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fractales

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sdpython committed May 22, 2016
1 parent 01bc1d0 commit a98e2a6992c88d6fc0975a047071624dee29aa25
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.. blogpost::
:title: Fractales
:keywords: fractales
:date: 2016-05-22
:categories: mathémtiques
J'avais abordé le sujet des fractales lors de la dernière
session de coding goûter organisée par Microsoft
(:ref:`22 avril <l-session_2016_04_22>`) et il manquait
l'historie que j'ai racontée sur les fractales :
:ref:`Quel est la longueur du périmètre de la France ? <l-maths_fractales>`.
@@ -0,0 +1,39 @@
.. index:: énoncé, mathématiques, fractale
.. _l-maths_fractales:
Quel est la longueur du périmètre de la France ?
================================================
A partir de 10 ans.
Ou plus exactement le périmètre de la France est-il infini ?
Il faut regarder du côté des `fractales <https://fr.wikipedia.org/wiki/Fractale>`_
et plus particulièrement
du côté de la `courbe de Koch <https://fr.wikipedia.org/wiki/Flocon_de_Koch>`_.
Mise en scène
-------------
Une pelotte de laine, un emballage carton et des clous, de quoi dessiner,
une carte de France imprimée à plusieurs échelles différentes.
Solution
--------
Voir :ref:`l-maths_fractales_sol`.
A quoi ça sert ?
----------------
Il serait sans doute prématuré d'écrire quoi que ce soit ici
car cela repose sur la compréhension de la solution.
Disons que vous ne verrez plus la côte française
de la même manière et d'autres choses encore.
@@ -0,0 +1,103 @@
.. index:: solution, mathématiques, fractale
.. _l-maths_fractales_sol:
Quel est la longueur du périmètre de la France ? (solution)
===========================================================
Les fractales
-------------
Le périmètre de la France est infini mais sa surface l'est.
C'était la conclusion de la petite digression que je me suis
permise lors du dernier coding gouter. Si on le laisse de côté le
phénomène des marées qui complique un peu les choses, il est assez
facile de parcourir le bord de France avec des tiges d'une longueur
d'un kilomètre pour entourer maladroitement le pays.
.. image:: france_fractale_1.png
Et si maintenant, on cassait une tige 10 en petits bouts de 100 mètres
pour aller au plus près de la côte. Il nous manquerait
un peu de longueur pour finir. Mais combien ?
.. image:: france_fractale_2.png
Si on redécoupe en 10 ?
.. image:: france_fractale_3.png
A chaque fois, le périmètre paraît plus grand. Et on peut continuer comme ça jusqu'à atteindre
le moindre rocher sur la plage.
.. image:: france_fractale_4.png
:alt: image extraite du site http://www.martinique-nature.com/, lien http://www.martinique-nature.com/photos/photo-aeroclub-011.php
On s'aperçoit également que l'épaisseur du trait a son importance, plus le fil
utilisé pour entourer la France est fin, plus ou pourra cerner la moindre enfractuosité du rivage.
C'est un peu cela qui caractérise le pérmimètre. Il est impossible d'en calculer la longueur.
En revanche, si on choisit l'épaisseur de la corde qu'on utilise pour entourer la France,
on sait qu'on ne pourra pas distinguer les détails plus petits que l'épaisseur de la corde.
C'est `Benoît Mandelbrot <https://en.wikipedia.org/wiki/Benoit_Mandelbrot>`_ qui a développé
la théorie des fractales et celle-ci dit (en l'adaptant) :
Si on mesure le périmètre *p(e)* de la France obtenu avec une épaisseur de corde
précise *e*, celui-ci tend vers l'infini lorsque l'épaisseur tend vers 0.
Pour s'en convaincre, on peut construire une figure célèbre en forme d'étoile :
le `flocon de Koch <https://fr.wikipedia.org/wiki/Flocon_de_Koch>`_.
.. image:: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Von_Koch_curve.gif?uselang=fr
:alt: image extraite de Wikipédia
On part d'un triangle équilatéral dont on coupe chaque côté en trois.
.. image:: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Droite_Koch.png?uselang=fr
:alt: image extraite de Wikipédia
A chaque tour, on multiplie la longueur par 4/3.
L'étoile finale tient dans un cercle, sa surface ne peut pas dépasser ces limites
mais son périmètre devient infini. Bien sûr, à partir d'un certain moment,
les yeux ne distinguent plus les petits détails. On zoome pour retrouver
quasiment la même chose si bien qu'on ne sait plus vraiment
à quelle échelle une photo a été prise.
Digressions
-----------
Avez-vous déjà penser à mesurer le volume d'air que peut contenir vos poumons ?
Facile, il suffit de souffler dans un ballon. Et puis au collège, on apprend que
les poumons apporte de l'oxygène au sang et que ce qui est important, ce n'est pas
forcément le volume mais la surface de contact entre l'air et le sang.
Mais comment fait-on pour mesurer un truc pareil ? Difficile...
Les poumons ressemblent beaucoup à des fractales. Il y a aurait 23 niveaux de bifurcations
(d'après `Le poumon, une fractale quasi-optimale <http://www.breves-de-maths.fr/le-poumon-une-fractale-quasi-optimale/>`_),
un peu comme celle du flocon de Koch. A partir de là, on peut essayer de construire
la fractale qui s'approche le plus possible de la structure des poumons et avoir
une idée de l'augmentation de la surface.
Le cours d'histoire entre la sixième et le lycée revient parfois sur les mêmes périodes
historiques. Des détails supplémenaires viennent compléter la première visite, un peu comme
si vous regardiez une peinture d'un peu plus près. L'histoire qu'on vous enseigne
devient un peu plus complexe. Une fois que vous avez quitté l'école,
vous lisez un livre sur la même période de l'histoire. De nouveaux personnages apparaissent,
un gérant d'usine, un petit inventeur, la femme d'un banquier. L'histoire **se ramifie**.
Ce terme rappelle fortement le flocon de Koch auquel on ajoute une couche.
Bibliographie
-------------
* `Une approche fractale des marchés <http://www.odilejacob.fr/catalogue/sciences-humaines/economie-et-finance/une-approche-fractale-des-marches_9782738122643.php>`_,
Benoît Mandelbrot
* `Les fractales pour les nuls <http://brunomarion.com/fr/les-fractales-pour-les-nuls/>`_
* `Mandelbulber logiciel pour générer des fractales <http://logiciels-gpl.blogspot.fr/2014/03/mandelbulder-logiciel-pour-generer-des.html>`_
* `Mandelbulber <http://www.mandelbulber.com/>`_, vous n'allez plus regarder
`Matrix <https://en.wikipedia.org/wiki/The_Matrix>`_ de la même manière
* `14 amazing fractals found in nature <http://www.mnn.com/earth-matters/wilderness-resources/blogs/14-amazing-fractals-found-in-nature>`_
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@@ -43,6 +43,7 @@ Sujets
solide_regulier
compter_reel
fractales
Indices et solutions
@@ -53,6 +54,7 @@ Indices et solutions
solide_regulier_correction
compter_reel_correction
fractales_correction
@@ -19,6 +19,7 @@ Les problèmes abordés :
* :ref:`l-algo_tri`
* :ref:`l-prog_parcours_echiquier`
* :ref:`l-donnes_cantine`
* :ref:`l-maths_fractales`
@@ -30,6 +31,7 @@ Solutions
* :ref:`l-algo_tri_sol`
* :ref:`l-prog_parcours_echiquier_sol`
* :ref:`l-donnes_cantine_sol`
* :ref:`l-maths_fractales_sol`

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