# simonkrenger/bfh-lineare-algebra

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Added my first version of the cheat sheet for the exams in linear
algebra
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 @@ -0,0 +1,178 @@ %Simon Krenger: Lineare Algebra \documentclass{report} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsthm} \usepackage{amssymb} \usepackage[utf8]{inputenc} \newtheorem{mydef}{Definition} \title{Lineare Algebra} \author{Simon Krenger} \begin{document} \maketitle \chapter{Vektoren} \section{Vektorrechnung} Vektor von Punkt A zu Punkt B\begin{equation}\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}\end{equation} Nullvektor\begin{equation}\vec{a} + (- \vec{a}) = \vec{0}\end{equation} Kommutativität (+)\begin{equation}\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\end{equation} Assoziativität (+)\begin{equation}(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\end{equation} Neutrales Element (+)\begin{equation}\vec{u} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{u} = \vec{u}\end{equation} Inverses Element (+)\begin{equation}\vec{u} + (- \vec{u}) = \vec{0}\end{equation} Assozativität ($\cdot$)\begin{equation}\alpha \cdot (\beta \cdot \vec{u}) = (\alpha \cdot \beta) \cdot \vec{u}\end{equation} Distributiv I\begin{equation}\alpha \cdot (\vec{u} + \vec{u}) = (\alpha \cdot \vec{u})+(\alpha \cdot \vec{v})\end{equation} Betrag\begin{equation}|\vec{a}| = \sqrt{{a_x}^2+{a_y}^2+{a_z}^2}\end{equation} Vektor mit Länge 1\begin{equation}\frac{\vec{w}}{|\vec{w}|} = \frac{1}{\vec{w}} \cdot \vec{w}\end{equation} Die Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ heissen linear unabhängig, wenn aus \begin{equation}\alpha \cdot \vec{a} + \beta \cdot \vec{b} + \gamma \cdot \vec{c} = \vec{0} \quad \mbox{also} \quad \alpha = \beta = \gamma = 0\end{equation} Skalarprodukt \begin{equation}\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\end{equation} \begin{equation}\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\phi}\end{equation} Der Betrag von $\vec{u}$ gleich der Quadratwurzel des Skalarprodukts von $\vec{u}$ mit sich selbst \begin{equation}\vec{u} \cdot \vec{u} = {|\vec{u}|}^2\end{equation} Orthogonalprojektion von $\vec{u}$ auf $\vec{a}$ \begin{equation}proj_a\vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{a}}{{|\vec{a}|}^2} \cdot \vec{a}\end{equation} Vektorprodukt (nur $\mathbb{R}^3$) \begin{equation}\vec{a} \times \vec{b} = det\left(\begin{matrix}e_1 & e_2 & e_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3\end{matrix}\right) = (a_2b_3-a_3b_2)e_1 + (a_3b_1-a_1b_3)e_2 + (a_1b_2-a_2b_1)e_3\end{equation} Spatprodukt \begin{equation}\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \left|\begin{matrix}u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3\end{matrix}\right|\end{equation} Volumen eines Spates \begin{equation}V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|\end{equation} \section{Vektorgeometrie} \subsection{Gerade} Vektorielle Gleichung der Geraden \begin{equation}g: \vec{s} = \vec{p} + \lambda(\vec{q} - \vec{p}) \land \lambda \in \mathbb{R}\end{equation} Koordinatengleichung der Geraden (Kartesische Form) \begin{equation}Ax + By + C = 0 \quad \mbox{Normale} \quad \vec{n} = (A, B)\end{equation} Gerade aus zwei Punkten A und B \begin{equation}s = \vec{a} + \lambda (\vec{b} - \vec{a})\end{equation} \subsubsection{Abstand von (0,0) von der Geraden} \begin{enumerate} \item Normalform berechnen ($Ax + By + C = 0$) \item Normale bestimmen ($\vec{n} = (A, B)$) \item Alle Koeffizienten durch Länge der Normalen dividieren \item Koeffizient C ist nun der Vektor von $(0,0)$ zur Geraden \item h aus C berechnen ($h =\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}$)\end{enumerate} \subsubsection{Abstand von P zu g} \begin{equation}d(R,g) = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}(r^2 - p^2)\end{equation} \subsubsection{Abstand von P zu g ($\mathbb{R}^3$)} $g: P, Q$ und $R \notin g$ und $\vec{q} - \vec{p} = \vec{u}$\\ \begin{equation}d(R,g) = h = \frac{|(\vec{r} \cdot \vec{p}) \times (\vec{q} - \vec{p})|}{|\vec{q} - \vec{p}|} = \frac{|(\vec{r} \cdot \vec{p}) \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}\end{equation} \subsubsection{Abstand zwischen zwei Geraden} Spat zwischen den Geraden aufspannen \begin{equation}h = \frac{|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (p_1 - p_0)|}{|\vec{a} \times \vec{b}|}\end{equation} \subsection{Ebene im Raum} Vektorform: $\vec{s} = \vec{a} + \lambda (\vec{b} - \vec{a}) + \alpha (\vec{c} - \vec{a})$\\ Kartesische Form: $Ax+By+Cz+D=0$\\ Normale: $\vec{n} = (A, B, C) \bot \Sigma$\\\\ Bestimmung der Normalform: Zuerst $\vec{n}$ bestimmen aus $\vec{n} = (\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a})$, anschliessend Punkt einsetzen und $D$ ausrechnen. \subsubsection{Abstand vom Ursprung} \begin{equation}Ax + By + Cz + D = 0\end{equation} \begin{equation}\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}x+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}y + \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}z + \frac{D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = 0\end{equation} Damit ist $h = \frac{D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ \subsubsection{Abstand eines Punktes zu einer Ebene} Mit $P = (p_1, p_2, p_3)$ \begin{equation}h = d(P, \Sigma) = \frac{A \cdot p_1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} + \frac{B \cdot p_2}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} + \frac{C \cdot p_3}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} + \frac{D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\end{equation} \subsubsection{Schnittpunkt Gerade und Ebene} $g: \vec{s} = p + \lambda \vec{u} \quad \land \quad \vec{u} = \vec{q} - \vec{p}$\\ $\Sigma: Ax+By+Cz+D=0$\\ $g: x = p_1+\lambda u_1 \quad y=p_2+\lambda u_2 \quad z = p_3 + \lambda u_3$\\\\ Anschliessend einsetzen in $\Sigma$: \begin{equation}A(p_1+\lambda u_1) + B(p_2+\lambda u_2) + C(p_3+\lambda u_3) + D = 0\end{equation} Das errechnete $\lambda$ dann in $\vec{s}$ einsetzen und Punkt berechnen. \subsubsection{Reflexion Gerade an der Ebene} $g: \vec{s} = \vec{p} + \lambda \vec{u} \quad \land \quad \vec{u} = \vec{q} - \vec{p}$\\ $\Sigma: Ax + By + Cz + D = 0$\\ Schnittpunkt $S = g \cap \Sigma$ und Spiegelpunkt $p' = \vec{p} + 2 \mu \vec{n} \quad \land \quad \vec{n} = (A,B,C)^T$ \begin{enumerate} \item Normale $\vec{n}$ bestimmen: $\vec{n} = (A,B,C)^T$ \item Schnittpunkt Gerade / Ebene bestimmen ($\vec{s}$) \item Anschliessend Normale von P auf $\Sigma$ bestimmen (Punkt $T: \vec{t} = \vec{p}+ \mu \vec{n}$) \item Mit dem $\lambda$ aus der vorherigen Rechnung können wir $p'$ berechnen: $p' = \vec{p} + 2 \cdot \lambda \vec{n}$ \item Damit ist die gespiegelte Gerade: $g': \vec{s} + \alpha (\vec{p} - \vec{s})$ \end{enumerate} \subsubsection{Winkel zwischen zwei Ebenen} \begin{equation}\cos{\Phi} = \frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{{A_1}^2+{B_1}^2+{C_1}^2}\sqrt{{A_2}^2+{B_2}^2+{C_2}^2}}\end{equation} \subsection{Kugel} Gleichung der Kugel \begin{equation}(x-u)^2+(y-v)^2=R^2\end{equation} oder\\ Kreismittelpunkt $M$, Punkt auf Kreis $s$ \begin{equation}(\vec{s}-\vec{m}) \cdot (\vec{s} - \vec{m}) = R^2 = |\vec{s}-\vec{m}|^2\end{equation} In $\mathbb{R}^3$ \begin{equation}(x-\frac{A}{2})^2+(y-\frac{B}{2})^2+(z-\frac{C}{2})^2=R^2\end{equation} \subsubsection{Schnitt Gerade mit Kugel} $g: \vec{s} = \vec{p} + \lambda \vec{u}$\\ $K: (\vec{s}-\vec{m})(\vec{s}-\vec{m}) = R^2$\\ \begin{equation}F = g \cap K: [(\vec{p} + \lambda \vec{u})-\vec{m}][(\vec{p} + \lambda \vec{u})-\vec{m}]=R^2\end{equation} \begin{equation}\lambda^2(\vec{u} \cdot \vec{u})+2 \lambda (\vec{p}-\vec{m}) + (\vec{p}-\vec{m}) - R^2 = 0\end{equation} \begin{eqnarray}(\vec{s}-\vec{m}) \cdot (\vec{s} - \vec{m}) & = & R^2 = |\vec{s}-\vec{m}|^2 \\ \vec{s} \cdot \vec{s} - 2 (\vec{s} \cdot \vec{m}) + \vec{m} \cdot \vec{m} & = & R^2\\ (\vec{p} + \lambda \vec{u})^2 - 2 (\vec{p} + \lambda \vec{u} \cdot \vec{m}) + \vec{m}^2 & = & R^2\end{eqnarray} \subsection{Andere geometrische Figuren} \subsubsection{Tetraeder} \begin{equation}V_{Tetraeder} = \frac{1}{6}[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \frac{1}{6}[\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})]\end{equation} \chapter{Matrizen} \section{Einleitung} Matrix $A$ vom Typ $(m,n)$ ist ein Zahlenschema mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten, auch $A_{m \times n}$ \begin{equation}A = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\... & ... & a_{ij} & ...\\a_{m1} & ... & ... & a_{mn}\end{matrix}\right)\end{equation} \section{Lineare Gleichungssysteme} Koeffizientenmatrix \begin{equation}A = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{matrix}\right)\end{equation} Inhomogenität \begin{equation}b = \left(\begin{matrix}b_{11} \\ b_{21}\end{matrix}\right)\end{equation} Erweiterte Koeffizientenmatrix \begin{equation}[A,b] = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & b_{11}\\a_{21} & a_{22} & b_{21}\end{matrix}\right)\end{equation} Vorgehen zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit Matrizen \begin{enumerate}\item Matrizen aufstellen \item Reduktion der Matrix \item Bestimmen Anzahl Lösungen \item Berechnung der Lösungen\end{enumerate} \section{Spezielle Matrizen} \subsection{Nullmatrix} \begin{equation}A = \left(\begin{matrix}0 & 0 & ... & 0\\... & ... & 0 & ...\\0 & ... & ... & 0\end{matrix}\right)\end{equation} \subsection{Einheitsmatrix} \begin{equation}I = \left(\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right)\end{equation} Dabei gilt: $A \cdot I = I \cdot A = A$ \section{Matrizenoperationen} \subsection{Addition} Zwischen Matrizen gleichen Types \begin{equation}A_{m \times n} \pm B_{m \times n} = C_{m \times n}\end{equation} \subsection{Skalare Multiplikation} \begin{equation}B = \lambda A \quad \to \quad b_{ij} = \lambda \cdot A_{ij}\end{equation} B entspricht dem gleichen Typ wie A, Typ wird nicht geändert. \subsection{Multiplikation} $A_{m \times n}$ multipliziert mit $B_{p \times q}$, nur möglich falls "Anzahl Spalten von A = Anzahl Zeilen von B" ist. \begin{equation}C_{n \times p} = A_{m \times n} \cdot B_{p \times q}\end{equation} mit \begin{eqnarray}c_{ij} = \vec{a}_i \cdot \vec{b}_j & \land & \vec{a}_i = \mbox{i-te Zeilenvektor von A}\\ & \land & \vec{b}_j = \mbox{j-te Spaltenvektor von B}\\ & \cdot & \mbox{Skalarprodukt analog Vektoren}\end{eqnarray} \subsection{Lineare Gleichungssysteme als Matrizen} Wenn $A\vec{x} = \vec{b}$, gesucht ist $\vec{x} = (x,y,z)^T$\\ Es gilt: $A \cdot A^{-1} = I$, damit ist $\vec{x} = A^{-1} \vec{b}$\\ D.h. bei 2x2 Matrizen: \begin{equation}A = \left(\begin{matrix}a & b\\c & d\end{matrix}\right) \to A^{-1} = \frac{1}{ad -bc}\left(\begin{matrix}d & -b\\-c & a\end{matrix}\right)\end{equation} \subsection{Determinanten} \begin{equation}det(A) = |A| = ad-bc \quad \mbox{, falls} \quad A = \left(\begin{matrix}a & b\\c & d\end{matrix}\right) \end{equation} Die Matrix A ist invertierbar, falls $det(A) \neq 0$\\ DIe Determinante ist bis auf das Vorzeichen die Fläche des Parallelogramms, welches von den Vektoren $\vec{p} = (a,c)^T$ und $\vec{q} = (b,d)^T$ aufgespannt wird. \section{Cramersche Regel} Wenn \begin{equation}A=\left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{matrix}\right) \quad b = \left(\begin{matrix}b_1\\b_2\\b_3\end{matrix}\right)\end{equation} ist nach der Cramerschen Regel:\\ $A_1=\left(\begin{matrix}b_1 & a_{12} & a_{13}\\b_2 & a_{22} & a_{23}\\b_3 & a_{32} & a_{33}\end{matrix}\right) \quad A_2=\left(\begin{matrix}a_{11} & b_1 & a_{13}\\a_{21} & b_2 & a_{23}\\a_{31} & b_3 & a_{33}\end{matrix}\right) \quad A_3=\left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & b_1\\a_{21} & a_{22} & b_2\\a_{31} & a_{32} & b_3\end{matrix}\right)$\\ und damit\\ $x_1 = \frac{det(A_1)}{det(A)} \quad x_2 = \frac{det(A_2)}{det(A)} \quad x_3 = \frac{det(A_3)}{det(A)}$\\ Wann ist eine Determinante = 0? \begin{enumerate} \item $A$ enthält eine Zeile (oder Spalte) mit lauter 0 \item Zwei Zeilen (oder Spalten) sind gleich \item Zwei Zeilen (oder Spalten) sind zueinander proportional \item Eine Zeile (oder Spalte) ist eine Linearkombination der übrigen Zeilen / Spalten\end{enumerate} \subsection{Inverse bestimmen} Gauss-Jordan \begin{equation}A=\left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & 1 & 0 & 0\\a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & 1 & 0\\a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right)\end{equation} Dann nach unten mit Gauss reduzieren und nach oben mit Gauss reduzieren, bis linke Seite der Identitätsmatrix entspricht. \end{document}