Skip to content

HTTPS clone URL

Subversion checkout URL

You can clone with HTTPS or Subversion.

Download ZIP
Browse files

maat samenvatting, minimieme herwoording etc

  • Loading branch information...
commit a4dc3e2f493f8e2d64af7a5cee5c18c1a872c709 1 parent 62185b8
Ward Muylaert authored
Showing with 11 additions and 12 deletions.
  1. +1 −2  maattheorie/oefeningen.tex
  2. +10 −10 maattheorie/samenvatting.tex
3  maattheorie/oefeningen.tex
View
@@ -1,4 +1,4 @@
-\documentclass[a4paper,11pt]{article}
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
% Correct hyphenation
\usepackage[dutch]{babel}
@@ -47,7 +47,6 @@
\maketitle
\thispagestyle{empty}
-\newpage
\tableofcontents
\thispagestyle{empty}
\newpage
20 maattheorie/samenvatting.tex
View
@@ -349,9 +349,9 @@ \section{Algemene theorie van de integraal}
\begin{theorem}
Een functie $f: \Omega \rightarrow \left[ -\infty, \infty \right]$ is
$\mathcal{F}$-meetbaar als en slechts als
- \[
- \forall x \in \R: \left\lbrace f \leq x \right\rbrace \in \mathcal{F}
- \]
+ \begin{align*}
+ \left\lbrace f \leq x \right\rbrace &\in \mathcal{F} &&\forall x \in \R
+ \end{align*}
\end{theorem}
\begin{theorem}
@@ -386,8 +386,8 @@ \section{Algemene theorie van de integraal}
$\mathcal{F}$-meetbaar. Dan bestaat er een rij $f_n$ elementair en
$\mathcal{F}$-meetbaar zodat
\begin{align*}
- 0 \leq f_n(\omega) \nearrow f(\omega) \text{ als } f(\omega) \geq 0 \\
- 0 \geq f_n(\omega) \searrow f(\omega) \text{ als } f(\omega) \leq 0
+ 0 \leq f_n(\omega) \nearrow f(\omega) &&\text{ als } f(\omega) \geq 0 \\
+ 0 \geq f_n(\omega) \searrow f(\omega) &&\text{ als } f(\omega) \leq 0
\end{align*}
Er geldt dan duidelijk ook
\[
@@ -480,9 +480,9 @@ \section{Algemene theorie van de integraal}
\begin{description}
\item[$f^+$]
- $= f I_{\lbrace f \geq 0 \rbrace}$
+ $= f I_{\lbrace f \geq 0 \rbrace} = \max(f, 0)$
\item[$f^-$]
- $= - f I_{\lbrace f \leq 0 \rbrace}$
+ $= - f I_{\lbrace f \leq 0 \rbrace} = - \min(f, 0)$
Merk op dat deze dus ook positief is!
\end{description}
@@ -512,11 +512,11 @@ \section{Algemene theorie van de integraal}
$\int fd\mu < \infty$ dan
$f < \infty$ $\mu$-b.o.
- Merk op dat hieruit volgt dat
+ Merk op dat hieruit volgt dat, als $g$ $\mathcal{F}$-meetbaar
\[
- f\text{ }\mu\text{-integreerbaar } \Rightarrow \mu(\lbrace f = \pm\infty\rbrace) = 0
+ g\text{ }\mu\text{-integreerbaar } \Rightarrow \mu(\lbrace g = \pm\infty\rbrace) = 0
\]
- $f$ is dan dus $\mu$-b.o. eindig.
+ $g$ is dan dus $\mu$-b.o. eindig.
\item
$f$, $g$ semi-integreerbaar, $f \leq g$ $\mu$-b.o. $\Rightarrow$
$\int fd\mu \leq \int gd\mu$.
Please sign in to comment.
Something went wrong with that request. Please try again.