Permalink
Browse files

- TODO + TODO

  • Loading branch information...
1 parent a83125a commit 5c0d0104569dd8df4928f8d7bb2300e9982f5511 @reactormonk committed Oct 4, 2010
Showing with 22 additions and 22 deletions.
  1. +22 −22 10-09-27.tex
  2. BIN analysis.pdf
View
@@ -35,22 +35,23 @@ \subsection{Körperstrukturen}
\begin{itemize}
\item[K1] Kommutativgesetz
\begin{align*}
- a+b &=& b + a\\
- a\cdot b &=& b\cdot a & \\
+ % TODO align that on =
+ a+b &=& b + a &\\
+ a\cdot b &=& b\cdot a &\\
\end{align*}
- \item[K2]
+ \item[K2] Assoziativgesetz
\begin{align*}
(a+b)+c &=&a+(b+c)\\
(a\cdot b)\cdot c&=&a\cdot(b\cdot c)\\
\end{align*}
- \item[K3]
+ \item[K3] Distributivgesetz
\begin{align*}
- a+x&=&b\\
- a\cdot x&=& \text{falls $a\neq 0$}\\
+ (a+b)\cdot c&=& a\cdot c + b\cdot c
\end{align*}
- \item[K4]
+ \item[K4]
\begin{align*}
- (a+b)\cdot c&=& a\cdot c + b\cdot c
+ a+x&=&b\\
+ a\cdot x&=&b \text{falls $a\neq 0$}\\
\end{align*}
\end{itemize}
\subsection{Die Anordnung von $\mb{R}$}
@@ -141,13 +142,12 @@ \subsection{Die Anordnung von $\mb{R}$}
\end{Bem}
\subsection{Die Vollständigkeit der reellen Zahlen}
Für $a<b$, $a\in\mb{R}$, heisst:
-% TODO itemize & umkehren
-\begin{align*}
- \left[ a,b \right]&=&\left\{ x\in\mb{R}: a\leq x\leq b \right\} & \text{abgeschlossenes Intervall}\\
- \left] a,b \right[&=&\left\{ x\in\mb{R}: a< x< b \right\} & \text{offenes Intervall}\\
- \left[ a,b \right[&=&\left\{ x\in\mb{R}: a\leq x< b \right\} & \text{(nach rechts) halboffenes Intervall}\\
- \left] a,b \right]&=&\left\{ x\in\mb{R}: a< x\leq b \right\} & \text{(nach links) halboffenes Intervall}\\
-\end{align*}
+\begin{itemize}
+ \item abgeschlossenes Intervall: $\left[ a,b \right]=\left\{ x\in\mb{R}: a\leq x\leq b \right\}$
+ \item offenes Intervall: $\left] a,b \right[=\left\{ x\in\mb{R}: a< x< b \right\}$
+ \item (nach rechts) halboffenes Intervall: $\left[ a,b \right[=\left\{ x\in\mb{R}: a\leq x< b \right\}$
+ \item (nach links) halboffenes Intervall: $\left] a,b \right]=\left\{ x\in\mb{R}: a< x\leq b \right\}$
+\end{itemize}
Sei $I=[a,b]$ (bzw. $]a,b[$ \ldots). Dann $a,b$ sind die \underline{Randpunkte} von $I$. Die Zahl $\abs{I}=b-a$ ist die Länge von $I$. ($b-a>0$)
\begin{Def}
Eine Intervallschachtelung ist eine Folge $I_1, I_2,\cdots$ geschlossener Intervalle (kurz $(I_n)_{n\in\mb{N}}$ oder $(I_n)$) mit diesen Eigenschaften:
@@ -168,7 +168,7 @@ \subsection{Die Vollständigkeit der reellen Zahlen}
I1 und I2 sind beide erfüllt.
\end{Bew}
\begin{Axi}
- Zu jeder Intervallschachtelung $\exists x\in\md{R}$ die allen ihren Intervallen angehört.
+ Zu jeder Intervallschachtelung $\exists x\in\mb{R}$ die allen ihren Intervallen angehört.
\end{Axi}
\begin{Sat}
Die Zahl ist eindeutig.
@@ -177,20 +177,20 @@ \subsection{Die Vollständigkeit der reellen Zahlen}
Sei $(I_n)$ eine Intervallschachtelung. Nehmen wir an dass $\exists \alpha < \beta$ so dass $\alpha, \beta\in I_n\forall n$. Dann $\abs{I_n}\geq\abs{\beta-\alpha}> a$. Widerspruch!
\end{Bew}
\begin{Sat}
- $\forall a\geq 0, a\in\md{R}$ und $\forall x\in\md{N}\\\left\{ 0 \right\}$, $\exists$ eine einziges $x\geq 0$, $x\in \md{R}$ s.d. $x^k=a$. Wir nennen $x=\sqrt[k]{a}=a^\frac{1}{k}$.\\
- Sei $m,n\in\md{N}$, $a^{m+n}=a^ma^n$ und deswegen $a^{-m}=\frac{1}{a^m}$ für $m\in\md{N}$ (so dass die Regel $a^{m-m}=a^0=1$.\\
- $n,m\in\md{N}\\\left\{ 0 \right\}$ $n$ Mal.
+ $\forall a\geq 0, a\in\mb{R}$ und $\forall x\in\mb{N}\\\left\{ 0 \right\}$, $\exists$ eine einziges $x\geq 0$, $x\in \mb{R}$ s.d. $x^k=a$. Wir nennen $x=\sqrt[k]{a}=a^\frac{1}{k}$.\\
+ Sei $m,n\in\mb{N}$, $a^{m+n}=a^ma^n$ und deswegen $a^{-m}=\frac{1}{a^m}$ für $m\in\mb{N}$ (so dass die Regel $a^{m-m}=a^0=1$.\\
+ $n,m\in\mb{N}\\\left\{ 0 \right\}$ $n$ Mal.
\begin{align*}
(a^m)^n=\underbrace{a^m\cdot a^m \cdots a^m}_{\text{$n$ Mal}} = a^{\overbrace{m+\cdots+m}^{\text{$n$ Mal}}} = a^{nm}
\end{align*}
- Und mit $a^{-m}=\frac{1}{a^m}$ stimmt die Regel $(a^m)^n=a^{mn}$ auch $\forall m,n\in\md{Z}$!
+ Und mit $a^{-m}=\frac{1}{a^m}$ stimmt die Regel $(a^m)^n=a^{mn}$ auch $\forall m,n\in\mb{Z}$!
\end{Sat}
\begin{Bem}
$x^k=\left( a^\frac{1}{k} \right)^k=a\left( =a^{\frac{1}{k}k} = a^1\right)$
\end{Bem}
\begin{Def}
- $\forall q=\frac{m}{n}\in\md{Q}$, $\forall a>0$ mit definiertem $a^q=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$
+ $\forall q=\frac{m}{n}\in\mb{Q}$, $\forall a>0$ mit definiertem $a^q=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$
\end{Def}
\begin{Bew}
- Mit dieser Definition gilt $a^{q+q_2} = a^qa^q_2$ $\forall a>0$ und $\forall q,q_2\in\md{Q}$.
+ Mit dieser Definition gilt $a^{q+q_2} = a^qa^{q_2}$ $\forall a>0$ und $\forall q,q_2\in\mb{Q}$.
\end{Bew}
View
Binary file not shown.

0 comments on commit 5c0d010

Please sign in to comment.