diff --git a/atom.xml b/atom.xml index 619a99ba5..56193fdef 100644 --- a/atom.xml +++ b/atom.xml @@ -23,7 +23,7 @@ 2020-07-04T09:44:49.000Z 2020-07-06T18:33:51.000Z - 在上一节中，总结了各种定义特殊点的方法，这一节主要讲述如何定义各类直线形——直线，三角形和多边形．

定义直线形的方法

定义直线

命令：\tkzDefLine[<options>](A,B) or (A,B,C) \tkzGetPoints{P}{Q} or \tkzGetPoint{P}

描述默认长度选项
ABAB 的垂直平分线 PQPQ正△ABP\triangle ABP、△ABQ\triangle ABQ默认，或者 mediator
过 MM 的垂线 MP⊥ABMP\perp ABMP=ABMP=ABperpendicular=through M
或 orthogonal=through M
过 MM 的平行线 MP∥ABMP \parallel ABMP→=AB→\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AB}．parallel=through M
∠ABC\angle ABC 的角平分线 BPBP很长，建议
使用 normed		bisector
∠ABC\angle ABC 的邻补角 ∠A′BC\angle A'BC 的平分线 BPBP很长，建议
使用 normed		bisector out
变换系数K=1
正交化normed

定义切线

描述命令
过 ⊙O\odot O 上点 AA 的切线 APAP\tkzDefTangent[at=A](O) \tkzGetPoint{P}
过⊙O\odot O 外点 AA 的切线 APAP、AQAQ\tkzDefTangent[from=A](O, K) \tkzGetPoints{P}{Q}
或 \tkzDefTangent[from with R=A](O, r cm)\tkzGetPoints{P}{Q}

定义三角形

命令：\tkzDefTriangle[<options>](A,B) \tkzGetPoint{C}

种类选项
已知两个角（∠A=α°\angle A=\alpha \degree，∠B=β°\angle B=\beta \degree）two angles=α and β
等边三角形equilateral
勾股三角形（AB:BC:AC=4:3:5AB:BC:AC=4:3:5）pythagore
含有 30°30 \degree 的直角三角形（∠A=30°\angle A=30 \degree，∠B=90°\angle B=90 \degree）school
黄金三角形（∠A=36°\angle A=36 \degree，∠B=∠C=72°\angle B=\angle C=72\degree）gold
黄金三角形（∠C=36°\angle C=36 \degree，∠A=∠B=72°\angle A=\angle B=72\degree）euclide
黄金矩形的一半（∠B=90°\angle B=90\degree，ABBC=φ\dfrac{AB}{BC}=\varphi）golden
胡夫三角形（AB:BC:AC=2:φ:φAB:BC:AC=2:\varphi:\varphi）cheops

定义特殊三角形

命令：\tkzDefSpcTriangle[<options>](A,B,C)，对应的「心」存在 tkzPointResult 中

描述对应的「心」选项
内心in 或 incentral
旁心三角形ex 或 excentral
内切点三角形Gergonne 点intouch 或 contact
旁切点三角形Nagel 点extouch
中点三角形重心centroid 或 medial
垂足三角形垂心orthic
九点圆和旁切圆切点三角形feuerbach
欧拉三角形（由顶点与垂心的中点构成）euler
外接圆外切三角形tangential

定义特殊多边形

图形命令
正方形\tkzDefSquare(A,B) \tkzGetPoints{C}{D}
平行四边形\tkzDefParallelogram(A,B,C) \tkzGetPoint{D}
黄金矩形（ABBC=φ\dfrac{AB}{BC}=\varphi）\tkzDefGoldRectangle(A,B) \tkzGetPoints{C}{D}

定义正多边形

命令：\tkzDefRegPolygon[<options>](A,B)

描述选项
第一个字母为中心（默认）center
两个字母为相邻顶点side
边数sides=5
顶点命名（P1P_1、P2P_2、…）name=P

绘制直线形的方法

绘制直线

绘制一条直线：\tkzDrawLine[<options>](A,B)

绘制多条直线：\tkzDrawLines[<options>](A,B C,D ...)

自定义直线的样式：\tkzSetUpLine[<options>]

样式默认选项
样式style=solid（或 dashed、densely dashed、dotted、densely dotted）
粗细line width=0.4pt
颜色color=black
延长add= .2 and .2

绘制三角形中的特殊线段

名称命令
中线\tkzDrawLine[median](A,B,C)
或 \tkzDrawMedian(A,B,C)
角平分线\tkzDrawLine[bisector](A,B,C)
或 \tkzDrawBisector(A,B,C)
高\tkzDrawLine[altitude](A,B,C)
或 \tkzDrawAltitude(A,B,C)

绘制线段

绘制一条线段：\tkzDrawSegment[<options>](A,B)（相当于 \draw (A)--(B)）

绘制多条线段：\tkzDrawSegments[<options>](A,B C,D ...)

（定义并）绘制三角形

命令：\tkzDrawTriangle[<options>](A,B) \tkzGetPoint{C}

（定义并）绘制正方形

命令：\tkzDrawSquare[<options>](A,B) \tkzGetPoints{C}{D}

（定义并）绘制黄金矩形

命令：\tkzDrawGoldRectangle[<options>](A,B) \tkzGetPoints{C}{D}

绘制多边形

命令：\tkzDrawPolygon[<options>](A,B,C,...)

绘制多边形链

命令：\tkzDrawPolySeg[<options>](A,B,C,...)

填充直线形的方法

填充多边形

命令：\tkzFillPolygon[<options>](A,B,C,...)

标记直线形的方法

标记直线

命令：\tkzLabelLine[<options>](A,B){<text support tex>}

描述选项
相对位置pos=.5
位置above/below + left/right
颜色black

标记线段

标记一条线段：\tkzLabelSegment[<options>](A,B)

标记多条线段：\tkzLabelSegments[<options>](A,B C,D ...)

选项和直线相同．

用符号标记线段

标记一条线段：\tkzMarkSegment[mark=<mark option>, <other options>](A,B)

标记多条线段：\tkzMarkSegment[mark=<mark option>, <other options>](A,B C,D ...)

符号标记选项
部分字母o、s、x、z
∞\inftyoo
直竖线|、||、|||
斜竖线s|、s||、s|||
描述其它选项
相对位置pos=.5
大小size=4pt
颜色black
]]> + 在上一节中，总结了各种定义特殊点的方法，这一节主要讲述如何定义各类直线形——直线，三角形和多边形．

☜定义直线形的方法

☜定义直线

命令：\tkzDefLine[<options>](A,B) or (A,B,C) \tkzGetPoints{P}{Q} or \tkzGetPoint{P}

描述默认长度选项
ABAB 的垂直平分线 PQPQ正△ABP\triangle ABP、△ABQ\triangle ABQ默认，或者 mediator
过 MM 的垂线 MP⊥ABMP\perp ABMP=ABMP=ABperpendicular=through M
或 orthogonal=through M
过 MM 的平行线 MP∥ABMP \parallel ABMP→=AB→\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AB}．parallel=through M
∠ABC\angle ABC 的角平分线 BPBP很长，建议
使用 normed		bisector
∠ABC\angle ABC 的邻补角 ∠A′BC\angle A'BC 的平分线 BPBP很长，建议
使用 normed		bisector out
变换系数K=1
正交化normed

☜定义切线

描述命令
过 ⊙O\odot O 上点 AA 的切线 APAP\tkzDefTangent[at=A](O) \tkzGetPoint{P}
过⊙O\odot O 外点 AA 的切线 APAP、AQAQ\tkzDefTangent[from=A](O, K) \tkzGetPoints{P}{Q}
或 \tkzDefTangent[from with R=A](O, r cm)\tkzGetPoints{P}{Q}

☜定义三角形

命令：\tkzDefTriangle[<options>](A,B) \tkzGetPoint{C}

种类选项
已知两个角（∠A=α°\angle A=\alpha \degree，∠B=β°\angle B=\beta \degree）two angles=α and β
等边三角形equilateral
勾股三角形（AB:BC:AC=4:3:5AB:BC:AC=4:3:5）pythagore
含有 30°30 \degree 的直角三角形（∠A=30°\angle A=30 \degree，∠B=90°\angle B=90 \degree）school
黄金三角形（∠A=36°\angle A=36 \degree，∠B=∠C=72°\angle B=\angle C=72\degree）gold
黄金三角形（∠C=36°\angle C=36 \degree，∠A=∠B=72°\angle A=\angle B=72\degree）euclide
黄金矩形的一半（∠B=90°\angle B=90\degree，ABBC=φ\dfrac{AB}{BC}=\varphi）golden
胡夫三角形（AB:BC:AC=2:φ:φAB:BC:AC=2:\varphi:\varphi）cheops

☜定义特殊三角形

命令：\tkzDefSpcTriangle[<options>](A,B,C)，对应的「心」存在 tkzPointResult 中

描述对应的「心」选项
内心in 或 incentral
旁心三角形ex 或 excentral
内切点三角形Gergonne 点intouch 或 contact
旁切点三角形Nagel 点extouch
中点三角形重心centroid 或 medial
垂足三角形垂心orthic
九点圆和旁切圆切点三角形feuerbach
欧拉三角形（由顶点与垂心的中点构成）euler
外接圆外切三角形tangential

☜定义特殊多边形

图形命令
正方形\tkzDefSquare(A,B) \tkzGetPoints{C}{D}
平行四边形\tkzDefParallelogram(A,B,C) \tkzGetPoint{D}
黄金矩形（ABBC=φ\dfrac{AB}{BC}=\varphi）\tkzDefGoldRectangle(A,B) \tkzGetPoints{C}{D}

☜定义正多边形

命令：\tkzDefRegPolygon[<options>](A,B)

描述选项
第一个字母为中心（默认）center
两个字母为相邻顶点side
边数sides=5
顶点命名（P1P_1、P2P_2、…）name=P

☜绘制直线形的方法

☜绘制直线

绘制一条直线：\tkzDrawLine[<options>](A,B)

绘制多条直线：\tkzDrawLines[<options>](A,B C,D ...)

自定义直线的样式：\tkzSetUpLine[<options>]

样式默认选项
样式style=solid（或 dashed、densely dashed、dotted、densely dotted）
粗细line width=0.4pt
颜色color=black
延长add= .2 and .2

☜绘制三角形中的特殊线段

名称命令
中线\tkzDrawLine[median](A,B,C)
或 \tkzDrawMedian(A,B,C)
角平分线\tkzDrawLine[bisector](A,B,C)
或 \tkzDrawBisector(A,B,C)
高\tkzDrawLine[altitude](A,B,C)
或 \tkzDrawAltitude(A,B,C)

☜绘制线段

绘制一条线段：\tkzDrawSegment[<options>](A,B)（相当于 \draw (A)--(B)）

绘制多条线段：\tkzDrawSegments[<options>](A,B C,D ...)

☜（定义并）绘制三角形

命令：\tkzDrawTriangle[<options>](A,B) \tkzGetPoint{C}

☜（定义并）绘制正方形

命令：\tkzDrawSquare[<options>](A,B) \tkzGetPoints{C}{D}

☜（定义并）绘制黄金矩形

命令：\tkzDrawGoldRectangle[<options>](A,B) \tkzGetPoints{C}{D}

☜绘制多边形

命令：\tkzDrawPolygon[<options>](A,B,C,...)

☜绘制多边形链

命令：\tkzDrawPolySeg[<options>](A,B,C,...)

☜填充直线形的方法

☜填充多边形

命令：\tkzFillPolygon[<options>](A,B,C,...)

☜标记直线形的方法

☜标记直线

命令：\tkzLabelLine[<options>](A,B){<text support tex>}

描述选项
相对位置pos=.5
位置above/below + left/right
颜色black

☜标记线段

标记一条线段：\tkzLabelSegment[<options>](A,B)

标记多条线段：\tkzLabelSegments[<options>](A,B C,D ...)

选项和直线相同．

☜用符号标记线段

标记一条线段：\tkzMarkSegment[mark=<mark option>, <other options>](A,B)

标记多条线段：\tkzMarkSegment[mark=<mark option>, <other options>](A,B C,D ...)

符号标记选项
部分字母o、s、x、z
∞\inftyoo
直竖线|、||、|||
斜竖线s|、s||、s|||
描述其它选项
相对位置pos=.5
大小size=4pt
颜色black
]]> @@ -48,7 +48,7 @@ 2020-06-29T10:08:15.000Z 2020-06-30T06:57:23.000Z - 由于新冠疫情的原因，从寒假后半段、到整个春季，以及预计暑假所有的课程，都采取线上教学的模式。

由于我已经有了 iPad Pro，因此我直接使用苹果投屏来代替手写板，进行网上教学。

对比教学软件（ClassIn）所提供的黑板，iPad 上的软件所提供的手写功能更好用，也可以直接在讲义或者 PPT上进行书写，比直接在软件里写要舒服得多。

当然，投屏不是没有限制。由于长宽比的原因，投屏的时候，投屏无法占满教学窗口的所有内容，两边会有很大的黑框，造成了很大的浪费。

这带来的一个后果就是，如果要把题目做成 PPT 的形式（我一般是使用 PDF 格式，因为不需要做动画），需要设计好纸张尺寸的大小。

经过多次试验，在 Word 中，把纸张大小设为 18cm×10cm，页边距上下各 0.2cm，左右各 0.5cm，这样直接把讲义里的题目复制进去（5号字），再转换成 PDF，大小是比较合适的。

每页一道题，在可以保证学生看得清楚题目的同时，也有足够的空间来写板书。

在选择笔记软件的时候，我同时试用了两款经典的笔记软件：Notability 和 GoodNotes。（也因为我只买了这两个软件。）这两个软件有各自独特的优点，也有各自的痛点。

我这里只考虑在网课教学这一个用途下的对比，因此一些强大但是无用的功能（比如录音）在这里不做考虑。

注意：两款软件都在不断更新，并且不断添加新的功能，因此后面所说的可能与您现在所用到的功能并不完全相同。请注意本文的更新日期。

例如，就在我使用它们上课的这几个月间，Notability 添加了投屏区域和激光笔功能，导致我从完全使用 GoodNotes 转换到目前以使用 Notability 为主。（毕竟从一开始，我就是 Notability 党）

作为一个投屏教学的笔记软件的必要条件

两个笔记本软件目前都支持的功能

GoodNotes 的优势

GoodNotes 的痛点

Notability 的优势

Notability 的痛点

我的经验

在最开始上课的时候，由于 Notability 还不支持投屏区域功能，因此只能使用 GoodNotes，恰巧这个时候有好几个班都在讲几何，因此体会最深的就是每次画辅助线的时候都要切换工具，画完之后还要切换回来，非常麻烦。而且它的自动校正并不准确，而且在画完之后不支持调整，导致一条线有时需要画好几遍才能画得比较准确。

因此在暑假开课的时候，我终于可以切换到了 Notability，但是也带了各种不方便，上面列举的所有痛点，都是我在讲课的时候遇到的。这里面影响最大的就是添加同类型页面非常麻烦。因为几何题目的过程较长，一页的板书写不下，所以我得提前复制好新的页面，否则在讲解题目的时候再复制，就会非常影响讲课的节奏。（但我又经常忘了。。。）

不得不说，习惯了 GoodNotes 添加页面的快捷之后，再回到 Notability，我到现在都没法适应。

上面说的「比较麻烦」和「非常麻烦」，都是已经到了影响教学节奏的程度。

当我的学生看到我讲题的中间突然停止了一下，基本上就是出了这些问题。

而讲代数部分的话，两者区别不大，唯一 Notability 比 GoodNotes 强的地方大概就是可以画比较直的长分数线吧。

关于颜色切换部分，我补充一点。如果仅仅使用 3 个颜色就够的话，GoodNotes 的切换方式要快的多；但是，如果使用的颜色更多的话，反而是 Notability 的切换方式更加顺畅。在讲比较复杂的几何题的时候，这点体现得尤为明显。

因此，仅从书写体验来看，Notability 要比 GoodNotes 强太多，特别是讲几何题的时候。

而从综合体验上来看，则是 GoodNotes 完胜。

我的选择

只要有几何内容，那么一定使用 Notability。

如果只讲代数内容，那就看当时的心情吧。不过我更喜欢 Notability 里面书写的感觉，因此继续用 Notability 的几率会更大一点吧。

]]> + 由于新冠疫情的原因，从寒假后半段、到整个春季，以及预计暑假所有的课程，都采取线上教学的模式。

由于我已经有了 iPad Pro，因此我直接使用苹果投屏来代替手写板，进行网上教学。

对比教学软件（ClassIn）所提供的黑板，iPad 上的软件所提供的手写功能更好用，也可以直接在讲义或者 PPT上进行书写，比直接在软件里写要舒服得多。

当然，投屏不是没有限制。由于长宽比的原因，投屏的时候，投屏无法占满教学窗口的所有内容，两边会有很大的黑框，造成了很大的浪费。

这带来的一个后果就是，如果要把题目做成 PPT 的形式（我一般是使用 PDF 格式，因为不需要做动画），需要设计好纸张尺寸的大小。

经过多次试验，在 Word 中，把纸张大小设为 18cm×10cm，页边距上下各 0.2cm，左右各 0.5cm，这样直接把讲义里的题目复制进去（5号字），再转换成 PDF，大小是比较合适的。

每页一道题，在可以保证学生看得清楚题目的同时，也有足够的空间来写板书。

在选择笔记软件的时候，我同时试用了两款经典的笔记软件：Notability 和 GoodNotes。（也因为我只买了这两个软件。）这两个软件有各自独特的优点，也有各自的痛点。

我这里只考虑在网课教学这一个用途下的对比，因此一些强大但是无用的功能（比如录音）在这里不做考虑。

注意：两款软件都在不断更新，并且不断添加新的功能，因此后面所说的可能与您现在所用到的功能并不完全相同。请注意本文的更新日期。

例如，就在我使用它们上课的这几个月间，Notability 添加了投屏区域和激光笔功能，导致我从完全使用 GoodNotes 转换到目前以使用 Notability 为主。（毕竟从一开始，我就是 Notability 党）

☜作为一个投屏教学的笔记软件的必要条件

☜两个笔记本软件目前都支持的功能

☜GoodNotes 的优势

☜GoodNotes 的痛点

☜Notability 的优势

☜Notability 的痛点

☜我的经验

在最开始上课的时候，由于 Notability 还不支持投屏区域功能，因此只能使用 GoodNotes，恰巧这个时候有好几个班都在讲几何，因此体会最深的就是每次画辅助线的时候都要切换工具，画完之后还要切换回来，非常麻烦。而且它的自动校正并不准确，而且在画完之后不支持调整，导致一条线有时需要画好几遍才能画得比较准确。

因此在暑假开课的时候，我终于可以切换到了 Notability，但是也带了各种不方便，上面列举的所有痛点，都是我在讲课的时候遇到的。这里面影响最大的就是添加同类型页面非常麻烦。因为几何题目的过程较长，一页的板书写不下，所以我得提前复制好新的页面，否则在讲解题目的时候再复制，就会非常影响讲课的节奏。（但我又经常忘了。。。）

不得不说，习惯了 GoodNotes 添加页面的快捷之后，再回到 Notability，我到现在都没法适应。

上面说的「比较麻烦」和「非常麻烦」，都是已经到了影响教学节奏的程度。

当我的学生看到我讲题的中间突然停止了一下，基本上就是出了这些问题。

而讲代数部分的话，两者区别不大，唯一 Notability 比 GoodNotes 强的地方大概就是可以画比较直的长分数线吧。

关于颜色切换部分，我补充一点。如果仅仅使用 3 个颜色就够的话，GoodNotes 的切换方式要快的多；但是，如果使用的颜色更多的话，反而是 Notability 的切换方式更加顺畅。在讲比较复杂的几何题的时候，这点体现得尤为明显。

因此，仅从书写体验来看，Notability 要比 GoodNotes 强太多，特别是讲几何题的时候。

而从综合体验上来看，则是 GoodNotes 完胜。

☜我的选择

只要有几何内容，那么一定使用 Notability。

如果只讲代数内容，那就看当时的心情吧。不过我更喜欢 Notability 里面书写的感觉，因此继续用 Notability 的几率会更大一点吧。

]]> @@ -83,7 +83,7 @@ 2020-06-22T12:31:22.000Z 2020-06-29T15:20:16.000Z - 基本格式：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
\begin{tikzpicture}
  %%% 定义基础点
  \tkzDefPoint(0,0){A}
  \tkzDefPoint(1,0){B}
  %%% 定义各种图形及其它点
  \tkzDefSquare(A,B) \tkzGetPoints{C}{D}
  %%% 画出所有图形和点
  \tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
  \tkzDrawPoints(A,...,D)
  %%% 标记图形和点
  \tkzLabelPoints[below](A,B)
  \tkzLabelPoints[above](C,D)
\end{tikzpicture}

相较于 tikz 宏包的优点：

  • 常用的图形都有定义，可以直接画
  • 命令的命名规则比较好记

缺点：

  • 命名比较繁琐

定义点的方法

定义坐标点

方法命令
直角坐标\tkzDefPoint(<x,y>){A}
极坐标\tkzDefPoint(<θ:ρ>){A}
相对坐标\tkzDefShiftPoint[A](<x,y> or <θ:ρ>){B} 或者
\tkzDefPoint[shift={(<x,y> or <θ:ρ>)}]((<x,y> or <θ:ρ>){B})或者
\tkzDefPointOnCircle[angle=θ,center=A,radius=ρ] \tkzGetPoint{B}
批量定义（直角坐标）\tkzDefPoints{<x1/y1/A,x2/y2/B,...>}

定义相对点

方法命令
中点\tkzDefMidPoint(A,B) \tkzGetPoint{C}
定比分点（AP:PB=m:nAP:PB=m:n，即
OP→=nOA→+mOB→n+m\overrightarrow{OP}=\dfrac{n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{n+m}）		\tkzDefBarycentricPoint(<A=n,B=m>) \tkzGetPoint{P}
定比分点（AP→=kAB→\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}）\tkzDefPointOnLine[pos=k](A,B)
重心坐标\tkzDefBarycentricPoint(<A=α1,B=α2,C=α3,...>) \tkzGetPoint{P}
内相似中心\tkzDefIntSimilitudeCenter(O1,r1)(O2,r2) \tkzGetPoint{I}
外相似中心\tkzExtSimilitudeCenter(O1,r1)(O2,r2) \tkzGetPoint{J}

定义几何变换点

命令：\tkzDefPointBy[<option>](P) \tkzGetPoint{Q}

批量变换：\tkzDefPointsBy[<option>](M,N,...){P,Q,...}

（如后面的为{}，则缺省值为M',N',...）

变换选项
平移translation=from A to B
位似homothety=center A ratio .5
反射（轴对称）reflection=over A--B
中心对称symmetry=center A
投影projection=onto A--B
旋转（角度）rotation=center O angle 30
旋转（弧度）rotation in rad=center O angle pi/3
反演inversion=center O through A

定义向量变换点

命令：\tkzDefPointWith[<options>](<A,B>) \tkzGetPoint{C}

变换描述选项
正交AC→=KAB→\overrightarrow{AC}=K\overrightarrow{AB}，AC→⊥AB→\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{AB}．orthogonal
单位正交AC=KAC=K，AC→⊥AB→\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{AB}．orthogonal normed
共线AC→=KAB→\overrightarrow{AC}=K\overrightarrow{AB}．linear
单位共线AC=KAC=K，AC→∥AB→\overrightarrow{AC}\parallel\overrightarrow{AB}．linear normed
共线MC→=KAB→\overrightarrow{MC}=K\overrightarrow{AB}．colinear=at M
单位共线MC=KMC=K，MC→∥AB→\overrightarrow{MC}\parallel\overrightarrow{AB}．colinear normed=at M
变换系数K默认为1（与前面的选项组合使用）K=1

获取向量的坐标：\tkzGetVectxy(<A,B>){<V>}，则向量 AB→\overrightarrow{AB} 的坐标为 (\Vx,\Vy)．

定义三角形的各中心

命令：\tkzDefTriangleCenter[<option>](<A,B,C>) \tkzGetPoint{P}

ETC 编号名称描述选项
X(1)内心三条内角平分线的交点in
旁心（与B对应）两条外角平分线与一条内角平分线的交点ex
X(2)重心三条中线的交点centroid
X(3)外心三条垂直平分线的交点circum
X(4)垂心三条高的交点ortho
X(5)欧拉圆（九点圆）心三边的中点、三高的垂足、
顶点到垂心的三条线段的中点
所在圆的圆心		euler
X(6)类似重心（Lemoine点、莱莫恩点）重心的等角共轭点symmedian
X(7)Gergonne点（热尔岗点）内切点与对应顶点的三条连线的交点gergonne
X(8)Nagel点（奈格尔点）旁切点与对应顶点的三条连线的交点nagel
X(9)mittenpunkt点旁切点三角形的类似重心mittenpunkt
X(10)Spieker点（斯俾克心）中点三角形的内心spieker
X(11)费尔巴哈点内切圆与九点圆的切点feuerbach

定义随机点

命令：\tkzDefRandPointOn[<local option>] \tkzGetPoint{P}

位置选项
线段segment=A--B
直线line=A--B
矩形rectangle=A and B
圆（已知半径长度）circle=center A radius 2
圆（已知半径线段）circle through=center A through B
圆盘（已知半径线段）disk through=center A through B

获取点的方法

获取一个点：\tkzGetPoint{A}，默认存储为 tkzPointResult

获取多个点：\tkzGetPoints{A}{B}，默认存储为 tkzFirstPointResult 和 tkzSecondPointResult

若只获取其中某一个，则可以使用 tkzGetFirstPoint{A} 或 \tkzGetSecondPoint{B}

绘制点的方法

绘制单个点：\tkzDrawPoint[<options>](A)

绘制多个点：\tkzDrawPoints[<options>](A,B,C,...)

自定义点的样式：\tkzSetUpPoint[<options>]

样式选项
形状shape=circle（或 cross、cross out）
大小size=3
颜色color=black
填充fill=black!50

标记点的方法

标记单个点：\tkzLabelPoint[<options>](A){<text support tex>}

标记多个点：\tkzLabelPoints[<options>](A,B,C,...)

自动选择位置标记多个点：\tkzAutoLabelPoints[center=M, <options>](A,B,C,...)

描述选项
位置above/below + left/right
具体位置below right=3pt
字体大小font=\scriptsize
颜色color=black
]]> + 基本格式：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
\begin{tikzpicture}
  %%% 定义基础点
  \tkzDefPoint(0,0){A}
  \tkzDefPoint(1,0){B}
  %%% 定义各种图形及其它点
  \tkzDefSquare(A,B) \tkzGetPoints{C}{D}
  %%% 画出所有图形和点
  \tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
  \tkzDrawPoints(A,...,D)
  %%% 标记图形和点
  \tkzLabelPoints[below](A,B)
  \tkzLabelPoints[above](C,D)
\end{tikzpicture}

相较于 tikz 宏包的优点：

  • 常用的图形都有定义，可以直接画
  • 命令的命名规则比较好记

缺点：

  • 命名比较繁琐

☜定义点的方法

☜定义坐标点

方法命令
直角坐标\tkzDefPoint(<x,y>){A}
极坐标\tkzDefPoint(<θ:ρ>){A}
相对坐标\tkzDefShiftPoint[A](<x,y> or <θ:ρ>){B} 或者
\tkzDefPoint[shift={(<x,y> or <θ:ρ>)}]((<x,y> or <θ:ρ>){B})或者
\tkzDefPointOnCircle[angle=θ,center=A,radius=ρ] \tkzGetPoint{B}
批量定义（直角坐标）\tkzDefPoints{<x1/y1/A,x2/y2/B,...>}

☜定义相对点

方法命令
中点\tkzDefMidPoint(A,B) \tkzGetPoint{C}
定比分点（AP:PB=m:nAP:PB=m:n，即
OP→=nOA→+mOB→n+m\overrightarrow{OP}=\dfrac{n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{n+m}）		\tkzDefBarycentricPoint(<A=n,B=m>) \tkzGetPoint{P}
定比分点（AP→=kAB→\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}）\tkzDefPointOnLine[pos=k](A,B)
重心坐标\tkzDefBarycentricPoint(<A=α1,B=α2,C=α3,...>) \tkzGetPoint{P}
内相似中心\tkzDefIntSimilitudeCenter(O1,r1)(O2,r2) \tkzGetPoint{I}
外相似中心\tkzExtSimilitudeCenter(O1,r1)(O2,r2) \tkzGetPoint{J}

☜定义几何变换点

命令：\tkzDefPointBy[<option>](P) \tkzGetPoint{Q}

批量变换：\tkzDefPointsBy[<option>](M,N,...){P,Q,...}

（如后面的为{}，则缺省值为M',N',...）

变换选项
平移translation=from A to B
位似homothety=center A ratio .5
反射（轴对称）reflection=over A--B
中心对称symmetry=center A
投影projection=onto A--B
旋转（角度）rotation=center O angle 30
旋转（弧度）rotation in rad=center O angle pi/3
反演inversion=center O through A

☜定义向量变换点

命令：\tkzDefPointWith[<options>](<A,B>) \tkzGetPoint{C}

变换描述选项
正交AC→=KAB→\overrightarrow{AC}=K\overrightarrow{AB}，AC→⊥AB→\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{AB}．orthogonal
单位正交AC=KAC=K，AC→⊥AB→\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{AB}．orthogonal normed
共线AC→=KAB→\overrightarrow{AC}=K\overrightarrow{AB}．linear
单位共线AC=KAC=K，AC→∥AB→\overrightarrow{AC}\parallel\overrightarrow{AB}．linear normed
共线MC→=KAB→\overrightarrow{MC}=K\overrightarrow{AB}．colinear=at M
单位共线MC=KMC=K，MC→∥AB→\overrightarrow{MC}\parallel\overrightarrow{AB}．colinear normed=at M
变换系数K默认为1（与前面的选项组合使用）K=1

获取向量的坐标：\tkzGetVectxy(<A,B>){<V>}，则向量 AB→\overrightarrow{AB} 的坐标为 (\Vx,\Vy)．

☜定义三角形的各中心

命令：\tkzDefTriangleCenter[<option>](<A,B,C>) \tkzGetPoint{P}

ETC 编号名称描述选项
X(1)内心三条内角平分线的交点in
旁心（与B对应）两条外角平分线与一条内角平分线的交点ex
X(2)重心三条中线的交点centroid
X(3)外心三条垂直平分线的交点circum
X(4)垂心三条高的交点ortho
X(5)欧拉圆（九点圆）心三边的中点、三高的垂足、
顶点到垂心的三条线段的中点
所在圆的圆心		euler
X(6)类似重心（Lemoine点、莱莫恩点）重心的等角共轭点symmedian
X(7)Gergonne点（热尔岗点）内切点与对应顶点的三条连线的交点gergonne
X(8)Nagel点（奈格尔点）旁切点与对应顶点的三条连线的交点nagel
X(9)mittenpunkt点旁切点三角形的类似重心mittenpunkt
X(10)Spieker点（斯俾克心）中点三角形的内心spieker
X(11)费尔巴哈点内切圆与九点圆的切点feuerbach

☜定义随机点

命令：\tkzDefRandPointOn[<local option>] \tkzGetPoint{P}

位置选项
线段segment=A--B
直线line=A--B
矩形rectangle=A and B
圆（已知半径长度）circle=center A radius 2
圆（已知半径线段）circle through=center A through B
圆盘（已知半径线段）disk through=center A through B

☜获取点的方法

获取一个点：\tkzGetPoint{A}，默认存储为 tkzPointResult

获取多个点：\tkzGetPoints{A}{B}，默认存储为 tkzFirstPointResult 和 tkzSecondPointResult

若只获取其中某一个，则可以使用 tkzGetFirstPoint{A} 或 \tkzGetSecondPoint{B}

☜绘制点的方法

绘制单个点：\tkzDrawPoint[<options>](A)

绘制多个点：\tkzDrawPoints[<options>](A,B,C,...)

自定义点的样式：\tkzSetUpPoint[<options>]

样式选项
形状shape=circle（或 cross、cross out）
大小size=3
颜色color=black
填充fill=black!50

☜标记点的方法

标记单个点：\tkzLabelPoint[<options>](A){<text support tex>}

标记多个点：\tkzLabelPoints[<options>](A,B,C,...)

自动选择位置标记多个点：\tkzAutoLabelPoints[center=M, <options>](A,B,C,...)

描述选项
位置above/below + left/right
具体位置below right=3pt
字体大小font=\scriptsize
颜色color=black
]]> @@ -108,7 +108,7 @@ 2020-06-22T12:28:22.000Z 2020-06-22T12:28:22.000Z - 剪裁文件
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
### 截取前一部分的视频
ffmpeg -t [duration] -i [input.mp4] -c copy [output.mp4]

### 截取后一部分视频
ffmpeg -ss [start] -i [input.mp4] -c copy [output.mp4]

### 截取中间一部分视频（结束时间确定）
ffmpeg -ss [start] -to [end] -i [input.mp4] -c copy [output.mp4]
### 或者（时长确定）
ffmpeg -ss [start] -t [duration] -i [input.mp4] -c copy [output.mp4]

时间格式：HH:MM:SS.XXX。

这里面使用 -c copy 的选项，避免重新进行编码，可以很快地进行剪裁。

这里 -ss、-to、-t 的选项放在 -i 选项之前，时间不是很精确，可能有几秒的误差，但是可以避免黑屏的问题。在对时间精确度要求不高的情况下这是最好的方案。

如果放在 -i 选项之后，会对输入文件进行逐帧解码，时间会比较准确，但可能出现黑屏问题，速度也比较慢。

一种更加精确的剪裁方法是：

1
ffmpeg -ss [start] -t [duration] -accurate_seek -i [input.mp4] -avoid_negative_ts 1 -c copy [output.mp4]

注意 -accurate_seek 选项要在 -i 选项之前。

如果需要非常精确的剪裁的话，需要重新进行编码，并使用 -strict experimental 或者 -strict 2 的选项。

合并文件

先把要合并的文件写在一个文本文件 list.txt 里：

1
2
3
file './split1.mp4'
file './split2.mp4'
file './split3.mp4'

然后再进行合并：

1
ffmpeg -f concat -i [list.txt] -c copy [output.mp4]

改变格式

1
2
3
4
5
### 重新编码
ffmpeg -i [input].mp4 [output].flv

### 不重新编码
ffmpeg -i [input].mp4 -c copy [output].flv

提取音频

1
ffmpeg -i [intput].mp4 -c:a copy [output.aac]

合并视频和音频

1
ffmpeg -i [input.mp4] -i [input.aac] -c copy [output.mp4]
]]> + ☜剪裁文件
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
### 截取前一部分的视频
ffmpeg -t [duration] -i [input.mp4] -c copy [output.mp4]

### 截取后一部分视频
ffmpeg -ss [start] -i [input.mp4] -c copy [output.mp4]

### 截取中间一部分视频（结束时间确定）
ffmpeg -ss [start] -to [end] -i [input.mp4] -c copy [output.mp4]
### 或者（时长确定）
ffmpeg -ss [start] -t [duration] -i [input.mp4] -c copy [output.mp4]

时间格式：HH:MM:SS.XXX。

这里面使用 -c copy 的选项，避免重新进行编码，可以很快地进行剪裁。

这里 -ss、-to、-t 的选项放在 -i 选项之前，时间不是很精确，可能有几秒的误差，但是可以避免黑屏的问题。在对时间精确度要求不高的情况下这是最好的方案。

如果放在 -i 选项之后，会对输入文件进行逐帧解码，时间会比较准确，但可能出现黑屏问题，速度也比较慢。

一种更加精确的剪裁方法是：

1
ffmpeg -ss [start] -t [duration] -accurate_seek -i [input.mp4] -avoid_negative_ts 1 -c copy [output.mp4]

注意 -accurate_seek 选项要在 -i 选项之前。

如果需要非常精确的剪裁的话，需要重新进行编码，并使用 -strict experimental 或者 -strict 2 的选项。

☜合并文件

先把要合并的文件写在一个文本文件 list.txt 里：

1
2
3
file './split1.mp4'
file './split2.mp4'
file './split3.mp4'

然后再进行合并：

1
ffmpeg -f concat -i [list.txt] -c copy [output.mp4]

☜改变格式

1
2
3
4
5
### 重新编码
ffmpeg -i [input].mp4 [output].flv

### 不重新编码
ffmpeg -i [input].mp4 -c copy [output].flv

☜提取音频

1
ffmpeg -i [intput].mp4 -c:a copy [output.aac]

☜合并视频和音频

1
ffmpeg -i [input.mp4] -i [input.aac] -c copy [output.mp4]
]]> @@ -131,7 +131,7 @@ 2020-05-12T06:52:40.000Z 2020-05-18T05:26:40.000Z - 直接运行
  • winver: 关于 Windows
  • msinfo32：系统信息
  • msconfig: 系统配置实用程序
  • control: 控制面版
  • regedit: 注册表
  • perfmon：计算机性能监测器
  • dxdiag：检查 DirectX 信息
  • explorer：资源管理器 Win+E
  • taskmgr: 任务管理器 Win+X T
  • powershell: Windows PowerShell Win+X I
  • mspaint：画图
  • notepad：记事本

管理控制台

  • services.msc: 服务
  • gpedit.msc: 组策略
  • wf.msc: 高级安全 Windows Defender 防火墙
  • compmgmt.msc：计算机管理
  • diskmgmt.msc：磁盘管理 Win+X K
  • secpol.msc：本地安全策略

控制面板

  • hdwwiz.cpl：设备管理器 Win+X M
  • appwiz.cpl: 程序和功能（卸载）
  • firewall.cpl: Windows Defender 防火墙
  • main.cpl：鼠标属性
  • mmsys.cpl：声音
  • ncpa.cpl：网络连接（适配器）
  • powercfg.cpl：电源选项 Win+X O
]]> + ☜直接运行
  • winver: 关于 Windows
  • msinfo32：系统信息
  • msconfig: 系统配置实用程序
  • control: 控制面版
  • regedit: 注册表
  • perfmon：计算机性能监测器
  • dxdiag：检查 DirectX 信息
  • explorer：资源管理器 Win+E
  • taskmgr: 任务管理器 Win+X T
  • powershell: Windows PowerShell Win+X I
  • mspaint：画图
  • notepad：记事本

☜管理控制台

  • services.msc: 服务
  • gpedit.msc: 组策略
  • wf.msc: 高级安全 Windows Defender 防火墙
  • compmgmt.msc：计算机管理
  • diskmgmt.msc：磁盘管理 Win+X K
  • secpol.msc：本地安全策略

☜控制面板

  • hdwwiz.cpl：设备管理器 Win+X M
  • appwiz.cpl: 程序和功能（卸载）
  • firewall.cpl: Windows Defender 防火墙
  • main.cpl：鼠标属性
  • mmsys.cpl：声音
  • ncpa.cpl：网络连接（适配器）
  • powercfg.cpl：电源选项 Win+X O
]]> @@ -154,7 +154,7 @@ 2020-05-01T05:26:42.000Z 2020-05-17T21:26:42.000Z - 由于之前的电脑 8G 的内存已经明显不够了。比如 chrome 开10+个网页，wsl2 一直开着或者更新了大软件（比如 texlive-fontextra），VSCode 打开一个大项目，都会造成内存告急。如果有两种情况同时出现的话，基本上直接崩溃了。chrome 的话崩溃了还好，再打开就可以了。wsl2 一但崩溃，特别是在 pacman 更新的时候，直接导致更新的数据库崩溃，还都手动修复。

如果开虚拟内存系统托管的话，系统倒是再加 8G 的虚拟内存，但是由于我的硬盘是机械硬盘，于是就会造成硬盘活动时间始终是100%，会造成响应变慢，甚至直接卡死。

于是我加了一块 500G 的固态硬盘，用的西数的蓝盘，然后把两个 4G 的内存条换成了两个 8G 的内存条，还把网卡换成了最新的 AX200（原先的网卡不支持 5GHz 的 WIFI）。

顺带请了一下风扇，换了散热硅脂。

以及拔插了一下摄像头的连接线，解决了之前摄像头时能用时不能用的问题。

因为之前的系统里的东西比较杂乱，于是我决定重新安装系统，而不是做系统迁移。

安装 windows 还是比较顺利的。这里建议不要用 Media Creation Tool，而是直接下载 iso 文件，这样下载的速度会快一些。（谁叫我有 IDM 呢 →_→）

安装之后，系统引导会自动生成，不用手动干预。

然而，主要耗费时间是在安装各种软件上。

Adobe

有请 vposy 大神。。。

Office 下载与激活

参见 https://v0v.bid。

MathType 与字体冲突的问题

MathType 与 Microsoft Store 中的「更纱黑体」相冲突，安装「更纱黑体」会导致 MathType 闪退，原因不明。

但直接下载字体点击安装的话就没有问题。

这个问题折腾了我半天的时间。。。

重启电脑之后发现，手动安装也不行。。。
话说之前的系统里一直是两者共存没有问题啊。。。

又尝试单独安装部分字体，只装了 Sarasa Term，没有问题。那就先这么用吧。。。

盘符问题

在安装的时候，一定将新的系统盘标为 C 盘。如果系统安装完了之后，就没法再修改了。至少我目前还没有找到方法。

看过网上说的一些方法。如果直接在硬盘管理中修改盘符的话，非系统盘是可以直接修改的，系统盘修改的话会显示参数错误。

还有直接修改注册表中 HKEY_LOCAL_MACHINE\SYSTEM\MountedDevices 下的驱动器号的，我试了一下，然后电脑就无法启动了。还是通过安装盘恢复原来的设定之后才能启动。

又是一天的血和泪。。。

主要的原因是，之前安装 Windows 的时候偷懒了，直接加载 iso 文件安装的，没有制作安装 U 盘。然后修改注册表之后系统无法启动，只能进入到 Linux 下去制作 Windows 的启动盘。
直接使用 dd 的话，电脑不能识别 U 盘启动，试了好几个软件，最终使用 woeusb 才成功了。

其实大部分软件安装都没有问题，只是在「华为电脑管家」的时候出现了问题。
于是我只能把另外一个分区改为 C 盘，然后安装之后把 Program Files(x86) 中的文件移到 D 盘中，然后在注册表中搜索修改所有相关的项。
目前使用上还没有发现问题。

独显问题

之前电脑上，可以选择以 N 卡运行 chrome。但是这次安装之后，即使是选择 N 卡运行，包括在 Nvidia 控制面板里设置，还是右击选择以「高性能 Nvidia 处理器」运行，都没有作用。

Firefox 也不管用。

但是 mpv 和 qutebrwoser 都运行正常。

主要这么纠结的原因是，在打雀魂的时候，核显会飙到 80%，而且会有明显的卡顿。切换到 N 卡上话，核显 50%，独显 45%，但至少没有感觉的明显的卡顿了。
我就是想打个麻将而已，容易么我。。。
顺带说一下，笔记本是 14 年买的，CPU 是 i7-4700HQ，核显是 HD Graphic 4600，独显是 GeForce GTX 850M。

播放器选择

安装之后试了一下 4k 视频的播放，发现不需要修改就可以直接舒畅播放的就只有 vlc，而且仅仅使用核显，播放的时候 CPU 30%，核显 vlc 使用 5%，整体 20%，不知道是怎么调教的。

如果配置好的话，让 mpv 用 N 卡解码也是可以流畅播放的，核显 25%，独显 60%。

对不同应用切换不同的输入法

设置 -> 设备 -> 输入 -> 高级键盘设置 -> 切换输入法 -> 勾选「允许我为每个应用窗口使用不同的输入法」

杀毒软件

趁着这次机会，入正了 EAV。

Git

如果直接安装 Git For Windows 的话，就没有什么问题。
不过由于我安装了 MSYS2，因此就直接在 MSYS2 里面安装了，但这带来了一个奇怪的问题，那就是 git 的 ssh 协议无法使用。具体就是：如我运行

1
ssh -T git@github.com

没有问题，会正常的返回

1
Hi wangjiezhe! You've successfully authenticated, but GitHub does not provide shell access.

但是 git pull 和 git push 就是运行不成功，显示

1
2
3
4
5
git@github.com: Permission denied (publickey).
fatal: Could not read from remote repository.

Please make sure you have the correct access rights
and the repository exists.

后来发现，Git For Windows 貌似可以之间使用 Windows 默认的 ssh 配置文件（位置在 %HOMEPATH%\.ssh\），而在 MSYS2 里安装的话需要把密钥复制到 MSYS2 的 ssh 配置文件里。

WSL

在安装完 WSL 之后，我发现网络访问有问题，而且问题比较奇怪。

我在 WSL 中，能够正常访问网络；在 Windows 中，也能访问 WSL 中的网络；但是在 WSL 中，无法访问 Windows 应用，包括 VcXsrc。

问题已解决，是防火墙的问题。我之前只在「允许应用通过防火墙」中为 VcXsrv 允许了专用网络，把公用网络也勾选上就 OK 了。
其它的例如 python -m http.server，把 python.exe 加入到防火墙的入站规则里就可以了。
如果使用 Windows 默认的防火墙的话，推荐使用 Firewall App Blocker，可以很方便的添加防火墙规则。

]]> + 由于之前的电脑 8G 的内存已经明显不够了。比如 chrome 开10+个网页，wsl2 一直开着或者更新了大软件（比如 texlive-fontextra），VSCode 打开一个大项目，都会造成内存告急。如果有两种情况同时出现的话，基本上直接崩溃了。chrome 的话崩溃了还好，再打开就可以了。wsl2 一但崩溃，特别是在 pacman 更新的时候，直接导致更新的数据库崩溃，还都手动修复。

如果开虚拟内存系统托管的话，系统倒是再加 8G 的虚拟内存，但是由于我的硬盘是机械硬盘，于是就会造成硬盘活动时间始终是100%，会造成响应变慢，甚至直接卡死。

于是我加了一块 500G 的固态硬盘，用的西数的蓝盘，然后把两个 4G 的内存条换成了两个 8G 的内存条，还把网卡换成了最新的 AX200（原先的网卡不支持 5GHz 的 WIFI）。

顺带请了一下风扇，换了散热硅脂。

以及拔插了一下摄像头的连接线，解决了之前摄像头时能用时不能用的问题。

因为之前的系统里的东西比较杂乱，于是我决定重新安装系统，而不是做系统迁移。

安装 windows 还是比较顺利的。这里建议不要用 Media Creation Tool，而是直接下载 iso 文件，这样下载的速度会快一些。（谁叫我有 IDM 呢 →_→）

安装之后，系统引导会自动生成，不用手动干预。

然而，主要耗费时间是在安装各种软件上。

☜Adobe

有请 vposy 大神。。。

☜Office 下载与激活

参见 https://v0v.bid。

☜MathType 与字体冲突的问题

MathType 与 Microsoft Store 中的「更纱黑体」相冲突，安装「更纱黑体」会导致 MathType 闪退，原因不明。

但直接下载字体点击安装的话就没有问题。

这个问题折腾了我半天的时间。。。

重启电脑之后发现，手动安装也不行。。。
话说之前的系统里一直是两者共存没有问题啊。。。

又尝试单独安装部分字体，只装了 Sarasa Term，没有问题。那就先这么用吧。。。

☜盘符问题

在安装的时候，一定将新的系统盘标为 C 盘。如果系统安装完了之后，就没法再修改了。至少我目前还没有找到方法。

看过网上说的一些方法。如果直接在硬盘管理中修改盘符的话，非系统盘是可以直接修改的，系统盘修改的话会显示参数错误。

还有直接修改注册表中 HKEY_LOCAL_MACHINE\SYSTEM\MountedDevices 下的驱动器号的，我试了一下，然后电脑就无法启动了。还是通过安装盘恢复原来的设定之后才能启动。

又是一天的血和泪。。。

主要的原因是，之前安装 Windows 的时候偷懒了，直接加载 iso 文件安装的，没有制作安装 U 盘。然后修改注册表之后系统无法启动，只能进入到 Linux 下去制作 Windows 的启动盘。
直接使用 dd 的话，电脑不能识别 U 盘启动，试了好几个软件，最终使用 woeusb 才成功了。

其实大部分软件安装都没有问题，只是在「华为电脑管家」的时候出现了问题。
于是我只能把另外一个分区改为 C 盘，然后安装之后把 Program Files(x86) 中的文件移到 D 盘中，然后在注册表中搜索修改所有相关的项。
目前使用上还没有发现问题。

☜独显问题

之前电脑上，可以选择以 N 卡运行 chrome。但是这次安装之后，即使是选择 N 卡运行，包括在 Nvidia 控制面板里设置，还是右击选择以「高性能 Nvidia 处理器」运行，都没有作用。

Firefox 也不管用。

但是 mpv 和 qutebrwoser 都运行正常。

主要这么纠结的原因是，在打雀魂的时候，核显会飙到 80%，而且会有明显的卡顿。切换到 N 卡上话，核显 50%，独显 45%，但至少没有感觉的明显的卡顿了。
我就是想打个麻将而已，容易么我。。。
顺带说一下，笔记本是 14 年买的，CPU 是 i7-4700HQ，核显是 HD Graphic 4600，独显是 GeForce GTX 850M。

☜播放器选择

安装之后试了一下 4k 视频的播放，发现不需要修改就可以直接舒畅播放的就只有 vlc，而且仅仅使用核显，播放的时候 CPU 30%，核显 vlc 使用 5%，整体 20%，不知道是怎么调教的。

如果配置好的话，让 mpv 用 N 卡解码也是可以流畅播放的，核显 25%，独显 60%。

☜对不同应用切换不同的输入法

设置 -> 设备 -> 输入 -> 高级键盘设置 -> 切换输入法 -> 勾选「允许我为每个应用窗口使用不同的输入法」

☜杀毒软件

趁着这次机会，入正了 EAV。

☜Git

如果直接安装 Git For Windows 的话，就没有什么问题。
不过由于我安装了 MSYS2，因此就直接在 MSYS2 里面安装了，但这带来了一个奇怪的问题，那就是 git 的 ssh 协议无法使用。具体就是：如我运行

1
ssh -T git@github.com

没有问题，会正常的返回

1
Hi wangjiezhe! You've successfully authenticated, but GitHub does not provide shell access.

但是 git pull 和 git push 就是运行不成功，显示

1
2
3
4
5
git@github.com: Permission denied (publickey).
fatal: Could not read from remote repository.

Please make sure you have the correct access rights
and the repository exists.

后来发现，Git For Windows 貌似可以之间使用 Windows 默认的 ssh 配置文件（位置在 %HOMEPATH%\.ssh\），而在 MSYS2 里安装的话需要把密钥复制到 MSYS2 的 ssh 配置文件里。

☜WSL

在安装完 WSL 之后，我发现网络访问有问题，而且问题比较奇怪。

我在 WSL 中，能够正常访问网络；在 Windows 中，也能访问 WSL 中的网络；但是在 WSL 中，无法访问 Windows 应用，包括 VcXsrc。

问题已解决，是防火墙的问题。我之前只在「允许应用通过防火墙」中为 VcXsrv 允许了专用网络，把公用网络也勾选上就 OK 了。
其它的例如 python -m http.server，把 python.exe 加入到防火墙的入站规则里就可以了。
如果使用 Windows 默认的防火墙的话，推荐使用 Firewall App Blocker，可以很方便的添加防火墙规则。

]]> @@ -179,7 +179,7 @@ 2020-04-10T16:39:40.000Z 2020-05-14T02:53:40.000Z - 最近把 windows 更新到了 2004，切换到了 WSL 2 上。

安装 WSL 2

启用 WSL 和虚拟机控制平台功能（要求管理员权限）：

1
2
3
dism.exe /online /enable-feature /featurename:Microsoft-Windows-Subsystem-Linux /all /norestart
dism.exe /online /enable-feature /featurename:VirtualMachinePlatform /all /norestart
wsl --set-default-version 2

之后重启电脑。

安装 Arch，参见 ArchWSL。

WSL 2 相对于 WSL 1 的优缺点

优点：

  • 本地文件操作更快。之前编译一个 glibc，几个小时都没有编完
  • 解决了 sleep 的问题
  • 支持网络操作，例如 ping
  • 可以使用 docker

缺点：

  • 经常会爆内存，包括安装大软件、长时间运行等
  • 访问 Windows 主机上文件的速度变慢

语言设置

把 /etc/locale.conf 改为 LANG=zh_CN.UTF8。

然后 source /etc/locale.conf。

一个非常奇怪的事情是，如果把 LANG 设为 zh_CN.UTF-8，那么在 bash 下，windows 中的中文文件名显示为乱码，而 zsh 则显示正常。
但在默认的 LANG=en_US.UTF-8 下，bash 和 zsh 都能正常显示中文文件名。

安装软件包

导入密钥（非常重要！！！）

1
2
# 初始化密钥环 && 验证主密钥 && 更新密钥
pacman-key --init && pacman-key --populate archlinux && pacman-key --refresh-keys

启用国内的镜像源

1
2
3
4
5
6
echo "Server = https://mirrors.aliyun.com/archlinux/\$repo/os/\$arch
Server = https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/archlinux/\$repo/os/\$arch
Server = https://mirrors.neusoft.edu.cn/archlinux/\$repo/os/\$arch
Server = https://mirrors.cqu.edu.cn/archlinux/\$repo/os/\$arch
Server = https://mirrors.sjtug.sjtu.edu.cn/archlinux/\$repo/os/\$arch
Server = https://mirrors.ustc.edu.cn/archlinux/\$repo/os/\$arch" > /etc/pacman.d/mirrorlist

添加 ArchlinuxCN 源

1
2
3
4
echo "
[archlinuxcn]
Server = https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/archlinuxcn/x86_64" >> /etc/pacman.conf
pacman -Sy && pacman -S archlinuxcn-keyring && pacman -S yaourt

这里坚持用 yaourt 的原因有两个，一是在 root 环境下使用不报错（主要是需要彩色显示），二是可以显示版本更新还是编译更新。

安装常用软件

先搭建好常用环境

1
2
pacman -Syu
pacman -S zsh git subversion lua openssh

安装 zinit（原 zplugin）

1
2
git clone https://github.com/zdharma/zinit.git ~/.zinit/bin
echo "source ~/.zinit/bin/zinit.zsh" > ~/.zshrc

不得不再次吐槽一下 git clone 的速度。。。

安装 powerlevel10k

1
echo "zinit ice depth=1; zinit light romkatv/powerlevel10k" >> ~/.zshrc

启用 zsh（终于有了一个好看的终端）

1
zsh

然后就可以导入之前的 .zshrc 了。

切换默认终端至 zsh

1
chsh -s /bin/zsh

安装 vim-plug

1
2
curl -fLo ~/.vim/autoload/plug.vim --create-dirs \
    https://raw.githubusercontent.com/junegunn/vim-plug/master/plug.vim

导入之前的 .vimrc 文件，并执行命令：

1
vim +PlugInstall +qall

安装常用软件

1
2
3
4
5
6
7
pacman -S base-devel which diffutils man openssh tree p7zip bc wget \
  htop strace most \
  yarn npm python-pip \
  zathura-ps zathura-pdf-poppler \
  feh imagemagick mediainfo ffmpeg \
  opencc dos2unix jq net-tools bind-tools nload
yarn global add hexo-cli nali-cli http-server

安装花哨软件

1
pacman -S fd exa bat ripgrep percol

安装常用字体

1
pacman -S adobe-source-code-pro-fonts adobe-source-sans-pro-fonts adobe-source-serif-pro-fonts adobe-source-han-sans-cn-fonts adobe-source-han-serif-cn-fonts tex-gyre-fonts ttf-dejavu wqy-zenhei wqy-microhei ttf-sarasa-gothic

安装专业软件

1
2
3
pacman -S texlive-most
pacman -S texlive-langchinese biber asymptote qtikz \
  sagemath jupyter

注意：安装 texlive-fontextra 会爆内存！！！
反正我的8G内存被爆了，16G没有问题）

安装 X 软件

1
pacman -S tk gvim

向 ~/.zshrc 中添加：

1
2
export DISPLAY=$(awk '/nameserver / {print $2; exit}' /etc/resolve.conf 2>/dev/null):0.0
export LIBGL_ALWAYS_INDIRECT=1

注意对于 WSL 2，VcXsrv 启动时需要选中 Disable access control 的选项，或者加上 -ac 的参数。

添加新用户

1
2
3
4
groupadd AAA
useradd XXX -g AAA -G wheel -m -N
pacman -S sudo
echo "wheel ALL=(ALL) NOPASSWD: ALL" > /etc/sudoers.d/wheel

其实我一直是使用 root 账户，只有在需要 makepkg 的时候才切换到普通用户。

]]> + 最近把 windows 更新到了 2004，切换到了 WSL 2 上。

☜安装 WSL 2

启用 WSL 和虚拟机控制平台功能（要求管理员权限）：

1
2
3
dism.exe /online /enable-feature /featurename:Microsoft-Windows-Subsystem-Linux /all /norestart
dism.exe /online /enable-feature /featurename:VirtualMachinePlatform /all /norestart
wsl --set-default-version 2

之后重启电脑。

安装 Arch，参见 ArchWSL。

☜WSL 2 相对于 WSL 1 的优缺点

优点：

  • 本地文件操作更快。之前编译一个 glibc，几个小时都没有编完
  • 解决了 sleep 的问题
  • 支持网络操作，例如 ping
  • 可以使用 docker

缺点：

  • 经常会爆内存，包括安装大软件、长时间运行等
  • 访问 Windows 主机上文件的速度变慢

☜语言设置

把 /etc/locale.conf 改为 LANG=zh_CN.UTF8。

然后 source /etc/locale.conf。

一个非常奇怪的事情是，如果把 LANG 设为 zh_CN.UTF-8，那么在 bash 下，windows 中的中文文件名显示为乱码，而 zsh 则显示正常。
但在默认的 LANG=en_US.UTF-8 下，bash 和 zsh 都能正常显示中文文件名。

☜安装软件包

☜导入密钥（非常重要！！！）

1
2
# 初始化密钥环 && 验证主密钥 && 更新密钥
pacman-key --init && pacman-key --populate archlinux && pacman-key --refresh-keys

☜启用国内的镜像源

1
2
3
4
5
6
echo "Server = https://mirrors.aliyun.com/archlinux/\$repo/os/\$arch
Server = https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/archlinux/\$repo/os/\$arch
Server = https://mirrors.neusoft.edu.cn/archlinux/\$repo/os/\$arch
Server = https://mirrors.cqu.edu.cn/archlinux/\$repo/os/\$arch
Server = https://mirrors.sjtug.sjtu.edu.cn/archlinux/\$repo/os/\$arch
Server = https://mirrors.ustc.edu.cn/archlinux/\$repo/os/\$arch" > /etc/pacman.d/mirrorlist

☜添加 ArchlinuxCN 源

1
2
3
4
echo "
[archlinuxcn]
Server = https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/archlinuxcn/x86_64" >> /etc/pacman.conf
pacman -Sy && pacman -S archlinuxcn-keyring && pacman -S yaourt

这里坚持用 yaourt 的原因有两个，一是在 root 环境下使用不报错（主要是需要彩色显示），二是可以显示版本更新还是编译更新。

☜安装常用软件

☜先搭建好常用环境

1
2
pacman -Syu
pacman -S zsh git subversion lua openssh

☜安装 zinit（原 zplugin）

1
2
git clone https://github.com/zdharma/zinit.git ~/.zinit/bin
echo "source ~/.zinit/bin/zinit.zsh" > ~/.zshrc

不得不再次吐槽一下 git clone 的速度。。。

☜安装 powerlevel10k

1
echo "zinit ice depth=1; zinit light romkatv/powerlevel10k" >> ~/.zshrc

☜启用 zsh（终于有了一个好看的终端）

1
zsh

然后就可以导入之前的 .zshrc 了。

☜切换默认终端至 zsh

1
chsh -s /bin/zsh

☜安装 vim-plug

1
2
curl -fLo ~/.vim/autoload/plug.vim --create-dirs \
    https://raw.githubusercontent.com/junegunn/vim-plug/master/plug.vim

导入之前的 .vimrc 文件，并执行命令：

1
vim +PlugInstall +qall

☜安装常用软件

1
2
3
4
5
6
7
pacman -S base-devel which diffutils man openssh tree p7zip bc wget \
  htop strace most \
  yarn npm python-pip \
  zathura-ps zathura-pdf-poppler \
  feh imagemagick mediainfo ffmpeg \
  opencc dos2unix jq net-tools bind-tools nload
yarn global add hexo-cli nali-cli http-server

☜安装花哨软件

1
pacman -S fd exa bat ripgrep percol

☜安装常用字体

1
pacman -S adobe-source-code-pro-fonts adobe-source-sans-pro-fonts adobe-source-serif-pro-fonts adobe-source-han-sans-cn-fonts adobe-source-han-serif-cn-fonts tex-gyre-fonts ttf-dejavu wqy-zenhei wqy-microhei ttf-sarasa-gothic

☜安装专业软件

1
2
3
pacman -S texlive-most
pacman -S texlive-langchinese biber asymptote qtikz \
  sagemath jupyter

注意：安装 texlive-fontextra 会爆内存！！！
反正我的8G内存被爆了，16G没有问题）

☜安装 X 软件

1
pacman -S tk gvim

向 ~/.zshrc 中添加：

1
2
export DISPLAY=$(awk '/nameserver / {print $2; exit}' /etc/resolve.conf 2>/dev/null):0.0
export LIBGL_ALWAYS_INDIRECT=1

注意对于 WSL 2，VcXsrv 启动时需要选中 Disable access control 的选项，或者加上 -ac 的参数。

☜添加新用户

1
2
3
4
groupadd AAA
useradd XXX -g AAA -G wheel -m -N
pacman -S sudo
echo "wheel ALL=(ALL) NOPASSWD: ALL" > /etc/sudoers.d/wheel

其实我一直是使用 root 账户，只有在需要 makepkg 的时候才切换到普通用户。

]]> @@ -204,7 +204,7 @@ 2020-04-07T08:36:08.000Z 2020-04-07T15:15:00.000Z - 在前面的三篇文章中，我们探究了和正方形有关的中点问题．在本文中，我们来看一个和梯形有关的中点问题．

和梯形相关的中点问题，主要可以分为「底中点」和「腰中点」两大类．对于「底中点」相关的问题，我们合并到下一篇关于一般四边形的中点问题的文章中一起来讨论．今天我们重点来看一下和「腰中点」有关的问题．

「腰中点」的处理方法

对于「腰中点」相关的问题，主要的思路有两个：「倍长中线」和构造「中位线」．

是不是很熟悉？和前面正方形的处理方法是一样的．

倍长中线

如图1，EE 是腰 CDCD 的中点，连结 AEAE 并延长交 BCBC 于 FF，则有 △ADE≅△FCE\triangle ADE \cong \triangle FCE，于是 EE 也是 AFAF 的中点，AD=CFAD = CF．

这个方法相当于是 △ADE\triangle ADE 旋转到了 △FCE\triangle FCE，于是把原来的梯形变成了一个三角形．

这个方法同时可以用来证明梯形的中位线定理．

图1

梯形的中位线

如图2，EE 是腰 CDCD 的中点，取 ADAD 的中点 FF，则 EFEF 是梯形 ABCDABCD 的中位线，于是 EF∥AB∥CDEF \parallel AB \parallel CD，且 EF=12(AB+CD)EF = \dfrac{1}{2} (AB + CD)．

图2

直角梯形的「腰中点」

如图3，对于直角梯形 ABCDABCD，∠A=∠D=90∘\angle A = \angle D = 90^\circ，取腰 BCBC 的中点 EE，则 EA=EDEA = ED，即 △AED\triangle AED 是等腰三角形．

图3

用上面两种方法，都很容易证明这个命题．

一种特殊情况

如果在图3中加入 AE⊥DEAE \perp DE，也就是 △AED\triangle AED 是等腰直角三角形的条件，那么 AB+CD=ADAB + CD = AD．

图4

如果用第1种方法，如图5，则 DEDE 垂直平分 AFAF， △ADF\triangle ADF 是等腰直角三角形，

AD=DF=DC+CF=DC+AB\begin{aligned} AD &= DF\\ &= DC + CF \\ &= DC + AB\end{aligned}

图5

如果用第2种方法，如图6，则

AD=2EF=AB+CDAD = 2EF = AB + CD

图6

如果我们在 ADAD 上取 AM=DCAM = DC，则 DM=ABDM = AB，△BAM≅△MDC\triangle BAM \cong \triangle MDC，于是 △MBC\triangle MBC 是等腰直角三角形．

图7

如果再考虑 AEAE 与 BMBM 的交点 PP，DEDE 与 CMCM 的交点 QQ，则有 PQ⊥CDPQ \perp CD，BP=MQBP = MQ，MP=CQMP = CQ．

图8

因为 ∠PMQ=∠PEQ=90∘\angle PMQ = \angle PEQ = 90^\circ，所以 EPMQEPMQ 四点共圆， ∠EPQ=∠EMQ=45∘=∠EAD\angle EPQ = \angle EMQ = 45^\circ = \angle EAD，故 PQ∥QDPQ \parallel QD，于是有 PQ⊥CDPQ \perp CD．

由 PQ∥QDPQ \parallel QD 我们还可以得到 AP=DQAP = DQ，于是 △ABP≅DMQ\triangle ABP \cong DMQ，故 BP=MQBP = MQ，MP=CQMP = CQ．

事实上，在这个图中，

△ABP≅△DMQ△AMP≅△DCQ△BPE≅△MQE△PME≅△QCE\begin{aligned}\triangle ABP &\cong \triangle DMQ \\\triangle AMP &\cong \triangle DCQ \\\triangle BPE &\cong \triangle MQE \\\triangle PME &\cong \triangle QCE\end{aligned}

于是

SABEM=SDCEMS_{ABEM} = S_{DCEM}

如果考虑四点共圆的话，有 ABEMABEM、DCEMDCEM、EPMQEPMQ 三组四点共圆，而且这三个圆有公共弦 EMEM．

图9

图形的来源

如果我们仔细观察一下图7，我们就会发现，这个图实际上是「弦图」的一半．

图10

如果再考虑 PQPQ，那么这个图就相当于嵌套的两个弦图，于是图8中的结论就显然成立了．

图11

变形

如果我们只考虑 △MBC\triangle MBC，那么就变成了这样一道题：

如图12，在等腰 Rt△MBC\mathrm{Rt} \triangle MBC 中，EE 是斜边 BCBC 的中点，MP=CQMP = CQ，则 △EPQ\triangle EPQ 是等腰直角三角形．

图12

利用图8中的 △PME≅△QCE\triangle PME \cong \triangle QCE，这个结论显然是成立的．

推广一

如果我们保留 MB=MCMB = MC 的条件（即 ME⊥BCME \perp BC），如图13，那么这个时候仍有 ∠AED=∠BMC\angle AED = \angle BMC 的结论成立．

图13

注意到这个时候 ABEMABEM、DCEMDCEM 这两组四点共圆依旧成立，于是

∠BMC=∠BME+∠CME=∠BAE+∠CDE=∠AED\begin{aligned} \angle BMC &= \angle BME + \angle CME \\ &= \angle BAE + \angle CDE \\ &= \angle AED\end{aligned}

或者

∠BMC=180∘−∠MBE−∠MCE=180∘−∠MAE−∠MDE=∠AED\begin{aligned} \angle BMC &= 180^\circ - \angle MBE - \angle MCE \\ &= 180^\circ - \angle MAE - \angle MDE \\ &= \angle AED\end{aligned}

图14

事实上，对于一般的梯形 ABCDABCD，AB∥CDAB \parallel CD，过 BB、CC 和 ADAD 上一点 MM 作 △MDC\triangle MDC 的外接圆交 BCBC 于 NN，则有 ∠AND=∠BMC\angle AND = \angle BMC．

图15

注意到

∠BAM=180∘−∠MDC=∠MNC\begin{aligned} \angle BAM &= 180^\circ - \angle MDC \\ &= \angle MNC\end{aligned}

因此上面 ABNMABNM 四点也共圆．

剩下的证明和图14是完全一样的，只需要把式子中的 EE 点换成 NN 点就可以．

推广二

如果我们保留 ∠BMC=∠AND=90∘\angle BMC = \angle AND = 90^\circ 的条件，过 BB、CC 和 ADAD 上一点 MM 作 △MDC\triangle MDC 的外接圆交 BCBC 于 NN，作 △AND\triangle AND 的外接圆与 BCBC 的另一个交点 PP，则 AP⊥BMAP \perp BM，DP⊥CMDP \perp CM．

图16

证明中还用到上面推出的 ABNMABNM 四点共圆的结论：

∠DPN=∠DAN=∠MBN∠APB=∠ADN=∠MCN\begin{aligned} \angle DPN &= \angle DAN = \angle MBN \\ \angle APB &= \angle ADN = \angle MCN\end{aligned}

图17

于是 DP∥BMDP \parallel BM，AP∥CMAP \parallel CM，故 AP⊥BMAP \perp BM，DP⊥CMDP \perp CM．

类似地，如果作 △MBC\triangle MBC 的外接圆与 BCBC 交于 NN，与 ADAD 的另一个交点是 QQ，则有 AN⊥BQAN \perp BQ，DN⊥CQDN \perp CQ．

图18

证明的方法和上面相同：

∠ANB=∠AMB=∠QCB∠AQB=∠MCB=∠MDN\begin{aligned} \angle ANB &= \angle AMB = \angle QCB \\ \angle AQB &= \angle MCB = \angle MDN\end{aligned}

于是 DN∥BQDN \parallel BQ，AN∥CQAN \parallel CQ，故 AN⊥BQAN \perp BQ，DN⊥CQDN \perp CQ．

图19

事实上，对于一般的梯形 ABCDABCD，AB∥CDAB \parallel CD，如果过 BB、CC 和 ADAD 上一点 MM 作 △MDC\triangle MDC 的外接圆交 BCBC 于 NN，作 △AND\triangle AND 的外接圆与 BCBC 的另一个交点 PP，那么依然有 DP∥BMDP \parallel BM，AP∥CMAP \parallel CM 的结论成立．证明过程和前面完全相同．

图20

变形

我们把图20简化一下，就可以得到下面这个题目：

如图21，在梯形 ABCDABCD 中，AB∥CDAB \parallel CD，任取 ADAD 上一点 MM，作 AP∥CMAP \parallel CM 交 BCBC 于 PP，则 DP∥BMDP \parallel BM．

图21

这就变成了一个简单的平行线分线段成比例的题目．

我们不妨设 DADA 和 CBCB 的延长线交于 KK，则

AB∥CD  ⟹  KAKD=KBKCAP∥CM  ⟹  KAKM=KPKC\begin{aligned} AB \parallel CD &\implies \frac{KA}{KD} = \frac{KB}{KC} \\ \\ AP \parallel CM &\implies \frac{KA}{KM} = \frac{KP}{KC}\end{aligned}

两式相除，可得

KMKD=KBKP  ⟹  BM∥DP\frac{KM}{KD} = \frac{KB}{KP} \implies BM \parallel DP

图22

]]> + 在前面的三篇文章中，我们探究了和正方形有关的中点问题．在本文中，我们来看一个和梯形有关的中点问题．

和梯形相关的中点问题，主要可以分为「底中点」和「腰中点」两大类．对于「底中点」相关的问题，我们合并到下一篇关于一般四边形的中点问题的文章中一起来讨论．今天我们重点来看一下和「腰中点」有关的问题．

☜「腰中点」的处理方法

对于「腰中点」相关的问题，主要的思路有两个：「倍长中线」和构造「中位线」．

是不是很熟悉？和前面正方形的处理方法是一样的．

☜倍长中线

如图1，EE 是腰 CDCD 的中点，连结 AEAE 并延长交 BCBC 于 FF，则有 △ADE≅△FCE\triangle ADE \cong \triangle FCE，于是 EE 也是 AFAF 的中点，AD=CFAD = CF．

这个方法相当于是 △ADE\triangle ADE 旋转到了 △FCE\triangle FCE，于是把原来的梯形变成了一个三角形．

这个方法同时可以用来证明梯形的中位线定理．

图1

☜梯形的中位线

如图2，EE 是腰 CDCD 的中点，取 ADAD 的中点 FF，则 EFEF 是梯形 ABCDABCD 的中位线，于是 EF∥AB∥CDEF \parallel AB \parallel CD，且 EF=12(AB+CD)EF = \dfrac{1}{2} (AB + CD)．

图2

☜直角梯形的「腰中点」

如图3，对于直角梯形 ABCDABCD，∠A=∠D=90∘\angle A = \angle D = 90^\circ，取腰 BCBC 的中点 EE，则 EA=EDEA = ED，即 △AED\triangle AED 是等腰三角形．

图3

用上面两种方法，都很容易证明这个命题．

☜一种特殊情况

如果在图3中加入 AE⊥DEAE \perp DE，也就是 △AED\triangle AED 是等腰直角三角形的条件，那么 AB+CD=ADAB + CD = AD．

图4

如果用第1种方法，如图5，则 DEDE 垂直平分 AFAF， △ADF\triangle ADF 是等腰直角三角形，

AD=DF=DC+CF=DC+AB\begin{aligned} AD &= DF\\ &= DC + CF \\ &= DC + AB\end{aligned}

图5

如果用第2种方法，如图6，则

AD=2EF=AB+CDAD = 2EF = AB + CD

图6

如果我们在 ADAD 上取 AM=DCAM = DC，则 DM=ABDM = AB，△BAM≅△MDC\triangle BAM \cong \triangle MDC，于是 △MBC\triangle MBC 是等腰直角三角形．

图7

如果再考虑 AEAE 与 BMBM 的交点 PP，DEDE 与 CMCM 的交点 QQ，则有 PQ⊥CDPQ \perp CD，BP=MQBP = MQ，MP=CQMP = CQ．

图8

因为 ∠PMQ=∠PEQ=90∘\angle PMQ = \angle PEQ = 90^\circ，所以 EPMQEPMQ 四点共圆， ∠EPQ=∠EMQ=45∘=∠EAD\angle EPQ = \angle EMQ = 45^\circ = \angle EAD，故 PQ∥QDPQ \parallel QD，于是有 PQ⊥CDPQ \perp CD．

由 PQ∥QDPQ \parallel QD 我们还可以得到 AP=DQAP = DQ，于是 △ABP≅DMQ\triangle ABP \cong DMQ，故 BP=MQBP = MQ，MP=CQMP = CQ．

事实上，在这个图中，

△ABP≅△DMQ△AMP≅△DCQ△BPE≅△MQE△PME≅△QCE\begin{aligned}\triangle ABP &\cong \triangle DMQ \\\triangle AMP &\cong \triangle DCQ \\\triangle BPE &\cong \triangle MQE \\\triangle PME &\cong \triangle QCE\end{aligned}

于是

SABEM=SDCEMS_{ABEM} = S_{DCEM}

如果考虑四点共圆的话，有 ABEMABEM、DCEMDCEM、EPMQEPMQ 三组四点共圆，而且这三个圆有公共弦 EMEM．

图9

☜图形的来源

如果我们仔细观察一下图7，我们就会发现，这个图实际上是「弦图」的一半．

图10

如果再考虑 PQPQ，那么这个图就相当于嵌套的两个弦图，于是图8中的结论就显然成立了．

图11

☜变形

如果我们只考虑 △MBC\triangle MBC，那么就变成了这样一道题：

如图12，在等腰 Rt△MBC\mathrm{Rt} \triangle MBC 中，EE 是斜边 BCBC 的中点，MP=CQMP = CQ，则 △EPQ\triangle EPQ 是等腰直角三角形．

图12

利用图8中的 △PME≅△QCE\triangle PME \cong \triangle QCE，这个结论显然是成立的．

☜推广一

如果我们保留 MB=MCMB = MC 的条件（即 ME⊥BCME \perp BC），如图13，那么这个时候仍有 ∠AED=∠BMC\angle AED = \angle BMC 的结论成立．

图13

注意到这个时候 ABEMABEM、DCEMDCEM 这两组四点共圆依旧成立，于是

∠BMC=∠BME+∠CME=∠BAE+∠CDE=∠AED\begin{aligned} \angle BMC &= \angle BME + \angle CME \\ &= \angle BAE + \angle CDE \\ &= \angle AED\end{aligned}

或者

∠BMC=180∘−∠MBE−∠MCE=180∘−∠MAE−∠MDE=∠AED\begin{aligned} \angle BMC &= 180^\circ - \angle MBE - \angle MCE \\ &= 180^\circ - \angle MAE - \angle MDE \\ &= \angle AED\end{aligned}

图14

事实上，对于一般的梯形 ABCDABCD，AB∥CDAB \parallel CD，过 BB、CC 和 ADAD 上一点 MM 作 △MDC\triangle MDC 的外接圆交 BCBC 于 NN，则有 ∠AND=∠BMC\angle AND = \angle BMC．

图15

注意到

∠BAM=180∘−∠MDC=∠MNC\begin{aligned} \angle BAM &= 180^\circ - \angle MDC \\ &= \angle MNC\end{aligned}

因此上面 ABNMABNM 四点也共圆．

剩下的证明和图14是完全一样的，只需要把式子中的 EE 点换成 NN 点就可以．

☜推广二

如果我们保留 ∠BMC=∠AND=90∘\angle BMC = \angle AND = 90^\circ 的条件，过 BB、CC 和 ADAD 上一点 MM 作 △MDC\triangle MDC 的外接圆交 BCBC 于 NN，作 △AND\triangle AND 的外接圆与 BCBC 的另一个交点 PP，则 AP⊥BMAP \perp BM，DP⊥CMDP \perp CM．

图16

证明中还用到上面推出的 ABNMABNM 四点共圆的结论：

∠DPN=∠DAN=∠MBN∠APB=∠ADN=∠MCN\begin{aligned} \angle DPN &= \angle DAN = \angle MBN \\ \angle APB &= \angle ADN = \angle MCN\end{aligned}

图17

于是 DP∥BMDP \parallel BM，AP∥CMAP \parallel CM，故 AP⊥BMAP \perp BM，DP⊥CMDP \perp CM．

类似地，如果作 △MBC\triangle MBC 的外接圆与 BCBC 交于 NN，与 ADAD 的另一个交点是 QQ，则有 AN⊥BQAN \perp BQ，DN⊥CQDN \perp CQ．

图18

证明的方法和上面相同：

∠ANB=∠AMB=∠QCB∠AQB=∠MCB=∠MDN\begin{aligned} \angle ANB &= \angle AMB = \angle QCB \\ \angle AQB &= \angle MCB = \angle MDN\end{aligned}

于是 DN∥BQDN \parallel BQ，AN∥CQAN \parallel CQ，故 AN⊥BQAN \perp BQ，DN⊥CQDN \perp CQ．

图19

事实上，对于一般的梯形 ABCDABCD，AB∥CDAB \parallel CD，如果过 BB、CC 和 ADAD 上一点 MM 作 △MDC\triangle MDC 的外接圆交 BCBC 于 NN，作 △AND\triangle AND 的外接圆与 BCBC 的另一个交点 PP，那么依然有 DP∥BMDP \parallel BM，AP∥CMAP \parallel CM 的结论成立．证明过程和前面完全相同．

图20

☜变形

我们把图20简化一下，就可以得到下面这个题目：

如图21，在梯形 ABCDABCD 中，AB∥CDAB \parallel CD，任取 ADAD 上一点 MM，作 AP∥CMAP \parallel CM 交 BCBC 于 PP，则 DP∥BMDP \parallel BM．

图21

这就变成了一个简单的平行线分线段成比例的题目．

我们不妨设 DADA 和 CBCB 的延长线交于 KK，则

AB∥CD  ⟹  KAKD=KBKCAP∥CM  ⟹  KAKM=KPKC\begin{aligned} AB \parallel CD &\implies \frac{KA}{KD} = \frac{KB}{KC} \\ \\ AP \parallel CM &\implies \frac{KA}{KM} = \frac{KP}{KC}\end{aligned}

两式相除，可得

KMKD=KBKP  ⟹  BM∥DP\frac{KM}{KD} = \frac{KB}{KP} \implies BM \parallel DP

图22

]]> @@ -231,7 +231,7 @@ 2020-04-03T06:28:07.000Z 2020-04-03T06:28:07.000Z - 在上一篇文章的最后，我们留了一个问题，就是如果仅保留等腰的条件，是否还有比较好的结论？

要解决这个问题，我们先从一种特殊情况谈起．

一种特殊情况

当两个等腰 Rt△ABD\mathrm{Rt} \triangle ABD 和 △ACF\triangle ACF 旋转的时候，一种非常特殊的情况就是两个三角形的斜边共线的情况，如图1：

图1

这个时候上面的结论依旧成立，而且我们注意到这个时候 ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ，因此如果我们取 BCBC 的中点 QQ，则有 QA=12BC=QPQA = \dfrac{1}{2} BC = QP，也就是说 △APQ\triangle APQ 是一个等腰三角形．

熟悉四点共圆的朋友马上就会想到，这里面 ABCPABCP 四点共圆，圆心恰好就是 QQ．

图2

逆命题

那我们反过来想一下，如果取 △ABC\triangle ABC 的外接圆和 DFDF 交于 PP，那么 PP 点是否一定是 DFDF 的中点？

图3

如果考虑同一法的话，很明显这个结论是成立的．

那如果不用同一法呢？

构造梯形的中位线

一种方法是构造梯形的中位线．我们分别过 BB、CC、QQ 作 DFDF 的垂线，垂足依次为 MM、NN、TT，则 CTCT 是梯形 BMNCBMNC 的中位线，且 MM、NN、TT 分别是 ADAD、AFAF、APAP 的中点，于是

PD=2MT=2NT=2(AN−AT)=AF−AP=PF\begin{aligned} PD &= 2MT = 2NT = 2 \left( AN - AT \right) \\ &= AF - AP = PF\end{aligned}

因此 PP 是 DFDF 的中点．

图4

另一种方法是构造旋转相似，这种方法放到我们后面的推广里来讲．

一种推广

如果要保持四点共圆的条件不变，我们可以把条件弱化成什么样子？

注意如果要保持四点共圆的话，我们要保持 ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ，因此两个等腰三角形的两底角要保持互余，也就是两顶角要保持互补．

因此，我们可以把两个等腰直角三角形的条件改为，两个「顶角互补的等腰三角形」：

图5

在图5中，AB=BDAB = BD，AC=CFAC = CF，∠ABD+∠ACF=180∘\angle ABD + \angle ACF = 180^\circ，我们分别取 BCBC、DFDF 的中点 PP、QQ，则 ∠BPC=90∘\angle BPC = 90^\circ，且 AQ=QPAQ = QP．

我们可以利用上一篇文章中的三种方法，对这种情况进行证明．因为方法几乎是一样的，这里就从略了．

继续推广

我们回顾一下图4的证明，这种方法本质上就是用了三个等腰 △ABD\triangle ABD、△ACF\triangle ACF、△APQ\triangle APQ 的条件，因此我们可以把条件再进行弱化，如下图：

图6

如图6，△ABD\triangle ABD 和 △ACF\triangle ACF 都是等腰三角形，AB=BDAB = BD，AC=CFAC = CF，QQ 为 BCBC 的中点，则

QA=QP⟺PD=PFQA = QP \Longleftrightarrow PD = PF

我们来想一下，前面的那些方法，是否还成立？

同时，大家可以想一下，这个图形和我们上一篇文章中里的图形有什么区别和联系．

倍长中线

这个时候，倍长中线的方法依旧可以使用，不过这个时候，应该要倍长 AQAQ．

图7

为了两个全等三角形看着大一些，我调整了两个等腰三角形的角度，但这不影响我们的证明

如图7，倍长 AQAQ 至 KK，可以证明 △DBK≅△KCF\triangle DBK \cong \triangle KCF．

证明这个全等的关键，是要证明 ∠DBK=∠KCF\angle DBK = \angle KCF．为了叙述方便，我们设 ∠DBA=2α\angle DBA = 2\alpha，∠ACF=2β\angle ACF = 2\beta，则 ∠BAC=α+β\angle BAC = \alpha + \beta，∠ABK=∠ACK=180∘−α−β\angle ABK = \angle ACK = 180^\circ - \alpha - \beta，于是

∠DBK=∠DBA+∠ABK=2α+(180∘−α−β)=180∘+α−β∠KCF=360∘−∠ACF−∠ACK=360∘−2β−(180∘−α−β)=180∘+α−β\begin{aligned} \angle DBK &= \angle DBA + \angle ABK \\ &= 2\alpha + (180^\circ - \alpha - \beta) \\ &= 180^\circ + \alpha - \beta \\ \\ \angle KCF &= 360^\circ - \angle ACF - \angle ACK \\ &= 360^\circ - 2\beta - (180^\circ - \alpha - \beta) \\ &= 180^\circ + \alpha - \beta\end{aligned}

故 ∠DBK=∠KCF\angle DBK = \angle KCF．

有了全等之后，我们就有 KD=KFKD = KF．

如果已知 PP 是 DFDF 的中点，由「三线合一」可知 KP⊥DFKP \perp DF，即 △KPA\triangle KPA 是直角三角形，KQKQ 是其斜边中线，于是

PQ=12AK=AQPQ = \dfrac{1}{2} AK = AQ

如果已知 QA=QPQA = QP，由 QK=QA=QPQK = QA = QP 可知 ∠KPA=90∘\angle KPA = 90^\circ，再由「三线合一」可知 PD=PFPD = PF．

构造三角形的中位线

这个时候我们没有办法利用中位线直接证明 QA=QPQA = QP，但是我们可以分别取 ADAD、AFAF 的中点 MM、NN，先证明 QM=QNQM= QN．

图8

我们分别取 ABAB、ACAC 的中点 SS、TT，于是可以证明 △MSQ≅△QTN\triangle MSQ \cong \triangle QTN．其中 ∠MSQ=∠QTN\angle MSQ = \angle QTN 的证明和上一个方法类似．

于是接下来，只需要证明 △QAM≅△QPN\triangle QAM \cong \triangle QPN 即可（或者过 QQ 作 APAP 的垂线，利用三线合一来做）．

PD=PF  ⟹  AM=12AD=12(DF−AF)=PF−NF=PN  ⟹  SASQA=QP  ⟹  AAS\begin{aligned} PD = PF &\implies AM = \frac{1}{2} AD \\ &= \frac{1}{2}(DF - AF) \\ &= PF - NF = PN \\ &\implies \mathrm{SAS} \\ \\ QA = QP &\implies \mathrm{AAS}\end{aligned}

两种方法的联系

实际上，如果我们把上一种方法的图和这一种方法的图放在一起，就会发现这两组三角形其实是相似的．

图9

构造梯形的中位线

这种方法和图4的证明是一样的，这里就不在重复了．

可以看出，这是最简单的一种证明方法．

构造旋转相似

这个图还有一个证明方法，就是构造 AA 关于 BCBC 的对称点 SS，如图10，则

∠SBD=2∠SAD=2(180∘−∠SAF)=∠SCF\begin{aligned} \angle SBD &= 2\angle SAD \\ &= 2\left( 180^\circ - \angle SAF \right) \\ &= \angle SCF\end{aligned}

于是 △SBD∼△SCF\triangle SBD \sim \triangle SCF，这是一组旋转相似．

图10

如果已知 PP 是 DFDF 的中点，那么就有 △SBD∼△SQP∼△SCF\triangle SBD \sim \triangle SQP \sim \triangle SCF，因此 AQ=SQ=PQAQ = SQ = PQ．

具体的推导过程如下：

△SBD∼△SCF  ⟹  △SBC∼△SDF  ⟹  △SBQ∼△SDP  ⟹  △SBD∼△SQP\begin{aligned} & \triangle SBD \sim \triangle SCF \\ \implies & \triangle SBC \sim \triangle SDF \\ \implies & \triangle SBQ \sim \triangle SDP \\ \implies & \triangle SBD \sim \triangle SQP\end{aligned}

如果已知 QA=QPQA = QP，那么

∠SBD=2∠SAD=2(180∘−∠SAP)=∠SQP\begin{aligned} \angle SBD &= 2\angle SAD \\ &= 2\left( 180^\circ - \angle SAP \right) \\ &= \angle SQP\end{aligned}

于是 △SBD∼△SPQ\triangle SBD \sim \triangle SPQ．由于 QQ 是 BCBC 中点，所以 PP 是 DFDF 的中点．

具体的推导过程如下：

△SBD∼△SCF  ⟹  △SBC∼△SDF△SBD∼△SQP  ⟹  △SBQ∼△SDP}      ⟹  BCDF=SBSD=BQDP\begin{aligned} &\left. \begin{array}{r} \triangle SBD \sim \triangle SCF \\ \implies \triangle SBC \sim \triangle SDF \\ \\ \triangle SBD \sim \triangle SQP \\ \implies \triangle SBQ \sim \triangle SDP \end{array} \right\} \\ \\ & \;\;\implies \frac{BC}{DF} = \frac{SB}{SD} = \frac{BQ}{DP}\end{aligned}

因此

DPDF=BQBP=12\frac{DP}{DF} = \frac{BQ}{BP} = \frac{1}{2}

即 PP 为 DFDF 的中点．

图11

这种方法大量用到了相似和圆周角的性质，由此又可以引申出关于双圆问题的一些结论．有兴趣的朋友可以自行探究一下．

和前文图形的关系

我们回过头来看一下图8，注意在这个图中我们平没有用到 DD、FF 这两个点，因此我们考虑把这两个点去掉，于是这个图就变成了下面这样：

图12

如图12，△AMB\triangle AMB 和 △ANC\triangle ANC 都是直角三角形，且 MM、AA、NN 共线，取 BCBC 的中点 QQ，则 QM=QNQM = QN．

对比一下我们前面那篇文章中的图11，那个图的条件实际上两个直角三角形加上 ∠MAB=∠CAN\angle MAB = \angle CAN，而图12中则加上 MM、AA、NN 共线，两个条件不同，结论却是相同的．

至此，这个模型的讨论就暂时告一段落．我们在这三篇文章中，系统地讨论了和两个正方形相关的中点问题，以及他们的推广和变形．我们看到，解决这类问题的关键点在于处理好「中点」的条件．我们需要熟练地掌握「倍长中线」和「中位线」的技巧，才能够顺利地解决这些问题．

]]> + 在上一篇文章的最后，我们留了一个问题，就是如果仅保留等腰的条件，是否还有比较好的结论？

要解决这个问题，我们先从一种特殊情况谈起．

☜一种特殊情况

当两个等腰 Rt△ABD\mathrm{Rt} \triangle ABD 和 △ACF\triangle ACF 旋转的时候，一种非常特殊的情况就是两个三角形的斜边共线的情况，如图1：

图1

这个时候上面的结论依旧成立，而且我们注意到这个时候 ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ，因此如果我们取 BCBC 的中点 QQ，则有 QA=12BC=QPQA = \dfrac{1}{2} BC = QP，也就是说 △APQ\triangle APQ 是一个等腰三角形．

熟悉四点共圆的朋友马上就会想到，这里面 ABCPABCP 四点共圆，圆心恰好就是 QQ．

图2

☜逆命题

那我们反过来想一下，如果取 △ABC\triangle ABC 的外接圆和 DFDF 交于 PP，那么 PP 点是否一定是 DFDF 的中点？

图3

如果考虑同一法的话，很明显这个结论是成立的．

那如果不用同一法呢？

☜构造梯形的中位线

一种方法是构造梯形的中位线．我们分别过 BB、CC、QQ 作 DFDF 的垂线，垂足依次为 MM、NN、TT，则 CTCT 是梯形 BMNCBMNC 的中位线，且 MM、NN、TT 分别是 ADAD、AFAF、APAP 的中点，于是

PD=2MT=2NT=2(AN−AT)=AF−AP=PF\begin{aligned} PD &= 2MT = 2NT = 2 \left( AN - AT \right) \\ &= AF - AP = PF\end{aligned}

因此 PP 是 DFDF 的中点．

图4

另一种方法是构造旋转相似，这种方法放到我们后面的推广里来讲．

☜一种推广

如果要保持四点共圆的条件不变，我们可以把条件弱化成什么样子？

注意如果要保持四点共圆的话，我们要保持 ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ，因此两个等腰三角形的两底角要保持互余，也就是两顶角要保持互补．

因此，我们可以把两个等腰直角三角形的条件改为，两个「顶角互补的等腰三角形」：

图5

在图5中，AB=BDAB = BD，AC=CFAC = CF，∠ABD+∠ACF=180∘\angle ABD + \angle ACF = 180^\circ，我们分别取 BCBC、DFDF 的中点 PP、QQ，则 ∠BPC=90∘\angle BPC = 90^\circ，且 AQ=QPAQ = QP．

我们可以利用上一篇文章中的三种方法，对这种情况进行证明．因为方法几乎是一样的，这里就从略了．

☜继续推广

我们回顾一下图4的证明，这种方法本质上就是用了三个等腰 △ABD\triangle ABD、△ACF\triangle ACF、△APQ\triangle APQ 的条件，因此我们可以把条件再进行弱化，如下图：

图6

如图6，△ABD\triangle ABD 和 △ACF\triangle ACF 都是等腰三角形，AB=BDAB = BD，AC=CFAC = CF，QQ 为 BCBC 的中点，则

QA=QP⟺PD=PFQA = QP \Longleftrightarrow PD = PF

我们来想一下，前面的那些方法，是否还成立？

同时，大家可以想一下，这个图形和我们上一篇文章中里的图形有什么区别和联系．

☜倍长中线

这个时候，倍长中线的方法依旧可以使用，不过这个时候，应该要倍长 AQAQ．

图7

为了两个全等三角形看着大一些，我调整了两个等腰三角形的角度，但这不影响我们的证明

如图7，倍长 AQAQ 至 KK，可以证明 △DBK≅△KCF\triangle DBK \cong \triangle KCF．

证明这个全等的关键，是要证明 ∠DBK=∠KCF\angle DBK = \angle KCF．为了叙述方便，我们设 ∠DBA=2α\angle DBA = 2\alpha，∠ACF=2β\angle ACF = 2\beta，则 ∠BAC=α+β\angle BAC = \alpha + \beta，∠ABK=∠ACK=180∘−α−β\angle ABK = \angle ACK = 180^\circ - \alpha - \beta，于是

∠DBK=∠DBA+∠ABK=2α+(180∘−α−β)=180∘+α−β∠KCF=360∘−∠ACF−∠ACK=360∘−2β−(180∘−α−β)=180∘+α−β\begin{aligned} \angle DBK &= \angle DBA + \angle ABK \\ &= 2\alpha + (180^\circ - \alpha - \beta) \\ &= 180^\circ + \alpha - \beta \\ \\ \angle KCF &= 360^\circ - \angle ACF - \angle ACK \\ &= 360^\circ - 2\beta - (180^\circ - \alpha - \beta) \\ &= 180^\circ + \alpha - \beta\end{aligned}

故 ∠DBK=∠KCF\angle DBK = \angle KCF．

有了全等之后，我们就有 KD=KFKD = KF．

如果已知 PP 是 DFDF 的中点，由「三线合一」可知 KP⊥DFKP \perp DF，即 △KPA\triangle KPA 是直角三角形，KQKQ 是其斜边中线，于是

PQ=12AK=AQPQ = \dfrac{1}{2} AK = AQ

如果已知 QA=QPQA = QP，由 QK=QA=QPQK = QA = QP 可知 ∠KPA=90∘\angle KPA = 90^\circ，再由「三线合一」可知 PD=PFPD = PF．

☜构造三角形的中位线

这个时候我们没有办法利用中位线直接证明 QA=QPQA = QP，但是我们可以分别取 ADAD、AFAF 的中点 MM、NN，先证明 QM=QNQM= QN．

图8

我们分别取 ABAB、ACAC 的中点 SS、TT，于是可以证明 △MSQ≅△QTN\triangle MSQ \cong \triangle QTN．其中 ∠MSQ=∠QTN\angle MSQ = \angle QTN 的证明和上一个方法类似．

于是接下来，只需要证明 △QAM≅△QPN\triangle QAM \cong \triangle QPN 即可（或者过 QQ 作 APAP 的垂线，利用三线合一来做）．

PD=PF  ⟹  AM=12AD=12(DF−AF)=PF−NF=PN  ⟹  SASQA=QP  ⟹  AAS\begin{aligned} PD = PF &\implies AM = \frac{1}{2} AD \\ &= \frac{1}{2}(DF - AF) \\ &= PF - NF = PN \\ &\implies \mathrm{SAS} \\ \\ QA = QP &\implies \mathrm{AAS}\end{aligned}

☜两种方法的联系

实际上，如果我们把上一种方法的图和这一种方法的图放在一起，就会发现这两组三角形其实是相似的．

图9

☜构造梯形的中位线

这种方法和图4的证明是一样的，这里就不在重复了．

可以看出，这是最简单的一种证明方法．

☜构造旋转相似

这个图还有一个证明方法，就是构造 AA 关于 BCBC 的对称点 SS，如图10，则

∠SBD=2∠SAD=2(180∘−∠SAF)=∠SCF\begin{aligned} \angle SBD &= 2\angle SAD \\ &= 2\left( 180^\circ - \angle SAF \right) \\ &= \angle SCF\end{aligned}

于是 △SBD∼△SCF\triangle SBD \sim \triangle SCF，这是一组旋转相似．

图10

如果已知 PP 是 DFDF 的中点，那么就有 △SBD∼△SQP∼△SCF\triangle SBD \sim \triangle SQP \sim \triangle SCF，因此 AQ=SQ=PQAQ = SQ = PQ．

具体的推导过程如下：

△SBD∼△SCF  ⟹  △SBC∼△SDF  ⟹  △SBQ∼△SDP  ⟹  △SBD∼△SQP\begin{aligned} & \triangle SBD \sim \triangle SCF \\ \implies & \triangle SBC \sim \triangle SDF \\ \implies & \triangle SBQ \sim \triangle SDP \\ \implies & \triangle SBD \sim \triangle SQP\end{aligned}

如果已知 QA=QPQA = QP，那么

∠SBD=2∠SAD=2(180∘−∠SAP)=∠SQP\begin{aligned} \angle SBD &= 2\angle SAD \\ &= 2\left( 180^\circ - \angle SAP \right) \\ &= \angle SQP\end{aligned}

于是 △SBD∼△SPQ\triangle SBD \sim \triangle SPQ．由于 QQ 是 BCBC 中点，所以 PP 是 DFDF 的中点．

具体的推导过程如下：

△SBD∼△SCF  ⟹  △SBC∼△SDF△SBD∼△SQP  ⟹  △SBQ∼△SDP}      ⟹  BCDF=SBSD=BQDP\begin{aligned} &\left. \begin{array}{r} \triangle SBD \sim \triangle SCF \\ \implies \triangle SBC \sim \triangle SDF \\ \\ \triangle SBD \sim \triangle SQP \\ \implies \triangle SBQ \sim \triangle SDP \end{array} \right\} \\ \\ & \;\;\implies \frac{BC}{DF} = \frac{SB}{SD} = \frac{BQ}{DP}\end{aligned}

因此

DPDF=BQBP=12\frac{DP}{DF} = \frac{BQ}{BP} = \frac{1}{2}

即 PP 为 DFDF 的中点．

图11

这种方法大量用到了相似和圆周角的性质，由此又可以引申出关于双圆问题的一些结论．有兴趣的朋友可以自行探究一下．

☜和前文图形的关系

我们回过头来看一下图8，注意在这个图中我们平没有用到 DD、FF 这两个点，因此我们考虑把这两个点去掉，于是这个图就变成了下面这样：

图12

如图12，△AMB\triangle AMB 和 △ANC\triangle ANC 都是直角三角形，且 MM、AA、NN 共线，取 BCBC 的中点 QQ，则 QM=QNQM = QN．

对比一下我们前面那篇文章中的图11，那个图的条件实际上两个直角三角形加上 ∠MAB=∠CAN\angle MAB = \angle CAN，而图12中则加上 MM、AA、NN 共线，两个条件不同，结论却是相同的．

至此，这个模型的讨论就暂时告一段落．我们在这三篇文章中，系统地讨论了和两个正方形相关的中点问题，以及他们的推广和变形．我们看到，解决这类问题的关键点在于处理好「中点」的条件．我们需要熟练地掌握「倍长中线」和「中位线」的技巧，才能够顺利地解决这些问题．

]]> @@ -260,7 +260,7 @@ 2020-04-02T17:10:39.000Z 2020-04-13T18:09:00.000Z - 在前一篇文章中，我们提到，在图1中，如果我们考虑 DFDF 的中点，会有一些其它的性质．

图1

如图2，我们取 DFDF 的中点，连结 PBPB、PCPC，则有 PB=PCPB = PC 且 PB⊥PCPB \perp PC（同理，有 PE=PGPE = PG 且 PE⊥PGPE \perp PG）．

图2

我们注意到，这个图形只跟下半部分（或者上半部分有关），因此这类题目经常以两个「等腰直角三角形」的形式出现，如图3：

图3

证明方法

这个题的解决方法也有很多，可以用「倍长中线」，可以构造「三角形的中位线」，也可以构造「梯形中位线」．

倍长中线

如图4，倍长 BPBP 至 KK，可以证明 △ABC≅△FKC\triangle ABC \cong \triangle FKC，注意这是一个旋转 90∘90^\circ 的全等，因此 CBCB 和 CKCK 垂直且相等，我们得到了一个等腰 Rt△CBK\mathrm{Rt} \triangle CBK ，于是它的一半 △PCB\triangle PCB 也是一个等腰直角三角形．

图4

构造三角形的中位线

如图5，分别取 ADAD、AFAF 的中点 MM、NN，可以证明 △PMB≅△CNP\triangle PMB \cong \triangle CNP．注意这又是一个旋转 90∘90^\circ 的全等，因此 PBPB 和 PCPC 垂直且相等．

图5

构造梯形的中位线

如图6，分别过 DD、FF、AA 作 BCBC 的垂线，垂足依次为 JJ、KK、LL，则有弦图的模型可知，△BJD≅△ALB\triangle BJD \cong \triangle ALB，△FKC≅△CLA\triangle FKC \cong \triangle CLA，于是 BJ=AL=CKBJ = AL = CK，DJ=BLDJ = BL，FK=CLFK = CL．我们取 BCBC 的中点 QQ，于是 QQ 也是 JKJK 的中点，因此 PQPQ 是梯形 DJKFDJKF 的中位线，故 PQ⊥BCPQ \perp BC，且

PQ=12(DJ+FK)=12(BL+CL)=12BC=BQ=CQ\begin{aligned} PQ &= \dfrac{1}{2} \left( DJ + FK \right) = \dfrac{1}{2} \left( BL + CL \right) \\ &= \dfrac{1}{2} BC = BQ = CQ\end{aligned}

因此 △PCB\triangle PCB 是等腰直角三角形．

图6

变形

我们需要注意的是，当这两个等腰 Rt△ABD\mathrm{Rt} \triangle ABD 和 △ACF\triangle ACF 旋转到不同的位置的时候，这个图可能看起来变得完全不一样，但是本质上是一个图形，如图7~图10：

图7

图8

图9

图10

推广

在图3中，△ABD\triangle ABD 和 △ACF\triangle ACF 都是等腰直角三角形．如果我们把这个条件进行弱化，去掉等腰的条件，但保持两个直角三角形是相似的，即 Rt△ABD∼Rt△ACF\mathrm{Rt}\triangle ABD \sim \mathrm{Rt}\triangle ACF （其实就是 ∠ADB=∠AFC\angle ADB = \angle AFC），那么 PB=PCPB = PC 的结论依旧成立．

图11

这个时候的解决方法和前面也是类似的．

倍长中线

这个方法和图4类似，只不过把要证明的全等变成了相似．

如图12，倍长 BPBP 至 KK，则

KFFC=DBFC=BAAC\frac{KF}{FC} = \frac{DB}{FC} = \frac{BA}{AC}

而且

∠KFC=∠KFD+∠DFC=∠FDB+∠DFC=360∘−∠DBC−∠FCB=180∘−∠ABC−∠ACB=∠BAC\begin{aligned} \angle KFC &= \angle KFD + \angle DFC \\ &= \angle FDB + \angle DFC \\ &= 360^\circ - \angle DBC - \angle FCB \\& = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB \\& = \angle BAC\end{aligned}

因此 △KFC∼△BAC\triangle KFC \sim \triangle BAC．这是一个旋转 90∘90^\circ 的相似，于是 △BCK\triangle BCK 是直角三角形，CPCP 是其斜边中线，故 CP=12BK=PBCP = \dfrac{1}{2} BK = PB．

图12

构造三角形的中位线

这个方法和图5完全一样，BM=12AD=PNBM = \dfrac{1}{2} AD = PN，MP=12AF=NCMP = \dfrac{1}{2} AF = NC，且

∠BMP=∠BMA+∠AMP=2∠BDA+∠AMP=2∠CFA+∠ANP=∠CNA+∠ANP=∠PNC\begin{aligned} \angle BMP &= \angle BMA + \angle AMP \\ &= 2\angle BDA + \angle AMP \\ &= 2\angle CFA + \angle ANP \\ &= \angle CNA + \angle ANP \\ &= \angle PNC\end{aligned}

因此 △BMP≅△PNC\triangle BMP \cong \triangle PNC，于是 PB=PCPB = PC．

图13

构造梯形的中位线

这个方法和图6类似，不过也是要把证明的全等变成相似．

如图14，△BJD∼△ALB\triangle BJD \sim \triangle ALB，△FKC∼△CLA\triangle FKC \sim \triangle CLA，于是

BJAL=BDAB=CFAC=CKAL\frac{BJ}{AL} = \frac{BD}{AB} = \frac{CF}{AC} = \frac{CK}{AL}

因此 BJ=CKBJ = CK 依旧成立．后面的过程就完全一样了．

我们取 BCBC 的中点 QQ，于是 QQ 也是 JKJK 的中点，因此 PQPQ 是梯形 DJKFDJKF 的中位线，故 PQ⊥BCPQ \perp BC，且

PQ=12(DJ+FK)=12(BL+CL)=12BC=BQ=CQ\begin{aligned} PQ &= \dfrac{1}{2} \left( DJ + FK \right) = \dfrac{1}{2} \left( BL + CL \right) \\ &= \dfrac{1}{2} BC = BQ = CQ\end{aligned}

因此 PB=PCPB = PC．

图14

总结一下，我们看到处理中点有两种主要的思路，一个是「倍长中线」，一种是「构造中位线」，包括三角形中位线和梯形中位线．在证明的过程中，还可能会用到直角三角形斜边中线的结论．

对于很多题目，这两种思路都行得通．但是一般来说，「倍长中线」的辅助线比较容易想出来，但后续全等（或者相似）的三角形比较难找，证明也比较麻烦．

而「构造中位线」的思路关键在于选对中位线的取法，因此辅助线不太好做，但是后续的证明一般比前一种方法要简单．

对于不同的题目，我们要注意选择不同的方法．

在本文中，我们讨论了如何对正方形（等腰直角三角形）的结论进行推广，我们保留了直角的条件，而去掉了等腰的条件．

那么，我们还可以反过来想，如果保留等腰的条件，去掉直角的条件，那是否还会有这样漂亮的结论？

如果没有的话，是否可以考虑再加上一些条件（就像我们上面加入了相似的条件），再得到比较好的结论？

关于这种情形，我们放在下一篇文章中来讨论．

]]> + 在前一篇文章中，我们提到，在图1中，如果我们考虑 DFDF 的中点，会有一些其它的性质．

图1

如图2，我们取 DFDF 的中点，连结 PBPB、PCPC，则有 PB=PCPB = PC 且 PB⊥PCPB \perp PC（同理，有 PE=PGPE = PG 且 PE⊥PGPE \perp PG）．

图2

我们注意到，这个图形只跟下半部分（或者上半部分有关），因此这类题目经常以两个「等腰直角三角形」的形式出现，如图3：

图3

☜证明方法

这个题的解决方法也有很多，可以用「倍长中线」，可以构造「三角形的中位线」，也可以构造「梯形中位线」．

☜倍长中线

如图4，倍长 BPBP 至 KK，可以证明 △ABC≅△FKC\triangle ABC \cong \triangle FKC，注意这是一个旋转 90∘90^\circ 的全等，因此 CBCB 和 CKCK 垂直且相等，我们得到了一个等腰 Rt△CBK\mathrm{Rt} \triangle CBK ，于是它的一半 △PCB\triangle PCB 也是一个等腰直角三角形．

图4

☜构造三角形的中位线

如图5，分别取 ADAD、AFAF 的中点 MM、NN，可以证明 △PMB≅△CNP\triangle PMB \cong \triangle CNP．注意这又是一个旋转 90∘90^\circ 的全等，因此 PBPB 和 PCPC 垂直且相等．

图5

☜构造梯形的中位线

如图6，分别过 DD、FF、AA 作 BCBC 的垂线，垂足依次为 JJ、KK、LL，则有弦图的模型可知，△BJD≅△ALB\triangle BJD \cong \triangle ALB，△FKC≅△CLA\triangle FKC \cong \triangle CLA，于是 BJ=AL=CKBJ = AL = CK，DJ=BLDJ = BL，FK=CLFK = CL．我们取 BCBC 的中点 QQ，于是 QQ 也是 JKJK 的中点，因此 PQPQ 是梯形 DJKFDJKF 的中位线，故 PQ⊥BCPQ \perp BC，且

PQ=12(DJ+FK)=12(BL+CL)=12BC=BQ=CQ\begin{aligned} PQ &= \dfrac{1}{2} \left( DJ + FK \right) = \dfrac{1}{2} \left( BL + CL \right) \\ &= \dfrac{1}{2} BC = BQ = CQ\end{aligned}

因此 △PCB\triangle PCB 是等腰直角三角形．

图6

☜变形

我们需要注意的是，当这两个等腰 Rt△ABD\mathrm{Rt} \triangle ABD 和 △ACF\triangle ACF 旋转到不同的位置的时候，这个图可能看起来变得完全不一样，但是本质上是一个图形，如图7~图10：

图7

图8

图9

图10

☜推广

在图3中，△ABD\triangle ABD 和 △ACF\triangle ACF 都是等腰直角三角形．如果我们把这个条件进行弱化，去掉等腰的条件，但保持两个直角三角形是相似的，即 Rt△ABD∼Rt△ACF\mathrm{Rt}\triangle ABD \sim \mathrm{Rt}\triangle ACF （其实就是 ∠ADB=∠AFC\angle ADB = \angle AFC），那么 PB=PCPB = PC 的结论依旧成立．

图11

这个时候的解决方法和前面也是类似的．

☜倍长中线

这个方法和图4类似，只不过把要证明的全等变成了相似．

如图12，倍长 BPBP 至 KK，则

KFFC=DBFC=BAAC\frac{KF}{FC} = \frac{DB}{FC} = \frac{BA}{AC}

而且

∠KFC=∠KFD+∠DFC=∠FDB+∠DFC=360∘−∠DBC−∠FCB=180∘−∠ABC−∠ACB=∠BAC\begin{aligned} \angle KFC &= \angle KFD + \angle DFC \\ &= \angle FDB + \angle DFC \\ &= 360^\circ - \angle DBC - \angle FCB \\& = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB \\& = \angle BAC\end{aligned}

因此 △KFC∼△BAC\triangle KFC \sim \triangle BAC．这是一个旋转 90∘90^\circ 的相似，于是 △BCK\triangle BCK 是直角三角形，CPCP 是其斜边中线，故 CP=12BK=PBCP = \dfrac{1}{2} BK = PB．

图12

☜构造三角形的中位线

这个方法和图5完全一样，BM=12AD=PNBM = \dfrac{1}{2} AD = PN，MP=12AF=NCMP = \dfrac{1}{2} AF = NC，且

∠BMP=∠BMA+∠AMP=2∠BDA+∠AMP=2∠CFA+∠ANP=∠CNA+∠ANP=∠PNC\begin{aligned} \angle BMP &= \angle BMA + \angle AMP \\ &= 2\angle BDA + \angle AMP \\ &= 2\angle CFA + \angle ANP \\ &= \angle CNA + \angle ANP \\ &= \angle PNC\end{aligned}

因此 △BMP≅△PNC\triangle BMP \cong \triangle PNC，于是 PB=PCPB = PC．

图13

☜构造梯形的中位线

这个方法和图6类似，不过也是要把证明的全等变成相似．

如图14，△BJD∼△ALB\triangle BJD \sim \triangle ALB，△FKC∼△CLA\triangle FKC \sim \triangle CLA，于是

BJAL=BDAB=CFAC=CKAL\frac{BJ}{AL} = \frac{BD}{AB} = \frac{CF}{AC} = \frac{CK}{AL}

因此 BJ=CKBJ = CK 依旧成立．后面的过程就完全一样了．

我们取 BCBC 的中点 QQ，于是 QQ 也是 JKJK 的中点，因此 PQPQ 是梯形 DJKFDJKF 的中位线，故 PQ⊥BCPQ \perp BC，且

PQ=12(DJ+FK)=12(BL+CL)=12BC=BQ=CQ\begin{aligned} PQ &= \dfrac{1}{2} \left( DJ + FK \right) = \dfrac{1}{2} \left( BL + CL \right) \\ &= \dfrac{1}{2} BC = BQ = CQ\end{aligned}

因此 PB=PCPB = PC．

图14

总结一下，我们看到处理中点有两种主要的思路，一个是「倍长中线」，一种是「构造中位线」，包括三角形中位线和梯形中位线．在证明的过程中，还可能会用到直角三角形斜边中线的结论．

对于很多题目，这两种思路都行得通．但是一般来说，「倍长中线」的辅助线比较容易想出来，但后续全等（或者相似）的三角形比较难找，证明也比较麻烦．

而「构造中位线」的思路关键在于选对中位线的取法，因此辅助线不太好做，但是后续的证明一般比前一种方法要简单．

对于不同的题目，我们要注意选择不同的方法．

在本文中，我们讨论了如何对正方形（等腰直角三角形）的结论进行推广，我们保留了直角的条件，而去掉了等腰的条件．

那么，我们还可以反过来想，如果保留等腰的条件，去掉直角的条件，那是否还会有这样漂亮的结论？

如果没有的话，是否可以考虑再加上一些条件（就像我们上面加入了相似的条件），再得到比较好的结论？

关于这种情形，我们放在下一篇文章中来讨论．

]]> @@ -289,7 +289,7 @@ 2020-04-01T06:23:42.000Z 2020-04-13T07:03:00.000Z - 在正方形的题目中，有很常见的一类是和两个正方形有关的图形，如下图：

图1

在这个图形中，有很多有意思的性质，也衍生出了很多的题目．我们讲分几次一一道来．

「手拉手」模型

在学习全等的时候，我们知道有一类很重要的全等模型——旋转全等模型，俗称「手拉手」模型．说的是两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，一定伴随着一组旋转全等，如图2：

图2

△ABC\triangle ABC 和 △ADE\triangle ADE 是两个顶角相等的等腰三角形，易证 △ABD≅△ACE\triangle ABD \cong \triangle ACE ．这是一个旋转全等，旋转角度等于两个等腰三角形的顶角角度．

关于这个模型，也有很多相关的结论，不过大部分和这次的内容关系不大，有机会我们另开文讲述．

那么，对于两个共顶点的正方形，也有类似的结论．在图1中，我们可以把它看成是两个等腰直角三角形 ABEABE 和 ACGACG 的「手拉手」，于是就有 △ABG≅△AEC\triangle ABG \cong \triangle AEC，而且旋转角度为 90∘90^\circ．

图3

于是，我们就得到了一个对角线垂直且相等的四边形 BCGEBCGE．

和中点四边形相关的问题

熟悉中点四边形的朋友马上就会想到，这样一个四边形的中点四边形一定是一个正方形，也就是下面这个图：

图5

在这个图中，中点四边形 MPNQMPNQ 就是一个正方形．

另一个和中点相关的问题

在图1中，如果我们取 EGEG 的中点 PP ，连结 APAP ，则 AP⊥BCAP \perp BC 且 AP=12BCAP = \dfrac{1}{2} BC．（如果取 BCBC 中点，有类似的结论）

图5

对于中点问题，我们知道一种常见的处理方法就是「倍长中线」，因此我们倍长 APAP 至 HH，可以证明 △GHA≅△ABC\triangle GHA \cong \triangle ABC．注意这是一个旋转 90∘90 ^\circ 的全等，因此 AHAH 和 BCBC 垂直且相等，所以上面的结论成立．

图6

这个命题逆命题也成立，即如果 AP⊥BCAP \perp BC，则 PP 为 EGEG 的中点，且 AP=12BCAP = \dfrac{1}{2} BC．

这个命题也可以利用上图来证明，不过这个时候需要直接延长作 AH=BCAH=BC 来证明全等．

这个时候另外一种处理方法是做垂直，利用弦图的模型来证明全等．

图7

如图7，延长 PAPA 交 BCBC 于 QQ，作 EM⊥APEM \perp AP 于 MM，GN⊥APGN \perp AP 于 NN，则 △ABQ≅△EAM\triangle ABQ \cong \triangle EAM，△ACQ≅△GAM\triangle ACQ \cong \triangle GAM，于是 EM=AQ=NGEM = AQ = NG 且 EM∥NGEM \parallel NG，因此 EMGNEMGN 是平行四边形，于是

PE=PG,PN=PM,BC=BQ+QC=AM+AN=2AP\begin{aligned} PE &= PG, \\ PN &= PM, \\ BC &= BQ + QC \\ &= AM + AN \\ &= 2AP\end{aligned}

这两个证明同时还都证明了另一个结论，就是 S△ABC=S△AEGS_{\triangle ABC} = S_{\triangle AEG}．由割补法知这两个三角形的面积的确是相等的．

当然，如果熟悉三角函数的话，这两个三角形的面积相等是显然的．因为 ∠BAC\angle BAC 和 ∠EAG\angle EAG 互补，而角的两边对应相等，因此面积也是相等的．

变形一

前面我们说了 BCGEBCGE 是一个对角线垂直且相等的四边形，因此，这个题的可以这样来出：

如图8，在四边形 ABCDABCD 中，AC⊥BDAC \perp BD，且 AC=BDAC=BD，分别取 ADAD、BCBC、ABAB 的中点 MM、NN、PP，分别过 MM、NN 作 ADAD、BCBC 的垂线交于 OO，则 PO⊥CDPO \perp CD．

图8

这个图如果把 OAOA、OBOB、OCOC、ODOD 都连起来，显然有 △OAC≅△OBD\triangle OAC \cong \triangle OBD，注意这是一个旋转 90∘90^\circ 的全等，因此 △OAD\triangle OAD、△OBC\triangle OBC 都是等腰直角三角形．于是这就变成了图5一样的图了，后面的证明和上面相同．

图9

变形二

如果我们把两个正方形中间再加一个小正方形，那么结论会变成什么样子？

如图10，有三个正方形 ABCDABCD、AEFGAEFG、FHIJFHIJ，取 JDJD 中点 PP，则有 PE⊥BHPE \perp BH 且 PE=12BHPE = \dfrac{1}{2} BH．

图10

很明显，这个图是上面图5的一个推广，如果中间的小正方形缩成一个点，那么就变成了图5．

既然是推广，那么证明应该也是类似的．我们还是可以倍长 EPEP 来做，不过这个时候要找的全等变得复杂了一些．

图11

如图11，我们倍长 EPEP 至 KK，可以类似地证明 △JKE≅△GBH\triangle JKE \cong \triangle GBH．

不过在证明的时候需要注意，这里面隐藏着两个「手拉手」的全等模型，在证明上面的全等的时候需要用到，如图12，有 △ADE≅△ABG\triangle ADE \cong \triangle ABG，△FJE≅△FGH\triangle FJE \cong \triangle FGH，都是旋转 90∘90^\circ 的全等．

图12

拓展联想

在圆的内接四边形中，有一个类似的结论：

若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．

这就是 Brahmagupta 定理，一般译作「婆罗摩笈多定理」，或者「布拉美古塔定理」．

如图13，在圆的内接四边形 ABCDABCD 中，AC⊥BDAC \perp BD，过对角线的中点 OO 作 PQ⊥ABPQ \perp AB 点 QQ，交 CDCD 于点 PP，则 PP 是 CDCD 的中点．

图13

这个的证明是比较简单的，

∠POC=90∘−∠QOB=∠QBO=∠PCO\begin{aligned} \angle POC &= 90^\circ - \angle QOB \\ &= \angle QBO \\ &= \angle PCO\end{aligned}

于是

∠POD=90∘−∠POC=90∘−∠PCO=∠PDC\begin{aligned} \angle POD &= 90^\circ - \angle POC \\ &= 90^\circ - \angle PCO \\ &= \angle PDC\end{aligned}

故 PC=PO=PDPC = PO = PD，直接倒角就可以证明了．

这个定理的逆命题也成立，即如果 PP 是 CDCD 的中点，那么 OP⊥ABOP \perp AB．证明和上面类似．

总结一下，这类问题主要是和中点有关系，主要的方法是「倍长中线」和「手拉手」的全等．还有一类问题是借助于中位线来解决的，这一类题目讨论的不是 EGEG 的中点（图1中），而是 DFDF 的中点．这一类问题，我们放到下一篇文章中来讨论．

]]> + 在正方形的题目中，有很常见的一类是和两个正方形有关的图形，如下图：

图1

在这个图形中，有很多有意思的性质，也衍生出了很多的题目．我们讲分几次一一道来．

☜「手拉手」模型

在学习全等的时候，我们知道有一类很重要的全等模型——旋转全等模型，俗称「手拉手」模型．说的是两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，一定伴随着一组旋转全等，如图2：

图2

△ABC\triangle ABC 和 △ADE\triangle ADE 是两个顶角相等的等腰三角形，易证 △ABD≅△ACE\triangle ABD \cong \triangle ACE ．这是一个旋转全等，旋转角度等于两个等腰三角形的顶角角度．

关于这个模型，也有很多相关的结论，不过大部分和这次的内容关系不大，有机会我们另开文讲述．

那么，对于两个共顶点的正方形，也有类似的结论．在图1中，我们可以把它看成是两个等腰直角三角形 ABEABE 和 ACGACG 的「手拉手」，于是就有 △ABG≅△AEC\triangle ABG \cong \triangle AEC，而且旋转角度为 90∘90^\circ．

图3

于是，我们就得到了一个对角线垂直且相等的四边形 BCGEBCGE．

☜和中点四边形相关的问题

熟悉中点四边形的朋友马上就会想到，这样一个四边形的中点四边形一定是一个正方形，也就是下面这个图：

图5

在这个图中，中点四边形 MPNQMPNQ 就是一个正方形．

☜另一个和中点相关的问题

在图1中，如果我们取 EGEG 的中点 PP ，连结 APAP ，则 AP⊥BCAP \perp BC 且 AP=12BCAP = \dfrac{1}{2} BC．（如果取 BCBC 中点，有类似的结论）

图5

对于中点问题，我们知道一种常见的处理方法就是「倍长中线」，因此我们倍长 APAP 至 HH，可以证明 △GHA≅△ABC\triangle GHA \cong \triangle ABC．注意这是一个旋转 90∘90 ^\circ 的全等，因此 AHAH 和 BCBC 垂直且相等，所以上面的结论成立．

图6

这个命题逆命题也成立，即如果 AP⊥BCAP \perp BC，则 PP 为 EGEG 的中点，且 AP=12BCAP = \dfrac{1}{2} BC．

这个命题也可以利用上图来证明，不过这个时候需要直接延长作 AH=BCAH=BC 来证明全等．

这个时候另外一种处理方法是做垂直，利用弦图的模型来证明全等．

图7

如图7，延长 PAPA 交 BCBC 于 QQ，作 EM⊥APEM \perp AP 于 MM，GN⊥APGN \perp AP 于 NN，则 △ABQ≅△EAM\triangle ABQ \cong \triangle EAM，△ACQ≅△GAM\triangle ACQ \cong \triangle GAM，于是 EM=AQ=NGEM = AQ = NG 且 EM∥NGEM \parallel NG，因此 EMGNEMGN 是平行四边形，于是

PE=PG,PN=PM,BC=BQ+QC=AM+AN=2AP\begin{aligned} PE &= PG, \\ PN &= PM, \\ BC &= BQ + QC \\ &= AM + AN \\ &= 2AP\end{aligned}

这两个证明同时还都证明了另一个结论，就是 S△ABC=S△AEGS_{\triangle ABC} = S_{\triangle AEG}．由割补法知这两个三角形的面积的确是相等的．

当然，如果熟悉三角函数的话，这两个三角形的面积相等是显然的．因为 ∠BAC\angle BAC 和 ∠EAG\angle EAG 互补，而角的两边对应相等，因此面积也是相等的．

☜变形一

前面我们说了 BCGEBCGE 是一个对角线垂直且相等的四边形，因此，这个题的可以这样来出：

如图8，在四边形 ABCDABCD 中，AC⊥BDAC \perp BD，且 AC=BDAC=BD，分别取 ADAD、BCBC、ABAB 的中点 MM、NN、PP，分别过 MM、NN 作 ADAD、BCBC 的垂线交于 OO，则 PO⊥CDPO \perp CD．

图8

这个图如果把 OAOA、OBOB、OCOC、ODOD 都连起来，显然有 △OAC≅△OBD\triangle OAC \cong \triangle OBD，注意这是一个旋转 90∘90^\circ 的全等，因此 △OAD\triangle OAD、△OBC\triangle OBC 都是等腰直角三角形．于是这就变成了图5一样的图了，后面的证明和上面相同．

图9

☜变形二

如果我们把两个正方形中间再加一个小正方形，那么结论会变成什么样子？

如图10，有三个正方形 ABCDABCD、AEFGAEFG、FHIJFHIJ，取 JDJD 中点 PP，则有 PE⊥BHPE \perp BH 且 PE=12BHPE = \dfrac{1}{2} BH．

图10

很明显，这个图是上面图5的一个推广，如果中间的小正方形缩成一个点，那么就变成了图5．

既然是推广，那么证明应该也是类似的．我们还是可以倍长 EPEP 来做，不过这个时候要找的全等变得复杂了一些．

图11

如图11，我们倍长 EPEP 至 KK，可以类似地证明 △JKE≅△GBH\triangle JKE \cong \triangle GBH．

不过在证明的时候需要注意，这里面隐藏着两个「手拉手」的全等模型，在证明上面的全等的时候需要用到，如图12，有 △ADE≅△ABG\triangle ADE \cong \triangle ABG，△FJE≅△FGH\triangle FJE \cong \triangle FGH，都是旋转 90∘90^\circ 的全等．

图12

☜拓展联想

在圆的内接四边形中，有一个类似的结论：

若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．

这就是 Brahmagupta 定理，一般译作「婆罗摩笈多定理」，或者「布拉美古塔定理」．

如图13，在圆的内接四边形 ABCDABCD 中，AC⊥BDAC \perp BD，过对角线的中点 OO 作 PQ⊥ABPQ \perp AB 点 QQ，交 CDCD 于点 PP，则 PP 是 CDCD 的中点．

图13

这个的证明是比较简单的，

∠POC=90∘−∠QOB=∠QBO=∠PCO\begin{aligned} \angle POC &= 90^\circ - \angle QOB \\ &= \angle QBO \\ &= \angle PCO\end{aligned}

于是

∠POD=90∘−∠POC=90∘−∠PCO=∠PDC\begin{aligned} \angle POD &= 90^\circ - \angle POC \\ &= 90^\circ - \angle PCO \\ &= \angle PDC\end{aligned}

故 PC=PO=PDPC = PO = PD，直接倒角就可以证明了．

这个定理的逆命题也成立，即如果 PP 是 CDCD 的中点，那么 OP⊥ABOP \perp AB．证明和上面类似．

总结一下，这类问题主要是和中点有关系，主要的方法是「倍长中线」和「手拉手」的全等．还有一类问题是借助于中位线来解决的，这一类题目讨论的不是 EGEG 的中点（图1中），而是 DFDF 的中点．这一类问题，我们放到下一篇文章中来讨论．

]]> @@ -366,7 +366,7 @@ 2019-12-11T06:51:00.000Z 2019-12-12T08:02:21.000Z - 今天在给一个学生讲题的时候遇到了这样一道题目：

求 ∣x∣+∣y∣≤3\lvert x \rvert + \lvert y \rvert \le 3 所包含的区域的面积．

易知，这是个正方形，面积是 (32)2=18\left(3\sqrt{2}\right)^2=18．它在第一象限的边界点应该是形如 (t,3−t)(t,3-t) 的点，都在 x+y=3x+y=3 这条直线上．

但是，这个学生却想成了 (t,0)(t,0) 和 (0,3−t)(0,3-t) 的连线，把所有这样的线都画出来，发现它的边界是一条弧线．于是，这个学生就认为它的边界应该是一条圆弧．

显然，这个学生的错误是很明显的．但这也带来了一个问题：如果按照学生所想的，那么面积应该是多少？

那么首先需要确定的是，它的边界到底是什么？

边界曲线

我们只考虑第一象限的情况．

解法一

这个区域的边界，应该是取最靠外的点，或者是，最靠上的点．于是我们可以想办法求出，在每一个 xx 处，对应的 yy 的最大值．

设线段的方程为

xa+y3−a=1(1)\frac{x}{a}+\frac{y}{3-a}=1 \tag{1}

其中 0<a<30<a<3，0≤x≤30 \le x \le 3，于是

y=(3−a)(1−xa)=3+x−a−3xa=3+x−(a+3xa)≤3+x−2a⋅3xa=3+x−23x=(3−x)2\begin{aligned} y &= (3-a)\left(1-\frac{x}{a}\right) \\ &= 3+x-a-\frac{3x}{a} \\ &= 3+x-\left(a+\frac{3x}{a}\right) \\ &\le 3+x-2\sqrt{a\cdot \frac{3x}{a}} \\ &= 3+x-2\sqrt{3x} \\ &= \left(\sqrt{3}-\sqrt{x}\right)^2 \end{aligned}

所以边界应该是

x+y=3.(2)\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{3}\tag{2}.

解法二

实际上，这个边界是所有满足条件的线段的包络线．

设线段所在直线的方程为

F(x,y,a)=(3−a)x+ay−a(3−a)=a2−(x−y+3)a+3x=0\begin{aligned} F(x,y,a) &= (3-a)x+ay-a(3-a) \\ &= a^2-(x-y+3)a+3x \\ &= 0 \end{aligned}

于是有

∂F∂a=2a−(x−y+3)=0 \frac{\partial{F}}{\partial{a}} = 2a-(x-y+3)=0

从而 a=x−y+32a=\dfrac{x-y+3}{2}，代入到前一个方程消去 aa，可以得到

14(x−y+3)2−12(x−y+3)2+3x=0 \frac{1}{4}(x-y+3)^2-\frac{1}{2}(x-y+3)^2+3x=0

化简得

(x−y+3)2=12x(3) (x-y+3)^2=12x \tag{3}

其图像如下：

可以验证，方程 (3)(3) 和我们前面求出的方程 (2)(2) 是一致的．

解法三

设直线方程同解法二，注意到对于每一个 (x,y)(x,y)，有且仅有一个 aa 满足条件．于是有

Δ=(x−y+3)2−12x=0 \Delta=(x-y+3)^2-12x=0

很明显，和解法二得到的结果是一样的．

此解法的出处
此处称该曲线为绣曲线，但我只在此处和中文维基百科的包络线里面见到了这个名词．目前还不清楚这是否是通用的名词．

围出的面积

第一象限所求的面积，就相当于边界和 xx 轴所夹的面积，因此

S=∫03(3+x+23x)dx=[3x+12x2+23⋅23(3x)32]∣03=9+4.5+4=22.5\begin{aligned} S &= \int_0^3 \left(3+x+2\sqrt{3x}\right)\mathrm{d}x \\ &= \left.\left[3x+\frac{1}{2}x^2+\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}(3x)^{\frac{3}{2}}\right]\right|_0^3 \\ &= 9+4.5+4 \\ &= 22.5 \end{aligned}

于是四个象限的区域面积一共是 22.5×4=9022.5\times 4=90．

曲线的类型

很明显，这是一条二次曲线的一部分．经过仿射变换

{x′=xy′=x−y+3 \begin{cases} x'=x \\ y'=x-y+3 \end{cases}

变为 y′2=12x{y'}^2=12x，容易看出这是一条抛物线．

如果要做保距变换的话，则是

(xy)=(cos⁡π4−sin⁡π4sin⁡π4cos⁡π4)(x′y′)+(3434)\begin{pmatrix} x \\[12pt] y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\dfrac{\pi}{4} & -\sin\dfrac{\pi}{4} \\[10pt] \sin\dfrac{\pi}{4} & \cos\dfrac{\pi}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\[12pt] y' \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \dfrac{3}{4} \\[8pt] \dfrac{3}{4} \end{pmatrix}

此时方程变为 y′2=32x′{y'}^2=3\sqrt{2}x'，焦点为 (324,0)\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{4},0\right)，准线为 x′=−324x'=-\dfrac{3\sqrt{2}}{4}．

于是原抛物线的焦点是 (32,0)\left(\dfrac{3}{2},0\right)，准线为 y=xy=x．

问题拓展

在高中学习抛物线的时候，有这样一道题目：

对于抛物线 y2=2pxy^2=2px，过点K(−p2,0)K\left(-\dfrac{p}{2},0\right) 作抛物线的两条切线，切点分别为 AA、BB，过抛物线在两切点之间的部分上的任意一点，作抛物线的切线，分别交 KAKA、KBKB 与 MM、NN，求证： ∣KM∣+∣KN∣\left|KM\right|+\left|KN\right| 为定值．

证明

抛物线在 (x0,y0)\left(x_0,y_0\right) 处的切线是 MN:y=py0(x+x0)MN: y=\dfrac{p}{y_0}\left(x+x_0\right)．易知经过 KK 的两条切线的方程为 y=±(x+p2)y=\pm\left(x+\dfrac{p}{2}\right)，从而可解得交点的纵坐标为 yM,N=p2−x0±1−y0py_{M,N}=\dfrac{\dfrac{p}{2}-x_0}{\pm 1-\dfrac{y_0}{p}}，因此

∣KM∣+∣KN∣=2∣yM−yN∣=2p\left|KM\right|+\left|KN\right|=\sqrt{2}\left|y_M-y_N\right|=\sqrt{2}p

为定值．

与前面的联系

其实仔细观察一下就会发现，抛物线这道题里面的 MNMN，就是我们方程 (1)(1) 所对应的线段，所有满足条件的 MNMN 的包络线就是抛物线在 AA、BB 之间的部分！

]]> + 今天在给一个学生讲题的时候遇到了这样一道题目：

求 ∣x∣+∣y∣≤3\lvert x \rvert + \lvert y \rvert \le 3 所包含的区域的面积．

易知，这是个正方形，面积是 (32)2=18\left(3\sqrt{2}\right)^2=18．它在第一象限的边界点应该是形如 (t,3−t)(t,3-t) 的点，都在 x+y=3x+y=3 这条直线上．

但是，这个学生却想成了 (t,0)(t,0) 和 (0,3−t)(0,3-t) 的连线，把所有这样的线都画出来，发现它的边界是一条弧线．于是，这个学生就认为它的边界应该是一条圆弧．

显然，这个学生的错误是很明显的．但这也带来了一个问题：如果按照学生所想的，那么面积应该是多少？

那么首先需要确定的是，它的边界到底是什么？

☜边界曲线

我们只考虑第一象限的情况．

☜解法一

这个区域的边界，应该是取最靠外的点，或者是，最靠上的点．于是我们可以想办法求出，在每一个 xx 处，对应的 yy 的最大值．

设线段的方程为

xa+y3−a=1(1)\frac{x}{a}+\frac{y}{3-a}=1 \tag{1}

其中 0<a<30<a<3，0≤x≤30 \le x \le 3，于是

y=(3−a)(1−xa)=3+x−a−3xa=3+x−(a+3xa)≤3+x−2a⋅3xa=3+x−23x=(3−x)2\begin{aligned} y &= (3-a)\left(1-\frac{x}{a}\right) \\ &= 3+x-a-\frac{3x}{a} \\ &= 3+x-\left(a+\frac{3x}{a}\right) \\ &\le 3+x-2\sqrt{a\cdot \frac{3x}{a}} \\ &= 3+x-2\sqrt{3x} \\ &= \left(\sqrt{3}-\sqrt{x}\right)^2 \end{aligned}

所以边界应该是

x+y=3.(2)\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{3}\tag{2}.

☜解法二

实际上，这个边界是所有满足条件的线段的包络线．

设线段所在直线的方程为

F(x,y,a)=(3−a)x+ay−a(3−a)=a2−(x−y+3)a+3x=0\begin{aligned} F(x,y,a) &= (3-a)x+ay-a(3-a) \\ &= a^2-(x-y+3)a+3x \\ &= 0 \end{aligned}

于是有

∂F∂a=2a−(x−y+3)=0 \frac{\partial{F}}{\partial{a}} = 2a-(x-y+3)=0

从而 a=x−y+32a=\dfrac{x-y+3}{2}，代入到前一个方程消去 aa，可以得到

14(x−y+3)2−12(x−y+3)2+3x=0 \frac{1}{4}(x-y+3)^2-\frac{1}{2}(x-y+3)^2+3x=0

化简得

(x−y+3)2=12x(3) (x-y+3)^2=12x \tag{3}

其图像如下：

可以验证，方程 (3)(3) 和我们前面求出的方程 (2)(2) 是一致的．

☜解法三

设直线方程同解法二，注意到对于每一个 (x,y)(x,y)，有且仅有一个 aa 满足条件．于是有

Δ=(x−y+3)2−12x=0 \Delta=(x-y+3)^2-12x=0

很明显，和解法二得到的结果是一样的．

此解法的出处
此处称该曲线为绣曲线，但我只在此处和中文维基百科的包络线里面见到了这个名词．目前还不清楚这是否是通用的名词．

☜围出的面积

第一象限所求的面积，就相当于边界和 xx 轴所夹的面积，因此

S=∫03(3+x+23x)dx=[3x+12x2+23⋅23(3x)32]∣03=9+4.5+4=22.5\begin{aligned} S &= \int_0^3 \left(3+x+2\sqrt{3x}\right)\mathrm{d}x \\ &= \left.\left[3x+\frac{1}{2}x^2+\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}(3x)^{\frac{3}{2}}\right]\right|_0^3 \\ &= 9+4.5+4 \\ &= 22.5 \end{aligned}

于是四个象限的区域面积一共是 22.5×4=9022.5\times 4=90．

☜曲线的类型

很明显，这是一条二次曲线的一部分．经过仿射变换

{x′=xy′=x−y+3 \begin{cases} x'=x \\ y'=x-y+3 \end{cases}

变为 y′2=12x{y'}^2=12x，容易看出这是一条抛物线．

如果要做保距变换的话，则是

(xy)=(cos⁡π4−sin⁡π4sin⁡π4cos⁡π4)(x′y′)+(3434)\begin{pmatrix} x \\[12pt] y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\dfrac{\pi}{4} & -\sin\dfrac{\pi}{4} \\[10pt] \sin\dfrac{\pi}{4} & \cos\dfrac{\pi}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\[12pt] y' \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \dfrac{3}{4} \\[8pt] \dfrac{3}{4} \end{pmatrix}

此时方程变为 y′2=32x′{y'}^2=3\sqrt{2}x'，焦点为 (324,0)\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{4},0\right)，准线为 x′=−324x'=-\dfrac{3\sqrt{2}}{4}．

于是原抛物线的焦点是 (32,0)\left(\dfrac{3}{2},0\right)，准线为 y=xy=x．

☜问题拓展

在高中学习抛物线的时候，有这样一道题目：

对于抛物线 y2=2pxy^2=2px，过点K(−p2,0)K\left(-\dfrac{p}{2},0\right) 作抛物线的两条切线，切点分别为 AA、BB，过抛物线在两切点之间的部分上的任意一点，作抛物线的切线，分别交 KAKA、KBKB 与 MM、NN，求证： ∣KM∣+∣KN∣\left|KM\right|+\left|KN\right| 为定值．

☜证明

抛物线在 (x0,y0)\left(x_0,y_0\right) 处的切线是 MN:y=py0(x+x0)MN: y=\dfrac{p}{y_0}\left(x+x_0\right)．易知经过 KK 的两条切线的方程为 y=±(x+p2)y=\pm\left(x+\dfrac{p}{2}\right)，从而可解得交点的纵坐标为 yM,N=p2−x0±1−y0py_{M,N}=\dfrac{\dfrac{p}{2}-x_0}{\pm 1-\dfrac{y_0}{p}}，因此

∣KM∣+∣KN∣=2∣yM−yN∣=2p\left|KM\right|+\left|KN\right|=\sqrt{2}\left|y_M-y_N\right|=\sqrt{2}p

为定值．

☜与前面的联系

其实仔细观察一下就会发现，抛物线这道题里面的 MNMN，就是我们方程 (1)(1) 所对应的线段，所有满足条件的 MNMN 的包络线就是抛物线在 AA、BB 之间的部分！

]]> @@ -393,7 +393,7 @@ 2019-12-10T14:59:56.000Z 2019-12-10T14:59:56.000Z - 题目

设 aa、bb 为正整数，且满足 a+b3a+b^3 能被 a2+3ab+3b2−1a^2+3ab+3b^2-1 整除．求证：a2+3ab+3b2−1a^2+3ab+3b^2-1 能被一个大于 11 的整数的立方整除．[1]

分析

根据题目中 a2+3ab+3b2a^2+3ab+3b^2 的形式，容易看出应该和 (a+b)3(a+b)^3 有关系，从而可以证出 (a+b)3(a+b)^3 能被 a2+3ab+3b2−1a^2+3ab+3b^2-1．

而本题的难点在于如何证明 a2+3ab+3b2−1a^2+3ab+3b^2-1 有次数不小于 33 的因子．这里使用了反证法，并对要证明的结论进行了加强，把证明 a2+3ab+3b2−1a^2+3ab+3b^2-1 中素因子的次数大于 22，转化为证明其大于 (a+b)(a+b) 中对应的素因子的次数的 22 倍，从而更容易导出矛盾．

解答

设 T=a2+3ab+3b2−1T=a^2+3ab+3b^2-1，则

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a(a2+3ab+3b2)+b3=a(T+1)+b3=aT+(a+b3) \begin{aligned} \left( a+b \right)^3 &= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\ &= a\left( a^2+3ab+3b^2 \right) + b^3 \\ &= a\left( T+1 \right) + b^3 \\ &= aT + \left( a+b^3 \right) \end{aligned}

由题知，T∣a+b3T \mid a+b^3，故 T∣(a+b)3T \mid \left( a+b \right)^3．

设 a+ba+b 的质因数分解为 p1r1p2r2⋯pnrnp_1^{r_1}p_2^{r_2} \cdots p_n^{r_n}，T=p1s1p2s2⋯pnsnT = p_1^{s_1}p_2^{s_2} \cdots p_n^{s_n}，其中 ri⩾1,si⩾0r_i\geqslant 1, s_i\geqslant 0，则只需证明存在一个 sk⩾3s_k\geqslant 3 即可．

若对于任意的 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n，都有 si⩽2s_i \leqslant 2，于是 si⩽2ris_i \leqslant 2r_i，此时有 T∣(a+b)2T \mid \left( a+b \right)^2．但是，

T=a2+3ab+3b2−1>a2+2ab+b2=(a+b)2, \begin{aligned} T&=a^2+3ab+3b^2-1 \\ &>a^2+2ab+b^2 \\ &=\left( a+b \right)^2, \end{aligned}

矛盾．所以一定存在一个 sk⩾3s_k\geqslant 3，于是 pk3∣Tp_k^3\mid T．

  1. 英文题目的下载链接 ↩︎

]]> + ☜题目

设 aa、bb 为正整数，且满足 a+b3a+b^3 能被 a2+3ab+3b2−1a^2+3ab+3b^2-1 整除．求证：a2+3ab+3b2−1a^2+3ab+3b^2-1 能被一个大于 11 的整数的立方整除．[1]

☜分析

根据题目中 a2+3ab+3b2a^2+3ab+3b^2 的形式，容易看出应该和 (a+b)3(a+b)^3 有关系，从而可以证出 (a+b)3(a+b)^3 能被 a2+3ab+3b2−1a^2+3ab+3b^2-1．

而本题的难点在于如何证明 a2+3ab+3b2−1a^2+3ab+3b^2-1 有次数不小于 33 的因子．这里使用了反证法，并对要证明的结论进行了加强，把证明 a2+3ab+3b2−1a^2+3ab+3b^2-1 中素因子的次数大于 22，转化为证明其大于 (a+b)(a+b) 中对应的素因子的次数的 22 倍，从而更容易导出矛盾．

☜解答

设 T=a2+3ab+3b2−1T=a^2+3ab+3b^2-1，则

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a(a2+3ab+3b2)+b3=a(T+1)+b3=aT+(a+b3) \begin{aligned} \left( a+b \right)^3 &= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\ &= a\left( a^2+3ab+3b^2 \right) + b^3 \\ &= a\left( T+1 \right) + b^3 \\ &= aT + \left( a+b^3 \right) \end{aligned}

由题知，T∣a+b3T \mid a+b^3，故 T∣(a+b)3T \mid \left( a+b \right)^3．

设 a+ba+b 的质因数分解为 p1r1p2r2⋯pnrnp_1^{r_1}p_2^{r_2} \cdots p_n^{r_n}，T=p1s1p2s2⋯pnsnT = p_1^{s_1}p_2^{s_2} \cdots p_n^{s_n}，其中 ri⩾1,si⩾0r_i\geqslant 1, s_i\geqslant 0，则只需证明存在一个 sk⩾3s_k\geqslant 3 即可．

若对于任意的 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n，都有 si⩽2s_i \leqslant 2，于是 si⩽2ris_i \leqslant 2r_i，此时有 T∣(a+b)2T \mid \left( a+b \right)^2．但是，

T=a2+3ab+3b2−1>a2+2ab+b2=(a+b)2, \begin{aligned} T&=a^2+3ab+3b^2-1 \\ &>a^2+2ab+b^2 \\ &=\left( a+b \right)^2, \end{aligned}

矛盾．所以一定存在一个 sk⩾3s_k\geqslant 3，于是 pk3∣Tp_k^3\mid T．

  1. 英文题目的下载链接 ↩︎

]]> @@ -472,7 +472,7 @@ 2019-09-13T16:31:00.000Z 2019-09-13T16:31:00.000Z - 今天终于有时间，打了两把雀魂，吃了两个二。

遇dora弃胡

南2局0本场12巡目

上家6巡立直，自家随后听牌，听的是上家的现物47p，而且只有平和一番，dora 2s一张未现，于是没有立直，准备看看有没有可能偷到现物。

之后几巡都没有摸到太危险的牌，打过一次筋3s，然后摸到了dora 2s。何切？

对家在一发巡的时候打过5s，所以2s不可能铳两面。只能铳坎13s、2s对碰或者2s单骑。一旦铳到后两个，则至少是立直dora2/3起，至少3900甚至很可能满贯，而自家只是1000点手牌，显然达不到对日的标准，于是这里只能选择弃胡。

南2局0本场18巡目

实际上，上家正是单听2s，如果点了就是立直七对dora2的满贯12000点，那么就给了三位逆二的机会。

弃胡or进攻

东1局0本场11巡目

这里面对下家十二落抬，摸上生牌9s，是否要弃胡？

我当时的选择是弃胡，最终流掉了这一把。但事后仔细想一下，下家虽然是四副露听牌，但如果打9s点了，只会是1600点的牌。而自家是平和dora3的一向听，满贯的手牌，因此完全可以和下家对日。

进攻or弃胡

东4局0本场7巡目

这里连送上家三个碰牌，之后上家打东。这里是碰东进攻，还是直接弃胡？

我当时的选择是碰东进攻，主要考虑到自家是东dora dora，3900的牌，而上家很可能只是一个对对。当然上家也有可能是对对dora2/3的牌，毕竟8s一张未现。这里其实是有些冲动了，因为连续喂了上家三张牌，心情有些不好，于是就直接冲上去了。

东4局0本场13巡目

不过最终还是自摸了2000-1000，赢下了这局。（而上家还在1向听。。。）

1安≈无安，无安=全攻

南3局0本场7巡目

下家立直，这里只有一张5s是安牌，是打5s弃胡，还是直接进攻？

这里自家3位，下家4位，下家立直后与自家只差1400点，如果下家胡到的话，自己就会四位进入南四，那么All last就必须要胡牌才能避四。

因此，这里只能选择进攻。

我当时选择切了4p，但实际上这是一个不太好的选择，因为这样剩下了两个对子，很有可能听到两个中张的对碰上。

好在发牌姬眷顾，下一巡就摸上了绝张6s，打6m立直后，下家一发巡摸上2s，点了一个5200。

南3局0本场8巡目
南3局0本场8巡目

这里实际上按照牌效应该切6/9m，切6m保dora，切9m有断幺，实际上是番数一样的。从安全度上来说，切6m的危险度更高一点，但切9m点了的话会损失会更大一些。但考虑到断幺之后可以吃碰，这里感觉切9m会更好一些。

什么叫做“发牌姬搞我”（下家）

东2局2本场7巡目
东2局2本场12巡目

上家立直，下家摸到第四张4p，然后开始弃胡。

五巡之后，下家已经没有安牌了，于是考虑能否打一个半筋4p，然后一搏四巡——然后就点了一个坎4p。。。

当然，如果下家杠了4p，这就是另外一个故事了。。。

]]> + 今天终于有时间，打了两把雀魂，吃了两个二。

☜遇dora弃胡

南2局0本场12巡目

上家6巡立直，自家随后听牌，听的是上家的现物47p，而且只有平和一番，dora 2s一张未现，于是没有立直，准备看看有没有可能偷到现物。

之后几巡都没有摸到太危险的牌，打过一次筋3s，然后摸到了dora 2s。何切？

对家在一发巡的时候打过5s，所以2s不可能铳两面。只能铳坎13s、2s对碰或者2s单骑。一旦铳到后两个，则至少是立直dora2/3起，至少3900甚至很可能满贯，而自家只是1000点手牌，显然达不到对日的标准，于是这里只能选择弃胡。

南2局0本场18巡目

实际上，上家正是单听2s，如果点了就是立直七对dora2的满贯12000点，那么就给了三位逆二的机会。

☜弃胡or进攻

东1局0本场11巡目

这里面对下家十二落抬，摸上生牌9s，是否要弃胡？

我当时的选择是弃胡，最终流掉了这一把。但事后仔细想一下，下家虽然是四副露听牌，但如果打9s点了，只会是1600点的牌。而自家是平和dora3的一向听，满贯的手牌，因此完全可以和下家对日。

☜进攻or弃胡

东4局0本场7巡目

这里连送上家三个碰牌，之后上家打东。这里是碰东进攻，还是直接弃胡？

我当时的选择是碰东进攻，主要考虑到自家是东dora dora，3900的牌，而上家很可能只是一个对对。当然上家也有可能是对对dora2/3的牌，毕竟8s一张未现。这里其实是有些冲动了，因为连续喂了上家三张牌，心情有些不好，于是就直接冲上去了。

东4局0本场13巡目

不过最终还是自摸了2000-1000，赢下了这局。（而上家还在1向听。。。）

☜1安≈无安，无安=全攻

南3局0本场7巡目

下家立直，这里只有一张5s是安牌，是打5s弃胡，还是直接进攻？

这里自家3位，下家4位，下家立直后与自家只差1400点，如果下家胡到的话，自己就会四位进入南四，那么All last就必须要胡牌才能避四。

因此，这里只能选择进攻。

我当时选择切了4p，但实际上这是一个不太好的选择，因为这样剩下了两个对子，很有可能听到两个中张的对碰上。

好在发牌姬眷顾，下一巡就摸上了绝张6s，打6m立直后，下家一发巡摸上2s，点了一个5200。

南3局0本场8巡目
南3局0本场8巡目

这里实际上按照牌效应该切6/9m，切6m保dora，切9m有断幺，实际上是番数一样的。从安全度上来说，切6m的危险度更高一点，但切9m点了的话会损失会更大一些。但考虑到断幺之后可以吃碰，这里感觉切9m会更好一些。

☜什么叫做“发牌姬搞我”（下家）

东2局2本场7巡目
东2局2本场12巡目

上家立直，下家摸到第四张4p，然后开始弃胡。

五巡之后，下家已经没有安牌了，于是考虑能否打一个半筋4p，然后一搏四巡——然后就点了一个坎4p。。。

当然，如果下家杠了4p，这就是另外一个故事了。。。

]]> @@ -497,7 +497,7 @@ 2019-09-09T16:48:00.000Z 2019-09-10T08:50:02.000Z - 今天又看了一些太くないお的牌谱，发现自己的牌效和攻守判断有不小问题。

两面·顺子⚪单骑

东3局1本场7巡目

上家打0p，这里太くないお吃了，打1m。

这里1m比打2m略优，因为245667m可以视为一个三面进章的好型，进358m都可以形成两个面子。

之前看《琴南幼儿园笔记本》时，里面也提到了这种牌型，就是“两面·顺子⚪单骑”是一个好型，这里即是一个例子

两面·顺子⚪单骑

对子的处理

南1局1本场6巡目

这里我的第一反应是模切7p，而太くないお则是手切了4m。

这里切4m并不损失5m的进章，保留7p则可以保留做7对的可能性。

南1局1本场8巡目

后续进到了8m，我的第一反应是切7p/2s固定好型，而太くないお则是切了3s。

这里如果切7p，那么2s就得作雀头，3s实际上是一张没用的牌。而如果切3s，还多了7p和2s的进张。

而根据“双雀头最强”的理论（2ヘッド理論），这里保留7p和2s两个雀头牌效是最高的。

南1局1本场9巡目

之后又进到了7m，这里切7p比且切7m略好一点。因为这里打掉7p之后，减少了2枚7p的进张，多了67m共3枚进张。另外需要注意的是，这时58p已现4张，虽然还是两面听牌，但已经和愚型听牌差不多了。

防守的意识

南2局0本场10巡目

2巡前下家碰4s打红中，然后上家碰了中打6m。这里我还在考虑切9p进攻的时候，太くないお直接打了8p防守。

仔细想一下，已经到了中盘，下家断幺副露后切了字牌，之后一直模切，应该有50%的概率听牌，至少也是一向听。上家也是类似的情况。而这里自家的手牌还是2个愚型的3向听，因此这里的确应该考虑弃胡了。

实际上，这里下家是断幺Dora2的一向听，而上家已经是中Dora2听牌。

总结

从自己打牌的经历来看，对于防守的判断还停留在有人立直才防守的层面上，对于其他情况，比如副露的防守还不是很有意识。

另外，当自己的牌不好的时候，就应该提前考虑弃胡，而不是强行进攻，这点在之后打牌的时候务必要注意。

]]> + 今天又看了一些太くないお的牌谱，发现自己的牌效和攻守判断有不小问题。

☜两面·顺子⚪单骑

东3局1本场7巡目

上家打0p，这里太くないお吃了，打1m。

这里1m比打2m略优，因为245667m可以视为一个三面进章的好型，进358m都可以形成两个面子。

之前看《琴南幼儿园笔记本》时，里面也提到了这种牌型，就是“两面·顺子⚪单骑”是一个好型，这里即是一个例子

两面·顺子⚪单骑

☜对子的处理

南1局1本场6巡目

这里我的第一反应是模切7p，而太くないお则是手切了4m。

这里切4m并不损失5m的进章，保留7p则可以保留做7对的可能性。

南1局1本场8巡目

后续进到了8m，我的第一反应是切7p/2s固定好型，而太くないお则是切了3s。

这里如果切7p，那么2s就得作雀头，3s实际上是一张没用的牌。而如果切3s，还多了7p和2s的进张。

而根据“双雀头最强”的理论（2ヘッド理論），这里保留7p和2s两个雀头牌效是最高的。

南1局1本场9巡目

之后又进到了7m，这里切7p比且切7m略好一点。因为这里打掉7p之后，减少了2枚7p的进张，多了67m共3枚进张。另外需要注意的是，这时58p已现4张，虽然还是两面听牌，但已经和愚型听牌差不多了。

☜防守的意识

南2局0本场10巡目

2巡前下家碰4s打红中，然后上家碰了中打6m。这里我还在考虑切9p进攻的时候，太くないお直接打了8p防守。

仔细想一下，已经到了中盘，下家断幺副露后切了字牌，之后一直模切，应该有50%的概率听牌，至少也是一向听。上家也是类似的情况。而这里自家的手牌还是2个愚型的3向听，因此这里的确应该考虑弃胡了。

实际上，这里下家是断幺Dora2的一向听，而上家已经是中Dora2听牌。

☜总结

从自己打牌的经历来看，对于防守的判断还停留在有人立直才防守的层面上，对于其他情况，比如副露的防守还不是很有意识。

另外，当自己的牌不好的时候，就应该提前考虑弃胡，而不是强行进攻，这点在之后打牌的时候务必要注意。

]]> diff --git a/categories/index.html b/categories/index.html index 7040c728b..1d9526f09 100644 --- a/categories/index.html +++ b/categories/index.html @@ -33,7 +33,7 @@ - + diff --git a/css/main.css b/css/main.css index 5780bcc9a..8e3c5c56e 100644 --- a/css/main.css +++ b/css/main.css @@ -1230,7 +1230,7 @@ pre .javascript .function { } .links-of-author a::before, .links-of-author span.exturl::before { - background: #8bfffc; + background: #015eff; border-radius: 50%; content: ' '; display: inline-block; diff --git a/links/index.html b/links/index.html index 718fb8596..7194b5a89 100644 --- a/links/index.html +++ b/links/index.html @@ -25,15 +25,15 @@ var CONFIG = {"hostname":"wangjiezhe.com","root":"/","scheme":"Gemini","version":"7.8.0","exturl":true,"sidebar":{"position":"left","display":"post","padding":18,"offset":12,"onmobile":false},"copycode":{"enable":true,"show_result":true,"style":"mac"},"back2top":{"scrollpercent":true,"enable":true,"sidebar":false},"bookmark":{"enable":false,"color":"#222","save":"auto"},"fancybox":true,"mediumzoom":false,"lazyload":true,"pangu":true,"comments":{"style":"tabs","active":null,"storage":true,"lazyload":false,"nav":null},"algolia":{"hits":{"per_page":10},"labels":{"input_placeholder":"Search for Posts","hits_empty":"We didn't find any results for the search: ${query}","hits_stats":"${hits} results found in ${time} ms"}},"localsearch":{"enable":true,"style":"flat","trigger":"auto","top_n_per_article":1,"unescape":false,"preload":false},"motion":{"enable":true,"async":false,"transition":{"post_block":"fadeIn","post_header":"slideDownIn","post_body":"slideDownIn","coll_header":"slideLeftIn","sidebar":"slideUpIn"}},"path":"search.xml"}; - + - + - + @@ -235,13 +235,13 @@

友情链接
-

数学

+

☜数学

  • Terence Tao's Blog
  • 兰琦的数学之旅
  • 数学望远镜
-

工具

+

☜工具

  • 中国传统颜色手册
  • NIPPON COLORS - 日本の伝統色 一个非常好的选色网站
    • @@ -250,7 +250,7 @@

    工具

  • IP地址查询
  • SM.MS 免费图床
-

博客

+

☜博客

  • 樱花庄的白猫 | ねこ・しろ・ましろ
  • 千灵
    • @@ -259,14 +259,14 @@

    博客

  • Sukka's Blog
  • 依云's Blog
-

立直麻将

-

平台

+

☜立直麻将

+

☜平台

  • 天凤/Web版
  • 雀魂（国服）
  • 雀魂（日服）
-

工具

+

☜工具

  • 天凤/牌理
  • 電脳麻将: 何切る解答機
    • @@ -279,7 +279,7 @@

    工具

  • 天凤记录
  • 天凤日志收集
-

文章

+

☜文章

  • 日麻教学与教程部分汇总
  • 魔女 原魔女Blog作者的新博客
    • @@ -299,7 +299,7 @@

    文章

  • 麻将教程 79博客，おしえて！科学する麻雀，麻雀魔神の読み
  • 广林成麻
-

何切集

+

☜何切集

  • 琴南幼儿园图书馆 《麻雀 傑作「何切る」300選》《麻雀 定石「何切る」301選》《これだけで勝てる！ 麻雀の基本形８０》
  • 坚冰集
    • diff --git a/posts/2014-03-01-Linux-Notes-1/index.html b/posts/2014-03-01-Linux-Notes-1/index.html index 5cb787fe5..288a1d146 100644 --- a/posts/2014-03-01-Linux-Notes-1/index.html +++ b/posts/2014-03-01-Linux-Notes-1/index.html @@ -275,26 +275,26 @@

    -

    一、vim替换

    +

    ☜一、vim替换

    ctrl+v 进入列模式,向下或向上移动光标,把需要注释的行的开头标记起来,然后按大写的I,再插入注释符,比如#,再按Esc,就会全部注释。或者也可以运行下面这些命令：

    1
    2
    3
    4
    :s/^/#            #用"#"注释当前行
    :2,50s/^/#        #在2~50行首添加"#"注释
    :.,+3s/^/#        #用"#"注释当前行和当前行后面的三行
    :%s/^/#           #用"#"注释所有行

    顺便说一下vim的替换，这个常用，已经牢记，其实和上面用命令注释多行是一样的，只不过是上面注释的命令里的"^"符号代表开始位置而已，在下面这些命令中，"s"代表替换，part1代表查找的内容，part2代表替换的内容，"%"代表所有行，"g"代表替换整行里所有的内容（如果不加"/g"则只替换每行第一个匹配part1的地方）。

    p.n.关于g的用法貌似在本系统相反，虽然各处都这么说。。。

    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    :s/part1/part2              #用part2替换当前行中第1个part1
    :s/part1/part2/g            #用part2替换当前行中所有的part1
    :%s/part1/part2             #用part2替换所有行中每行第1个part1
    :%s/part1/part2/g           #用part2替换所有行中所有的part1
    :2,50s/part1/part2          #用part2替换第2行到第50行中每行第1个part1
    :2,50s/part1/part2/g        #用part2替换第2行到第50行中所有的part1
    :.,+3s/part1/part2          #用part2替换当前行以及当前行后面的三行中每行第1个part1
    :.,+3s/part1/part2/g        #用part2替换当前行以及当前行后面的三行中所有的part1

    BTW:在替换时要注意，某些字符是需要转译的，如空格、括号等。

    -

    二、sed添加空行

    -

    （一）每行前后添加空行

    +

    ☜二、sed添加空行

    +

    ☜（一）每行前后添加空行

    1
    2
    3
    4
    5
    6
    sed G tmp                          #每行后面添加一行空行
    sed '{x;p;x;}' tmp                  #每行前面添加一行空行
    sed 'G;G' tmp                       #每行后面添加两行空行
    sed '{x;p;x;x;p;x;}' tmp             #每行前面添加两行空行
    sed 'G;G;G' tmp                     #每行后面添加三行空行
    sed '{x;p;x;x;p;x;x;p;x}' tmp        #每行前面添加三行空行

    依次类推，添加几行空行，就有几个G或者x;p;x

    -

    （二）如果行后有空行，则删除，然后每行后面添加空行

    +

    ☜（二）如果行后有空行，则删除，然后每行后面添加空行

    sed '/^$/d;G' tmp

    -

    （三）在匹配行前后添加空行

    +

    ☜（三）在匹配行前后添加空行

    1
    2
    3
    4
    5
    sed '/shui/G' tmp               #如果一行里面有如果一行里面有shui这个单词，那么在他后面会添加一个空行
    sed '/shui/{x;p;x;G}' tmp        #如果一行里面有shui这个单词，那么在他前后各添加一个空行
    sed '/shui/{x;p;x;}' tmp         #如果一行里面有shui这个单词，那么在他前面添加一个空行
    sed '1{x;p;x;}' tmp              #在第一行前面添加空行，想在第几行，命令中的1就改成几
    sed '1G' tmp                    #在第一行后面添加空行，想在第几行，命令中的1就改成几
    -

    （四）每几行后面添加一个空行

    +

    ☜（四）每几行后面添加一个空行

    1
    2
    3
    4
    sed 'N;/^$/d;G' tmp                #每两行后面增加一个空行
    sed 'N;/^$/d;{x;p;x;}' tmp          #每两行前面添加一个空行
    sed 'N;N;/^$/d;G' tmp              #每三行后面增加一个空行
    sed 'N;N;/^$/d;{x;p;x;}' tmp        #每三行前面增加一个空行
    -

    （五）以x为开头或以x为结尾的行前后添加空行

    +

    ☜（五）以x为开头或以x为结尾的行前后添加空行

    1
    2
    3
    4
    sed '/^xi/G;' tmp             #以xi为开头的行后面添加空行
    sed '/^xi/{x;p;x;}' tmp        #以xi为结尾的行前面添加空行
    sed '/xi$/G;' tmp             #以xi为结尾的行后面添加空行
    sed '/xi$/{x;p;x;}' tmp        #以xi为结尾的行后面添加空行
    -

    三、sed删除行首空格

    +

    ☜三、sed删除行首空格

    如果确认只是空格：

    sed 's/^ *//' infile

    如果判断不清行首是空格还是制表符的话， 还可以用这个：

    diff --git a/posts/2014-03-09-intro-for-regular-expression/index.html b/posts/2014-03-09-intro-for-regular-expression/index.html index 9dadd2131..9466f217a 100644 --- a/posts/2014-03-09-intro-for-regular-expression/index.html +++ b/posts/2014-03-09-intro-for-regular-expression/index.html @@ -276,25 +276,25 @@

    -

    元字符 (grep, sed)

    -

    1. 句点元字符 .

    +

    ☜元字符 (grep, sed)

    +

    ☜1. 句点元字符 .

    通配元字符，匹配任意字符，除了换行符。

    -

    2. 反斜杠元字符 \\

    +

    ☜2. 反斜杠元字符 \\

    将其后面的一个字符解释为普通字符而不是元字符。

    -

    3. 星号元字符 \*

    +

    ☜3. 星号元字符 \*

    其紧挨着的之前的匹配有 0+ 次匹配机会。

    -

    4. 位置元字符 ^, $

    +

    ☜4. 位置元字符 ^, $

    ^ 匹配字符串的最前面。
    $ 匹配字符串的最后面。

    -

    5. 字符组元字符 [ ], 连字符元字符 -, 补字号 ^

    +

    ☜5. 字符组元字符 [ ], 连字符元字符 -, 补字号 ^

    [] 匹配方括号内的左右字符。
    \- 连字符元字符仅在字符组元字符内有意义，表示一段连续字符范围。
    ^ 表示排除某些字符。

    -

    6. 范围字符串 \\{ \\}

    +

    ☜6. 范围字符串 \\{ \\}

    \\{n,m\\} 匹配 n~m 次。
    \\{n\\} 匹配 n 次。
    \\{n,\\} 匹配 n+ 次。

    -

    7. 特殊字符类

    +

    ☜7. 特殊字符类

    [[:alpha:]] 匹配任意字母字符，大写或小写
    [[:alnum:]] 匹配任意字母数字字符，0-9, a-z, A-Z
    [[:blank:]] 匹配空格或制表符字符
    @@ -304,19 +304,19 @@

    [[:punct:]] 匹配任意标点
    [[:space:]] 匹配任意空白字符: 空格、制表符、NL、FF、VT、CR
    [[:upper:]] 匹配任意大写字符，A-Z

    -

    扩展元字符 (egrep, awk)

    -

    1. 加号元字符 +

    +

    ☜扩展元字符 (egrep, awk)

    +

    ☜1. 加号元字符 +

    其紧挨着的之前的匹配有 1+ 次匹配机会。

    -

    2. 问号元字符 ?

    +

    ☜2. 问号元字符 ?

    其紧挨着的之前的匹配有 0~1 次匹配机会。

    -

    3. 竖线元字符 |

    +

    ☜3. 竖线元字符 |

    r1|r2 匹配 r1 或 r2

    -

    4. 括号元字符 ( )

    +

    ☜4. 括号元字符 ( )

    (r1) 匹配子字符串r1(常与 * + ? | 等连用)。

    -

    5. 范围元字符 { }

    +

    ☜5. 范围元字符 { }

    与上面的范围元字符类似。

    -

    固定元字符 (grep)

    -

    1. \\< \\>

    +

    ☜固定元字符 (grep)

    +

    ☜1. \\< \\>

    严格匹配一个词(后面必须直接跟一个空格或标点符号)。

    参考:

      diff --git a/posts/2014-03-19-Linux-Notes-2/index.html b/posts/2014-03-19-Linux-Notes-2/index.html index a210b00f2..6576bb346 100644 --- a/posts/2014-03-19-Linux-Notes-2/index.html +++ b/posts/2014-03-19-Linux-Notes-2/index.html @@ -273,15 +273,15 @@

      -

      一、vim切换tab

      +

      ☜一、vim切换tab

      向后 :tabn
      向前 :tabp

      -

      二、vim与系统剪贴板的交互 (仅限于gvim!!!)

      +

      ☜二、vim与系统剪贴板的交互 (仅限于gvim!!!)

      "+y
      复制到剪贴板

      "+p
      从剪贴板粘贴

      -

      三、vim重复命令

      +

      ☜三、vim重复命令

      .
      重复上次操作，前面可加次数

      :[range]g[lobal]/{pattern}/[cmd]
      @@ -290,13 +290,13 @@

      四、vim中tab与空格的转换 (慎用！！！)

      +

      ☜四、vim中tab与空格的转换 (慎用！！！)

      :ret[ab][!] [new_tabstop]
      将制表符<TAB>转换为空格符，数量由[new_tabstop]指定。若为空或为0，则使用默认的tabstop。
      若有!，则将空格序列转化为<TAB>。

      -

      五、查看中文帮助

      +

      ☜五、查看中文帮助

      man -L zh_CN.utf8 command

      -

      六、查看日志

      +

      ☜六、查看日志

      journalctl [OPTIONS...] [MATCHES...]

      Options:

      1
      2
      3
      4
      5
      6
      -f --follow        Follow the journal
         --since=DATE    Start showing entries on or newer than the specified date
         --until=DATE    Stop showing entries on or older than the specified date
      -l --full          Do not ellipsize fields
      -u --unit=UNIT     Show data only from the specified unit
         --disk-usage    Show total disk usage of all journal files
      diff --git a/posts/2014-04-20-Linux-Notes-3/index.html b/posts/2014-04-20-Linux-Notes-3/index.html index 8daa044cf..9477749b5 100644 --- a/posts/2014-04-20-Linux-Notes-3/index.html +++ b/posts/2014-04-20-Linux-Notes-3/index.html @@ -274,28 +274,28 @@

      ^[ 使用Ctrl-V Esc生成（ASC ASCII值）

      -

      二、开机自启动文件

      +

      ☜二、开机自启动文件

      系统: /etc/rc.d/rc.local
      用户: $HOME/.config/autostart/

      -

      三、sed 替换中使用变量

      +

      ☜三、sed 替换中使用变量

      sed替换命令用双引号" " 而不是单引号 ' '，然后里面直接用 $VARIABLE 就可以了。

      -

      四、vim 保存 root 权限文件

      +

      ☜四、vim 保存 root 权限文件

      1
      :w !sudo tee %
      -

      五、vim 跳转

      +

      ☜五、vim 跳转

      1
      2
      Ctrl+] = Ctrl+left\_click
      Ctrl+t = Ctrl+right\_click
      -

      六、从视频中提取音频

      +

      ☜六、从视频中提取音频

      运行以下命令之一：

      1
      2
      3
      mencoder -oac mp3lame -ovc copy -of rawaudio 01.flv -o 01.mp3
      ffmpeg -i 01.flv -f mp3 -vn 01.mp3
      ffmpeg -i 01.flv -acodec libmp3lame -vn 01.mp3
      -

      七、交换 CapsLock 键和左 Ctrl 键

      -

      1. 使用 gnome-tweak-tool

      +

      ☜七、交换 CapsLock 键和左 Ctrl 键

      +

      ☜1. 使用 gnome-tweak-tool

      选择 Typing > Ctrl key position > Swap Ctrl and Caps Lock 即可。

      （要求 gsettings get org.gnome.settings-daemon.plugins.keyboard active 的值为 true，故在 gnome 中使用 fcitx 时此方法无法使用）

      -

      2. 使用 setxkbmap 命令

      +

      ☜2. 使用 setxkbmap 命令

      运行

      1
      setxkbmap -option ctrl:swapctrl

      或者在 ~/.zshrc 中添加如下内容：

      1
      2
      3
      4
      # Swap Ctrl_L and CapsLock
      if [[ -n $DISPLAY ]]; then
          setxkbmap -option ctrl:swapctrl
      fi
      -

      八、交换 Escape 键和右 Alt 键

      +

      ☜八、交换 Escape 键和右 Alt 键

      这时，前面两种方法都没有现成的选项可以使用，因此我们使用xmodmap

      建立 ~/.xmodmap，添加如下内容：

      1
      2
      3
      4
      5
      ! 交换Escape和Alt_R
      clear mod1
      keycode   9 = Alt_R NoSymbol Alt_R
      keycode 108 = Escape NoSymbol Escape
      add    mod1 = Escape Meta_L
      diff --git a/posts/2015-08-20-Linux-Notes-4/index.html b/posts/2015-08-20-Linux-Notes-4/index.html index b36083cc3..c0f9f2e14 100644 --- a/posts/2015-08-20-Linux-Notes-4/index.html +++ b/posts/2015-08-20-Linux-Notes-4/index.html @@ -274,10 +274,10 @@

      -

      mplayer 循环播放歌曲

      +

      ☜mplayer 循环播放歌曲

      1
      mplayer -loop n ***.mp3

      n 表示重复次数，0 表示无限循环。

      -

      vim 搜索大小写匹配

      +

      ☜vim 搜索大小写匹配

      set ignorecase
      忽略正常字母的大小写

      set smartcase
      @@ -286,12 +286,12 @@

      cd 转移

      +

      ☜cd 转移

      当两个目录路径只有一个区别（比如一个单词不同）时，这个是从旧目录切换到新目录的一种简单方法。

      1
      cd directorya directoryb

      第一个参数是当前目录路径中需要替换的参数，第二个参数是替换字符串。

      1
      2
      3
      4
      5
      6
      7
      8
      9
      10
      11
      # 要从v7目录 切换到v8目录，只需键入cd v7 v8
      /programs/v7/reports/monthly > cd v7 v8
      /programs/v8/reports/monthly >

      # 如果历史上的每年每月都有一个对应目录，cd 转移允许从一年跳到另一年
      /hist/2010/april/reports > cd 2010 2011
      /hist/2011/april/reports >

      # 切换月份目录
      /hist/2011/april/reports > cd april may
      /hist/2011/may/reports >
      -

      vim 快速缩进

      +

      ☜vim 快速缩进

      >>
      向右缩进

      <<
      @@ -302,7 +302,7 @@

      :ri (right)
      文本靠右

      -

      vim 编辑多个文件

      +

      ☜vim 编辑多个文件

      :n
      编辑下一个文件

      :N
      @@ -319,7 +319,7 @@

      vim 加密文件

      +

      ☜vim 加密文件

      $ vim -x file1
      创建加密文档 file1

      set cm=blowfish2 (newest)
      diff --git a/posts/2018-10-05-refactor-blog/index.html b/posts/2018-10-05-refactor-blog/index.html index f67950511..0d2ccdb35 100644 --- a/posts/2018-10-05-refactor-blog/index.html +++ b/posts/2018-10-05-refactor-blog/index.html @@ -278,7 +278,7 @@

      利用十一的时间，重新整理了一下个人博客的页面。

      看了一下，上一篇文章还是在 2015 年 8 月，到现在已经有三年多了，我真是。。。唉

      -

      入坑 Linux

      +

      ☜入坑 Linux

      记得最早接触 Linux 是在 2012 年，当时是上计概课要写代码，于是心血来潮地在电脑上安装了 Fedora（话说那时 Fedora 的版本号才是 17），然后就掉进了 Linux 的坑里一去不复返。而注册 Github 的时间是在 2013 年 8 月 15 日，具体什么原因已经不记得了。。。

      后来想找一款能够听歌的软件，那时网易云音乐还没有出 Linux 版，FZUG 也还没有成立，我在网上偶然间发现了一款可以听歌、而且还是可以听网易云音乐的软件，那就是 kwplayer。看了下 commit，第一次提交是在 2013 年 8 月 29 号：inited。而我应该是在10月份的时候发现的，至于在哪儿找到的已经完全不记得了。

      还记得第一次提交 Issue 是 #11 和 #12，当时只是发现 Github 上有个可以提交 Bug 的地方，于是就随手开了两个 Issue，没想到当天都得到了详细的回复，并在三四天后都得到了解决：9c21c4f 和 90a02a8。

      @@ -286,24 +286,24 @@

      入坑

      刚又看了一下，我在 copr 上最早的一次 build 是在 2014 年 3 月 31 号，而我能够找到的最早介绍 copr 的中文资料是 Fedora Copr，现在的 copr 网址上线是在 2013 年 12 月， FZUG 的 mosquito 也是从 2014 年 6 月才开始建立他的 myrepo 的，话说国内比我更早开始使用 copr 的应该不多吧。。。

      话说那时 XuShaohua 的 Github 账户名还是叫 LiuLang，后来他去了 Deepin，网易云音乐的 Linux 版他应该是作者之一。

      当然后来因为各种原因我不再维护我的 copr 仓库，包括犯懒（反正有了 mosquito 的 myrepo 源，以及后来的 FZUG 源）、Fedora 的习惯性跳票让我非常不爽（这是在找借口么。。。）等等，加上后来我从 Fedora 转到了 Arch Linux 上（大概是 2015 年暑假吧），这个仓库就彻底荒废了。

      -

      博客的建立

      +

      ☜博客的建立

      最早的一些记录文章我都发在了 QQ 空间里，显得格格不入的。后来就想找一个合适的可以放这些东西的地方。

      期间考虑过 WordPress，不过觉得比较麻烦，还需要有地方托管；考虑过一些博客托管平台，不过没有找到太喜欢的；觉得 Blogger 不错，但又被 W 掉了。。。

      后来看到阮一峰的的介绍文章：搭建一个免费的，无限流量的Blog----github Pages和Jekyll入门，觉得这是个不错的选择，于是就开始折腾 Github Pages。作为一个审美盲与选择困难症患者，在众多的 Jekyll 主题中完全不知道该怎么选择，于是就随手选了一个自己觉得比较简洁明了的，也就是 ellochen 的博客主题，直接 copy 过来就用了。

      嗯，说好听点叫简洁，说不好听呢就叫难看。。。😭

      话说 ellochen 的 Github 账号已经不存在了，貌似是已经注销了，但好在还存留有 Fork（话说这就是 Fork 相较于 Star 的好处吧，我之前也有一些被删的 repo 是这么存留下来的，嗯，我指的不是 phuslu 大神，指的是垠神。。。），豆瓣小站 Gode-Mode 貌似是他建立的。

      -

      博客的重构

      +

      ☜博客的重构

      在那之后，博客的页面也小幅修改过几次，但大的主题方面都没有变过。曾经有想过重新选一个更好看的主题，但碍于时间原因一直没有去做。
      期间也在其他的 Page 中也曾经尝试过其他的主题，比如 HMFAYSAL OMEGA，整体不错，但有些华而不实了；也试过 coleslaw，但又太过简单了。

      直到第一次看到 NexT 主题，就像这个，真的把我惊艳到了，流畅的载入动画，自动展开并追随页面更新的目录，再加上简洁没有多余内容的页面，完全符合我对自己的博客的预期啊。于是最终决定就用这个主题了。

      不过 NexT 的主页 theme-next.org 目前显示 Under Construction，没有最新的文档只有根据旧文档、网上的教程还有源代码自行摸索，网上很多教程和解决方案都是过时的，只好自己边做边摸索了。

      然后发现，NexT 的配置又有一大堆，这简直就是在为难选择困难症的患者啊。。。

      -

      方案选择

      +

      ☜方案选择

      NexT 主题总共有 4 种方案：Muse，Mist，Pisces 和 Gemini，为选哪一个我纠结了有近 1 个小时，对比各个博客样例，又在本地挨个试了好几遍，去找它们的不同点。最后发现，Muse 和 Mist 可以算一类，目录都在右侧，可以选择动态载入，也可以选择直接显示或隐藏。Muse 的布局相对宽松一点，顶部标题栏也比较大；Mist 相对紧凑一点，所有标题和标签都放在了最顶上的一栏里。而 Pisces 和 Gemini 又可以算一类，目录和标题栏恒在左边，右边是正文，Pisces 的页面和前两个比较相似，纯黑白布局，连贯性很强；而 Gemini 则更传统一些，每篇文章之间分的清清楚楚。

      最终我选择了 Gemini 方案，原因是我觉得目录的动态载入虽然显得比较高级，但文章整体左移的那一下还是显得有些晃眼了，而且目录在右、正文在左的布局让我有些不太习惯；而不用 Pisces 的原因则是文章之间没有明显的分界线，文章中的小标题也不是很显著，于是最后暂定了 Gemini 方案。（嗯，暂定，说不定那天我有回来打自己的脸了）

      -

      插件

      +

      ☜插件

      应该说，折腾这些插件是最费时间的，不但要面临各种选择，还要面临选完了发现用不了然后又得换的状况。。。有些插件本身有问题，需要手动修改才能使用，有些则根本不知道该怎么改。。。

      -

      数学

      +

      ☜数学

      数学公式的渲染最开始是打算用 MathJax，和以前保持一致就可以了。本来没有问题，但后来在利用 Travis-CI 自动部署的时候发现，远程安装的 pandoc 的版本不对，没有办法正确渲染，又找不到解决的办法，于是只能弃之而选择 katex。katex 其实我之前就听说过，据说比 MathJax 要快很多（公式一多的话 MathJax 确实太慢了），不过现在 0.10.0-rc1 的版本。由于前面的几篇文章里面还没有数学公式，我还没有真正试验过。

      另外吐槽一句，npmjs 上的 hexo-renderer-markdown-it 的版本太老了，直接安装 Github 上的版本就可以了，这个插件已经更新了，但仓库里的模块还没有更新。

      1
      2
      3
      4
      5
      6
      7
      8
      9
      10
      11
      12
      13
      14
      15
      16
      17
      18
      19
      20
      $ cat package-lock.json | jq .dependencies.\"hexo-renderer-markdown-it\"
      {
        "version": "github:hexojs/hexo-renderer-markdown-it#89a5abe048f5a43b42328ad012fb445ded6e665b",
        "from": "github:hexojs/hexo-renderer-markdown-it",
        "requires": {
          "lodash.assign": "^4.2.0",
          "markdown-it": "^8.4.1",
          "markdown-it-abbr": "^1.0.4",
          "markdown-it-cjk-breaks": "^1.1.0",
          "markdown-it-container": "^2.0.0",
          "markdown-it-deflist": "^2.0.3",
          "markdown-it-emoji": "^1.4.0",
          "markdown-it-footnote": "^3.0.1",
          "markdown-it-ins": "^2.0.0",
          "markdown-it-mark": "^2.0.0",
          "markdown-it-sub": "^1.0.0",
          "markdown-it-sup": "^1.0.0",
          "sluggo": "^0.2.0"
        }
      }
      @@ -312,30 +312,30 @@

      数学

      才行。

      不过我不喜欢一点进来就到文章半截的模式，所以对我来说没有什么影响，还是乖乖地写 description 吧。

      另外这一部分文档严重不足，只能看自带 wiki 和 markdown-it 的例子来写。

      -

      评论

      +

      ☜评论

      关于评论模块，暂时还是采用了 Disqus 的评论系统，好处是不用折腾，因为是以前就配置好的，直接用就可以了，而且功能也足够强大，不过也有几个问题：

      • 必须登录才能评论。不过我看到有文章说 Disqus 现在支持匿名评论了，有时间再去看一下。
      • 被 W。这个是最主要的问题，目前看来解决方案有两个，一个是利用其他的服务器转发一下，例如 fooleap/disqus-php-api，另一个是换用其他的评论系统，比如 gitment/gitalk 或者 Valine，不过这次没有时间在折腾了，留待有时间再解决吧。
      -

      Pangu

      +

      ☜Pangu

      这是一个不错的模块，来自与 pangu.js，可以在英文和中文之间自动加入空格，让中英文的混排看起来更舒服一下。

      -

      Han

      +

      ☜Han

      汉字排版模块，可以调整中文页面的布局，提供了着重号、拼音上标等功能，来自 Han。 我比较看中的着重号的功能，因为在英文中，强调使用斜体表示的，就像emphasize这样，而中文一旦斜体就会变得非常难看。因此如果用着重号的话会好看很多。

      不过这个插件折腾了我足足半天，原始的 css 文件能够加着重号，但是会把页面变得非常拥挤；theme-next-han 里的 css 文件倒是不会改变页面布局，但是着重号的功能却没有了。于是我去翻了源代码，然后发现，为了解决 #1645，#1780 把很多有用的内容也删掉了，问题倒是解决了，但剩下的基本上就没有什么作用了。于是我又去翻了 Han 的源码，发现只要把 well-knit 模块禁掉就可以了，于是又生成了新的 han.min.css 文件，使之能够正常显示。

      话说我这篇文章写了得有两天的时间，中间有大一部分时间就是去弄这个了。

      -

      canvas-nest

      +

      ☜canvas-nest

      背景动态渲染，来自 canvas-nest.js。以前看别人的博客遇到这个觉得很好玩，于是这次自己也就加上了。

      不过遗憾的是，Gemini 的博文部分是不显示背景的，好像是把底层背景覆盖了。试了一下四种方案，好像只有 Gemini 是这个样子。。。

      -

      note

      +

      ☜note

      可以插入提示块，效果如 在hexo-NexT中插入note提示块 中所示，还是很有用的。不过在文档中完全没有提到，要不是仔细翻看配置文件根本发现不了。

      -

      reading-progress

      +

      ☜reading-progress

      可以在最上方显示阅读的进度条，以前也用过，这次也就加上了。

      -

      自动部署

      +

      ☜自动部署

      关于 GitHub Pages 的部署，我将源代码存储在 source 分支，然后利用 Travis-CI 自动构建并部署到 master 分支。具体看参见 使用Travis CI自动部署Hexo博客，基本上 copy 过来就可以了。

      另外，我的主题是 Fork 的 Next 的主题，然后在上面进行修改，在用 git submodule 引入进来，结果好几次自动部署失败都是因为修改完主题之后忘记 push 了。。。

      而 GitLab Pages 的部署则要简单许多，只需要照着官方的例子写一个 .gitlab-ci.yml 文件就可以。

      -

      待改进的部分

      +

      ☜待改进的部分

      还有一些部分模块这次没有时间弄了，留着下次有时间再解决吧。一部分现在能想到的我先列举在这里，省得以后又忘了：

      • 字数统计
        • diff --git a/posts/2018-10-29-Hexo-NexT-1/index.html b/posts/2018-10-29-Hexo-NexT-1/index.html index 5aa0a11e2..bfa9672cf 100644 --- a/posts/2018-10-29-Hexo-NexT-1/index.html +++ b/posts/2018-10-29-Hexo-NexT-1/index.html @@ -272,16 +272,16 @@

        最近一个月，空余的时间都用来折腾这个博客了。作为一个本身对前端一窍不通的人，也是都能对照文档和其它的博客来修改自己博客的配置，真是心累的不行。虽然很多问题在网上都能够找到比较好的解决方法，但也有很多内容完全是过时的，也有一些藏得比较深，不是那么好找。

        于是决定趁着还有印象的时候，把自己折腾的过程记录下来，不要像之前一样，自己写的东西，过了一年之后自己都记不起来当时是怎么想的了。。。

        -

        包管理

        +

        ☜包管理

        开始一直在使用 npm 来安装依赖包，还为是否应该把 package-lock.json 添加的 git 仓库查找了半天。直到很偶然的一次，突然发现还可以用 yarn 来管理一来包，看了一下感觉不错，于是决定切换到 yarn。

        然后发现，我的 git 仓库里居然已经有了 yarn.lock 这个文件，什么？？？

        再去搜索才发现，yarn 很早就作为 hexo 的默认包管理器了，只要系统有安装 yarn 的话，就采用 yarn 而不是 npm 作为包管理器。

        然而在网上能够找到的大部分教程中，安装依赖包还都是用 npm，而且还都带着 --save 的参数。我开始不知道有什么作用，然后一搜索，发现这个参数早就过时了，从 npm 5.0.0 之后就已经不需要了，只是为了兼容性还保留着这个参数。

        -

        启用搜索功能

        +

        ☜启用搜索功能

        参见 Hexo NexT 魔改系列之二 ── 搜索篇

        -

        启用评论功能

        +

        ☜启用评论功能

        参见 Hexo NexT 魔改系列之三 ── 评论篇

        diff --git a/posts/2018-10-29-Hexo-NexT-2/index.html b/posts/2018-10-29-Hexo-NexT-2/index.html index 189ce3ebb..a787b190e 100644 --- a/posts/2018-10-29-Hexo-NexT-2/index.html +++ b/posts/2018-10-29-Hexo-NexT-2/index.html @@ -273,7 +273,7 @@

        Next主题本身集成了三种搜索插件：Swiftype，Algolia和本地搜索。

        Swiftype只能试用14天，Aloglia好像也开始收费了（更新：社区版免费，但有限制），能有的就只有本地搜索了。

        不过好在目前博客的文章还不算多，本地搜索还是可以承受的。

        -

        启用本地搜索

        +

        ☜启用本地搜索

        启用本地搜索的方法很简单，先安装hexo-generator-search。

        注意不是hexo-generator-searchdb，前者来自于wzpan/hexo-generator-search，而后者来自于theme-next/hexo-generator-searchdb。后者已经一年多没有更新了，而前者还在更新，并且增加了仅搜索标题的功能。

        1
        yarn install hexo-generator-search
        @@ -290,14 +290,14 @@

      • field是搜索的范围，默认是post，即只搜索发布的文章，也可以改为page（搜索页面，即 page 类型的页面，不含发布的文航）或者all（搜索全部）
      • content是指是否搜索文章的内容，默认为true，如果改为false的话则只搜索标题、说明等头部内容，不搜索文章的正文。

      -

      解决能够正常搜索，但无法正常跳转的问题

      +

      ☜解决能够正常搜索，但无法正常跳转的问题

      这样配置完了之后，我发现搜索功能没有问题，但搜索出来的结果没有办法正确跳转。查看了一下生成的search.xml，发现生成的链接多了一个/，就像这样：

      1
      2
      <link href="//posts/2018-10-24-prime-of-the-form-6k1/"/>
      <url>//posts/2018-10-24-prime-of-the-form-6k1/</url>

      不过在各个教程中都没有找到相应的解决方法，最后在翻issue的时候发现了一个方法，就是在搜索的时候直接去掉一个/就好了。
      修改localsearch.swig的源代码：

      1
      2
      // var articleUrl = decodeURIComponent(data.url);
      var articleUrl = decodeURIComponent(data.url).substring(1);

      真的是简单粗暴啊。。。

      -

      启用Algolia搜索（待更新）

      +

      ☜启用Algolia搜索（待更新）

      最近发现，Agolia搜索的社区版还是免费的，不过暂时本地搜索已经够用了，就不再折腾搜索功能了，留待以后有时间再折腾吧。

      参见主题自带的文档：Algolia 搜索。

      diff --git a/posts/2018-10-29-Hexo-NexT-3/index.html b/posts/2018-10-29-Hexo-NexT-3/index.html index 60aa7f7a7..b29b2e41d 100644 --- a/posts/2018-10-29-Hexo-NexT-3/index.html +++ b/posts/2018-10-29-Hexo-NexT-3/index.html @@ -305,7 +305,7 @@

      关于gitment的安全性的讨论，参见imsun/gitment和Gitment 的安全性争议。

      -

      添加utterances评论系统

      +

      ☜添加utterances评论系统

      在搜索gitment的时候，发现了一片utterances的介绍文章，发现这是一个好东西，同样是基于Github的issue系统，但由于是基于Github App构建的，权限控制的颗粒度要细一些，可以只具有读写issue的权限，不需要读写代码的权限，而且可以只在需要的repo中安装。这才是一个合格的评论系统应该有的权限嘛。

      utterances的权限
      DisqusJS
      @@ -324,9 +324,9 @@

      utterance默认不会创建issue，而是会在第一次评论的时候自动创建相应的issue，这个也比gitment好用不少。

      -

      使用 Disqus PHP API 进行反代理

      +

      ☜使用 Disqus PHP API 进行反代理

      待更新

      -

      使用 Valine 作为评论系统

      +

      ☜使用 Valine 作为评论系统

      参见：
      Valine: 独立博客评论系统
      diff --git a/posts/2019-09-04-Tai-1/index.html b/posts/2019-09-04-Tai-1/index.html index 710e71ee4..45dffcb31 100644 --- a/posts/2019-09-04-Tai-1/index.html +++ b/posts/2019-09-04-Tai-1/index.html @@ -289,7 +289,7 @@

      后来看了太くないお的介绍，感觉我现在的牌风和太くないお很相似，于是决定看他的牌谱。

      由于太くないお是天凤位，升天凤位之前的牌谱可以从天凤官网上直接下载下来。太くないお升天凤位前凤南对战3749战，当然不可能全看，于是我选择了他十段升天凤位的牌谱来看，一共301战。这个时候他的水平也相对比较稳定了，牌谱看起来失误率也会小一些。

      打谱的时候，很开心地发现大部分时候自己的选择都是对的，当然也有一些没有注意的地方，这里拿出来分析一下。

      -

      副露加速

      +

      ☜副露加速

      东2局0本场5巡目

      这是东二局。东一局胡了一个立直一发2600点，东二局下家和对家一上来就开始副露，才到5巡两家就都三副露了。基本上面对三副露，就可以认为都已经听牌了。这时上家打了7p。

      这里太くないお直接吃了这个7p后付，应该主要是考虑手牌的速度。如果不后付的话，这个发很难碰出来，因为发是dora，很有可能直接被人捏死（比如上家就捏了一张发）。所以等到碰出发再考虑听牌，就有些晚了。

      @@ -297,7 +297,7 @@

      副露

      东2局0本场9巡目

      不过最终还是先摸3m点了对家。不过3m基本上就是铳双东2000点（除非对家有两张3s），而自家是发dora4满贯的听牌，对日还是没有问题的。

      下家因为先打过1m，后面如果留1m打6m的话会有振听，从而逃过一劫。。。

      -

      牌效率问题

      +

      ☜牌效率问题

      东3局0本场9巡目

      这是东三局9巡，一向听之后上来3s。这里我第一反应是3s模切，但太くないお选择打掉了4p。这是牌效率的问题。

      天凤/牌理

      @@ -305,7 +305,7 @@

      何切る解答機

      如果去查一下kobalab的何切，也会发现，打4p的权重是最高的。

      实际上，接下来下家立直，然后自家摸上8p听牌，因为只有一张4p的两筋，加上自己是四位，dora东也已经出了，所以就直接追立了。最终自摸0m，门胡到了断平dora1的7900点，一举逆一。

      -

      谋求连庄

      +

      ☜谋求连庄

      东4局0本场7巡目

      这是东四局的亲家，7巡是已两向听，进到9m后我的第一反应是打4m，而太くないお则打掉了东。

      这个是简单的牌效率的问题，打4m损失了5m的进章。而且这里是平和dora1的2向听，这时对家和上家还在打幺九牌，下家的牌要快一些（事实上已经一向听了），加之自己是亲家，这里不留字牌全速进攻是没有问题的。

      @@ -314,17 +314,17 @@

      谋求

      这里上家打了3p，于是吃了打9m，谋求兜听连庄。

      东4局0本场13巡目

      然后上家又打9p可以吃，但是7p并不是安牌，而且是dora周边的牌，没法打出去。但这里需要注意到的是，8s是安牌可以打，于是可以吃到9p打8s单调7p。这里特别需要注意，我们需要的是听牌连庄，而不是胡牌，所以不用考虑听牌的形状，只要不打危险牌然后争取流局听牌就可以了。

      -

      别忘了被吃碰的牌

      +

      ☜别忘了被吃碰的牌

      南2局0本场12巡目

      南二局，处于四位的上家6巡立直，太くないお随即弃胡。到了12巡的时候，手头没有绝安牌了。于是太くないお打了4p。

      我的第一反应是，4p只是半筋啊。然后再仔细一看，3p出了3枚，5p出了3枚，6p出了2枚，所以4p是1p的半筋+的5p的薄壁，安全度还是不错的。

      再看了一会儿，发现上家打过7p我吃了，所以4p实际上是个两筋。。。

      为什么每次找牌都会放掉打出去被吃碰掉的牌，诶。。。

      -

      拆边张搭子

      +

      ☜拆边张搭子

      南3局0本场5巡目

      进到6p，于是四连型5678p变成好型搭子，于是要拆掉一个愚型搭子。那么拆边张的优先度肯定是要大于拆坎张的。而且在拆边张的时候，一般是由内向外打，先打2p再打1p，因为到后面，无筋1p的铳率是要低于2p的。

      而我的第一反应还是打1p，平时在打牌的时候也会犯这样的错误，每次都是刚打完就发现打错了。。。

      -

      总结

      +

      ☜总结

      回顾这一个半庄，基本上出现失误的地方都是在细节的判断上，这也是后面打牌是需要加强的地方．

      diff --git a/posts/2019-09-10-Tai-2/index.html b/posts/2019-09-10-Tai-2/index.html index 0b02aa854..8dbba85dc 100644 --- a/posts/2019-09-10-Tai-2/index.html +++ b/posts/2019-09-10-Tai-2/index.html @@ -276,13 +276,13 @@

      今天又看了一些太くないお的牌谱，发现自己的牌效和攻守判断有不小问题。

      -

      两面·顺子⚪单骑

      +

      ☜两面·顺子⚪单骑

      东3局1本场7巡目

      上家打0p，这里太くないお吃了，打1m。

      这里1m比打2m略优，因为245667m可以视为一个三面进章的好型，进358m都可以形成两个面子。

      之前看《琴南幼儿园笔记本》时，里面也提到了这种牌型，就是“两面·顺子⚪单骑”是一个好型，这里即是一个例子

      两面·顺子⚪单骑

      -

      对子的处理

      +

      ☜对子的处理

      南1局1本场6巡目

      这里我的第一反应是模切7p，而太くないお则是手切了4m。

      这里切4m并不损失5m的进章，保留7p则可以保留做7对的可能性。

      @@ -292,12 +292,12 @@

      而根据“双雀头最强”的理论（2ヘッド理論），这里保留7p和2s两个雀头牌效是最高的。

      南1局1本场9巡目

      之后又进到了7m，这里切7p比且切7m略好一点。因为这里打掉7p之后，减少了2枚7p的进张，多了67m共3枚进张。另外需要注意的是，这时58p已现4张，虽然还是两面听牌，但已经和愚型听牌差不多了。

      -

      防守的意识

      +

      ☜防守的意识

      南2局0本场10巡目

      2巡前下家碰4s打红中，然后上家碰了中打6m。这里我还在考虑切9p进攻的时候，太くないお直接打了8p防守。

      仔细想一下，已经到了中盘，下家断幺副露后切了字牌，之后一直模切，应该有50%的概率听牌，至少也是一向听。上家也是类似的情况。而这里自家的手牌还是2个愚型的3向听，因此这里的确应该考虑弃胡了。

      实际上，这里下家是断幺Dora2的一向听，而上家已经是中Dora2听牌。

      -

      总结

      +

      ☜总结

      从自己打牌的经历来看，对于防守的判断还停留在有人立直才防守的层面上，对于其他情况，比如副露的防守还不是很有意识。

      另外，当自己的牌不好的时候，就应该提前考虑弃胡，而不是强行进攻，这点在之后打牌的时候务必要注意。

      diff --git a/posts/2019-09-14-Paipu-review-2/index.html b/posts/2019-09-14-Paipu-review-2/index.html index 1bb45eb5b..f6570bd19 100644 --- a/posts/2019-09-14-Paipu-review-2/index.html +++ b/posts/2019-09-14-Paipu-review-2/index.html @@ -278,24 +278,24 @@

      今天终于有时间，打了两把雀魂，吃了两个二。

      -

      遇dora弃胡

      +

      ☜遇dora弃胡

      南2局0本场12巡目

      上家6巡立直，自家随后听牌，听的是上家的现物47p，而且只有平和一番，dora 2s一张未现，于是没有立直，准备看看有没有可能偷到现物。

      之后几巡都没有摸到太危险的牌，打过一次筋3s，然后摸到了dora 2s。何切？

      对家在一发巡的时候打过5s，所以2s不可能铳两面。只能铳坎13s、2s对碰或者2s单骑。一旦铳到后两个，则至少是立直dora2/3起，至少3900甚至很可能满贯，而自家只是1000点手牌，显然达不到对日的标准，于是这里只能选择弃胡。

      南2局0本场18巡目

      实际上，上家正是单听2s，如果点了就是立直七对dora2的满贯12000点，那么就给了三位逆二的机会。

      -

      弃胡or进攻

      +

      ☜弃胡or进攻

      东1局0本场11巡目

      这里面对下家十二落抬，摸上生牌9s，是否要弃胡？

      我当时的选择是弃胡，最终流掉了这一把。但事后仔细想一下，下家虽然是四副露听牌，但如果打9s点了，只会是1600点的牌。而自家是平和dora3的一向听，满贯的手牌，因此完全可以和下家对日。

      -

      进攻or弃胡

      +

      ☜进攻or弃胡

      东4局0本场7巡目

      这里连送上家三个碰牌，之后上家打东。这里是碰东进攻，还是直接弃胡？

      我当时的选择是碰东进攻，主要考虑到自家是东dora dora，3900的牌，而上家很可能只是一个对对。当然上家也有可能是对对dora2/3的牌，毕竟8s一张未现。这里其实是有些冲动了，因为连续喂了上家三张牌，心情有些不好，于是就直接冲上去了。

      东4局0本场13巡目

      不过最终还是自摸了2000-1000，赢下了这局。（而上家还在1向听。。。）

      -

      1安≈无安，无安=全攻

      +

      ☜1安≈无安，无安=全攻

      南3局0本场7巡目

      下家立直，这里只有一张5s是安牌，是打5s弃胡，还是直接进攻？

      这里自家3位，下家4位，下家立直后与自家只差1400点，如果下家胡到的话，自己就会四位进入南四，那么All last就必须要胡牌才能避四。

      @@ -304,7 +304,7 @@

      南3局0本场8巡目
      南3局0本场8巡目

      这里实际上按照牌效应该切6/9m，切6m保dora，切9m有断幺，实际上是番数一样的。从安全度上来说，切6m的危险度更高一点，但切9m点了的话会损失会更大一些。但考虑到断幺之后可以吃碰，这里感觉切9m会更好一些。

      -

      什么叫做“发牌姬搞我”（下家）

      +

      ☜什么叫做“发牌姬搞我”（下家）

      东2局2本场7巡目
      东2局2本场12巡目

      上家立直，下家摸到第四张4p，然后开始弃胡。

      五巡之后，下家已经没有安牌了，于是考虑能否打一个半筋4p，然后一搏四巡——然后就点了一个坎4p。。。

      diff --git a/posts/2019-12-10-2019-Canada-MO-P2/index.html b/posts/2019-12-10-2019-Canada-MO-P2/index.html index 170081aeb..3f8ff9974 100644 --- a/posts/2019-12-10-2019-Canada-MO-P2/index.html +++ b/posts/2019-12-10-2019-Canada-MO-P2/index.html @@ -270,12 +270,12 @@

      -

      题目

      +

      ☜题目

      设 aa、bb 为正整数，且满足 a+b3a+b^3 能被 a2+3ab+3b2−1a^2+3ab+3b^2-1 整除．求证：a2+3ab+3b2−1a^2+3ab+3b^2-1 能被一个大于 11 的整数的立方整除．[1]

      -

      分析

      +

      ☜分析

      根据题目中 a2+3ab+3b2a^2+3ab+3b^2 的形式，容易看出应该和 (a+b)3(a+b)^3 有关系，从而可以证出 (a+b)3(a+b)^3 能被 a2+3ab+3b2−1a^2+3ab+3b^2-1．

      而本题的难点在于如何证明 a2+3ab+3b2−1a^2+3ab+3b^2-1 有次数不小于 33 的因子．这里使用了反证法，并对要证明的结论进行了加强，把证明 a2+3ab+3b2−1a^2+3ab+3b^2-1 中素因子的次数大于 22，转化为证明其大于 (a+b)(a+b) 中对应的素因子的次数的 22 倍，从而更容易导出矛盾．

      -

      解答

      +

      ☜解答

      设 T=a2+3ab+3b2−1T=a^2+3ab+3b^2-1，则

      (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a(a2+3ab+3b2)+b3=a(T+1)+b3=aT+(a+b3) \begin{aligned} \left( a+b \right)^3 &= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\ diff --git a/posts/2019-12-11-Envolope-and-parabola/index.html b/posts/2019-12-11-Envolope-and-parabola/index.html index 6e3b0f5b6..dd3c91f6e 100644 --- a/posts/2019-12-11-Envolope-and-parabola/index.html +++ b/posts/2019-12-11-Envolope-and-parabola/index.html @@ -298,9 +298,9 @@

      显然，这个学生的错误是很明显的．但这也带来了一个问题：如果按照学生所想的，那么面积应该是多少？

      那么首先需要确定的是，它的边界到底是什么？

      -

      边界曲线

      +

      ☜边界曲线

      我们只考虑第一象限的情况．

      -

      解法一

      +

      ☜解法一

      这个区域的边界，应该是取最靠外的点，或者是，最靠上的点．于是我们可以想办法求出，在每一个 xx 处，对应的 yy 的最大值．

      设线段的方程为

      xa+y3−a=1(1)\frac{x}{a}+\frac{y}{3-a}=1 \tag{1} @@ -394,7 +394,7 @@

      解法一​.(2)

      -

      解法二

      +

      ☜解法二

      实际上，这个边界是所有满足条件的线段的包络线．

      设线段所在直线的方程为

      F(x,y,a)=(3−a)x+ay−a(3−a)=a2−(x−y+3)a+3x=0\begin{aligned} @@ -415,7 +415,7 @@

      解法二其图像如下：

      可以验证，方程 (3)(3) 和我们前面求出的方程 (2)(2) 是一致的．

      -

      解法三

      +

      ☜解法三

      设直线方程同解法二，注意到对于每一个 (x,y)(x,y)，有且仅有一个 aa 满足条件．于是有

      Δ=(x−y+3)2−12x=0 \Delta=(x-y+3)^2-12x=0

      @@ -424,7 +424,7 @@

      解法三此解法的出处
      此处称该曲线为绣曲线，但我只在此处和中文维基百科的包络线里面见到了这个名词．目前还不清楚这是否是通用的名词．

      -

      围出的面积

      +

      ☜围出的面积

      第一象限所求的面积，就相当于边界和 xx 轴所夹的面积，因此

      S=∫03(3+x+23x)dx=[3x+12x2+23⋅23(3x)32]∣03=9+4.5+4=22.5\begin{aligned} S &= \int_0^3 \left(3+x+2\sqrt{3x}\right)\mathrm{d}x \\ @@ -445,7 +445,7 @@

      c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z M834 80h400000v40h-400000z'/>​)dx=[3x+21​x2+32​⋅32​(3x)23​]∣∣∣∣∣​03​=9+4.5+4=22.5​

      于是四个象限的区域面积一共是 22.5×4=9022.5\times 4=90．

      -

      曲线的类型

      +

      ☜曲线的类型

      很明显，这是一条二次曲线的一部分．经过仿射变换

      {x′=xy′=x−y+3 \begin{cases} x'=x \\ @@ -506,11 +506,11 @@

      c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z M834 80h400000v40h-400000z'/>​​．

      于是原抛物线的焦点是 (32,0)\left(\dfrac{3}{2},0\right)，准线为 y=xy=x．

      -

      问题拓展

      +

      ☜问题拓展

      在高中学习抛物线的时候，有这样一道题目：

      对于抛物线 y2=2pxy^2=2px，过点K(−p2,0)K\left(-\dfrac{p}{2},0\right) 作抛物线的两条切线，切点分别为 AA、BB，过抛物线在两切点之间的部分上的任意一点，作抛物线的切线，分别交 KAKA、KBKB 与 MM、NN，求证： ∣KM∣+∣KN∣\left|KM\right|+\left|KN\right| 为定值．

      -

      证明

      +

      ☜证明

      抛物线在 (x0,y0)\left(x_0,y_0\right) 处的切线是 MN:y=py0(x+x0)MN: y=\dfrac{p}{y_0}\left(x+x_0\right)．易知经过 KK 的两条切线的方程为 y=±(x+p2)y=\pm\left(x+\dfrac{p}{2}\right)，从而可解得交点的纵坐标为 yM,N=p2−x0±1−y0py_{M,N}=\dfrac{\dfrac{p}{2}-x_0}{\pm 1-\dfrac{y_0}{p}}，因此

      ∣KM∣+∣KN∣=2∣yM−yN∣=2p\left|KM\right|+\left|KN\right|=\sqrt{2}\left|y_M-y_N\right|=\sqrt{2}p

      为定值．

      -

      与前面的联系

      +

      ☜与前面的联系

      其实仔细观察一下就会发现，抛物线这道题里面的 MNMN，就是我们方程 (1)(1) 所对应的线段，所有满足条件的 MNMN 的包络线就是抛物线在 AA、BB 之间的部分！

      diff --git a/posts/2020-04-01-Two-squares-1/index.html b/posts/2020-04-01-Two-squares-1/index.html index cd04d4d80..62d2854ba 100644 --- a/posts/2020-04-01-Two-squares-1/index.html +++ b/posts/2020-04-01-Two-squares-1/index.html @@ -294,7 +294,7 @@

      在正方形的题目中，有很常见的一类是和两个正方形有关的图形，如下图：

      图1

      在这个图形中，有很多有意思的性质，也衍生出了很多的题目．我们讲分几次一一道来．

      -

      「手拉手」模型

      +

      ☜「手拉手」模型

      在学习全等的时候，我们知道有一类很重要的全等模型——旋转全等模型，俗称「手拉手」模型．说的是两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，一定伴随着一组旋转全等，如图2：

      图2

      △ABC\triangle ABC 和 △ADE\triangle ADE 是两个顶角相等的等腰三角形，易证 △ABD≅△ACE\triangle ABD \cong \triangle ACE ．这是一个旋转全等，旋转角度等于两个等腰三角形的顶角角度．

      @@ -302,11 +302,11 @@

      ABEABE 和 ACGACG 的「手拉手」，于是就有 △ABG≅△AEC\triangle ABG \cong \triangle AEC，而且旋转角度为 90∘90^\circ．

      图3

      于是，我们就得到了一个对角线垂直且相等的四边形 BCGEBCGE．

      -

      和中点四边形相关的问题

      +

      ☜和中点四边形相关的问题

      熟悉中点四边形的朋友马上就会想到，这样一个四边形的中点四边形一定是一个正方形，也就是下面这个图：

      图5

      在这个图中，中点四边形 MPNQMPNQ 就是一个正方形．

      -

      另一个和中点相关的问题

      +

      ☜另一个和中点相关的问题

      在图1中，如果我们取 EGEG 的中点 PP ，连结 APAP ，则 AP⊥BCAP \perp BC 且 AP=12BCAP = \dfrac{1}{2} BC．（如果取 BCBC 中点，有类似的结论）

      图5

      对于中点问题，我们知道一种常见的处理方法就是「倍长中线」，因此我们倍长 APAP 至 HH，可以证明 △GHA≅△ABC\triangle GHA \cong \triangle ABC．注意这是一个旋转 90∘90 ^\circ 的全等，因此 AHAH 和 BCBC 垂直且相等，所以上面的结论成立．

      @@ -324,13 +324,13 @@

      变形一

      +

      ☜变形一

      前面我们说了 BCGEBCGE 是一个对角线垂直且相等的四边形，因此，这个题的可以这样来出：

      如图8，在四边形 ABCDABCD 中，AC⊥BDAC \perp BD，且 AC=BDAC=BD，分别取 ADAD、BCBC、ABAB 的中点 MM、NN、PP，分别过 MM、NN 作 ADAD、BCBC 的垂线交于 OO，则 PO⊥CDPO \perp CD．

      图8

      这个图如果把 OAOA、OBOB、OCOC、ODOD 都连起来，显然有 △OAC≅△OBD\triangle OAC \cong \triangle OBD，注意这是一个旋转 90∘90^\circ 的全等，因此 △OAD\triangle OAD、△OBC\triangle OBC 都是等腰直角三角形．于是这就变成了图5一样的图了，后面的证明和上面相同．

      图9 -

      变形二

      +

      ☜变形二

      如果我们把两个正方形中间再加一个小正方形，那么结论会变成什么样子？

      如图10，有三个正方形 ABCDABCD、AEFGAEFG、FHIJFHIJ，取 JDJD 中点 PP，则有 PE⊥BHPE \perp BH 且 PE=12BHPE = \dfrac{1}{2} BH．

      图10 @@ -340,7 +340,7 @@

      变形二如图11，我们倍长 EPEP 至 KK，可以类似地证明 △JKE≅△GBH\triangle JKE \cong \triangle GBH．

      不过在证明的时候需要注意，这里面隐藏着两个「手拉手」的全等模型，在证明上面的全等的时候需要用到，如图12，有 △ADE≅△ABG\triangle ADE \cong \triangle ABG，△FJE≅△FGH\triangle FJE \cong \triangle FGH，都是旋转 90∘90^\circ 的全等．

      图12 -

      拓展联想

      +

      ☜拓展联想

      在圆的内接四边形中，有一个类似的结论：

      若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．

      这就是 Brahmagupta 定理，一般译作「婆罗摩笈多定理」，或者「布拉美古塔定理」．

      diff --git a/posts/2020-04-03-Two-squares-2/index.html b/posts/2020-04-03-Two-squares-2/index.html index 2dde86f0d..201a012cc 100644 --- a/posts/2020-04-03-Two-squares-2/index.html +++ b/posts/2020-04-03-Two-squares-2/index.html @@ -299,15 +299,15 @@

      图2

      我们注意到，这个图形只跟下半部分（或者上半部分有关），因此这类题目经常以两个「等腰直角三角形」的形式出现，如图3：

      图3

      -

      证明方法

      +

      ☜证明方法

      这个题的解决方法也有很多，可以用「倍长中线」，可以构造「三角形的中位线」，也可以构造「梯形中位线」．

      -

      倍长中线

      +

      ☜倍长中线

      如图4，倍长 BPBP 至 KK，可以证明 △ABC≅△FKC\triangle ABC \cong \triangle FKC，注意这是一个旋转 90∘90^\circ 的全等，因此 CBCB 和 CKCK 垂直且相等，我们得到了一个等腰 Rt△CBK\mathrm{Rt} \triangle CBK ，于是它的一半 △PCB\triangle PCB 也是一个等腰直角三角形．

      图4

      -

      构造三角形的中位线

      +

      ☜构造三角形的中位线

      如图5，分别取 ADAD、AFAF 的中点 MM、NN，可以证明 △PMB≅△CNP\triangle PMB \cong \triangle CNP．注意这又是一个旋转 90∘90^\circ 的全等，因此 PBPB 和 PCPC 垂直且相等．

      图5

      -

      构造梯形的中位线

      +

      ☜构造梯形的中位线

      如图6，分别过 DD、FF、AA 作 BCBC 的垂线，垂足依次为 JJ、KK、LL，则有弦图的模型可知，△BJD≅△ALB\triangle BJD \cong \triangle ALB，△FKC≅△CLA\triangle FKC \cong \triangle CLA，于是 BJ=AL=CKBJ = AL = CK，DJ=BLDJ = BL，FK=CLFK = CL．我们取 BCBC 的中点 QQ，于是 QQ 也是 JKJK 的中点，因此 PQPQ 是梯形 DJKFDJKF 的中位线，故 PQ⊥BCPQ \perp BC，且

      PQ=12(DJ+FK)=12(BL+CL)=12BC=BQ=CQ\begin{aligned} PQ &= \dfrac{1}{2} \left( DJ + FK \right) = \dfrac{1}{2} \left( BL + CL \right) \\ @@ -316,17 +316,17 @@

      变形

      +

      ☜变形

      我们需要注意的是，当这两个等腰 Rt△ABD\mathrm{Rt} \triangle ABD 和 △ACF\triangle ACF 旋转到不同的位置的时候，这个图可能看起来变得完全不一样，但是本质上是一个图形，如图7~图10：

      图7

      图8

      图9

      图10

      -

      推广

      +

      ☜推广

      在图3中，△ABD\triangle ABD 和 △ACF\triangle ACF 都是等腰直角三角形．如果我们把这个条件进行弱化，去掉等腰的条件，但保持两个直角三角形是相似的，即 Rt△ABD∼Rt△ACF\mathrm{Rt}\triangle ABD \sim \mathrm{Rt}\triangle ACF （其实就是 ∠ADB=∠AFC\angle ADB = \angle AFC），那么 PB=PCPB = PC 的结论依旧成立．

      图11

      这个时候的解决方法和前面也是类似的．

      -

      倍长中线

      +

      ☜倍长中线

      这个方法和图4类似，只不过把要证明的全等变成了相似．

      如图12，倍长 BPBP 至 KK，则

      KFFC=DBFC=BAAC\frac{KF}{FC} = \frac{DB}{FC} = \frac{BA}{AC} @@ -342,7 +342,7 @@

      因此 △KFC∼△BAC\triangle KFC \sim \triangle BAC．这是一个旋转 90∘90^\circ 的相似，于是 △BCK\triangle BCK 是直角三角形，CPCP 是其斜边中线，故 CP=12BK=PBCP = \dfrac{1}{2} BK = PB．

      图12

      -

      构造三角形的中位线

      +

      ☜构造三角形的中位线

      这个方法和图5完全一样，BM=12AD=PNBM = \dfrac{1}{2} AD = PN，MP=12AF=NCMP = \dfrac{1}{2} AF = NC，且

      ∠BMP=∠BMA+∠AMP=2∠BDA+∠AMP=2∠CFA+∠ANP=∠CNA+∠ANP=∠PNC\begin{aligned} \angle BMP &= \angle BMA + \angle AMP \\ @@ -354,7 +354,7 @@

      构造梯形的中位线

      +

      ☜构造梯形的中位线

      这个方法和图6类似，不过也是要把证明的全等变成相似．

      如图14，△BJD∼△ALB\triangle BJD \sim \triangle ALB，△FKC∼△CLA\triangle FKC \sim \triangle CLA，于是

      BJAL=BDAB=CFAC=CKAL\frac{BJ}{AL} = \frac{BD}{AB} = \frac{CF}{AC} = \frac{CK}{AL} diff --git a/posts/2020-04-03-Two-squares-3/index.html b/posts/2020-04-03-Two-squares-3/index.html index 6ca50d225..3872195d0 100644 --- a/posts/2020-04-03-Two-squares-3/index.html +++ b/posts/2020-04-03-Two-squares-3/index.html @@ -286,18 +286,18 @@

      在上一篇文章的最后，我们留了一个问题，就是如果仅保留等腰的条件，是否还有比较好的结论？

      要解决这个问题，我们先从一种特殊情况谈起．

      -

      一种特殊情况

      +

      ☜一种特殊情况

      当两个等腰 Rt△ABD\mathrm{Rt} \triangle ABD 和 △ACF\triangle ACF 旋转的时候，一种非常特殊的情况就是两个三角形的斜边共线的情况，如图1：

      图1

      这个时候上面的结论依旧成立，而且我们注意到这个时候 ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ，因此如果我们取 BCBC 的中点 QQ，则有 QA=12BC=QPQA = \dfrac{1}{2} BC = QP，也就是说 △APQ\triangle APQ 是一个等腰三角形．

      熟悉四点共圆的朋友马上就会想到，这里面 ABCPABCP 四点共圆，圆心恰好就是 QQ．

      图2

      -

      逆命题

      +

      ☜逆命题

      那我们反过来想一下，如果取 △ABC\triangle ABC 的外接圆和 DFDF 交于 PP，那么 PP 点是否一定是 DFDF 的中点？

      图3

      如果考虑同一法的话，很明显这个结论是成立的．

      那如果不用同一法呢？

      -

      构造梯形的中位线

      +

      ☜构造梯形的中位线

      一种方法是构造梯形的中位线．我们分别过 BB、CC、QQ 作 DFDF 的垂线，垂足依次为 MM、NN、TT，则 CTCT 是梯形 BMNCBMNC 的中位线，且 MM、NN、TT 分别是 ADAD、AFAF、APAP 的中点，于是

      PD=2MT=2NT=2(AN−AT)=AF−AP=PF\begin{aligned} PD &= 2MT = 2NT = 2 \left( AN - AT \right) \\ @@ -307,14 +307,14 @@

      PP 是 DFDF 的中点．

      图4

      另一种方法是构造旋转相似，这种方法放到我们后面的推广里来讲．

      -

      一种推广

      +

      ☜一种推广

      如果要保持四点共圆的条件不变，我们可以把条件弱化成什么样子？

      注意如果要保持四点共圆的话，我们要保持 ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ，因此两个等腰三角形的两底角要保持互余，也就是两顶角要保持互补．

      因此，我们可以把两个等腰直角三角形的条件改为，两个「顶角互补的等腰三角形」：

      图5

      在图5中，AB=BDAB = BD，AC=CFAC = CF，∠ABD+∠ACF=180∘\angle ABD + \angle ACF = 180^\circ，我们分别取 BCBC、DFDF 的中点 PP、QQ，则 ∠BPC=90∘\angle BPC = 90^\circ，且 AQ=QPAQ = QP．

      我们可以利用上一篇文章中的三种方法，对这种情况进行证明．因为方法几乎是一样的，这里就从略了．

      -

      继续推广

      +

      ☜继续推广

      我们回顾一下图4的证明，这种方法本质上就是用了三个等腰 △ABD\triangle ABD、△ACF\triangle ACF、△APQ\triangle APQ 的条件，因此我们可以把条件再进行弱化，如下图：

      图6

      如图6，△ABD\triangle ABD 和 △ACF\triangle ACF 都是等腰三角形，AB=BDAB = BD，AC=CFAC = CF，QQ 为 BCBC 的中点，则

      @@ -324,7 +324,7 @@

      继续

      同时，大家可以想一下，这个图形和我们上一篇文章中里的图形有什么区别和联系．

      -

      倍长中线

      +

      ☜倍长中线

      这个时候，倍长中线的方法依旧可以使用，不过这个时候，应该要倍长 AQAQ．

      图7

      @@ -348,7 +348,7 @@

      倍长

      PQ=12AK=AQPQ = \dfrac{1}{2} AK = AQ

      如果已知 QA=QPQA = QP，由 QK=QA=QPQK = QA = QP 可知 ∠KPA=90∘\angle KPA = 90^\circ，再由「三线合一」可知 PD=PFPD = PF．

      -

      构造三角形的中位线

      +

      ☜构造三角形的中位线

      这个时候我们没有办法利用中位线直接证明 QA=QPQA = QP，但是我们可以分别取 ADAD、AFAF 的中点 MM、NN，先证明 QM=QNQM= QN．

      图8

      我们分别取 ABAB、ACAC 的中点 SS、TT，于是可以证明 △MSQ≅△QTN\triangle MSQ \cong \triangle QTN．其中 ∠MSQ=∠QTN\angle MSQ = \angle QTN 的证明和上一个方法类似．

      @@ -362,13 +362,13 @@

      两种方法的联系

      +

      ☜两种方法的联系

      实际上，如果我们把上一种方法的图和这一种方法的图放在一起，就会发现这两组三角形其实是相似的．

      图9

      -

      构造梯形的中位线

      +

      ☜构造梯形的中位线

      这种方法和图4的证明是一样的，这里就不在重复了．

      可以看出，这是最简单的一种证明方法．

      -

      构造旋转相似

      +

      ☜构造旋转相似

      这个图还有一个证明方法，就是构造 AA 关于 BCBC 的对称点 SS，如图10，则

      ∠SBD=2∠SAD=2(180∘−∠SAF)=∠SCF\begin{aligned} \angle SBD &= 2\angle SAD \\ @@ -395,7 +395,7 @@

    图11

    这种方法大量用到了相似和圆周角的性质，由此又可以引申出关于双圆问题的一些结论．有兴趣的朋友可以自行探究一下．

    -

    和前文图形的关系

    +

    ☜和前文图形的关系

    我们回过头来看一下图8，注意在这个图中我们平没有用到 DD、FF 这两个点，因此我们考虑把这两个点去掉，于是这个图就变成了下面这样：

    图12

    如图12，△AMB\triangle AMB 和 △ANC\triangle ANC 都是直角三角形，且 MM、AA、NN 共线，取 BCBC 的中点 QQ，则 QM=QNQM = QN．

    diff --git a/posts/2020-04-07-Midpoint-in-trapezoid/index.html b/posts/2020-04-07-Midpoint-in-trapezoid/index.html index be82d78c5..737eec7ab 100644 --- a/posts/2020-04-07-Midpoint-in-trapezoid/index.html +++ b/posts/2020-04-07-Midpoint-in-trapezoid/index.html @@ -296,22 +296,22 @@

    在前面的三篇文章中，我们探究了和正方形有关的中点问题．在本文中，我们来看一个和梯形有关的中点问题．

    和梯形相关的中点问题，主要可以分为「底中点」和「腰中点」两大类．对于「底中点」相关的问题，我们合并到下一篇关于一般四边形的中点问题的文章中一起来讨论．今天我们重点来看一下和「腰中点」有关的问题．

    -

    「腰中点」的处理方法

    +

    ☜「腰中点」的处理方法

    对于「腰中点」相关的问题，主要的思路有两个：「倍长中线」和构造「中位线」．

    是不是很熟悉？和前面正方形的处理方法是一样的．

    -

    倍长中线

    +

    ☜倍长中线

    如图1，EE 是腰 CDCD 的中点，连结 AEAE 并延长交 BCBC 于 FF，则有 △ADE≅△FCE\triangle ADE \cong \triangle FCE，于是 EE 也是 AFAF 的中点，AD=CFAD = CF．

    这个方法相当于是 △ADE\triangle ADE 旋转到了 △FCE\triangle FCE，于是把原来的梯形变成了一个三角形．

    这个方法同时可以用来证明梯形的中位线定理．

    图1

    -

    梯形的中位线

    +

    ☜梯形的中位线

    如图2，EE 是腰 CDCD 的中点，取 ADAD 的中点 FF，则 EFEF 是梯形 ABCDABCD 的中位线，于是 EF∥AB∥CDEF \parallel AB \parallel CD，且 EF=12(AB+CD)EF = \dfrac{1}{2} (AB + CD)．

    图2

    -

    直角梯形的「腰中点」

    +

    ☜直角梯形的「腰中点」

    如图3，对于直角梯形 ABCDABCD，∠A=∠D=90∘\angle A = \angle D = 90^\circ，取腰 BCBC 的中点 EE，则 EA=EDEA = ED，即 △AED\triangle AED 是等腰三角形．

    图3

    用上面两种方法，都很容易证明这个命题．

    -

    一种特殊情况

    +

    ☜一种特殊情况

    如果在图3中加入 AE⊥DEAE \perp DE，也就是 △AED\triangle AED 是等腰直角三角形的条件，那么 AB+CD=ADAB + CD = AD．

    图4

    如果用第1种方法，如图5，则 DEDE 垂直平分 AFAF， △ADF\triangle ADF 是等腰直角三角形，

    @@ -345,17 +345,17 @@

    如果考虑四点共圆的话，有 ABEMABEM、DCEMDCEM、EPMQEPMQ 三组四点共圆，而且这三个圆有公共弦 EMEM．

    图9

    -

    图形的来源

    +

    ☜图形的来源

    如果我们仔细观察一下图7，我们就会发现，这个图实际上是「弦图」的一半．

    图10

    如果再考虑 PQPQ，那么这个图就相当于嵌套的两个弦图，于是图8中的结论就显然成立了．

    图11

    -

    变形

    +

    ☜变形

    如果我们只考虑 △MBC\triangle MBC，那么就变成了这样一道题：

    如图12，在等腰 Rt△MBC\mathrm{Rt} \triangle MBC 中，EE 是斜边 BCBC 的中点，MP=CQMP = CQ，则 △EPQ\triangle EPQ 是等腰直角三角形．

    图12

    利用图8中的 △PME≅△QCE\triangle PME \cong \triangle QCE，这个结论显然是成立的．

    -

    推广一

    +

    ☜推广一

    如果我们保留 MB=MCMB = MC 的条件（即 ME⊥BCME \perp BC），如图13，那么这个时候仍有 ∠AED=∠BMC\angle AED = \angle BMC 的结论成立．

    图13

    注意到这个时候 ABEMABEM、DCEMDCEM 这两组四点共圆依旧成立，于是

    @@ -383,7 +383,7 @@

    推广一

    因此上面 ABNMABNM 四点也共圆．

    剩下的证明和图14是完全一样的，只需要把式子中的 EE 点换成 NN 点就可以．

    -

    推广二

    +

    ☜推广二

    如果我们保留 ∠BMC=∠AND=90∘\angle BMC = \angle AND = 90^\circ 的条件，过 BB、CC 和 ADAD 上一点 MM 作 △MDC\triangle MDC 的外接圆交 BCBC 于 NN，作 △AND\triangle AND 的外接圆与 BCBC 的另一个交点 PP，则 AP⊥BMAP \perp BM，DP⊥CMDP \perp CM．

    图16

    证明中还用到上面推出的 ABNMABNM 四点共圆的结论：

    @@ -406,7 +406,7 @@

    推广二图19

    事实上，对于一般的梯形 ABCDABCD，AB∥CDAB \parallel CD，如果过 BB、CC 和 ADAD 上一点 MM 作 △MDC\triangle MDC 的外接圆交 BCBC 于 NN，作 △AND\triangle AND 的外接圆与 BCBC 的另一个交点 PP，那么依然有 DP∥BMDP \parallel BM，AP∥CMAP \parallel CM 的结论成立．证明过程和前面完全相同．

    图20

    -

    变形

    +

    ☜变形

    我们把图20简化一下，就可以得到下面这个题目：

    如图21，在梯形 ABCDABCD 中，AB∥CDAB \parallel CD，任取 ADAD 上一点 MM，作 AP∥CMAP \parallel CM 交 BCBC 于 PP，则 DP∥BMDP \parallel BM．

    图21

    diff --git a/posts/2020-04-11-Install-ArchWSL/index.html b/posts/2020-04-11-Install-ArchWSL/index.html index 894e07c8c..4504f08d1 100644 --- a/posts/2020-04-11-Install-ArchWSL/index.html +++ b/posts/2020-04-11-Install-ArchWSL/index.html @@ -274,12 +274,12 @@

    最近把 windows 更新到了 2004，切换到了 WSL 2 上。

    -

    安装 WSL 2

    +

    ☜安装 WSL 2

    启用 WSL 和虚拟机控制平台功能（要求管理员权限）：

    1
    2
    3
    dism.exe /online /enable-feature /featurename:Microsoft-Windows-Subsystem-Linux /all /norestart
    dism.exe /online /enable-feature /featurename:VirtualMachinePlatform /all /norestart
    wsl --set-default-version 2

    之后重启电脑。

    安装 Arch，参见 ArchWSL。

    -

    WSL 2 相对于 WSL 1 的优缺点

    +

    ☜WSL 2 相对于 WSL 1 的优缺点

    优点：

    • 本地文件操作更快。之前编译一个 glibc，几个小时都没有编完
      • @@ -292,56 +292,56 @@

      语言设置

      +

      ☜语言设置

      把 /etc/locale.conf 改为 LANG=zh_CN.UTF8。

      然后 source /etc/locale.conf。

      一个非常奇怪的事情是，如果把 LANG 设为 zh_CN.UTF-8，那么在 bash 下，windows 中的中文文件名显示为乱码，而 zsh 则显示正常。
      但在默认的 LANG=en_US.UTF-8 下，bash 和 zsh 都能正常显示中文文件名。

      -

      安装软件包

      -

      导入密钥（非常重要！！！）

      +

      ☜安装软件包

      +

      ☜导入密钥（非常重要！！！）

      1
      2
      # 初始化密钥环 && 验证主密钥 && 更新密钥
      pacman-key --init && pacman-key --populate archlinux && pacman-key --refresh-keys
      -

      启用国内的镜像源

      +

      ☜启用国内的镜像源

      1
      2
      3
      4
      5
      6
      echo "Server = https://mirrors.aliyun.com/archlinux/\$repo/os/\$arch
      Server = https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/archlinux/\$repo/os/\$arch
      Server = https://mirrors.neusoft.edu.cn/archlinux/\$repo/os/\$arch
      Server = https://mirrors.cqu.edu.cn/archlinux/\$repo/os/\$arch
      Server = https://mirrors.sjtug.sjtu.edu.cn/archlinux/\$repo/os/\$arch
      Server = https://mirrors.ustc.edu.cn/archlinux/\$repo/os/\$arch" > /etc/pacman.d/mirrorlist
      -

      添加 ArchlinuxCN 源

      +

      ☜添加 ArchlinuxCN 源

      1
      2
      3
      4
      echo "
      [archlinuxcn]
      Server = https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/archlinuxcn/x86_64" >> /etc/pacman.conf
      pacman -Sy && pacman -S archlinuxcn-keyring && pacman -S yaourt

      这里坚持用 yaourt 的原因有两个，一是在 root 环境下使用不报错（主要是需要彩色显示），二是可以显示版本更新还是编译更新。

      -

      安装常用软件

      -

      先搭建好常用环境

      +

      ☜安装常用软件

      +

      ☜先搭建好常用环境

      1
      2
      pacman -Syu
      pacman -S zsh git subversion lua openssh
      -

      安装 zinit（原 zplugin）

      +

      ☜安装 zinit（原 zplugin）

      1
      2
      git clone https://github.com/zdharma/zinit.git ~/.zinit/bin
      echo "source ~/.zinit/bin/zinit.zsh" > ~/.zshrc

      不得不再次吐槽一下 git clone 的速度。。。

      -

      安装 powerlevel10k

      +

      ☜安装 powerlevel10k

      1
      echo "zinit ice depth=1; zinit light romkatv/powerlevel10k" >> ~/.zshrc
      -

      启用 zsh（终于有了一个好看的终端）

      +

      ☜启用 zsh（终于有了一个好看的终端）

      1
      zsh

      然后就可以导入之前的 .zshrc 了。

      -

      切换默认终端至 zsh

      +

      ☜切换默认终端至 zsh

      1
      chsh -s /bin/zsh
      -

      安装 vim-plug

      +

      ☜安装 vim-plug

      1
      2
      curl -fLo ~/.vim/autoload/plug.vim --create-dirs \
          https://raw.githubusercontent.com/junegunn/vim-plug/master/plug.vim

      导入之前的 .vimrc 文件，并执行命令：

      1
      vim +PlugInstall +qall
      -

      安装常用软件

      +

      ☜安装常用软件

      1
      2
      3
      4
      5
      6
      7
      pacman -S base-devel which diffutils man openssh tree p7zip bc wget \
        htop strace most \
        yarn npm python-pip \
        zathura-ps zathura-pdf-poppler \
        feh imagemagick mediainfo ffmpeg \
        opencc dos2unix jq net-tools bind-tools nload
      yarn global add hexo-cli nali-cli http-server
      -

      安装花哨软件

      +

      ☜安装花哨软件

      1
      pacman -S fd exa bat ripgrep percol
      -

      安装常用字体

      +

      ☜安装常用字体

      1
      pacman -S adobe-source-code-pro-fonts adobe-source-sans-pro-fonts adobe-source-serif-pro-fonts adobe-source-han-sans-cn-fonts adobe-source-han-serif-cn-fonts tex-gyre-fonts ttf-dejavu wqy-zenhei wqy-microhei ttf-sarasa-gothic
      -

      安装专业软件

      +

      ☜安装专业软件

      1
      2
      3
      pacman -S texlive-most
      pacman -S texlive-langchinese biber asymptote qtikz \
        sagemath jupyter

      注意：安装 texlive-fontextra 会爆内存！！！
      反正我的8G内存被爆了，16G没有问题）

      -

      安装 X 软件

      +

      ☜安装 X 软件

      1
      pacman -S tk gvim

      向 ~/.zshrc 中添加：

      1
      2
      export DISPLAY=$(awk '/nameserver / {print $2; exit}' /etc/resolve.conf 2>/dev/null):0.0
      export LIBGL_ALWAYS_INDIRECT=1

      注意对于 WSL 2，VcXsrv 启动时需要选中 Disable access control 的选项，或者加上 -ac 的参数。

      -

      添加新用户

      +

      ☜添加新用户

      1
      2
      3
      4
      groupadd AAA
      useradd XXX -g AAA -G wheel -m -N
      pacman -S sudo
      echo "wheel ALL=(ALL) NOPASSWD: ALL" > /etc/sudoers.d/wheel

      其实我一直是使用 root 账户，只有在需要 makepkg 的时候才切换到普通用户。

      diff --git a/posts/2020-05-01-Reinstall-Windows/index.html b/posts/2020-05-01-Reinstall-Windows/index.html index 3e858e237..5290bf046 100644 --- a/posts/2020-05-01-Reinstall-Windows/index.html +++ b/posts/2020-05-01-Reinstall-Windows/index.html @@ -282,11 +282,11 @@

      安装 windows 还是比较顺利的。这里建议不要用 Media Creation Tool，而是直接下载 iso 文件，这样下载的速度会快一些。（谁叫我有 IDM 呢 →_→）

      安装之后，系统引导会自动生成，不用手动干预。

      然而，主要耗费时间是在安装各种软件上。

      -

      Adobe

      +

      ☜Adobe

      有请 vposy 大神。。。

      -

      Office 下载与激活

      +

      ☜Office 下载与激活

      参见 https://v0v.bid。

      -

      MathType 与字体冲突的问题

      +

      ☜MathType 与字体冲突的问题

      MathType 与 Microsoft Store 中的「更纱黑体」相冲突，安装「更纱黑体」会导致 MathType 闪退，原因不明。

      但直接下载字体点击安装的话就没有问题。

      这个问题折腾了我半天的时间。。。

      @@ -296,7 +296,7 @@

      又尝试单独安装部分字体，只装了 Sarasa Term，没有问题。那就先这么用吧。。。

    -

    盘符问题

    +

    ☜盘符问题

    在安装的时候，一定将新的系统盘标为 C 盘。如果系统安装完了之后，就没法再修改了。至少我目前还没有找到方法。

    看过网上说的一些方法。如果直接在硬盘管理中修改盘符的话，非系统盘是可以直接修改的，系统盘修改的话会显示参数错误。

    还有直接修改注册表中 HKEY_LOCAL_MACHINE\SYSTEM\MountedDevices 下的驱动器号的，我试了一下，然后电脑就无法启动了。还是通过安装盘恢复原来的设定之后才能启动。

    @@ -308,7 +308,7 @@

    盘符

    其实大部分软件安装都没有问题，只是在「华为电脑管家」的时候出现了问题。
    于是我只能把另外一个分区改为 C 盘，然后安装之后把 Program Files(x86) 中的文件移到 D 盘中，然后在注册表中搜索修改所有相关的项。
    目前使用上还没有发现问题。

    -

    独显问题

    +

    ☜独显问题

    之前电脑上，可以选择以 N 卡运行 chrome。但是这次安装之后，即使是选择 N 卡运行，包括在 Nvidia 控制面板里设置，还是右击选择以「高性能 Nvidia 处理器」运行，都没有作用。

    Firefox 也不管用。

    但是 mpv 和 qutebrwoser 都运行正常。

    @@ -317,14 +317,14 @@

    独显 我就是想打个麻将而已，容易么我。。。
    顺带说一下，笔记本是 14 年买的，CPU 是 i7-4700HQ，核显是 HD Graphic 4600，独显是 GeForce GTX 850M。

    -

    播放器选择

    +

    ☜播放器选择

    安装之后试了一下 4k 视频的播放，发现不需要修改就可以直接舒畅播放的就只有 vlc，而且仅仅使用核显，播放的时候 CPU 30%，核显 vlc 使用 5%，整体 20%，不知道是怎么调教的。

    如果配置好的话，让 mpv 用 N 卡解码也是可以流畅播放的，核显 25%，独显 60%。

    -

    对不同应用切换不同的输入法

    +

    ☜对不同应用切换不同的输入法

    设置 -> 设备 -> 输入 -> 高级键盘设置 -> 切换输入法 -> 勾选「允许我为每个应用窗口使用不同的输入法」

    -

    杀毒软件

    +

    ☜杀毒软件

    趁着这次机会，入正了 EAV。

    -

    Git

    +

    ☜Git

    如果直接安装 Git For Windows 的话，就没有什么问题。
    不过由于我安装了 MSYS2，因此就直接在 MSYS2 里面安装了，但这带来了一个奇怪的问题，那就是 git 的 ssh 协议无法使用。具体就是：如我运行

    1
    ssh -T git@github.com
    @@ -333,7 +333,7 @@

    Git

    但是 git pull 和 git push 就是运行不成功，显示

    1
    2
    3
    4
    5
    git@github.com: Permission denied (publickey).
    fatal: Could not read from remote repository.

    Please make sure you have the correct access rights
    and the repository exists.

    后来发现，Git For Windows 貌似可以之间使用 Windows 默认的 ssh 配置文件（位置在 %HOMEPATH%\.ssh\），而在 MSYS2 里安装的话需要把密钥复制到 MSYS2 的 ssh 配置文件里。

    -

    WSL

    +

    ☜WSL

    在安装完 WSL 之后，我发现网络访问有问题，而且问题比较奇怪。

    我在 WSL 中，能够正常访问网络；在 Windows 中，也能访问 WSL 中的网络；但是在 WSL 中，无法访问 Windows 应用，包括 VcXsrc。

    diff --git a/posts/2020-05-12-Windows-commands/index.html b/posts/2020-05-12-Windows-commands/index.html index 5151f0045..ff921b23d 100644 --- a/posts/2020-05-12-Windows-commands/index.html +++ b/posts/2020-05-12-Windows-commands/index.html @@ -272,7 +272,7 @@

    -

    直接运行

    +

    ☜直接运行

    • winver: 关于 Windows
    • msinfo32：系统信息
      • @@ -287,7 +287,7 @@

      直接
    • mspaint：画图
    • notepad：记事本

    -

    管理控制台

    +

    ☜管理控制台

    • services.msc: 服务
    • gpedit.msc: 组策略
      • @@ -296,7 +296,7 @@

    • diskmgmt.msc：磁盘管理 Win+X K
    • secpol.msc：本地安全策略

    -

    控制面板

    +

    ☜控制面板

    • hdwwiz.cpl：设备管理器 Win+X M
    • appwiz.cpl: 程序和功能（卸载）
      • diff --git a/posts/2020-06-22-FFmpeg-Commands/index.html b/posts/2020-06-22-FFmpeg-Commands/index.html index b8c66409c..75cf69795 100644 --- a/posts/2020-06-22-FFmpeg-Commands/index.html +++ b/posts/2020-06-22-FFmpeg-Commands/index.html @@ -265,7 +265,7 @@

      -

      剪裁文件

      +

      ☜剪裁文件

      1
      2
      3
      4
      5
      6
      7
      8
      9
      10
      ### 截取前一部分的视频
      ffmpeg -t [duration] -i [input.mp4] -c copy [output.mp4]

      ### 截取后一部分视频
      ffmpeg -ss [start] -i [input.mp4] -c copy [output.mp4]

      ### 截取中间一部分视频（结束时间确定）
      ffmpeg -ss [start] -to [end] -i [input.mp4] -c copy [output.mp4]
      ### 或者（时长确定）
      ffmpeg -ss [start] -t [duration] -i [input.mp4] -c copy [output.mp4]

      时间格式：HH:MM:SS.XXX。

      这里面使用 -c copy 的选项，避免重新进行编码，可以很快地进行剪裁。

      @@ -276,16 +276,16 @@

      剪裁 
      1
      ffmpeg -ss [start] -t [duration] -accurate_seek -i [input.mp4] -avoid_negative_ts 1 -c copy [output.mp4]

      注意 -accurate_seek 选项要在 -i 选项之前。

      如果需要非常精确的剪裁的话，需要重新进行编码，并使用 -strict experimental 或者 -strict 2 的选项。

      -

      合并文件

      +

      ☜合并文件

      先把要合并的文件写在一个文本文件 list.txt 里：

      1
      2
      3
      file './split1.mp4'
      file './split2.mp4'
      file './split3.mp4'

      然后再进行合并：

      1
      ffmpeg -f concat -i [list.txt] -c copy [output.mp4]
      -

      改变格式

      +

      ☜改变格式

      1
      2
      3
      4
      5
      ### 重新编码
      ffmpeg -i [input].mp4 [output].flv

      ### 不重新编码
      ffmpeg -i [input].mp4 -c copy [output].flv
      -

      提取音频

      +

      ☜提取音频

      1
      ffmpeg -i [intput].mp4 -c:a copy [output.aac]
      -

      合并视频和音频

      +

      ☜合并视频和音频

      1
      ffmpeg -i [input.mp4] -i [input.aac] -c copy [output.mp4]
      diff --git a/posts/2020-06-22-Notability-vs-GoodNotes/index.html b/posts/2020-06-22-Notability-vs-GoodNotes/index.html index 919830eee..f0576aad4 100644 --- a/posts/2020-06-22-Notability-vs-GoodNotes/index.html +++ b/posts/2020-06-22-Notability-vs-GoodNotes/index.html @@ -292,14 +292,14 @@

      注意：两款软件都在不断更新，并且不断添加新的功能，因此后面所说的可能与您现在所用到的功能并不完全相同。请注意本文的更新日期。

      例如，就在我使用它们上课的这几个月间，Notability 添加了投屏区域和激光笔功能，导致我从完全使用 GoodNotes 转换到目前以使用 Notability 为主。（毕竟从一开始，我就是 Notability 党）

      -

      作为一个投屏教学的笔记软件的必要条件

      +

      ☜作为一个投屏教学的笔记软件的必要条件

      • 支持投屏区域功能，即只投屏指定区域，而不是整个屏幕，保证 iPad 上弹出的消息不会被投上去
      • 支持激光笔功能，并且支持暂时保留激光笔的书写痕迹
      • 支持画直线的功能（几何教学必备）
      • 防误触功能
      -

      两个笔记本软件目前都支持的功能

      +

      ☜两个笔记本软件目前都支持的功能

      -

      GoodNotes 的优势

      +

      ☜GoodNotes 的优势

      • 👍多层文件夹管理，可以按照「课件-学期-课程-讲义」的层级结构来组织存放讲义，便于寻找
      • 支持批量管理页面
        • @@ -322,14 +322,14 @@

        GoodNotes 的痛点

        +

        ☜GoodNotes 的痛点

        • 👎👎画直线和其它规则图形，需要切换到专门的工具才可以。而且轨迹是画完后自动校正，无法提前预览，因此精确度较难把握
        • 👎👎👎直线画不直，经常自动校正成为折线，特别是在画相对较短的线段的时候。画长线段的时候反而会好一点。（技巧：开启不显示页面缩放的功能，然后把页面放大，再画直线）
        • 👎👎👎当绘制倾斜程度很小或者很大的直线的时候，会被自动校正为水平或者竖直的直线，导致根本无法画出正确的直线
        • 只能复制书写笔记，不能复制原文件的内容，只能通过截图再导入实现，比较麻烦
        -

        Notability 的优势

        +

        ☜Notability 的优势

        • 👍👍👍支持自动拉直和图形检测，即绘制完成之后，继续长按，可以自动转化为直线或者其它图形，并且可以调整和实时预览，还会自动弹出放大镜，方便精确控制绘制点
        • 👍👍👍绘制完成的线段可以自由调整两个端点，且长按会有放大镜
          • @@ -342,7 +342,7 @@

          Notability 的痛点

          +

          ☜Notability 的痛点

          • 文件管理只支持两个层级
          • 👎👎👎新消息弹出的时候，会阻挡工具栏，如果恰好在选择工具的时候点击到弹出的消息，可能会造成教学事故……
            • @@ -353,7 +353,7 @@

            我的经验

            +

            ☜我的经验

            在最开始上课的时候，由于 Notability 还不支持投屏区域功能，因此只能使用 GoodNotes，恰巧这个时候有好几个班都在讲几何，因此体会最深的就是每次画辅助线的时候都要切换工具，画完之后还要切换回来，非常麻烦。而且它的自动校正并不准确，而且在画完之后不支持调整，导致一条线有时需要画好几遍才能画得比较准确。

            因此在暑假开课的时候，我终于可以切换到了 Notability，但是也带了各种不方便，上面列举的所有痛点，都是我在讲课的时候遇到的。这里面影响最大的就是添加同类型页面非常麻烦。因为几何题目的过程较长，一页的板书写不下，所以我得提前复制好新的页面，否则在讲解题目的时候再复制，就会非常影响讲课的节奏。（但我又经常忘了。。。）

            不得不说，习惯了 GoodNotes 添加页面的快捷之后，再回到 Notability，我到现在都没法适应。

            @@ -364,7 +364,7 @@

            我的

            关于颜色切换部分，我补充一点。如果仅仅使用 3 个颜色就够的话，GoodNotes 的切换方式要快的多；但是，如果使用的颜色更多的话，反而是 Notability 的切换方式更加顺畅。在讲比较复杂的几何题的时候，这点体现得尤为明显。

            因此，仅从书写体验来看，Notability 要比 GoodNotes 强太多，特别是讲几何题的时候。

            而从综合体验上来看，则是 GoodNotes 完胜。

            -

            我的选择

            +

            ☜我的选择

            只要有几何内容，那么一定使用 Notability。

            如果只讲代数内容，那就看当时的心情吧。不过我更喜欢 Notability 里面书写的感觉，因此继续用 Notability 的几率会更大一点吧。

            diff --git a/posts/2020-06-22-tkz-euclide-1/index.html b/posts/2020-06-22-tkz-euclide-1/index.html index 55f9975ef..f130673bd 100644 --- a/posts/2020-06-22-tkz-euclide-1/index.html +++ b/posts/2020-06-22-tkz-euclide-1/index.html @@ -284,8 +284,8 @@

            • 命名比较繁琐
            -

            定义点的方法

            -

            定义坐标点

            +

            ☜定义点的方法

            +

            ☜定义坐标点

            @@ -312,7 +312,7 @@

            -

            定义相对点

            +

            ☜定义相对点

            @@ -377,7 +377,7 @@

            -

            定义几何变换点

            +

            ☜定义几何变换点

            命令：\tkzDefPointBy[<option>](P) \tkzGetPoint{Q}

            批量变换：\tkzDefPointsBy[<option>](M,N,...){P,Q,...}

            （如后面的为{}，则缺省值为M',N',...）

            @@ -423,7 +423,7 @@

            定义向量变换点

            +

            ☜定义向量变换点

            命令：\tkzDefPointWith[<options>](<A,B>) \tkzGetPoint{C}

            @@ -562,7 +562,7 @@

            定义三角形的各中心

            +

            ☜定义三角形的各中心

            命令：\tkzDefTriangleCenter[<option>](<A,B,C>) \tkzGetPoint{P}

            @@ -648,7 +648,7 @@

            定义随机点

            +

            ☜定义随机点

            命令：\tkzDefRandPointOn[<local option>] \tkzGetPoint{P}

            @@ -684,11 +684,11 @@

            -

            获取点的方法

            +

            ☜获取点的方法

            获取一个点：\tkzGetPoint{A}，默认存储为 tkzPointResult

            获取多个点：\tkzGetPoints{A}{B}，默认存储为 tkzFirstPointResult 和 tkzSecondPointResult

            若只获取其中某一个，则可以使用 tkzGetFirstPoint{A} 或 \tkzGetSecondPoint{B}

            -

            绘制点的方法

            +

            ☜绘制点的方法

            绘制单个点：\tkzDrawPoint[<options>](A)

            绘制多个点：\tkzDrawPoints[<options>](A,B,C,...)

            自定义点的样式：\tkzSetUpPoint[<options>]

            @@ -718,7 +718,7 @@

            -

            标记点的方法

            +

            ☜标记点的方法

            标记单个点：\tkzLabelPoint[<options>](A){<text support tex>}

            标记多个点：\tkzLabelPoints[<options>](A,B,C,...)

            自动选择位置标记多个点：\tkzAutoLabelPoints[center=M, <options>](A,B,C,...)

            diff --git a/posts/2020-07-04-tkz-euclide-2/index.html b/posts/2020-07-04-tkz-euclide-2/index.html index b789af172..1f0fdc92a 100644 --- a/posts/2020-07-04-tkz-euclide-2/index.html +++ b/posts/2020-07-04-tkz-euclide-2/index.html @@ -274,8 +274,8 @@

            在上一节中，总结了各种定义特殊点的方法，这一节主要讲述如何定义各类直线形——直线，三角形和多边形．

            -

            定义直线形的方法

            -

            定义直线

            +

            ☜定义直线形的方法

            +

            ☜定义直线

            命令：\tkzDefLine[<options>](A,B) or (A,B,C) \tkzGetPoints{P}{Q} or \tkzGetPoint{P}

            @@ -340,7 +340,7 @@

            定义

            -

            定义切线

            +

            ☜定义切线

            @@ -359,7 +359,7 @@

            定义

            -

            定义三角形

            +

            ☜定义三角形

            命令：\tkzDefTriangle[<options>](A,B) \tkzGetPoint{C}

            @@ -403,7 +403,7 @@

            -

            定义特殊三角形

            +

            ☜定义特殊三角形

            命令：\tkzDefSpcTriangle[<options>](A,B,C)，对应的「心」存在 tkzPointResult 中

            @@ -461,7 +461,7 @@

            定义特殊多边形

            +

            ☜定义特殊多边形

            @@ -484,7 +484,7 @@

            定义正多边形

            +

            ☜定义正多边形

            命令：\tkzDefRegPolygon[<options>](A,B)

            @@ -512,8 +512,8 @@

            -

            绘制直线形的方法

            -

            绘制直线

            +

            ☜绘制直线形的方法

            +

            ☜绘制直线

            绘制一条直线：\tkzDrawLine[<options>](A,B)

            绘制多条直线：\tkzDrawLines[<options>](A,B C,D ...)

            自定义直线的样式：\tkzSetUpLine[<options>]

            @@ -543,7 +543,7 @@

            绘制 -

            绘制三角形中的特殊线段

            +

            ☜绘制三角形中的特殊线段

            @@ -566,24 +566,24 @@

            绘制线段

            +

            ☜绘制线段

            绘制一条线段：\tkzDrawSegment[<options>](A,B)（相当于 \draw (A)--(B)）

            绘制多条线段：\tkzDrawSegments[<options>](A,B C,D ...)

            -

            （定义并）绘制三角形

            +

            ☜（定义并）绘制三角形

            命令：\tkzDrawTriangle[<options>](A,B) \tkzGetPoint{C}

            -

            （定义并）绘制正方形

            +

            ☜（定义并）绘制正方形

            命令：\tkzDrawSquare[<options>](A,B) \tkzGetPoints{C}{D}

            -

            （定义并）绘制黄金矩形

            +

            ☜（定义并）绘制黄金矩形

            命令：\tkzDrawGoldRectangle[<options>](A,B) \tkzGetPoints{C}{D}

            -

            绘制多边形

            +

            ☜绘制多边形

            命令：\tkzDrawPolygon[<options>](A,B,C,...)

            -

            绘制多边形链

            +

            ☜绘制多边形链

            命令：\tkzDrawPolySeg[<options>](A,B,C,...)

            -

            填充直线形的方法

            -

            填充多边形

            +

            ☜填充直线形的方法

            +

            ☜填充多边形

            命令：\tkzFillPolygon[<options>](A,B,C,...)

            -

            标记直线形的方法

            -

            标记直线

            +

            ☜标记直线形的方法

            +

            ☜标记直线

            命令：\tkzLabelLine[<options>](A,B){<text support tex>}

            @@ -607,11 +607,11 @@

            标记

            -

            标记线段

            +

            ☜标记线段

            标记一条线段：\tkzLabelSegment[<options>](A,B)

            标记多条线段：\tkzLabelSegments[<options>](A,B C,D ...)

            选项和直线相同．

            -

            用符号标记线段

            +

            ☜用符号标记线段

            标记一条线段：\tkzMarkSegment[mark=<mark option>, <other options>](A,B)

            标记多条线段：\tkzMarkSegment[mark=<mark option>, <other options>](A,B C,D ...)

            diff --git a/search.xml b/search.xml index 8adbe8ac8..d233b842f 100644 --- a/search.xml +++ b/search.xml @@ -244,26 +244,26 @@ Linux 随学随记 (1) //posts/2014-03-01-Linux-Notes-1/ - 一、vim替换 + ☜一、vim替换

            ctrl+v 进入列模式,向下或向上移动光标,把需要注释的行的开头标记起来,然后按大写的I,再插入注释符,比如#,再按Esc,就会全部注释。或者也可以运行下面这些命令：

            :s/^/#            #用"#"注释当前行
            :2,50s/^/#        #在2~50行首添加"#"注释
            :.,+3s/^/#        #用"#"注释当前行和当前行后面的三行
            :%s/^/#           #用"#"注释所有行

            顺便说一下vim的替换，这个常用，已经牢记，其实和上面用命令注释多行是一样的，只不过是上面注释的命令里的"^"符号代表开始位置而已，在下面这些命令中，"s"代表替换，part1代表查找的内容，part2代表替换的内容，"%"代表所有行，"g"代表替换整行里所有的内容（如果不加"/g"则只替换每行第一个匹配part1的地方）。

            p.n.关于g的用法貌似在本系统相反，虽然各处都这么说。。。

            :s/part1/part2              #用part2替换当前行中第1个part1
            :s/part1/part2/g            #用part2替换当前行中所有的part1
            :%s/part1/part2             #用part2替换所有行中每行第1个part1
            :%s/part1/part2/g           #用part2替换所有行中所有的part1
            :2,50s/part1/part2          #用part2替换第2行到第50行中每行第1个part1
            :2,50s/part1/part2/g        #用part2替换第2行到第50行中所有的part1
            :.,+3s/part1/part2          #用part2替换当前行以及当前行后面的三行中每行第1个part1
            :.,+3s/part1/part2/g        #用part2替换当前行以及当前行后面的三行中所有的part1

            BTW:在替换时要注意，某些字符是需要转译的，如空格、括号等。

            -

            二、sed添加空行

            -

            （一）每行前后添加空行

            +

            ☜二、sed添加空行

            +

            ☜（一）每行前后添加空行

            sed G tmp                          #每行后面添加一行空行
            sed '{x;p;x;}' tmp                  #每行前面添加一行空行
            sed 'G;G' tmp                       #每行后面添加两行空行
            sed '{x;p;x;x;p;x;}' tmp             #每行前面添加两行空行
            sed 'G;G;G' tmp                     #每行后面添加三行空行
            sed '{x;p;x;x;p;x;x;p;x}' tmp        #每行前面添加三行空行

            依次类推，添加几行空行，就有几个G或者x;p;x

            -

            （二）如果行后有空行，则删除，然后每行后面添加空行

            +

            ☜（二）如果行后有空行，则删除，然后每行后面添加空行

            sed '/^$/d;G' tmp

            -

            （三）在匹配行前后添加空行

            +

            ☜（三）在匹配行前后添加空行

            sed '/shui/G' tmp               #如果一行里面有如果一行里面有shui这个单词，那么在他后面会添加一个空行
            sed '/shui/{x;p;x;G}' tmp        #如果一行里面有shui这个单词，那么在他前后各添加一个空行
            sed '/shui/{x;p;x;}' tmp         #如果一行里面有shui这个单词，那么在他前面添加一个空行
            sed '1{x;p;x;}' tmp              #在第一行前面添加空行，想在第几行，命令中的1就改成几
            sed '1G' tmp                    #在第一行后面添加空行，想在第几行，命令中的1就改成几
            -

            （四）每几行后面添加一个空行

            +

            ☜（四）每几行后面添加一个空行

            sed 'N;/^$/d;G' tmp                #每两行后面增加一个空行
            sed 'N;/^$/d;{x;p;x;}' tmp          #每两行前面添加一个空行
            sed 'N;N;/^$/d;G' tmp              #每三行后面增加一个空行
            sed 'N;N;/^$/d;{x;p;x;}' tmp        #每三行前面增加一个空行
            -

            （五）以x为开头或以x为结尾的行前后添加空行

            +

            ☜（五）以x为开头或以x为结尾的行前后添加空行

            sed '/^xi/G;' tmp             #以xi为开头的行后面添加空行
            sed '/^xi/{x;p;x;}' tmp        #以xi为结尾的行前面添加空行
            sed '/xi$/G;' tmp             #以xi为结尾的行后面添加空行
            sed '/xi$/{x;p;x;}' tmp        #以xi为结尾的行后面添加空行
            -

            三、sed删除行首空格

            +

            ☜三、sed删除行首空格

            如果确认只是空格：

            sed 's/^ *//' infile

            如果判断不清行首是空格还是制表符的话， 还可以用这个：

            @@ -379,25 +379,25 @@ Other helper scripts: dynamic ieevent

            正则表达式简介 //posts/2014-03-09-intro-for-regular-expression/ - 元字符 (grep, sed)

    -

    1. 句点元字符 .

    + ☜元字符 (grep, sed)

+

☜1. 句点元字符 .

通配元字符，匹配任意字符，除了换行符。

-

2. 反斜杠元字符 \\

+

☜2. 反斜杠元字符 \\

将其后面的一个字符解释为普通字符而不是元字符。

-

3. 星号元字符 \*

+

☜3. 星号元字符 \*

其紧挨着的之前的匹配有 0+ 次匹配机会。

-

4. 位置元字符 ^, $

+

☜4. 位置元字符 ^, $

^ 匹配字符串的最前面。
$ 匹配字符串的最后面。

-

5. 字符组元字符 [ ], 连字符元字符 -, 补字号 ^

+

☜5. 字符组元字符 [ ], 连字符元字符 -, 补字号 ^

[] 匹配方括号内的左右字符。
\- 连字符元字符仅在字符组元字符内有意义，表示一段连续字符范围。
^ 表示排除某些字符。

-

6. 范围字符串 \\{ \\}

+

☜6. 范围字符串 \\{ \\}

\\{n,m\\} 匹配 n~m 次。
\\{n\\} 匹配 n 次。
\\{n,\\} 匹配 n+ 次。

-

7. 特殊字符类

+

☜7. 特殊字符类

[[:alpha:]] 匹配任意字母字符，大写或小写
[[:alnum:]] 匹配任意字母数字字符，0-9, a-z, A-Z
[[:blank:]] 匹配空格或制表符字符
@@ -407,19 +407,19 @@ $ 匹配字符串的最后面。

[[:punct:]] 匹配任意标点
[[:space:]] 匹配任意空白字符: 空格、制表符、NL、FF、VT、CR
[[:upper:]] 匹配任意大写字符，A-Z

-

扩展元字符 (egrep, awk)

-

1. 加号元字符 +

+

☜扩展元字符 (egrep, awk)

+

☜1. 加号元字符 +

其紧挨着的之前的匹配有 1+ 次匹配机会。

-

2. 问号元字符 ?

+

☜2. 问号元字符 ?

其紧挨着的之前的匹配有 0~1 次匹配机会。

-

3. 竖线元字符 |

+

☜3. 竖线元字符 |

r1|r2 匹配 r1 或 r2

-

4. 括号元字符 ( )

+

☜4. 括号元字符 ( )

(r1) 匹配子字符串r1(常与 * + ? | 等连用)。

-

5. 范围元字符 { }

+

☜5. 范围元字符 { }

与上面的范围元字符类似。

-

固定元字符 (grep)

-

1. \\< \\>

+

☜固定元字符 (grep)

+

☜1. \\< \\>

严格匹配一个词(后面必须直接跟一个空格或标点符号)。

参考:

    @@ -481,15 +481,15 @@ $ 匹配字符串的最后面。

    Linux 随学随记 (2) //posts/2014-03-19-Linux-Notes-2/ - 一、vim切换tab + ☜一、vim切换tab

    向后 :tabn
    向前 :tabp

    -

    二、vim与系统剪贴板的交互 (仅限于gvim!!!)

    +

    ☜二、vim与系统剪贴板的交互 (仅限于gvim!!!)

    "+y
    复制到剪贴板

    "+p
    从剪贴板粘贴

    -

    三、vim重复命令

    +

    ☜三、vim重复命令

    .
    重复上次操作，前面可加次数

    :[range]g[lobal]/{pattern}/[cmd]
    @@ -498,13 +498,13 @@ $ 匹配字符串的最后面。

    在 [range] 界定的_不_匹配模式 {pattern} 的文本行上执行 Ex 命令 [cmd] （缺省是 :p）。

    :[range]v[global]/{pattern}/[cmd]
    等同于 :g!。

    -

    四、vim中tab与空格的转换 (慎用！！！)

    +

    ☜四、vim中tab与空格的转换 (慎用！！！)

    :ret[ab][!] [new_tabstop]
    将制表符<TAB>转换为空格符，数量由[new_tabstop]指定。若为空或为0，则使用默认的tabstop。
    若有!，则将空格序列转化为<TAB>。

    -

    五、查看中文帮助

    +

    ☜五、查看中文帮助

    man -L zh_CN.utf8 command

    -

    六、查看日志

    +

    ☜六、查看日志

    journalctl [OPTIONS...] [MATCHES...]

    Options:

    -f --follow        Follow the journal
       --since=DATE    Start showing entries on or newer than the specified date
       --until=DATE    Stop showing entries on or older than the specified date
    -l --full          Do not ellipsize fields
    -u --unit=UNIT     Show data only from the specified unit
       --disk-usage    Show total disk usage of all journal files
    @@ -555,28 +555,28 @@ $ 匹配字符串的最后面。

    Linux 随学随记 (3) //posts/2014-04-20-Linux-Notes-3/ ^[ 使用Ctrl-V Esc生成（ASC ASCII值）

    -

    二、开机自启动文件

    +

    ☜二、开机自启动文件

    系统: /etc/rc.d/rc.local
    用户: $HOME/.config/autostart/

    -

    三、sed 替换中使用变量

    +

    ☜三、sed 替换中使用变量

    sed替换命令用双引号" " 而不是单引号 ' '，然后里面直接用 $VARIABLE 就可以了。

    -

    四、vim 保存 root 权限文件

    +

    ☜四、vim 保存 root 权限文件

    :w !sudo tee %
    -

    五、vim 跳转

    +

    ☜五、vim 跳转

    Ctrl+] = Ctrl+left\_click
    Ctrl+t = Ctrl+right\_click
    -

    六、从视频中提取音频

    +

    ☜六、从视频中提取音频

    运行以下命令之一：

    mencoder -oac mp3lame -ovc copy -of rawaudio 01.flv -o 01.mp3
    ffmpeg -i 01.flv -f mp3 -vn 01.mp3
    ffmpeg -i 01.flv -acodec libmp3lame -vn 01.mp3
    -

    七、交换 CapsLock 键和左 Ctrl 键

    -

    1. 使用 gnome-tweak-tool

    +

    ☜七、交换 CapsLock 键和左 Ctrl 键

    +

    ☜1. 使用 gnome-tweak-tool

    选择 Typing > Ctrl key position > Swap Ctrl and Caps Lock 即可。

    （要求 gsettings get org.gnome.settings-daemon.plugins.keyboard active 的值为 true，故在 gnome 中使用 fcitx 时此方法无法使用）

    -

    2. 使用 setxkbmap 命令

    +

    ☜2. 使用 setxkbmap 命令

    运行

    setxkbmap -option ctrl:swapctrl

    或者在 ~/.zshrc 中添加如下内容：

    # Swap Ctrl_L and CapsLock
    if [[ -n $DISPLAY ]]; then
        setxkbmap -option ctrl:swapctrl
    fi
    -

    八、交换 Escape 键和右 Alt 键

    +

    ☜八、交换 Escape 键和右 Alt 键

    这时，前面两种方法都没有现成的选项可以使用，因此我们使用xmodmap

    建立 ~/.xmodmap，添加如下内容：

    ! 交换Escape和Alt_R
    clear mod1
    keycode   9 = Alt_R NoSymbol Alt_R
    keycode 108 = Escape NoSymbol Escape
    add    mod1 = Escape Meta_L
    @@ -791,10 +791,10 @@ $ 匹配字符串的最后面。

    Linux 随学随记 (4) //posts/2015-08-20-Linux-Notes-4/ - mplayer 循环播放歌曲 + ☜mplayer 循环播放歌曲 
    mplayer -loop n ***.mp3

    n 表示重复次数，0 表示无限循环。

    -

    vim 搜索大小写匹配

    +

    ☜vim 搜索大小写匹配

    set ignorecase
    忽略正常字母的大小写

    set smartcase
    @@ -803,12 +803,12 @@ $ 匹配字符串的最后面。

    强制忽略大小写

    \C
    强制匹配大小写

    -

    cd 转移

    +

    ☜cd 转移

    当两个目录路径只有一个区别（比如一个单词不同）时，这个是从旧目录切换到新目录的一种简单方法。

    cd directorya directoryb

    第一个参数是当前目录路径中需要替换的参数，第二个参数是替换字符串。

    # 要从v7目录 切换到v8目录，只需键入cd v7 v8
    /programs/v7/reports/monthly > cd v7 v8
    /programs/v8/reports/monthly >

    # 如果历史上的每年每月都有一个对应目录，cd 转移允许从一年跳到另一年
    /hist/2010/april/reports > cd 2010 2011
    /hist/2011/april/reports >

    # 切换月份目录
    /hist/2011/april/reports > cd april may
    /hist/2011/may/reports >
    -

    vim 快速缩进

    +

    ☜vim 快速缩进

    >>
    向右缩进

    <<
    @@ -819,7 +819,7 @@ $ 匹配字符串的最后面。

    文本靠左

    :ri (right)
    文本靠右

    -

    vim 编辑多个文件

    +

    ☜vim 编辑多个文件

    :n
    编辑下一个文件

    :N
    @@ -836,7 +836,7 @@ $ 匹配字符串的最后面。

    显示正在编辑的文件名

    :f new.txt
    重命名当前文件为 new.txt

    -

    vim 加密文件

    +

    ☜vim 加密文件

    $ vim -x file1
    创建加密文档 file1

    set cm=blowfish2 (newest)
    @@ -856,7 +856,7 @@ $ 匹配字符串的最后面。

    //posts/2018-10-05-refactor-blog/ 利用十一的时间，重新整理了一下个人博客的页面。

    看了一下，上一篇文章还是在 2015 年 8 月，到现在已经有三年多了，我真是。。。唉

    -

    入坑 Linux

    +

    ☜入坑 Linux

    记得最早接触 Linux 是在 2012 年，当时是上计概课要写代码，于是心血来潮地在电脑上安装了 Fedora（话说那时 Fedora 的版本号才是 17），然后就掉进了 Linux 的坑里一去不复返。而注册 Github 的时间是在 2013 年 8 月 15 日，具体什么原因已经不记得了。。。

    后来想找一款能够听歌的软件，那时网易云音乐还没有出 Linux 版，FZUG 也还没有成立，我在网上偶然间发现了一款可以听歌、而且还是可以听网易云音乐的软件，那就是 kwplayer。看了下 commit，第一次提交是在 2013 年 8 月 29 号：inited。而我应该是在10月份的时候发现的，至于在哪儿找到的已经完全不记得了。

    还记得第一次提交 Issue 是 #11 和 #12，当时只是发现 Github 上有个可以提交 Bug 的地方，于是就随手开了两个 Issue，没想到当天都得到了详细的回复，并在三四天后都得到了解决：9c21c4f 和 90a02a8。

    @@ -864,24 +864,24 @@ $ 匹配字符串的最后面。

    刚又看了一下，我在 copr 上最早的一次 build 是在 2014 年 3 月 31 号，而我能够找到的最早介绍 copr 的中文资料是 Fedora Copr，现在的 copr 网址上线是在 2013 年 12 月， FZUG 的 mosquito 也是从 2014 年 6 月才开始建立他的 myrepo 的，话说国内比我更早开始使用 copr 的应该不多吧。。。

    话说那时 XuShaohua 的 Github 账户名还是叫 LiuLang，后来他去了 Deepin，网易云音乐的 Linux 版他应该是作者之一。

    当然后来因为各种原因我不再维护我的 copr 仓库，包括犯懒（反正有了 mosquito 的 myrepo 源，以及后来的 FZUG 源）、Fedora 的习惯性跳票让我非常不爽（这是在找借口么。。。）等等，加上后来我从 Fedora 转到了 Arch Linux 上（大概是 2015 年暑假吧），这个仓库就彻底荒废了。

    -

    博客的建立

    +

    ☜博客的建立

    最早的一些记录文章我都发在了 QQ 空间里，显得格格不入的。后来就想找一个合适的可以放这些东西的地方。

    期间考虑过 WordPress，不过觉得比较麻烦，还需要有地方托管；考虑过一些博客托管平台，不过没有找到太喜欢的；觉得 Blogger 不错，但又被 W 掉了。。。

    后来看到阮一峰的的介绍文章：搭建一个免费的，无限流量的Blog----github Pages和Jekyll入门，觉得这是个不错的选择，于是就开始折腾 Github Pages。作为一个审美盲与选择困难症患者，在众多的 Jekyll 主题中完全不知道该怎么选择，于是就随手选了一个自己觉得比较简洁明了的，也就是 ellochen 的博客主题，直接 copy 过来就用了。

    嗯，说好听点叫简洁，说不好听呢就叫难看。。。😭

    话说 ellochen 的 Github 账号已经不存在了，貌似是已经注销了，但好在还存留有 Fork（话说这就是 Fork 相较于 Star 的好处吧，我之前也有一些被删的 repo 是这么存留下来的，嗯，我指的不是 phuslu 大神，指的是垠神。。。），豆瓣小站 Gode-Mode 貌似是他建立的。

    -

    博客的重构

    +

    ☜博客的重构

    在那之后，博客的页面也小幅修改过几次，但大的主题方面都没有变过。曾经有想过重新选一个更好看的主题，但碍于时间原因一直没有去做。
    期间也在其他的 Page 中也曾经尝试过其他的主题，比如 HMFAYSAL OMEGA，整体不错，但有些华而不实了；也试过 coleslaw，但又太过简单了。

    直到第一次看到 NexT 主题，就像这个，真的把我惊艳到了，流畅的载入动画，自动展开并追随页面更新的目录，再加上简洁没有多余内容的页面，完全符合我对自己的博客的预期啊。于是最终决定就用这个主题了。

    不过 NexT 的主页 theme-next.org 目前显示 Under Construction，没有最新的文档只有根据旧文档、网上的教程还有源代码自行摸索，网上很多教程和解决方案都是过时的，只好自己边做边摸索了。

    然后发现，NexT 的配置又有一大堆，这简直就是在为难选择困难症的患者啊。。。

    -

    方案选择

    +

    ☜方案选择

    NexT 主题总共有 4 种方案：Muse，Mist，Pisces 和 Gemini，为选哪一个我纠结了有近 1 个小时，对比各个博客样例，又在本地挨个试了好几遍，去找它们的不同点。最后发现，Muse 和 Mist 可以算一类，目录都在右侧，可以选择动态载入，也可以选择直接显示或隐藏。Muse 的布局相对宽松一点，顶部标题栏也比较大；Mist 相对紧凑一点，所有标题和标签都放在了最顶上的一栏里。而 Pisces 和 Gemini 又可以算一类，目录和标题栏恒在左边，右边是正文，Pisces 的页面和前两个比较相似，纯黑白布局，连贯性很强；而 Gemini 则更传统一些，每篇文章之间分的清清楚楚。

    最终我选择了 Gemini 方案，原因是我觉得目录的动态载入虽然显得比较高级，但文章整体左移的那一下还是显得有些晃眼了，而且目录在右、正文在左的布局让我有些不太习惯；而不用 Pisces 的原因则是文章之间没有明显的分界线，文章中的小标题也不是很显著，于是最后暂定了 Gemini 方案。（嗯，暂定，说不定那天我有回来打自己的脸了）

    -

    插件

    +

    ☜插件

    应该说，折腾这些插件是最费时间的，不但要面临各种选择，还要面临选完了发现用不了然后又得换的状况。。。有些插件本身有问题，需要手动修改才能使用，有些则根本不知道该怎么改。。。

    -

    数学

    +

    ☜数学

    数学公式的渲染最开始是打算用 MathJax，和以前保持一致就可以了。本来没有问题，但后来在利用 Travis-CI 自动部署的时候发现，远程安装的 pandoc 的版本不对，没有办法正确渲染，又找不到解决的办法，于是只能弃之而选择 katex。katex 其实我之前就听说过，据说比 MathJax 要快很多（公式一多的话 MathJax 确实太慢了），不过现在 0.10.0-rc1 的版本。由于前面的几篇文章里面还没有数学公式，我还没有真正试验过。

    另外吐槽一句，npmjs 上的 hexo-renderer-markdown-it 的版本太老了，直接安装 Github 上的版本就可以了，这个插件已经更新了，但仓库里的模块还没有更新。

    $ cat package-lock.json | jq .dependencies.\"hexo-renderer-markdown-it\"
    {
      "version": "github:hexojs/hexo-renderer-markdown-it#89a5abe048f5a43b42328ad012fb445ded6e665b",
      "from": "github:hexojs/hexo-renderer-markdown-it",
      "requires": {
        "lodash.assign": "^4.2.0",
        "markdown-it": "^8.4.1",
        "markdown-it-abbr": "^1.0.4",
        "markdown-it-cjk-breaks": "^1.1.0",
        "markdown-it-container": "^2.0.0",
        "markdown-it-deflist": "^2.0.3",
        "markdown-it-emoji": "^1.4.0",
        "markdown-it-footnote": "^3.0.1",
        "markdown-it-ins": "^2.0.0",
        "markdown-it-mark": "^2.0.0",
        "markdown-it-sub": "^1.0.0",
        "markdown-it-sup": "^1.0.0",
        "sluggo": "^0.2.0"
      }
    }
    @@ -890,30 +890,30 @@ $ 匹配字符串的最后面。

    才行。

    不过我不喜欢一点进来就到文章半截的模式，所以对我来说没有什么影响，还是乖乖地写 description 吧。

    另外这一部分文档严重不足，只能看自带 wiki 和 markdown-it 的例子来写。

    -

    评论

    +

    ☜评论

    关于评论模块，暂时还是采用了 Disqus 的评论系统，好处是不用折腾，因为是以前就配置好的，直接用就可以了，而且功能也足够强大，不过也有几个问题：

    • 必须登录才能评论。不过我看到有文章说 Disqus 现在支持匿名评论了，有时间再去看一下。
    • 被 W。这个是最主要的问题，目前看来解决方案有两个，一个是利用其他的服务器转发一下，例如 fooleap/disqus-php-api，另一个是换用其他的评论系统，比如 gitment/gitalk 或者 Valine，不过这次没有时间在折腾了，留待有时间再解决吧。
    -

    Pangu

    +

    ☜Pangu

    这是一个不错的模块，来自与 pangu.js，可以在英文和中文之间自动加入空格，让中英文的混排看起来更舒服一下。

    -

    Han

    +

    ☜Han

    汉字排版模块，可以调整中文页面的布局，提供了着重号、拼音上标等功能，来自 Han。 我比较看中的着重号的功能，因为在英文中，强调使用斜体表示的，就像emphasize这样，而中文一旦斜体就会变得非常难看。因此如果用着重号的话会好看很多。

    不过这个插件折腾了我足足半天，原始的 css 文件能够加着重号，但是会把页面变得非常拥挤；theme-next-han 里的 css 文件倒是不会改变页面布局，但是着重号的功能却没有了。于是我去翻了源代码，然后发现，为了解决 #1645，#1780 把很多有用的内容也删掉了，问题倒是解决了，但剩下的基本上就没有什么作用了。于是我又去翻了 Han 的源码，发现只要把 well-knit 模块禁掉就可以了，于是又生成了新的 han.min.css 文件，使之能够正常显示。

    话说我这篇文章写了得有两天的时间，中间有大一部分时间就是去弄这个了。

    -

    canvas-nest

    +

    ☜canvas-nest

    背景动态渲染，来自 canvas-nest.js。以前看别人的博客遇到这个觉得很好玩，于是这次自己也就加上了。

    不过遗憾的是，Gemini 的博文部分是不显示背景的，好像是把底层背景覆盖了。试了一下四种方案，好像只有 Gemini 是这个样子。。。

    -

    note

    +

    ☜note

    可以插入提示块，效果如 在hexo-NexT中插入note提示块 中所示，还是很有用的。不过在文档中完全没有提到，要不是仔细翻看配置文件根本发现不了。

    -

    reading-progress

    +

    ☜reading-progress

    可以在最上方显示阅读的进度条，以前也用过，这次也就加上了。

    -

    自动部署

    +

    ☜自动部署

    关于 GitHub Pages 的部署，我将源代码存储在 source 分支，然后利用 Travis-CI 自动构建并部署到 master 分支。具体看参见 使用Travis CI自动部署Hexo博客，基本上 copy 过来就可以了。

    另外，我的主题是 Fork 的 Next 的主题，然后在上面进行修改，在用 git submodule 引入进来，结果好几次自动部署失败都是因为修改完主题之后忘记 push 了。。。

    而 GitLab Pages 的部署则要简单许多，只需要照着官方的例子写一个 .gitlab-ci.yml 文件就可以。

    -

    待改进的部分

    +

    ☜待改进的部分

    还有一些部分模块这次没有时间弄了，留着下次有时间再解决吧。一部分现在能想到的我先列举在这里，省得以后又忘了：

    • 字数统计
      • @@ -991,16 +991,16 @@ $ 匹配字符串的最后面。

      //posts/2018-10-29-Hexo-NexT-1/ 最近一个月，空余的时间都用来折腾这个博客了。作为一个本身对前端一窍不通的人，也是都能对照文档和其它的博客来修改自己博客的配置，真是心累的不行。虽然很多问题在网上都能够找到比较好的解决方法，但也有很多内容完全是过时的，也有一些藏得比较深，不是那么好找。

      于是决定趁着还有印象的时候，把自己折腾的过程记录下来，不要像之前一样，自己写的东西，过了一年之后自己都记不起来当时是怎么想的了。。。

      -

      包管理

      +

      ☜包管理

      开始一直在使用 npm 来安装依赖包，还为是否应该把 package-lock.json 添加的 git 仓库查找了半天。直到很偶然的一次，突然发现还可以用 yarn 来管理一来包，看了一下感觉不错，于是决定切换到 yarn。

      然后发现，我的 git 仓库里居然已经有了 yarn.lock 这个文件，什么？？？

      再去搜索才发现，yarn 很早就作为 hexo 的默认包管理器了，只要系统有安装 yarn 的话，就采用 yarn 而不是 npm 作为包管理器。

      然而在网上能够找到的大部分教程中，安装依赖包还都是用 npm，而且还都带着 --save 的参数。我开始不知道有什么作用，然后一搜索，发现这个参数早就过时了，从 npm 5.0.0 之后就已经不需要了，只是为了兼容性还保留着这个参数。

      -

      启用搜索功能

      +

      ☜启用搜索功能

      参见 Hexo NexT 魔改系列之二 ── 搜索篇

      -

      启用评论功能

      +

      ☜启用评论功能

      参见 Hexo NexT 魔改系列之三 ── 评论篇

      @@ -1020,7 +1020,7 @@ $ 匹配字符串的最后面。

      Next主题本身集成了三种搜索插件：Swiftype，Algolia和本地搜索。

      Swiftype只能试用14天，Aloglia好像也开始收费了（更新：社区版免费，但有限制），能有的就只有本地搜索了。

      不过好在目前博客的文章还不算多，本地搜索还是可以承受的。

      -

      启用本地搜索

      +

      ☜启用本地搜索

      启用本地搜索的方法很简单，先安装hexo-generator-search。

      注意不是hexo-generator-searchdb，前者来自于wzpan/hexo-generator-search，而后者来自于theme-next/hexo-generator-searchdb。后者已经一年多没有更新了，而前者还在更新，并且增加了仅搜索标题的功能。

      yarn install hexo-generator-search
      @@ -1037,14 +1037,14 @@ $ 匹配字符串的最后面。

    • field是搜索的范围，默认是post，即只搜索发布的文章，也可以改为page（搜索页面，即 page 类型的页面，不含发布的文航）或者all（搜索全部）
    • content是指是否搜索文章的内容，默认为true，如果改为false的话则只搜索标题、说明等头部内容，不搜索文章的正文。
    -

    解决能够正常搜索，但无法正常跳转的问题

    +

    ☜解决能够正常搜索，但无法正常跳转的问题

    这样配置完了之后，我发现搜索功能没有问题，但搜索出来的结果没有办法正确跳转。查看了一下生成的search.xml，发现生成的链接多了一个/，就像这样：

    <link href="//posts/2018-10-24-prime-of-the-form-6k1/"/>
    <url>//posts/2018-10-24-prime-of-the-form-6k1/</url>

    不过在各个教程中都没有找到相应的解决方法，最后在翻issue的时候发现了一个方法，就是在搜索的时候直接去掉一个/就好了。
    修改localsearch.swig的源代码：

    // var articleUrl = decodeURIComponent(data.url);
    var articleUrl = decodeURIComponent(data.url).substring(1);

    真的是简单粗暴啊。。。

    -

    启用Algolia搜索（待更新）

    +

    ☜启用Algolia搜索（待更新）

    最近发现，Agolia搜索的社区版还是免费的，不过暂时本地搜索已经够用了，就不再折腾搜索功能了，留待以后有时间再折腾吧。

    参见主题自带的文档：Algolia 搜索。

    @@ -1098,7 +1098,7 @@ $ 匹配字符串的最后面。

    关于gitment的安全性的讨论，参见imsun/gitment和Gitment 的安全性争议。

    -

    添加utterances评论系统

    +

    ☜添加utterances评论系统

    在搜索gitment的时候，发现了一片utterances的介绍文章，发现这是一个好东西，同样是基于Github的issue系统，但由于是基于Github App构建的，权限控制的颗粒度要细一些，可以只具有读写issue的权限，不需要读写代码的权限，而且可以只在需要的repo中安装。这才是一个合格的评论系统应该有的权限嘛。

    utterances的权限
    DisqusJS
    @@ -1117,9 +1117,9 @@ DisqusJS

    这样就显得好看多了。

    utterances的最终效果图

    utterance默认不会创建issue，而是会在第一次评论的时候自动创建相应的issue，这个也比gitment好用不少。

    -

    使用 Disqus PHP API 进行反代理

    +

    ☜使用 Disqus PHP API 进行反代理

    待更新

    -

    使用 Valine 作为评论系统

    +

    ☜使用 Valine 作为评论系统

    参见：
    Valine: 独立博客评论系统
    @@ -1144,7 +1144,7 @@ DisqusJS

    后来看了太くないお的介绍，感觉我现在的牌风和太くないお很相似，于是决定看他的牌谱。

    由于太くないお是天凤位，升天凤位之前的牌谱可以从天凤官网上直接下载下来。太くないお升天凤位前凤南对战3749战，当然不可能全看，于是我选择了他十段升天凤位的牌谱来看，一共301战。这个时候他的水平也相对比较稳定了，牌谱看起来失误率也会小一些。

    打谱的时候，很开心地发现大部分时候自己的选择都是对的，当然也有一些没有注意的地方，这里拿出来分析一下。

    -

    副露加速

    +

    ☜副露加速

    东2局0本场5巡目

    这是东二局。东一局胡了一个立直一发2600点，东二局下家和对家一上来就开始副露，才到5巡两家就都三副露了。基本上面对三副露，就可以认为都已经听牌了。这时上家打了7p。

    这里太くないお直接吃了这个7p后付，应该主要是考虑手牌的速度。如果不后付的话，这个发很难碰出来，因为发是dora，很有可能直接被人捏死（比如上家就捏了一张发）。所以等到碰出发再考虑听牌，就有些晚了。

    @@ -1152,7 +1152,7 @@ DisqusJS

    东2局0本场9巡目

    不过最终还是先摸3m点了对家。不过3m基本上就是铳双东2000点（除非对家有两张3s），而自家是发dora4满贯的听牌，对日还是没有问题的。

    下家因为先打过1m，后面如果留1m打6m的话会有振听，从而逃过一劫。。。

    -

    牌效率问题

    +

    ☜牌效率问题

    东3局0本场9巡目

    这是东三局9巡，一向听之后上来3s。这里我第一反应是3s模切，但太くないお选择打掉了4p。这是牌效率的问题。

    天凤/牌理

    @@ -1160,7 +1160,7 @@ DisqusJS

    何切る解答機

    如果去查一下kobalab的何切，也会发现，打4p的权重是最高的。

    实际上，接下来下家立直，然后自家摸上8p听牌，因为只有一张4p的两筋，加上自己是四位，dora东也已经出了，所以就直接追立了。最终自摸0m，门胡到了断平dora1的7900点，一举逆一。

    -

    谋求连庄

    +

    ☜谋求连庄

    东4局0本场7巡目

    这是东四局的亲家，7巡是已两向听，进到9m后我的第一反应是打4m，而太くないお则打掉了东。

    这个是简单的牌效率的问题，打4m损失了5m的进章。而且这里是平和dora1的2向听，这时对家和上家还在打幺九牌，下家的牌要快一些（事实上已经一向听了），加之自己是亲家，这里不留字牌全速进攻是没有问题的。

    @@ -1169,17 +1169,17 @@ DisqusJS

    这里上家打了3p，于是吃了打9m，谋求兜听连庄。

    东4局0本场13巡目

    然后上家又打9p可以吃，但是7p并不是安牌，而且是dora周边的牌，没法打出去。但这里需要注意到的是，8s是安牌可以打，于是可以吃到9p打8s单调7p。这里特别需要注意，我们需要的是听牌连庄，而不是胡牌，所以不用考虑听牌的形状，只要不打危险牌然后争取流局听牌就可以了。

    -

    别忘了被吃碰的牌

    +

    ☜别忘了被吃碰的牌

    南2局0本场12巡目

    南二局，处于四位的上家6巡立直，太くないお随即弃胡。到了12巡的时候，手头没有绝安牌了。于是太くないお打了4p。

    我的第一反应是，4p只是半筋啊。然后再仔细一看，3p出了3枚，5p出了3枚，6p出了2枚，所以4p是1p的半筋+的5p的薄壁，安全度还是不错的。

    再看了一会儿，发现上家打过7p我吃了，所以4p实际上是个两筋。。。

    为什么每次找牌都会放掉打出去被吃碰掉的牌，诶。。。

    -

    拆边张搭子

    +

    ☜拆边张搭子

    南3局0本场5巡目

    进到6p，于是四连型5678p变成好型搭子，于是要拆掉一个愚型搭子。那么拆边张的优先度肯定是要大于拆坎张的。而且在拆边张的时候，一般是由内向外打，先打2p再打1p，因为到后面，无筋1p的铳率是要低于2p的。

    而我的第一反应还是打1p，平时在打牌的时候也会犯这样的错误，每次都是刚打完就发现打错了。。。

    -

    总结

    +

    ☜总结

    回顾这一个半庄，基本上出现失误的地方都是在细节的判断上，这也是后面打牌是需要加强的地方．

    ]]> @@ -1215,13 +1215,13 @@ DisqusJS
    太流牌谱学习笔记（二） //posts/2019-09-10-Tai-2/ 今天又看了一些太くないお的牌谱，发现自己的牌效和攻守判断有不小问题。

    -

    两面·顺子⚪单骑

    +

    ☜两面·顺子⚪单骑

    东3局1本场7巡目

    上家打0p，这里太くないお吃了，打1m。

    这里1m比打2m略优，因为245667m可以视为一个三面进章的好型，进358m都可以形成两个面子。

    之前看《琴南幼儿园笔记本》时，里面也提到了这种牌型，就是“两面·顺子⚪单骑”是一个好型，这里即是一个例子

    两面·顺子⚪单骑

    -

    对子的处理

    +

    ☜对子的处理

    南1局1本场6巡目

    这里我的第一反应是模切7p，而太くないお则是手切了4m。

    这里切4m并不损失5m的进章，保留7p则可以保留做7对的可能性。

    @@ -1231,12 +1231,12 @@ DisqusJS

    而根据“双雀头最强”的理论（2ヘッド理論），这里保留7p和2s两个雀头牌效是最高的。

    南1局1本场9巡目

    之后又进到了7m，这里切7p比且切7m略好一点。因为这里打掉7p之后，减少了2枚7p的进张，多了67m共3枚进张。另外需要注意的是，这时58p已现4张，虽然还是两面听牌，但已经和愚型听牌差不多了。

    -

    防守的意识

    +

    ☜防守的意识

    南2局0本场10巡目

    2巡前下家碰4s打红中，然后上家碰了中打6m。这里我还在考虑切9p进攻的时候，太くないお直接打了8p防守。

    仔细想一下，已经到了中盘，下家断幺副露后切了字牌，之后一直模切，应该有50%的概率听牌，至少也是一向听。上家也是类似的情况。而这里自家的手牌还是2个愚型的3向听，因此这里的确应该考虑弃胡了。

    实际上，这里下家是断幺Dora2的一向听，而上家已经是中Dora2听牌。

    -

    总结

    +

    ☜总结

    从自己打牌的经历来看，对于防守的判断还停留在有人立直才防守的层面上，对于其他情况，比如副露的防守还不是很有意识。

    另外，当自己的牌不好的时候，就应该提前考虑弃胡，而不是强行进攻，这点在之后打牌的时候务必要注意。

    ]]>     @@ -1253,24 +1253,24 @@ DisqusJS
    牌谱反思（二） //posts/2019-09-14-Paipu-review-2/ 今天终于有时间，打了两把雀魂，吃了两个二。

    -

    遇dora弃胡

    +

    ☜遇dora弃胡

    南2局0本场12巡目

    上家6巡立直，自家随后听牌，听的是上家的现物47p，而且只有平和一番，dora 2s一张未现，于是没有立直，准备看看有没有可能偷到现物。

    之后几巡都没有摸到太危险的牌，打过一次筋3s，然后摸到了dora 2s。何切？

    对家在一发巡的时候打过5s，所以2s不可能铳两面。只能铳坎13s、2s对碰或者2s单骑。一旦铳到后两个，则至少是立直dora2/3起，至少3900甚至很可能满贯，而自家只是1000点手牌，显然达不到对日的标准，于是这里只能选择弃胡。

    南2局0本场18巡目

    实际上，上家正是单听2s，如果点了就是立直七对dora2的满贯12000点，那么就给了三位逆二的机会。

    -

    弃胡or进攻

    +

    ☜弃胡or进攻

    东1局0本场11巡目

    这里面对下家十二落抬，摸上生牌9s，是否要弃胡？

    我当时的选择是弃胡，最终流掉了这一把。但事后仔细想一下，下家虽然是四副露听牌，但如果打9s点了，只会是1600点的牌。而自家是平和dora3的一向听，满贯的手牌，因此完全可以和下家对日。

    -

    进攻or弃胡

    +

    ☜进攻or弃胡

    东4局0本场7巡目

    这里连送上家三个碰牌，之后上家打东。这里是碰东进攻，还是直接弃胡？

    我当时的选择是碰东进攻，主要考虑到自家是东dora dora，3900的牌，而上家很可能只是一个对对。当然上家也有可能是对对dora2/3的牌，毕竟8s一张未现。这里其实是有些冲动了，因为连续喂了上家三张牌，心情有些不好，于是就直接冲上去了。

    东4局0本场13巡目

    不过最终还是自摸了2000-1000，赢下了这局。（而上家还在1向听。。。）

    -

    1安≈无安，无安=全攻

    +

    ☜1安≈无安，无安=全攻

    南3局0本场7巡目

    下家立直，这里只有一张5s是安牌，是打5s弃胡，还是直接进攻？

    这里自家3位，下家4位，下家立直后与自家只差1400点，如果下家胡到的话，自己就会四位进入南四，那么All last就必须要胡牌才能避四。

    @@ -1279,7 +1279,7 @@ DisqusJS

    好在发牌姬眷顾，下一巡就摸上了绝张6s，打6m立直后，下家一发巡摸上2s，点了一个5200。

    南3局0本场8巡目
    南3局0本场8巡目

    这里实际上按照牌效应该切6/9m，切6m保dora，切9m有断幺，实际上是番数一样的。从安全度上来说，切6m的危险度更高一点，但切9m点了的话会损失会更大一些。但考虑到断幺之后可以吃碰，这里感觉切9m会更好一些。

    -

    什么叫做“发牌姬搞我”（下家）

    +

    ☜什么叫做“发牌姬搞我”（下家）

    东2局2本场7巡目
    东2局2本场12巡目

    上家立直，下家摸到第四张4p，然后开始弃胡。

    五巡之后，下家已经没有安牌了，于是考虑能否打一个半筋4p，然后一搏四巡——然后就点了一个坎4p。。。

    @@ -1366,12 +1366,12 @@ DisqusJS
    2019 Canada MO 第2题 //posts/2019-12-10-2019-Canada-MO-P2/ - 题目 + ☜题目

    设 aa、bb 为正整数，且满足 a+b3a+b^3 能被 a2+3ab+3b2−1a^2+3ab+3b^2-1 整除．求证：a2+3ab+3b2−1a^2+3ab+3b^2-1 能被一个大于 11 的整数的立方整除．[1]

    -

    分析

    +

    ☜分析

    根据题目中 a2+3ab+3b2a^2+3ab+3b^2 的形式，容易看出应该和 (a+b)3(a+b)^3 有关系，从而可以证出 (a+b)3(a+b)^3 能被 a2+3ab+3b2−1a^2+3ab+3b^2-1．

    而本题的难点在于如何证明 a2+3ab+3b2−1a^2+3ab+3b^2-1 有次数不小于 33 的因子．这里使用了反证法，并对要证明的结论进行了加强，把证明 a2+3ab+3b2−1a^2+3ab+3b^2-1 中素因子的次数大于 22，转化为证明其大于 (a+b)(a+b) 中对应的素因子的次数的 22 倍，从而更容易导出矛盾．

    -

    解答

    +

    ☜解答

    设 T=a2+3ab+3b2−1T=a^2+3ab+3b^2-1，则

    (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a(a2+3ab+3b2)+b3=a(T+1)+b3=aT+(a+b3) \begin{aligned} \left( a+b \right)^3 &= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\ @@ -1429,9 +1429,9 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

    显然，这个学生的错误是很明显的．但这也带来了一个问题：如果按照学生所想的，那么面积应该是多少？

    那么首先需要确定的是，它的边界到底是什么？

    -

    边界曲线

    +

    ☜边界曲线

    我们只考虑第一象限的情况．

    -

    解法一

    +

    ☜解法一

    这个区域的边界，应该是取最靠外的点，或者是，最靠上的点．于是我们可以想办法求出，在每一个 xx 处，对应的 yy 的最大值．

    设线段的方程为

    xa+y3−a=1(1)\frac{x}{a}+\frac{y}{3-a}=1 \tag{1} @@ -1525,7 +1525,7 @@ H400000v40H845.2724 s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7 c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z M834 80h400000v40h-400000z'/>​.(2)

    -

    解法二

    +

    ☜解法二

    实际上，这个边界是所有满足条件的线段的包络线．

    设线段所在直线的方程为

    F(x,y,a)=(3−a)x+ay−a(3−a)=a2−(x−y+3)a+3x=0\begin{aligned} @@ -1546,7 +1546,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

    其图像如下：

    可以验证，方程 (3)(3) 和我们前面求出的方程 (2)(2) 是一致的．

    -

    解法三

    +

    ☜解法三

    设直线方程同解法二，注意到对于每一个 (x,y)(x,y)，有且仅有一个 aa 满足条件．于是有

    Δ=(x−y+3)2−12x=0 \Delta=(x-y+3)^2-12x=0

    @@ -1555,7 +1555,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

    此解法的出处
    此处称该曲线为绣曲线，但我只在此处和中文维基百科的包络线里面见到了这个名词．目前还不清楚这是否是通用的名词．

    -

    围出的面积

    +

    ☜围出的面积

    第一象限所求的面积，就相当于边界和 xx 轴所夹的面积，因此

    S=∫03(3+x+23x)dx=[3x+12x2+23⋅23(3x)32]∣03=9+4.5+4=22.5\begin{aligned} S &= \int_0^3 \left(3+x+2\sqrt{3x}\right)\mathrm{d}x \\ @@ -1576,7 +1576,7 @@ s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7 c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z M834 80h400000v40h-400000z'/>​)dx=[3x+21​x2+32​⋅32​(3x)23​]∣∣∣∣∣​03​=9+4.5+4=22.5​

    于是四个象限的区域面积一共是 22.5×4=9022.5\times 4=90．

    -

    曲线的类型

    +

    ☜曲线的类型

    很明显，这是一条二次曲线的一部分．经过仿射变换

    {x′=xy′=x−y+3 \begin{cases} x'=x \\ @@ -1637,11 +1637,11 @@ s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7 c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z M834 80h400000v40h-400000z'/>​​．

    于是原抛物线的焦点是 (32,0)\left(\dfrac{3}{2},0\right)，准线为 y=xy=x．

    -

    问题拓展

    +

    ☜问题拓展

    在高中学习抛物线的时候，有这样一道题目：

    对于抛物线 y2=2pxy^2=2px，过点K(−p2,0)K\left(-\dfrac{p}{2},0\right) 作抛物线的两条切线，切点分别为 AA、BB，过抛物线在两切点之间的部分上的任意一点，作抛物线的切线，分别交 KAKA、KBKB 与 MM、NN，求证： ∣KM∣+∣KN∣\left|KM\right|+\left|KN\right| 为定值．

    -

    证明

    +

    ☜证明

    抛物线在 (x0,y0)\left(x_0,y_0\right) 处的切线是 MN:y=py0(x+x0)MN: y=\dfrac{p}{y_0}\left(x+x_0\right)．易知经过 KK 的两条切线的方程为 y=±(x+p2)y=\pm\left(x+\dfrac{p}{2}\right)，从而可解得交点的纵坐标为 yM,N=p2−x0±1−y0py_{M,N}=\dfrac{\dfrac{p}{2}-x_0}{\pm 1-\dfrac{y_0}{p}}，因此

    ∣KM∣+∣KN∣=2∣yM−yN∣=2p\left|KM\right|+\left|KN\right|=\sqrt{2}\left|y_M-y_N\right|=\sqrt{2}p

    为定值．

    -

    与前面的联系

    +

    ☜与前面的联系

    其实仔细观察一下就会发现，抛物线这道题里面的 MNMN，就是我们方程 (1)(1) 所对应的线段，所有满足条件的 MNMN 的包络线就是抛物线在 AA、BB 之间的部分！

    ]]> @@ -1738,7 +1738,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/> 在正方形的题目中，有很常见的一类是和两个正方形有关的图形，如下图：

    图1

    在这个图形中，有很多有意思的性质，也衍生出了很多的题目．我们讲分几次一一道来．

    -

    「手拉手」模型

    +

    ☜「手拉手」模型

    在学习全等的时候，我们知道有一类很重要的全等模型——旋转全等模型，俗称「手拉手」模型．说的是两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，一定伴随着一组旋转全等，如图2：

    图2

    △ABC\triangle ABC 和 △ADE\triangle ADE 是两个顶角相等的等腰三角形，易证 △ABD≅△ACE\triangle ABD \cong \triangle ACE ．这是一个旋转全等，旋转角度等于两个等腰三角形的顶角角度．

    @@ -1746,11 +1746,11 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

    那么，对于两个共顶点的正方形，也有类似的结论．在图1中，我们可以把它看成是两个等腰直角三角形 ABEABE 和 ACGACG 的「手拉手」，于是就有 △ABG≅△AEC\triangle ABG \cong \triangle AEC，而且旋转角度为 90∘90^\circ．

    图3

    于是，我们就得到了一个对角线垂直且相等的四边形 BCGEBCGE．

    -

    和中点四边形相关的问题

    +

    ☜和中点四边形相关的问题

    熟悉中点四边形的朋友马上就会想到，这样一个四边形的中点四边形一定是一个正方形，也就是下面这个图：

    图5

    在这个图中，中点四边形 MPNQMPNQ 就是一个正方形．

    -

    另一个和中点相关的问题

    +

    ☜另一个和中点相关的问题

    在图1中，如果我们取 EGEG 的中点 PP ，连结 APAP ，则 AP⊥BCAP \perp BC 且 AP=12BCAP = \dfrac{1}{2} BC．（如果取 BCBC 中点，有类似的结论）

    图5

    对于中点问题，我们知道一种常见的处理方法就是「倍长中线」，因此我们倍长 APAP 至 HH，可以证明 △GHA≅△ABC\triangle GHA \cong \triangle ABC．注意这是一个旋转 90∘90 ^\circ 的全等，因此 AHAH 和 BCBC 垂直且相等，所以上面的结论成立．

    @@ -1768,13 +1768,13 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

    这两个证明同时还都证明了另一个结论，就是 S△ABC=S△AEGS_{\triangle ABC} = S_{\triangle AEG}．由割补法知这两个三角形的面积的确是相等的．

    当然，如果熟悉三角函数的话，这两个三角形的面积相等是显然的．因为 ∠BAC\angle BAC 和 ∠EAG\angle EAG 互补，而角的两边对应相等，因此面积也是相等的．

    -

    变形一

    +

    ☜变形一

    前面我们说了 BCGEBCGE 是一个对角线垂直且相等的四边形，因此，这个题的可以这样来出：

    如图8，在四边形 ABCDABCD 中，AC⊥BDAC \perp BD，且 AC=BDAC=BD，分别取 ADAD、BCBC、ABAB 的中点 MM、NN、PP，分别过 MM、NN 作 ADAD、BCBC 的垂线交于 OO，则 PO⊥CDPO \perp CD．

    图8

    这个图如果把 OAOA、OBOB、OCOC、ODOD 都连起来，显然有 △OAC≅△OBD\triangle OAC \cong \triangle OBD，注意这是一个旋转 90∘90^\circ 的全等，因此 △OAD\triangle OAD、△OBC\triangle OBC 都是等腰直角三角形．于是这就变成了图5一样的图了，后面的证明和上面相同．

    图9 -

    变形二

    +

    ☜变形二

    如果我们把两个正方形中间再加一个小正方形，那么结论会变成什么样子？

    如图10，有三个正方形 ABCDABCD、AEFGAEFG、FHIJFHIJ，取 JDJD 中点 PP，则有 PE⊥BHPE \perp BH 且 PE=12BHPE = \dfrac{1}{2} BH．

    图10 @@ -1784,7 +1784,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

    如图11，我们倍长 EPEP 至 KK，可以类似地证明 △JKE≅△GBH\triangle JKE \cong \triangle GBH．

    不过在证明的时候需要注意，这里面隐藏着两个「手拉手」的全等模型，在证明上面的全等的时候需要用到，如图12，有 △ADE≅△ABG\triangle ADE \cong \triangle ABG，△FJE≅△FGH\triangle FJE \cong \triangle FGH，都是旋转 90∘90^\circ 的全等．

    图12 -

    拓展联想

    +

    ☜拓展联想

    在圆的内接四边形中，有一个类似的结论：

    若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．

    这就是 Brahmagupta 定理，一般译作「婆罗摩笈多定理」，或者「布拉美古塔定理」．

    @@ -1823,15 +1823,15 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

    图2

    我们注意到，这个图形只跟下半部分（或者上半部分有关），因此这类题目经常以两个「等腰直角三角形」的形式出现，如图3：

    图3

    -

    证明方法

    +

    ☜证明方法

    这个题的解决方法也有很多，可以用「倍长中线」，可以构造「三角形的中位线」，也可以构造「梯形中位线」．

    -

    倍长中线

    +

    ☜倍长中线

    如图4，倍长 BPBP 至 KK，可以证明 △ABC≅△FKC\triangle ABC \cong \triangle FKC，注意这是一个旋转 90∘90^\circ 的全等，因此 CBCB 和 CKCK 垂直且相等，我们得到了一个等腰 Rt△CBK\mathrm{Rt} \triangle CBK ，于是它的一半 △PCB\triangle PCB 也是一个等腰直角三角形．

    图4

    -

    构造三角形的中位线

    +

    ☜构造三角形的中位线

    如图5，分别取 ADAD、AFAF 的中点 MM、NN，可以证明 △PMB≅△CNP\triangle PMB \cong \triangle CNP．注意这又是一个旋转 90∘90^\circ 的全等，因此 PBPB 和 PCPC 垂直且相等．

    图5

    -

    构造梯形的中位线

    +

    ☜构造梯形的中位线

    如图6，分别过 DD、FF、AA 作 BCBC 的垂线，垂足依次为 JJ、KK、LL，则有弦图的模型可知，△BJD≅△ALB\triangle BJD \cong \triangle ALB，△FKC≅△CLA\triangle FKC \cong \triangle CLA，于是 BJ=AL=CKBJ = AL = CK，DJ=BLDJ = BL，FK=CLFK = CL．我们取 BCBC 的中点 QQ，于是 QQ 也是 JKJK 的中点，因此 PQPQ 是梯形 DJKFDJKF 的中位线，故 PQ⊥BCPQ \perp BC，且

    PQ=12(DJ+FK)=12(BL+CL)=12BC=BQ=CQ\begin{aligned} PQ &= \dfrac{1}{2} \left( DJ + FK \right) = \dfrac{1}{2} \left( BL + CL \right) \\ @@ -1840,17 +1840,17 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

    因此 △PCB\triangle PCB 是等腰直角三角形．

    图6

    -

    变形

    +

    ☜变形

    我们需要注意的是，当这两个等腰 Rt△ABD\mathrm{Rt} \triangle ABD 和 △ACF\triangle ACF 旋转到不同的位置的时候，这个图可能看起来变得完全不一样，但是本质上是一个图形，如图7~图10：

    图7

    图8

    图9

    图10

    -

    推广

    +

    ☜推广

    在图3中，△ABD\triangle ABD 和 △ACF\triangle ACF 都是等腰直角三角形．如果我们把这个条件进行弱化，去掉等腰的条件，但保持两个直角三角形是相似的，即 Rt△ABD∼Rt△ACF\mathrm{Rt}\triangle ABD \sim \mathrm{Rt}\triangle ACF （其实就是 ∠ADB=∠AFC\angle ADB = \angle AFC），那么 PB=PCPB = PC 的结论依旧成立．

    图11

    这个时候的解决方法和前面也是类似的．

    -

    倍长中线

    +

    ☜倍长中线

    这个方法和图4类似，只不过把要证明的全等变成了相似．

    如图12，倍长 BPBP 至 KK，则

    KFFC=DBFC=BAAC\frac{KF}{FC} = \frac{DB}{FC} = \frac{BA}{AC} @@ -1866,7 +1866,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

    因此 △KFC∼△BAC\triangle KFC \sim \triangle BAC．这是一个旋转 90∘90^\circ 的相似，于是 △BCK\triangle BCK 是直角三角形，CPCP 是其斜边中线，故 CP=12BK=PBCP = \dfrac{1}{2} BK = PB．

    图12

    -

    构造三角形的中位线

    +

    ☜构造三角形的中位线

    这个方法和图5完全一样，BM=12AD=PNBM = \dfrac{1}{2} AD = PN，MP=12AF=NCMP = \dfrac{1}{2} AF = NC，且

    ∠BMP=∠BMA+∠AMP=2∠BDA+∠AMP=2∠CFA+∠ANP=∠CNA+∠ANP=∠PNC\begin{aligned} \angle BMP &= \angle BMA + \angle AMP \\ @@ -1878,7 +1878,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

    因此 △BMP≅△PNC\triangle BMP \cong \triangle PNC，于是 PB=PCPB = PC．

    图13

    -

    构造梯形的中位线

    +

    ☜构造梯形的中位线

    这个方法和图6类似，不过也是要把证明的全等变成相似．

    如图14，△BJD∼△ALB\triangle BJD \sim \triangle ALB，△FKC∼△CLA\triangle FKC \sim \triangle CLA，于是

    BJAL=BDAB=CFAC=CKAL\frac{BJ}{AL} = \frac{BD}{AB} = \frac{CF}{AC} = \frac{CK}{AL} @@ -1918,18 +1918,18 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/> //posts/2020-04-03-Two-squares-3/ 在上一篇文章的最后，我们留了一个问题，就是如果仅保留等腰的条件，是否还有比较好的结论？

    要解决这个问题，我们先从一种特殊情况谈起．

    -

    一种特殊情况

    +

    ☜一种特殊情况

    当两个等腰 Rt△ABD\mathrm{Rt} \triangle ABD 和 △ACF\triangle ACF 旋转的时候，一种非常特殊的情况就是两个三角形的斜边共线的情况，如图1：

    图1

    这个时候上面的结论依旧成立，而且我们注意到这个时候 ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ，因此如果我们取 BCBC 的中点 QQ，则有 QA=12BC=QPQA = \dfrac{1}{2} BC = QP，也就是说 △APQ\triangle APQ 是一个等腰三角形．

    熟悉四点共圆的朋友马上就会想到，这里面 ABCPABCP 四点共圆，圆心恰好就是 QQ．

    图2

    -

    逆命题

    +

    ☜逆命题

    那我们反过来想一下，如果取 △ABC\triangle ABC 的外接圆和 DFDF 交于 PP，那么 PP 点是否一定是 DFDF 的中点？

    图3

    如果考虑同一法的话，很明显这个结论是成立的．

    那如果不用同一法呢？

    -

    构造梯形的中位线

    +

    ☜构造梯形的中位线

    一种方法是构造梯形的中位线．我们分别过 BB、CC、QQ 作 DFDF 的垂线，垂足依次为 MM、NN、TT，则 CTCT 是梯形 BMNCBMNC 的中位线，且 MM、NN、TT 分别是 ADAD、AFAF、APAP 的中点，于是

    PD=2MT=2NT=2(AN−AT)=AF−AP=PF\begin{aligned} PD &= 2MT = 2NT = 2 \left( AN - AT \right) \\ @@ -1939,14 +1939,14 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

    因此 PP 是 DFDF 的中点．

    图4

    另一种方法是构造旋转相似，这种方法放到我们后面的推广里来讲．

    -

    一种推广

    +

    ☜一种推广

    如果要保持四点共圆的条件不变，我们可以把条件弱化成什么样子？

    注意如果要保持四点共圆的话，我们要保持 ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ，因此两个等腰三角形的两底角要保持互余，也就是两顶角要保持互补．

    因此，我们可以把两个等腰直角三角形的条件改为，两个「顶角互补的等腰三角形」：

    图5

    在图5中，AB=BDAB = BD，AC=CFAC = CF，∠ABD+∠ACF=180∘\angle ABD + \angle ACF = 180^\circ，我们分别取 BCBC、DFDF 的中点 PP、QQ，则 ∠BPC=90∘\angle BPC = 90^\circ，且 AQ=QPAQ = QP．

    我们可以利用上一篇文章中的三种方法，对这种情况进行证明．因为方法几乎是一样的，这里就从略了．

    -

    继续推广

    +

    ☜继续推广

    我们回顾一下图4的证明，这种方法本质上就是用了三个等腰 △ABD\triangle ABD、△ACF\triangle ACF、△APQ\triangle APQ 的条件，因此我们可以把条件再进行弱化，如下图：

    图6

    如图6，△ABD\triangle ABD 和 △ACF\triangle ACF 都是等腰三角形，AB=BDAB = BD，AC=CFAC = CF，QQ 为 BCBC 的中点，则

    @@ -1956,7 +1956,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

    同时，大家可以想一下，这个图形和我们上一篇文章中里的图形有什么区别和联系．

    -

    倍长中线

    +

    ☜倍长中线

    这个时候，倍长中线的方法依旧可以使用，不过这个时候，应该要倍长 AQAQ．

    图7

    @@ -1980,7 +1980,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

    PQ=12AK=AQPQ = \dfrac{1}{2} AK = AQ

    如果已知 QA=QPQA = QP，由 QK=QA=QPQK = QA = QP 可知 ∠KPA=90∘\angle KPA = 90^\circ，再由「三线合一」可知 PD=PFPD = PF．

    -

    构造三角形的中位线

    +

    ☜构造三角形的中位线

    这个时候我们没有办法利用中位线直接证明 QA=QPQA = QP，但是我们可以分别取 ADAD、AFAF 的中点 MM、NN，先证明 QM=QNQM= QN．

    图8

    我们分别取 ABAB、ACAC 的中点 SS、TT，于是可以证明 △MSQ≅△QTN\triangle MSQ \cong \triangle QTN．其中 ∠MSQ=∠QTN\angle MSQ = \angle QTN 的证明和上一个方法类似．

    @@ -1994,13 +1994,13 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>     QA = QP &\implies \mathrm{AAS} \end{aligned}

    -

    两种方法的联系

    +

    ☜两种方法的联系

    实际上，如果我们把上一种方法的图和这一种方法的图放在一起，就会发现这两组三角形其实是相似的．

    图9

    -

    构造梯形的中位线

    +

    ☜构造梯形的中位线

    这种方法和图4的证明是一样的，这里就不在重复了．

    可以看出，这是最简单的一种证明方法．

    -

    构造旋转相似

    +

    ☜构造旋转相似

    这个图还有一个证明方法，就是构造 AA 关于 BCBC 的对称点 SS，如图10，则

    ∠SBD=2∠SAD=2(180∘−∠SAF)=∠SCF\begin{aligned} \angle SBD &= 2\angle SAD \\ @@ -2027,7 +2027,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

    图11

    这种方法大量用到了相似和圆周角的性质，由此又可以引申出关于双圆问题的一些结论．有兴趣的朋友可以自行探究一下．

    -

    和前文图形的关系

    +

    ☜和前文图形的关系

    我们回过头来看一下图8，注意在这个图中我们平没有用到 DD、FF 这两个点，因此我们考虑把这两个点去掉，于是这个图就变成了下面这样：

    图12

    如图12，△AMB\triangle AMB 和 △ANC\triangle ANC 都是直角三角形，且 MM、AA、NN 共线，取 BCBC 的中点 QQ，则 QM=QNQM = QN．

    @@ -2050,22 +2050,22 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/> //posts/2020-04-07-Midpoint-in-trapezoid/ 在前面的三篇文章中，我们探究了和正方形有关的中点问题．在本文中，我们来看一个和梯形有关的中点问题．

    和梯形相关的中点问题，主要可以分为「底中点」和「腰中点」两大类．对于「底中点」相关的问题，我们合并到下一篇关于一般四边形的中点问题的文章中一起来讨论．今天我们重点来看一下和「腰中点」有关的问题．

    -

    「腰中点」的处理方法

    +

    ☜「腰中点」的处理方法

    对于「腰中点」相关的问题，主要的思路有两个：「倍长中线」和构造「中位线」．

    是不是很熟悉？和前面正方形的处理方法是一样的．

    -

    倍长中线

    +

    ☜倍长中线

    如图1，EE 是腰 CDCD 的中点，连结 AEAE 并延长交 BCBC 于 FF，则有 △ADE≅△FCE\triangle ADE \cong \triangle FCE，于是 EE 也是 AFAF 的中点，AD=CFAD = CF．

    这个方法相当于是 △ADE\triangle ADE 旋转到了 △FCE\triangle FCE，于是把原来的梯形变成了一个三角形．

    这个方法同时可以用来证明梯形的中位线定理．

    图1

    -

    梯形的中位线

    +

    ☜梯形的中位线

    如图2，EE 是腰 CDCD 的中点，取 ADAD 的中点 FF，则 EFEF 是梯形 ABCDABCD 的中位线，于是 EF∥AB∥CDEF \parallel AB \parallel CD，且 EF=12(AB+CD)EF = \dfrac{1}{2} (AB + CD)．

    图2

    -

    直角梯形的「腰中点」

    +

    ☜直角梯形的「腰中点」

    如图3，对于直角梯形 ABCDABCD，∠A=∠D=90∘\angle A = \angle D = 90^\circ，取腰 BCBC 的中点 EE，则 EA=EDEA = ED，即 △AED\triangle AED 是等腰三角形．

    图3

    用上面两种方法，都很容易证明这个命题．

    -

    一种特殊情况

    +

    ☜一种特殊情况

    如果在图3中加入 AE⊥DEAE \perp DE，也就是 △AED\triangle AED 是等腰直角三角形的条件，那么 AB+CD=ADAB + CD = AD．

    图4

    如果用第1种方法，如图5，则 DEDE 垂直平分 AFAF， △ADF\triangle ADF 是等腰直角三角形，

    @@ -2099,17 +2099,17 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

    如果考虑四点共圆的话，有 ABEMABEM、DCEMDCEM、EPMQEPMQ 三组四点共圆，而且这三个圆有公共弦 EMEM．

    图9

    -

    图形的来源

    +

    ☜图形的来源

    如果我们仔细观察一下图7，我们就会发现，这个图实际上是「弦图」的一半．

    图10

    如果再考虑 PQPQ，那么这个图就相当于嵌套的两个弦图，于是图8中的结论就显然成立了．

    图11

    -

    变形

    +

    ☜变形

    如果我们只考虑 △MBC\triangle MBC，那么就变成了这样一道题：

    如图12，在等腰 Rt△MBC\mathrm{Rt} \triangle MBC 中，EE 是斜边 BCBC 的中点，MP=CQMP = CQ，则 △EPQ\triangle EPQ 是等腰直角三角形．

    图12

    利用图8中的 △PME≅△QCE\triangle PME \cong \triangle QCE，这个结论显然是成立的．

    -

    推广一

    +

    ☜推广一

    如果我们保留 MB=MCMB = MC 的条件（即 ME⊥BCME \perp BC），如图13，那么这个时候仍有 ∠AED=∠BMC\angle AED = \angle BMC 的结论成立．

    图13

    注意到这个时候 ABEMABEM、DCEMDCEM 这两组四点共圆依旧成立，于是

    @@ -2137,7 +2137,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

    因此上面 ABNMABNM 四点也共圆．

    剩下的证明和图14是完全一样的，只需要把式子中的 EE 点换成 NN 点就可以．

    -

    推广二

    +

    ☜推广二

    如果我们保留 ∠BMC=∠AND=90∘\angle BMC = \angle AND = 90^\circ 的条件，过 BB、CC 和 ADAD 上一点 MM 作 △MDC\triangle MDC 的外接圆交 BCBC 于 NN，作 △AND\triangle AND 的外接圆与 BCBC 的另一个交点 PP，则 AP⊥BMAP \perp BM，DP⊥CMDP \perp CM．

    图16

    证明中还用到上面推出的 ABNMABNM 四点共圆的结论：

    @@ -2160,7 +2160,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

    图19

    事实上，对于一般的梯形 ABCDABCD，AB∥CDAB \parallel CD，如果过 BB、CC 和 ADAD 上一点 MM 作 △MDC\triangle MDC 的外接圆交 BCBC 于 NN，作 △AND\triangle AND 的外接圆与 BCBC 的另一个交点 PP，那么依然有 DP∥BMDP \parallel BM，AP∥CMAP \parallel CM 的结论成立．证明过程和前面完全相同．

    图20

    -

    变形

    +

    ☜变形

    我们把图20简化一下，就可以得到下面这个题目：

    如图21，在梯形 ABCDABCD 中，AB∥CDAB \parallel CD，任取 ADAD 上一点 MM，作 AP∥CMAP \parallel CM 交 BCBC 于 PP，则 DP∥BMDP \parallel BM．

    图21

    @@ -2190,12 +2190,12 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>     安装 ArchWSL 后需要做的事 //posts/2020-04-11-Install-ArchWSL/ 最近把 windows 更新到了 2004，切换到了 WSL 2 上。

    -

    安装 WSL 2

    +

    ☜安装 WSL 2

    启用 WSL 和虚拟机控制平台功能（要求管理员权限）：

    dism.exe /online /enable-feature /featurename:Microsoft-Windows-Subsystem-Linux /all /norestart
    dism.exe /online /enable-feature /featurename:VirtualMachinePlatform /all /norestart
    wsl --set-default-version 2

    之后重启电脑。

    安装 Arch，参见 ArchWSL。

    -

    WSL 2 相对于 WSL 1 的优缺点

    +

    ☜WSL 2 相对于 WSL 1 的优缺点

    优点：

    • 本地文件操作更快。之前编译一个 glibc，几个小时都没有编完
      • @@ -2208,56 +2208,56 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>
    • 经常会爆内存，包括安装大软件、长时间运行等
    • 访问 Windows 主机上文件的速度变慢
    -

    语言设置

    +

    ☜语言设置

    把 /etc/locale.conf 改为 LANG=zh_CN.UTF8。

    然后 source /etc/locale.conf。

    一个非常奇怪的事情是，如果把 LANG 设为 zh_CN.UTF-8，那么在 bash 下，windows 中的中文文件名显示为乱码，而 zsh 则显示正常。
    但在默认的 LANG=en_US.UTF-8 下，bash 和 zsh 都能正常显示中文文件名。

    -

    安装软件包

    -

    导入密钥（非常重要！！！）

    +

    ☜安装软件包

    +

    ☜导入密钥（非常重要！！！）

    # 初始化密钥环 && 验证主密钥 && 更新密钥
    pacman-key --init && pacman-key --populate archlinux && pacman-key --refresh-keys
    -

    启用国内的镜像源

    +

    ☜启用国内的镜像源

    echo "Server = https://mirrors.aliyun.com/archlinux/\$repo/os/\$arch
    Server = https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/archlinux/\$repo/os/\$arch
    Server = https://mirrors.neusoft.edu.cn/archlinux/\$repo/os/\$arch
    Server = https://mirrors.cqu.edu.cn/archlinux/\$repo/os/\$arch
    Server = https://mirrors.sjtug.sjtu.edu.cn/archlinux/\$repo/os/\$arch
    Server = https://mirrors.ustc.edu.cn/archlinux/\$repo/os/\$arch" > /etc/pacman.d/mirrorlist
    -

    添加 ArchlinuxCN 源

    +

    ☜添加 ArchlinuxCN 源

    echo "
    [archlinuxcn]
    Server = https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/archlinuxcn/x86_64" >> /etc/pacman.conf
    pacman -Sy && pacman -S archlinuxcn-keyring && pacman -S yaourt

    这里坚持用 yaourt 的原因有两个，一是在 root 环境下使用不报错（主要是需要彩色显示），二是可以显示版本更新还是编译更新。

    -

    安装常用软件

    -

    先搭建好常用环境

    +

    ☜安装常用软件

    +

    ☜先搭建好常用环境

    pacman -Syu
    pacman -S zsh git subversion lua openssh
    -

    安装 zinit（原 zplugin）

    +

    ☜安装 zinit（原 zplugin）

    git clone https://github.com/zdharma/zinit.git ~/.zinit/bin
    echo "source ~/.zinit/bin/zinit.zsh" > ~/.zshrc

    不得不再次吐槽一下 git clone 的速度。。。

    -

    安装 powerlevel10k

    +

    ☜安装 powerlevel10k

    echo "zinit ice depth=1; zinit light romkatv/powerlevel10k" >> ~/.zshrc
    -

    启用 zsh（终于有了一个好看的终端）

    +

    ☜启用 zsh（终于有了一个好看的终端）

    zsh

    然后就可以导入之前的 .zshrc 了。

    -

    切换默认终端至 zsh

    +

    ☜切换默认终端至 zsh

    chsh -s /bin/zsh
    -

    安装 vim-plug

    +

    ☜安装 vim-plug

    curl -fLo ~/.vim/autoload/plug.vim --create-dirs \
        https://raw.githubusercontent.com/junegunn/vim-plug/master/plug.vim

    导入之前的 .vimrc 文件，并执行命令：

    vim +PlugInstall +qall
    -

    安装常用软件

    +

    ☜安装常用软件

    pacman -S base-devel which diffutils man openssh tree p7zip bc wget \
      htop strace most \
      yarn npm python-pip \
      zathura-ps zathura-pdf-poppler \
      feh imagemagick mediainfo ffmpeg \
      opencc dos2unix jq net-tools bind-tools nload
    yarn global add hexo-cli nali-cli http-server
    -

    安装花哨软件

    +

    ☜安装花哨软件

    pacman -S fd exa bat ripgrep percol
    -

    安装常用字体

    +

    ☜安装常用字体

    pacman -S adobe-source-code-pro-fonts adobe-source-sans-pro-fonts adobe-source-serif-pro-fonts adobe-source-han-sans-cn-fonts adobe-source-han-serif-cn-fonts tex-gyre-fonts ttf-dejavu wqy-zenhei wqy-microhei ttf-sarasa-gothic
    -

    安装专业软件

    +

    ☜安装专业软件

    pacman -S texlive-most
    pacman -S texlive-langchinese biber asymptote qtikz \
      sagemath jupyter

    注意：安装 texlive-fontextra 会爆内存！！！
    反正我的8G内存被爆了，16G没有问题）

    -

    安装 X 软件

    +

    ☜安装 X 软件

    pacman -S tk gvim

    向 ~/.zshrc 中添加：

    export DISPLAY=$(awk '/nameserver / {print $2; exit}' /etc/resolve.conf 2>/dev/null):0.0
    export LIBGL_ALWAYS_INDIRECT=1

    注意对于 WSL 2，VcXsrv 启动时需要选中 Disable access control 的选项，或者加上 -ac 的参数。

    -

    添加新用户

    +

    ☜添加新用户

    groupadd AAA
    useradd XXX -g AAA -G wheel -m -N
    pacman -S sudo
    echo "wheel ALL=(ALL) NOPASSWD: ALL" > /etc/sudoers.d/wheel

    其实我一直是使用 root 账户，只有在需要 makepkg 的时候才切换到普通用户。

    ]]>     @@ -2281,11 +2281,11 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

    安装 windows 还是比较顺利的。这里建议不要用 Media Creation Tool，而是直接下载 iso 文件，这样下载的速度会快一些。（谁叫我有 IDM 呢 →_→）

    安装之后，系统引导会自动生成，不用手动干预。

    然而，主要耗费时间是在安装各种软件上。

    -

    Adobe

    +

    ☜Adobe

    有请 vposy 大神。。。

    -

    Office 下载与激活

    +

    ☜Office 下载与激活

    参见 https://v0v.bid。

    -

    MathType 与字体冲突的问题

    +

    ☜MathType 与字体冲突的问题

    MathType 与 Microsoft Store 中的「更纱黑体」相冲突，安装「更纱黑体」会导致 MathType 闪退，原因不明。

    但直接下载字体点击安装的话就没有问题。

    这个问题折腾了我半天的时间。。。

    @@ -2295,7 +2295,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

    又尝试单独安装部分字体，只装了 Sarasa Term，没有问题。那就先这么用吧。。。

    -

    盘符问题

    +

    ☜盘符问题

    在安装的时候，一定将新的系统盘标为 C 盘。如果系统安装完了之后，就没法再修改了。至少我目前还没有找到方法。

    看过网上说的一些方法。如果直接在硬盘管理中修改盘符的话，非系统盘是可以直接修改的，系统盘修改的话会显示参数错误。

    还有直接修改注册表中 HKEY_LOCAL_MACHINE\SYSTEM\MountedDevices 下的驱动器号的，我试了一下，然后电脑就无法启动了。还是通过安装盘恢复原来的设定之后才能启动。

    @@ -2307,7 +2307,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

    其实大部分软件安装都没有问题，只是在「华为电脑管家」的时候出现了问题。
    于是我只能把另外一个分区改为 C 盘，然后安装之后把 Program Files(x86) 中的文件移到 D 盘中，然后在注册表中搜索修改所有相关的项。
    目前使用上还没有发现问题。

    -

    独显问题

    +

    ☜独显问题

    之前电脑上，可以选择以 N 卡运行 chrome。但是这次安装之后，即使是选择 N 卡运行，包括在 Nvidia 控制面板里设置，还是右击选择以「高性能 Nvidia 处理器」运行，都没有作用。

    Firefox 也不管用。

    但是 mpv 和 qutebrwoser 都运行正常。

    @@ -2316,14 +2316,14 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>     我就是想打个麻将而已，容易么我。。。
    顺带说一下，笔记本是 14 年买的，CPU 是 i7-4700HQ，核显是 HD Graphic 4600，独显是 GeForce GTX 850M。

    -

    播放器选择

    +

    ☜播放器选择

    安装之后试了一下 4k 视频的播放，发现不需要修改就可以直接舒畅播放的就只有 vlc，而且仅仅使用核显，播放的时候 CPU 30%，核显 vlc 使用 5%，整体 20%，不知道是怎么调教的。

    如果配置好的话，让 mpv 用 N 卡解码也是可以流畅播放的，核显 25%，独显 60%。

    -

    对不同应用切换不同的输入法

    +

    ☜对不同应用切换不同的输入法

    设置 -> 设备 -> 输入 -> 高级键盘设置 -> 切换输入法 -> 勾选「允许我为每个应用窗口使用不同的输入法」

    -

    杀毒软件

    +

    ☜杀毒软件

    趁着这次机会，入正了 EAV。

    -

    Git

    +

    ☜Git

    如果直接安装 Git For Windows 的话，就没有什么问题。
    不过由于我安装了 MSYS2，因此就直接在 MSYS2 里面安装了，但这带来了一个奇怪的问题，那就是 git 的 ssh 协议无法使用。具体就是：如我运行

    ssh -T git@github.com
    @@ -2332,7 +2332,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

    但是 git pull 和 git push 就是运行不成功，显示

    git@github.com: Permission denied (publickey).
    fatal: Could not read from remote repository.

    Please make sure you have the correct access rights
    and the repository exists.

    后来发现，Git For Windows 貌似可以之间使用 Windows 默认的 ssh 配置文件（位置在 %HOMEPATH%\.ssh\），而在 MSYS2 里安装的话需要把密钥复制到 MSYS2 的 ssh 配置文件里。

    -

    WSL

    +

    ☜WSL

    在安装完 WSL 之后，我发现网络访问有问题，而且问题比较奇怪。

    我在 WSL 中，能够正常访问网络；在 Windows 中，也能访问 WSL 中的网络；但是在 WSL 中，无法访问 Windows 应用，包括 VcXsrc。

    @@ -2350,7 +2350,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/> Windows 常用指令 //posts/2020-05-12-Windows-commands/ - 直接运行 + ☜直接运行
    • winver: 关于 Windows
    • msinfo32：系统信息
      • @@ -2365,7 +2365,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>
    • mspaint：画图
    • notepad：记事本
    -

    管理控制台

    +

    ☜管理控制台

    • services.msc: 服务
    • gpedit.msc: 组策略
      • @@ -2374,7 +2374,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>
    • diskmgmt.msc：磁盘管理 Win+X K
    • secpol.msc：本地安全策略
    -

    控制面板

    +

    ☜控制面板

    • hdwwiz.cpl：设备管理器 Win+X M
    • appwiz.cpl: 程序和功能（卸载）
      • @@ -2395,7 +2395,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/> 常用 FFmpeg 命令 //posts/2020-06-22-FFmpeg-Commands/ - 剪裁文件 + ☜剪裁文件 
      ### 截取前一部分的视频
      ffmpeg -t [duration] -i [input.mp4] -c copy [output.mp4]

      ### 截取后一部分视频
      ffmpeg -ss [start] -i [input.mp4] -c copy [output.mp4]

      ### 截取中间一部分视频（结束时间确定）
      ffmpeg -ss [start] -to [end] -i [input.mp4] -c copy [output.mp4]
      ### 或者（时长确定）
      ffmpeg -ss [start] -t [duration] -i [input.mp4] -c copy [output.mp4]

      时间格式：HH:MM:SS.XXX。

      这里面使用 -c copy 的选项，避免重新进行编码，可以很快地进行剪裁。

      @@ -2406,16 +2406,16 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>       
      ffmpeg -ss [start] -t [duration] -accurate_seek -i [input.mp4] -avoid_negative_ts 1 -c copy [output.mp4]

      注意 -accurate_seek 选项要在 -i 选项之前。

      如果需要非常精确的剪裁的话，需要重新进行编码，并使用 -strict experimental 或者 -strict 2 的选项。

      -

      合并文件

      +

      ☜合并文件

      先把要合并的文件写在一个文本文件 list.txt 里：

      file './split1.mp4'
      file './split2.mp4'
      file './split3.mp4'

      然后再进行合并：

      ffmpeg -f concat -i [list.txt] -c copy [output.mp4]
      -

      改变格式

      +

      ☜改变格式

      ### 重新编码
      ffmpeg -i [input].mp4 [output].flv

      ### 不重新编码
      ffmpeg -i [input].mp4 -c copy [output].flv
      -

      提取音频

      +

      ☜提取音频

      ffmpeg -i [intput].mp4 -c:a copy [output.aac]
      -

      合并视频和音频

      +

      ☜合并视频和音频

      ffmpeg -i [input.mp4] -i [input.aac] -c copy [output.mp4]
      ]]> @@ -2442,14 +2442,14 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

      注意：两款软件都在不断更新，并且不断添加新的功能，因此后面所说的可能与您现在所用到的功能并不完全相同。请注意本文的更新日期。

      例如，就在我使用它们上课的这几个月间，Notability 添加了投屏区域和激光笔功能，导致我从完全使用 GoodNotes 转换到目前以使用 Notability 为主。（毕竟从一开始，我就是 Notability 党）

      -

      作为一个投屏教学的笔记软件的必要条件

      +

      ☜作为一个投屏教学的笔记软件的必要条件

      • 支持投屏区域功能，即只投屏指定区域，而不是整个屏幕，保证 iPad 上弹出的消息不会被投上去
      • 支持激光笔功能，并且支持暂时保留激光笔的书写痕迹
      • 支持画直线的功能（几何教学必备）
      • 防误触功能
      -

      两个笔记本软件目前都支持的功能

      +

      ☜两个笔记本软件目前都支持的功能

      • 都支持投屏区域和激光笔功能
      • 都支持连续翻页模式和单页模式
        • @@ -2458,7 +2458,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>
      • 都支持分屏功能，而且可以选择投哪一个（不同的是 GoodNotes 是 iPad 的窗口分屏，因此两个窗口使用不同的工具栏，而 Notability 是软件内部的分屏，使用同一个工具栏）
      • 都支持 iCloud 同步
      -

      GoodNotes 的优势

      +

      ☜GoodNotes 的优势

      • 👍多层文件夹管理，可以按照「课件-学期-课程-讲义」的层级结构来组织存放讲义，便于寻找
      • 支持批量管理页面
        • @@ -2472,14 +2472,14 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>
      • 支持标签页功能，方便切换文件
      • 撤销、恢复有两个按钮，使用比较方便
      -

      GoodNotes 的痛点

      +

      ☜GoodNotes 的痛点

      • 👎👎画直线和其它规则图形，需要切换到专门的工具才可以。而且轨迹是画完后自动校正，无法提前预览，因此精确度较难把握
      • 👎👎👎直线画不直，经常自动校正成为折线，特别是在画相对较短的线段的时候。画长线段的时候反而会好一点。（技巧：开启不显示页面缩放的功能，然后把页面放大，再画直线）
      • 👎👎👎当绘制倾斜程度很小或者很大的直线的时候，会被自动校正为水平或者竖直的直线，导致根本无法画出正确的直线
      • 只能复制书写笔记，不能复制原文件的内容，只能通过截图再导入实现，比较麻烦
      -

      Notability 的优势

      +

      ☜Notability 的优势

      • 👍👍👍支持自动拉直和图形检测，即绘制完成之后，继续长按，可以自动转化为直线或者其它图形，并且可以调整和实时预览，还会自动弹出放大镜，方便精确控制绘制点
      • 👍👍👍绘制完成的线段可以自由调整两个端点，且长按会有放大镜
        • @@ -2492,7 +2492,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>
      • 调整窗口大小的时候，页面宽度会自动调整
      • 连续滚动时的流畅程度更高（主观感觉）
      -

      Notability 的痛点

      +

      ☜Notability 的痛点

      • 文件管理只支持两个层级
      • 👎👎👎新消息弹出的时候，会阻挡工具栏，如果恰好在选择工具的时候点击到弹出的消息，可能会造成教学事故……
        • @@ -2503,7 +2503,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>
      • 不支持批量删除页面
      • 导出时须每次手动取消自动添加的最后一页
      -

      我的经验

      +

      ☜我的经验

      在最开始上课的时候，由于 Notability 还不支持投屏区域功能，因此只能使用 GoodNotes，恰巧这个时候有好几个班都在讲几何，因此体会最深的就是每次画辅助线的时候都要切换工具，画完之后还要切换回来，非常麻烦。而且它的自动校正并不准确，而且在画完之后不支持调整，导致一条线有时需要画好几遍才能画得比较准确。

      因此在暑假开课的时候，我终于可以切换到了 Notability，但是也带了各种不方便，上面列举的所有痛点，都是我在讲课的时候遇到的。这里面影响最大的就是添加同类型页面非常麻烦。因为几何题目的过程较长，一页的板书写不下，所以我得提前复制好新的页面，否则在讲解题目的时候再复制，就会非常影响讲课的节奏。（但我又经常忘了。。。）

      不得不说，习惯了 GoodNotes 添加页面的快捷之后，再回到 Notability，我到现在都没法适应。

      @@ -2514,7 +2514,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>

      关于颜色切换部分，我补充一点。如果仅仅使用 3 个颜色就够的话，GoodNotes 的切换方式要快的多；但是，如果使用的颜色更多的话，反而是 Notability 的切换方式更加顺畅。在讲比较复杂的几何题的时候，这点体现得尤为明显。

      因此，仅从书写体验来看，Notability 要比 GoodNotes 强太多，特别是讲几何题的时候。

      而从综合体验上来看，则是 GoodNotes 完胜。

      -

      我的选择

      +

      ☜我的选择

      只要有几何内容，那么一定使用 Notability。

      如果只讲代数内容，那就看当时的心情吧。不过我更喜欢 Notability 里面书写的感觉，因此继续用 Notability 的几率会更大一点吧。

      ]]> @@ -2545,8 +2545,8 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>
      • 命名比较繁琐
      -

      定义点的方法

      -

      定义坐标点

      +

      ☜定义点的方法

      +

      ☜定义坐标点

      @@ -2573,7 +2573,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>
      -

      定义相对点

      +

      ☜定义相对点

      @@ -2638,7 +2638,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>
      -

      定义几何变换点

      +

      ☜定义几何变换点

      命令：\tkzDefPointBy[<option>](P) \tkzGetPoint{Q}

      批量变换：\tkzDefPointsBy[<option>](M,N,...){P,Q,...}

      （如后面的为{}，则缺省值为M',N',...）

      @@ -2684,7 +2684,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>       -

      定义向量变换点

      +

      ☜定义向量变换点

      命令：\tkzDefPointWith[<options>](<A,B>) \tkzGetPoint{C}

      @@ -2823,7 +2823,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/> -40.5-119-75.5s-58.3-74.8-73-119.5c-4.7-14-8.3-27.3-11-40-1.3-6.7-3.2-10.8-5.5 -12.5-2.3-1.7-7.5-2.5-15.5-2.5-14 0-21 3.7-21 11 0 2 2 10.3 6 25 20.7 83.3 67 151.7 139 205zm0 0v40h399900v-40z'/> 的坐标为 (\Vx,\Vy)．

      -

      定义三角形的各中心

      +

      ☜定义三角形的各中心

      命令：\tkzDefTriangleCenter[<option>](<A,B,C>) \tkzGetPoint{P}

      @@ -2909,7 +2909,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>
      -

      定义随机点

      +

      ☜定义随机点

      命令：\tkzDefRandPointOn[<local option>] \tkzGetPoint{P}

      @@ -2945,11 +2945,11 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>
      -

      获取点的方法

      +

      ☜获取点的方法

      获取一个点：\tkzGetPoint{A}，默认存储为 tkzPointResult

      获取多个点：\tkzGetPoints{A}{B}，默认存储为 tkzFirstPointResult 和 tkzSecondPointResult

      若只获取其中某一个，则可以使用 tkzGetFirstPoint{A} 或 \tkzGetSecondPoint{B}

      -

      绘制点的方法

      +

      ☜绘制点的方法

      绘制单个点：\tkzDrawPoint[<options>](A)

      绘制多个点：\tkzDrawPoints[<options>](A,B,C,...)

      自定义点的样式：\tkzSetUpPoint[<options>]

      @@ -2979,7 +2979,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>       -

      标记点的方法

      +

      ☜标记点的方法

      标记单个点：\tkzLabelPoint[<options>](A){<text support tex>}

      标记多个点：\tkzLabelPoints[<options>](A,B,C,...)

      自动选择位置标记多个点：\tkzAutoLabelPoints[center=M, <options>](A,B,C,...)

      @@ -3022,8 +3022,8 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>       常用 tkz-euclide 命令（二）——直线形的定义方法 //posts/2020-07-04-tkz-euclide-2/ 在上一节中，总结了各种定义特殊点的方法，这一节主要讲述如何定义各类直线形——直线，三角形和多边形．

      -

      定义直线形的方法

      -

      定义直线

      +

      ☜定义直线形的方法

      +

      ☜定义直线

      命令：\tkzDefLine[<options>](A,B) or (A,B,C) \tkzGetPoints{P}{Q} or \tkzGetPoint{P}

      @@ -3088,7 +3088,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>
      -

      定义切线

      +

      ☜定义切线

      @@ -3107,7 +3107,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>
      -

      定义三角形

      +

      ☜定义三角形

      命令：\tkzDefTriangle[<options>](A,B) \tkzGetPoint{C}

      @@ -3151,7 +3151,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>
      -

      定义特殊三角形

      +

      ☜定义特殊三角形

      命令：\tkzDefSpcTriangle[<options>](A,B,C)，对应的「心」存在 tkzPointResult 中

      @@ -3209,7 +3209,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>
      -

      定义特殊多边形

      +

      ☜定义特殊多边形

      @@ -3232,7 +3232,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>
      -

      定义正多边形

      +

      ☜定义正多边形

      命令：\tkzDefRegPolygon[<options>](A,B)

      @@ -3260,8 +3260,8 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>
      -

      绘制直线形的方法

      -

      绘制直线

      +

      ☜绘制直线形的方法

      +

      ☜绘制直线

      绘制一条直线：\tkzDrawLine[<options>](A,B)

      绘制多条直线：\tkzDrawLines[<options>](A,B C,D ...)

      自定义直线的样式：\tkzSetUpLine[<options>]

      @@ -3291,7 +3291,7 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>       -

      绘制三角形中的特殊线段

      +

      ☜绘制三角形中的特殊线段

      @@ -3314,24 +3314,24 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>
      -

      绘制线段

      +

      ☜绘制线段

      绘制一条线段：\tkzDrawSegment[<options>](A,B)（相当于 \draw (A)--(B)）

      绘制多条线段：\tkzDrawSegments[<options>](A,B C,D ...)

      -

      （定义并）绘制三角形

      +

      ☜（定义并）绘制三角形

      命令：\tkzDrawTriangle[<options>](A,B) \tkzGetPoint{C}

      -

      （定义并）绘制正方形

      +

      ☜（定义并）绘制正方形

      命令：\tkzDrawSquare[<options>](A,B) \tkzGetPoints{C}{D}

      -

      （定义并）绘制黄金矩形

      +

      ☜（定义并）绘制黄金矩形

      命令：\tkzDrawGoldRectangle[<options>](A,B) \tkzGetPoints{C}{D}

      -

      绘制多边形

      +

      ☜绘制多边形

      命令：\tkzDrawPolygon[<options>](A,B,C,...)

      -

      绘制多边形链

      +

      ☜绘制多边形链

      命令：\tkzDrawPolySeg[<options>](A,B,C,...)

      -

      填充直线形的方法

      -

      填充多边形

      +

      ☜填充直线形的方法

      +

      ☜填充多边形

      命令：\tkzFillPolygon[<options>](A,B,C,...)

      -

      标记直线形的方法

      -

      标记直线

      +

      ☜标记直线形的方法

      +

      ☜标记直线

      命令：\tkzLabelLine[<options>](A,B){<text support tex>}

      @@ -3355,11 +3355,11 @@ M834 80h400000v40h-400000z'/>
      -

      标记线段

      +

      ☜标记线段

      标记一条线段：\tkzLabelSegment[<options>](A,B)

      标记多条线段：\tkzLabelSegments[<options>](A,B C,D ...)

      选项和直线相同．

      -

      用符号标记线段

      +

      ☜用符号标记线段

      标记一条线段：\tkzMarkSegment[mark=<mark option>, <other options>](A,B)

      标记多条线段：\tkzMarkSegment[mark=<mark option>, <other options>](A,B C,D ...)

      diff --git a/sitemap.xml b/sitemap.xml index 8281f4a52..c1b5a9cd2 100644 --- a/sitemap.xml +++ b/sitemap.xml @@ -4,28 +4,28 @@ https://wangjiezhe.com/categories/index.html - 2020-07-23T05:04:39.633Z + 2020-07-23T07:30:43.188Z https://wangjiezhe.com/links/index.html - 2020-07-23T05:04:39.633Z + 2020-07-23T07:30:43.188Z https://wangjiezhe.com/tags/index.html - 2020-07-23T05:04:39.633Z + 2020-07-23T07:30:43.188Z https://wangjiezhe.com/404.html - 2020-07-23T05:04:39.545Z + 2020-07-23T07:30:43.104Z diff --git a/tags/index.html b/tags/index.html index 33581aa4b..f6f92c0d4 100644 --- a/tags/index.html +++ b/tags/index.html @@ -33,7 +33,7 @@ - +