei $\varepsilon > 0$ gegegeben. Dann
\[\exists \delta>0\s \quad\mbox{mit}\quad f(K_\delta(x))\subset K_\varepsilon(f(x))\]
Aber, da $x_k\to x$, $\exists N$ s.d.
\[\Norm{x_k-x}<\delta\s \forall k\geq N.\]
F\"ur $k\geq N$ gilt
\[x_k \in K_\delta(x)\implies f(x_k)\in K_\varepsilon(f(x))\]
{\bf Folgendefinition $\implies$ ($\varepsilon$-$\delta$)-Defintion.} Widerspruchsannahme:
\[\exists \varepsilon>0: f(K_\delta(x)\cap \Omega)\not\subset K_\varepsilon(f(x))\s\forall \delta>0\]
\[\implies\forall \delta>0\s\exists y_\delta\in K_\delta(x)\s\text{und}\s \Norm{f(y_\delta)-f(x)}\geq \varepsilon\]
Nehmen wir $\delta=\frac{1}{j}$ und $x_j=y_{\frac{1}{j}}$
\[\Norm{x_j-x}<\frac{1}{j}\s(\text{weil}\s x_j\in K_{\frac{1}{j}}(x))\]
\[\Norm{f(x_j)-f(x)}=\Norm{f(y_{\frac{1}{j}}-f(x))}\geq\varepsilon\]
$x_j\to x$ aber $f(x_j)\not\to f(x)$
\end{Bew}
\begin{Def}
Die allgemeine Defintion der Stetigkeit für metrische Räume: Seien $(X,d)$ und $(Y,\ol d)$ zwei metrische Räume. Sei $f:X\to Y$. $f$ ist stetig an der Stelle $x$ falls:
\[\forall \varepsilon>0\s\exists \delta>0\s\text{mit}\s d(y,x)<\delta\implies d(f(y),f(x))<\varepsilon\]
\[\mbox{d.h.}\quad f(K\delta(x))\subset K_\varepsilon(f(x))\, .\]
\end{Def}
\begin{Def}
Eine $f:X\to Y$ heisst stetig falls $f$ stetig an jeder Stelle $x\in X$ ist.
\end{Def}
\begin{Sat}
Sei $f:X\to Y$ ($(X,d), (Y\ol d)$ metrische Räume) Dann:
\begin{enumerate}
\item Die Stetigkeit in $x$ $\iff$ $\forall$ Umgebung $U$ von $f(x)$ ist $f^{-1}(U)$ eine Umgebung von $x$.
\item Stetigkeit von $f$ $\iff$ $f^{-1}(U)$ ist offen $\forall U$ offen.
\end{enumerate}
\end{Sat}
\begin{Bew}
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item {\bf Stetigkeit $\implies$ Umgebung.}
Sei $U$ eine Umgebung von $f(x)\implies \exists \delta>0$ mit $K_\delta(f(x))\subset U$
\[\implies \exists \varepsilon>0:f(K_\varepsilon(x))\subset K_\delta(f(x))\]
\[\implies f^{-1}(U)\supset f^{-1}(K_\delta(f(x)))\supset K_\varepsilon(x)\implies f^{-1}(U)\s\text{Umgebung von}\s U\]
\item {\bf Umgebung $\implies$ Stetigkeit.} Sei $\delta>0$ und $U:=K_\delta(f(x))$. $U$ ist eine
Umgebung von $f(x)$. $f^{-1}(U)$ ist eine Umgebung von $x$.
\[\implies \exists\varepsilon>0:K_\varepsilon(x)\subset f^{-1}(U)\]
\[\implies f(K_\varepsilon(x))\subset U=K_\delta(f(x))\]
\end{itemize}
\item
\begin{itemize}
\item {\bf Stetigkeit $\implies$ offen.} Sei $U$ offen $\iff$ $\forall y\in U$ ist $U$ eine Umgebung von $y$
\[f^{-1} (U)\ni x\implies f(x)\in U\stackrel{\text{Stetigkeit in}\s x}{\implies} f^{-1}(U)\s\text{ist eine Umgebung von}\s x\]
\[\implies f^{-1}(U)\s\text{ist offen}\]
\item {\bf offen $\implies$ Stetigkeit.} Sei $x\in X$, und $\delta>0$. $K_\delta(f(x))$ ist eine offene
Menge.
\[f^{-1}(K_\delta(f(x)))\s\text{ist offen}\]
Aber $x$ geh\"hort zu $f^{-1} (K_\delta (f(x)))$
\[\implies \exists \varepsilon>0: K_\varepsilon(x)\subset f^{-1}(K_\delta(f(x)))\]
\[\implies f(K_\varepsilon(x))\subset K_\delta(f(x)).\]
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{Bew}
\subsection{Lineare Abbildungen}
\begin{Def}
Eine Abbildung $L:V\to W$ ($V$, $W$ Vektorr\"aume) heisst linear, falls
\[L(\lambda_1v_1+\lambda_2v_2)=\lambda_1L(v_1)+\lambda_2L(v_2)\s\forall v_1,v_2\in V,\s\forall \lambda_1,\lambda_2\in\mb{R}\]
\end{Def}
Falls $L, L':V\to W$ zwei lineare Abbildungen sind und $\lambda,\mu\in \mb{R}$, dann ist die Abbildung
$v\mapsto \lambda L(v) + \mu L' (V)$ auch linear. Der Raum $\mathcal{L} (V, W) :=
\{L:V\to W \mbox{ linear}\}$ ist
ein Vektorraum.
Falls $V= \mb{R}^m$ und $W= \mb{R}^k$, dann $\exists$ eine Matrix $(L_{ij})$ mit
\[L(x)=\left( \sum^n_{j=1}L_{1j}x_j,\sum^n_{j=1}L_{2j}x_j,\cdots,\sum^n_{j=1}L_{kj}x_j \right)\]
$(L_{ij})$ is die {\em Matrixdarstellung} der linearen Abbildung $L$.
\begin{Def}
Sei $L_{ij}$ eine Matrix die die lineare Abbildung $L:\mb{R}^n\to\mb{R}^k$ darstellt. Die Hilbert-Schmidt Norm von $L$ ist
\[\Norm{L}_{\text{HS}}=\sqrt{\sum^k_{i=1}\sum^n_{j=1}L_{ij}^2}\]
\end{Def}
\begin{Bem}
$\mathcal{L} (V,W) \sim \left\{ L:(L_{ij})\; n\times k\s\text{Matrizen} \right\}\sim \mb{R}^{nk}$. D.h., der Raum der $n\times k$ Matrizen
ist ein Vektorraum. $\Norm{.}_{\text{HS}}$ ist die Euklidische Norm.
\end{Bem}
\begin{Bem}
Sei $L:\mb{R}^n\to\mb{R}^k$ eine lineare Abbildung und $x\in\mb{R}^n$. Dann die
Ungliechung
\begin{equation}\label{e:CS2}
\Norm{L(x)}_e\leq\Norm{x}_e\Norm{L}_\text{HS}
\end{equation}
ist eine einfache Folgerung der
Cauchy-Schwartz Ungliechung.
\end{Bem}
\begin{Bew}
Beweis von \eqref{e:CS2}: $L(x)=y$
\[
\Norm{L(x)}^2=\sum^k_{i=1}y_i^2\]
\[=\sum^k_{i=1}\left( \sum^n_{j=1}L_{ij}x_j \right)^2\stackrel{\text{Cauchy-Schwartz}}{\leq}\sum^k_{i=1}\left( \sum^n_{j=1}L_{ij}^2 \right)\left( \sum_{j=1}x_j \right)^2\]
\[=\sum^k_{i=1}\sum^n_{j=1}L_{ij}^2\Norm{x}^2=\Norm{x}^2\left( \sum^k_{i=1}\sum^n_{j=1}L_{ij}^2\right) = \Norm{x}^2\|L\|^2_{HS}\, .
\]
\end{Bew}
\begin{Kor}
Sei $L$ wie oben, dann ist $L$ stetig.
\end{Kor}
\begin{Bew}
Sei $x_k\to x$. Ziel $L(x_k)\to L(x)$
\[\Norm{L(x_k)-L(x)}=\Norm{L(x_k-x)}\leq\Norm{x_k-x}\Norm{L}_\text{HS}\to 0\]
\[\implies \Norm{L(x_k)-L(x)}\to 0\, .\]
\end{Bew}
\begin{Def}
Sei $L:V\to W$ eine lineare Abbildung wobei $(V,\Norm{.}_V)$ und $(W,\Norm{.}_W)$ zwei endlich-dimensionierte normierte Vektorräume sind. Die Operatornorm von $L$ ist:
\[\Norm{L}_{L(V,W)}:=\sup_{\Norm{v}_V\leq 1}\Norm{L(v)}_W\]
\end{Def}
\begin{Sat}
$\Norm{.}_{L(V,W)}$ ist eine Norm und
\[\Norm{L(v)}_W\leq \Norm{L}_{L(V,W)}\Norm{v}_V\]
Deswegen: jede lineare Abbildung $L:V\to W$ ist stetig.
\end{Sat}
\begin{Bew}
Der Kern ist die folgende Eigenschaft:
\begin{equation}\label{e:<infty}
\Norm{L}_{L(V,W)}<+\infty\,
\end{equation}
Das nehmen wir an ohne Beweis (f\"ur einen Beweis brauchen wir die Kompaktheit der geschlossenen
Kugel , siehe \"Ubungen).
Wenn \eqref{e:<infty} gilt:
\begin{enumerate}
\item
\[\underbrace{\Norm{L}_{L(V,W)}}_\text{Kern}\s\text{und}\s\Norm{L}_{L(V,W)}=0\iff L=0\]
$\Leftarrow$ einfach. Sei $\Norm{L}_{L(V,W)}=0$. Dann sei $v\in V$.
\[v=0\implies L(v)=0\]
\[v\neq 0\s z = \frac{v}{\Norm{v_V}}\implies \Norm{z}_V=1\]
\[\Norm{L(z)}_W\leq\sup_{\Norm{y}_V\leq 1}\Norm{L(v)}_W=0\]
\[\implies L(z)=0\implies L(v)=L\left( \Norm{v}_V z \right)=\Norm{v}_VL(z)=0\]
\item
\[\Norm{\lambda L}_{L(V,W)}=\Abs{\lambda}\Norm{L}_{L(V,W)}\]
\[\Norm{\lambda L}_{L(V,W)}=\sup_{\Norm{y}_V\leq 1}\Norm{\lambda L(v)}_W\]
\[=\sup_{\Norm{y}_V\leq 1}\Abs{\lambda}\Norm{L(v)}_W\]
\[=\Abs{\lambda}\sup_{\Norm{y}_V\leq 1}\Norm{L(v)}_W\]
\[=\Abs{\lambda}\Norm{L}_{L(V,W)}\]
\item
\[\Norm{L+L'}_{L(V,W)}\]
\[=\sup_{\Norm{y}_V\leq 1}\Norm{(L+L')(v)}_{L(V,W)}\]
\[=\sup_{\Norm{y}_V\leq 1}\Norm{L(v)+L'(v)}_{L(V,W)}\]
\[\leq\sup_{\Norm{y}_V\leq 1}\left( \Norm{L(v)}_W+\Norm{L'(v)}_W\right)\]
\[\leq\sup_{\Norm{y}_V\leq 1}\Norm{L(v)}_W+\sup_{\Norm{y}_V\leq 1}\Norm{L'(v)}_W\]
\[=\Norm{L}_{L(V,W)}+\Norm{L'}_{L(V,W)}\]
\end{enumerate}
\end{Bew}