Skip to content

HTTPS clone URL

Subversion checkout URL

You can clone with HTTPS or Subversion.

Download ZIP

Comparing changes

Choose two branches to see what's changed or to start a new pull request. If you need to, you can also compare across forks.

Open a pull request

Create a new pull request by comparing changes across two branches. If you need to, you can also compare across forks.
base fork: ward/vub
base: 7e08ae6878
...
head fork: ward/vub
compare: 9c18af4ffa
Checking mergeability… Don't worry, you can still create the pull request.
  • 3 commits
  • 1 file changed
  • 0 commit comments
  • 1 contributor
Showing with 179 additions and 136 deletions.
  1. +179 −136 maattheorie/oefeningen.tex
View
315 maattheorie/oefeningen.tex
@@ -67,7 +67,7 @@ \section{Maatruimten}
\begin{opgave}
\begin{enumerate}
\item Veronderstel $\Omega \in \mathcal{F}$ en
- $\forall A, B \in \mathcal{F} : A \setminus B \in \mathcal{F}$.
+ $[\forall A, B \in \mathcal{F} : A \setminus B \in \mathcal{F}]$.
Bewijs dat $\mathcal{F}$ een algebra is.
\item
Onderstel dat $\Omega \in \mathcal{F}$ en dat $\mathcal{F}$ gesloten
@@ -118,7 +118,7 @@ \section{Maatruimten}
verzameling dus eindige disjuncte unie. Aantal elementen
in de unie zal de som zijn van de elementen in de kleinere
verzamelingen. Dit is duidelijk nog steeds een aantal in de
- vorm $2r$.
+ vorm $2r = 2(r_1 + r_2)$.
\end{enumerate}
\item % wnr (sigma) algebra?
$\Omega$ is eindig dus
@@ -145,9 +145,10 @@ \section{Maatruimten}
\end{opgave}
\begin{oplossing}
- Definieer
+ Definieer een klasse bestaande uit alle deelverzamelingen van $\Omega$ die zo
+ een hoogstens aftelbaar deel hebben.
\[
- \mathcal{A}' := \{ B \subseteq \Omega | \exists \mathcal{A}_B \subseteq \mathcal{A}, \mathcal{A}_B \text{ (hoogstens) aftelbaar: } B \in \sigma(\mathcal{A}_B) \}
+ \mathcal{A}' := \{ B \subseteq \Omega \mid \exists \mathcal{A}_B \subseteq \mathcal{A}, \mathcal{A}_B \text{ (hoogstens) aftelbaar: } B \in \sigma(\mathcal{A}_B) \}
\]
Merk op dat $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{A}' \subseteq \sigma(\mathcal{A})$
\begin{itemize}
@@ -164,9 +165,9 @@ \section{Maatruimten}
Verifieer dat $\mathcal{A}'$ een $\sigma$-algebra is.
\begin{enumerate}
- \item Volledige. Pak willekeurige $A$ uit $\mathcal{A}$,
- dit is ons hoogstens aftelbaar deel. De $\sigma$ zal
- altijd de volledige hebben.
+ \item Volledige. Voor $\Omega$ maakt het niet uit welk deel van $\mathcal{A}$
+ we nemen. De $\sigma$-algebra van dat deel zal immers, wegens de definitie van
+ $\sigma$-algebras, altijd $\Omega$ als een element hebben.
\item Complement. Voor een $A \in \mathcal{A}'$ hebben we een
hoogstens aftelbare $\mathcal{A}_A$ zodat
$A \in \sigma(\mathcal{A}_A)$. We weten echter dat
@@ -200,7 +201,7 @@ \section{Maatruimten}
Dan is $F(\underline{j})$, $\underline{j} \in \{0,1\}^n$ een partitie
van $\Omega$ en er geldt
\[
- f(\{A_1, \dots, A_n\}) = \{ \bigcup_{\underline{j} \in J} F(\underline{j}) | J \subseteq \{ 0, 1\}^n \}
+ f(\{A_1, \dots, A_n\}) = \{ \bigcup_{\underline{j} \in J} F(\underline{j}) \mid J \subseteq \{ 0, 1\}^n \}
\]
waar $f(\mathcal{A})$ de voortgebrachte algebra is.
@@ -237,25 +238,23 @@ \section{Maatruimten}
\]
\item % Verifieer gelijkheid
\[
- f(\{A_1, \dots, A_n\}) = \{ \bigcup_{\underline{j} \in J} F(\underline{j}) | J \subseteq \{ 0, 1\}^n \}
+ f(\{A_1, \dots, A_n\}) = \{ \bigcup_{\underline{j} \in J} F(\underline{j}) \mid J \subseteq \{ 0, 1\}^n \}
\]
- $\supset$ dit is duidelijk aangezien elke eindige combinatie
- altijd in algebra moet zitten..
+ $\supset$. Dit is duidelijk aangezien elke eindige combinatie
+ altijd in de algebra moet zitten.
$\subset$. Noem het rechterdeel $\mathcal{A}$. Dan geldt voor elke
$i$ dat
- \[
- \begin{array}{rclr}
- A_i &= &A_i \cap \Omega &\\
- &= &\bigcup \{ A_i \cap F(\underline{j}) | \underline{j} \in \{0,1\}^n \} & (\Omega \text{ is de unie van haar partitie})\\
- &= &\bigcup \{ F(\underline{j}) | \underline{j} \in \{0,1\}^n, j_i = 0 \}\\
- &\in &\mathcal{A}
- \end{array}
- \]
+ \begin{align*}
+ A_i &= A_i \cap \Omega &\\
+ &= \bigcup \{ A_i \cap F(\underline{j}) \mid \underline{j} \in \{0,1\}^n \} && (\Omega \text{ is de unie van haar partitie})\\
+ &= \bigcup \{ F(\underline{j}) \mid \underline{j} \in \{0,1\}^n, j_i = 0 \} && \cap \text{ niet nodig door def } F\\
+ &\in \mathcal{A}
+ \end{align*}
Nu enkel nog tonen dat $\mathcal{A}$ een algebra is.
\begin{enumerate}
- \item $\Omega = \bigcup \{ F(\underline{j}) | \underline{j} \in \{0,1\}^n \}$
+ \item $\Omega = \bigcup \{ F(\underline{j}) \mid \underline{j} \in \{0,1\}^n \}$
\item Zij $A = \bigcup_{\underline{j} \in J} F(\underline{j})$.
We weten dat de $F$ een partitie vormen, dus
\[
@@ -266,7 +265,7 @@ \section{Maatruimten}
$A^{\mathsf{c}} = \bigcup_{\underline{k} \in J^{\mathsf{c}}} F(\underline{k})$
en dus $A^{\mathsf{c}} \in \mathcal{A}$.
\item
- $A \cup B = \bigcup_{\underline{j} \in J_1 \cup J_2} F(\underline{j})$.
+ $A \cup B = \bigcup_{\underline{j} \in (J_1 \cup J_2)} F(\underline{j})$.
\end{enumerate}
\item % Toon maximum aantal elementen (eindig)
We maken een surjectie van de powerset van $\{0,1\}^n$ naar
@@ -281,7 +280,7 @@ \section{Maatruimten}
\item % Toon hoogst aftelbaar (oneindig)
Aftelbare unie van eindige verzamelingen. Namelijk
\[
- f(\{A_n|n\geq1\}) = f(\bigcup_{n \geq 1} \{ A_1, \dots, A_n\}) = \bigcup_{n \geq 1} f(\{A_1, \dots, A_n\})
+ f(\{A_n \mid n\geq1\}) = f(\bigcup_{n \geq 1} \{ A_1, \dots, A_n\}) = \bigcup_{n \geq 1} f(\{A_1, \dots, A_n\})
\]
(Geeft die laatste gelijkheid nooit problemen?)
\item % f(A)
@@ -299,118 +298,9 @@ \section{Maatruimten}
\item % f({A_1, A_2})
Analoog als vorige, we krijgen $2^{2^2} = 16$ elementen.
\end{enumerate}
-\end{oplossing}
-
-\begin{opgave}
- Zij $\mathcal{S}$ een semiring. Toon dat $\mathcal{S}^+$
- ( = eindige disjuncte unies van verzamelingen van $\mathcal{S}$)
- een ring is en concludeer dat $\mathcal{S}^+$ de kleinste ring is
- die $\mathcal{S}$ bevat. Dit kan bv op de volgende manier gebeuren:
- \begin{enumerate}
- \item Toon dat $\mathcal{S}^+$ een $\pi$-systeem is.
- \item Schrijf $A \cup B$ als disjuncte unie $B \cup (A \setminus B)$.
- Gezien eindige disjuncte unies in $\mathcal{S}^+$ blijven (waarom?)
- is het dan voldoende te tonen dat
- $A, B \in \mathcal{S}^+ \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal{S}^+$.
- \end{enumerate}
-\end{opgave}
-
-\begin{oplossing}
- Voor een ring hebben we de lege, de unie en het verschil nodig.
- Een semiring geeft ons de lege, de doorsnede en we hebben niet
- noodzakelijk het verschil, maar we kunnen er wel geraken met een
- eindig aantal disjuncte verzamelingen. We hebben dus niet
- $A \setminus B$, maar wel $C_1 \cup \dots \cup C_n = A \setminus B$.
-
- We tonen eerst dat $\mathcal{S}^+$ een $\pi$-systeem is. Gegeven
- $A, B \in \mathcal{S}^+$, weten we dat ze de eindige unie zijn
- van disjuncte elementen
- in $\mathcal{S}$, zij die elementen $A_i$, $B_j$. Dan is
- \[
- A \cap B = \bigcup_{i,j} (A_i \cap B_j) \in \mathcal{S}^+
- \]
- en dus is $\mathcal{S}^+$ een $\pi$-systeem.
-
- Neem weer een $A, B \in \mathcal{S}^+$, dan volgt
- \begin{displaymath}
- \begin{array}{rcl}
- A \setminus B &= &(\bigcup_{i=1}^n A_i) \setminus (\bigcup_{j=1}^m B_j)\\
- &=&\bigcup_{i=1}^n \bigcap_{j=1}^m (A_i \setminus B_j)\\
- &=&\bigcup_{i=1}^n \bigcap_{j=1}^m (A_i \setminus (A_i \cap B_j))\\
- &\in&\mathcal{S}^+
- \end{array}
- \end{displaymath}
- Bedenk bij dat laatste: doorsnede nog steeds in $\mathcal{S}$,
- verschil is gelijk aan een eindige unie, dus in $\mathcal{S}^+$,
- doorsnede tot $m$ want $\pi$-systeem en ten slotte eindige
- disjuncte unie tot $n$.
-
- Om nu te tonen dat een unie nog steeds binnen $\mathcal{S}^+$
- blijft, merken we simpel op dat
- $A \cup B = A \cup (B \setminus A)$ disjunct en eindig, dus
- per definitie in $\mathcal{S}^+$.
-
- Dus is $\mathcal{S}^+$ een ring.
-\end{oplossing}
-
-\begin{opgave}
- Zij $\mathcal{A}$ een ring. Toon dat
- $f(\mathcal{A}) = \mathcal{A} \cup \{ A^{\mathsf{c}} | A \in \mathcal{A} \}$.
-\end{opgave}
-
-\begin{oplossing}
- Ring heeft reeds de lege, de unie en het verschil. Voor een
- algebra rest ons dus de volledige en het complement.
- Duidelijk volgt de volledige uit het complement en de lege.
- (Alternatief, even duidelijk volgt het complement uit de
- volledige en het verschil)
-
- Na toevoegen van de complementen controleren we nog dat
- de unie nog steeds erin blijft. Zij $A, B \in \mathcal{A}$.
- \begin{itemize}
- \item $A \cup B \in \mathcal{A}$
- \item $A^{\mathsf{c}} \cup B^{\mathsf{c}} = (A \cap B)^{\mathsf{c}}$
- waar $A \cap B \in \mathcal{A}$ want een ring is ook
- een semiring.
- \item $A^{\mathsf{c}} \cup B = (A \setminus B)^{\mathsf{c}}$,
- verschil blijft in de ring.
- \end{itemize}
-
- Dus is $\mathcal{A} \cup \{ A^{\mathsf{c}} | A \in \mathcal{A} \}$
- een algebra en, aangezien elke algebra rond $\mathcal{A}$
- sowieso al de complementen ook nodig heeft, is het een deel van
- al die algebras. Dus is het $f(\mathcal{A})$.
-\end{oplossing}
-
-\begin{opgave}
- Zij $\Omega_i$, $i = 1, 2$ twee niet-lege verzamelingen en zij
- $\mathcal{S}_i$ een semiring op $\Omega_i$. Stel
- $\mathcal{S} = \{ A_1 \times A_2 | A_i \in \mathcal{S}_i \}$.
- Toon dat $\mathcal{S}$ een semiring op
- $\Omega_1 \times \Omega_2$.
-\end{opgave}
-
-\begin{oplossing}
- Controleer de semiring voorwaarden:
- \begin{enumerate}
- \item $\emptyset \times \emptyset \in \mathcal{S}$, want
- $\mathcal{S}_i$ semiringen.
- \item Doorsnede.
- $(A_1 \times A_2) \cap (B_1 \times B_2) = (A_1 \cap B_1) \times (A_2 \cap B_2)$
- \item Verschil `opvulbaar' met eindige disjuncte unie.
- Neem $A_1 \subseteq B_1 \in \mathcal{S}_1$,
- $A_2 \subseteq B_2 \in \mathcal{S}_2$ en dus
- $A_1 \times A_2 \subseteq B_1 \times B_2$.
- Nu is (waarom zo uitgebreid??)%TODO
- \[
- \begin{array}{rcl}
- (B_1 \times B_2) \setminus (A_1 \times A_2) &= &[(B_1 \setminus A_1) \times (B_2 \setminus A_2)]\\
- &&\cup [(B_1 \setminus A_1) \times A_2]\\
- &&\cup [A_1 \times (B_2 \times A_2)]
- \end{array}
- \]
- En dan elk afzonderlijk invullen...
- \end{enumerate}
+ % Gauthier vermeldde nog een lemma waar B_1, ... B_m partitie van omega
+ % dan
+ % f(B_1, ..., B_m) = verz van alle mogelijk unie-combos van B_i's
\end{oplossing}
\begin{opgave}
@@ -419,6 +309,8 @@ \section{Maatruimten}
\item Bewijs dat
\begin{enumerate}
\item
+ $\limsup\limits_n A_n \supseteq \liminf\limits_n A_n$
+ \item
$\limsup\limits_n \left(A_n \cap B_n\right) \subseteq \left(\limsup\limits_n A_n\right) \cap \left(\limsup\limits_n B_n\right)$
\item
$\limsup\limits_n \left(A_n \cup B_n\right) = \left(\limsup\limits_n A_n\right) \cup \left(\limsup\limits_n B_n\right)$
@@ -426,7 +318,8 @@ \section{Maatruimten}
$\liminf\limits_n \left(A_n \cap B_n\right) = \left(\liminf\limits_n A_n\right) \cap \left(\liminf\limits_n B_n\right)$
\item
$\liminf\limits_n \left(A_n \cup B_n\right) \supseteq \left(\liminf\limits_n A_n\right) \cup \left(\liminf\limits_n B_n\right)$
- \item Toon dat de inclusies strikt zijn met voorbeelden.
+ \item
+ Toon dat de inclusies strikt kunnen zijn aan de hand van voorbeelden.
\end{enumerate}
\item Bewijs dat als
$A_n \rightarrow A$ en $B_n \rightarrow B$, dan
@@ -437,6 +330,11 @@ \section{Maatruimten}
\[
A_n \cap B_n \rightarrow A \cap B
\]
+ \item
+ Als $\mu$ een eindige maat op $\mathcal{F}$ is, geldt er
+ \[
+ \mu \left( \liminf\limits_n A_n \right) \leq \liminf\limits_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n)
+ \]
\end{enumerate}
\end{opgave}
\begin{oplossing}
@@ -454,6 +352,8 @@ \section{Maatruimten}
\item
\begin{enumerate}
\item
+ % TODO: Zie notas. 5.a van Gauthier komt hier
+ \item
Merk op dat
\[
\forall n\geq1: \bigcup_{k\geq n} (A_k \cap B_k) \subseteq \bigcup_{k\geq n} A_k
@@ -560,6 +460,8 @@ \section{Maatruimten}
&= \liminf\limits_n \left( A_n \cap B_n \right)
\end{align*}
En dus de analoge conclusie.
+ \item
+ % TODO: Zie notas
\end{enumerate}
\end{oplossing}
@@ -612,7 +514,7 @@ \section{Maatruimten}
\]
\begin{enumerate}
\item
- Bewijs dat $\mu$ een maat is. Men noemt $\mu$ de telmaat.
+ Bewijs dat $\mu$ een maat is. Men noemt $\mu$ de \emph{telmaat}.
\item
Wanneer is de telmaat eindig? Wanneer $\sigma$-eindig?
\end{enumerate}
@@ -696,6 +598,117 @@ \section{Maatruimten}
\end{oplossing}
\begin{opgave}
+ Zij $\mathcal{S}$ een semiring. Toon dat $\mathcal{S}^+$
+ ( = eindige disjuncte unies van verzamelingen van $\mathcal{S}$)
+ een ring is en concludeer dat $\mathcal{S}^+$ de kleinste ring is
+ die $\mathcal{S}$ bevat. Dit kan bijvoorbeeld op de volgende manier gebeuren:
+ \begin{enumerate}
+ \item Toon dat $\mathcal{S}^+$ een $\pi$-systeem is.
+ \item Schrijf $A \cup B$ als disjuncte unie $B \cup (A \setminus B)$.
+ Gezien eindige disjuncte unies in $\mathcal{S}^+$ blijven (waarom?),
+ is het dan voldoende te tonen dat
+ $A, B \in \mathcal{S}^+ \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal{S}^+$.
+ \end{enumerate}
+\end{opgave}
+\begin{oplossing}
+ Voor een ring hebben we de lege, de unie en het verschil nodig.
+ Een semiring geeft ons de lege, de doorsnede en we hebben niet
+ noodzakelijk het verschil, maar we kunnen er wel geraken met een
+ eindig aantal disjuncte verzamelingen. We hebben dus niet
+ $A \setminus B$, maar wel $C_1 \cup \dots \cup C_n = A \setminus B$.
+
+ We tonen eerst dat $\mathcal{S}^+$ een $\pi$-systeem is. Gegeven
+ $A, B \in \mathcal{S}^+$, weten we dat ze de eindige unie zijn
+ van disjuncte elementen
+ in $\mathcal{S}$, zij die elementen $A_i$, $B_j$. Dan is
+ \[
+ A \cap B = \bigcup_{i,j} (A_i \cap B_j) \in \mathcal{S}^+
+ \]
+ en dus is $\mathcal{S}^+$ een $\pi$-systeem.
+
+ Neem weer een $A, B \in \mathcal{S}^+$, dan volgt
+ \begin{displaymath}
+ \begin{array}{rcl}
+ A \setminus B &= &(\bigcup_{i=1}^n A_i) \setminus (\bigcup_{j=1}^m B_j)\\
+ &=&\bigcup_{i=1}^n \bigcap_{j=1}^m (A_i \setminus B_j)\\
+ &=&\bigcup_{i=1}^n \bigcap_{j=1}^m (A_i \setminus (A_i \cap B_j))\\
+ &\in&\mathcal{S}^+
+ \end{array}
+ \end{displaymath}
+ Bedenk bij dat laatste: doorsnede nog steeds in $\mathcal{S}$,
+ verschil is gelijk aan een eindige unie, dus in $\mathcal{S}^+$,
+ doorsnede tot $m$ want $\pi$-systeem en ten slotte eindige
+ disjuncte unie tot $n$.
+
+ Om nu te tonen dat een unie nog steeds binnen $\mathcal{S}^+$
+ blijft, merken we simpel op dat
+ $A \cup B = A \cup (B \setminus A)$ disjunct en eindig, dus
+ per definitie in $\mathcal{S}^+$.
+
+ Dus is $\mathcal{S}^+$ een ring.
+\end{oplossing}
+
+\begin{opgave}
+ Zij $\mathcal{A}$ een ring. Toon dat
+ $f(\mathcal{A}) = \mathcal{A} \cup \{ A^{\mathsf{c}} \mid A \in \mathcal{A} \}$.
+\end{opgave}
+\begin{oplossing}
+ Ring heeft reeds de lege, de unie en het verschil. Voor een
+ algebra rest ons dus de volledige en het complement.
+ Duidelijk volgt de volledige uit het complement en de lege.
+ (Alternatief, even duidelijk volgt het complement uit de
+ volledige en het verschil)
+
+ Na toevoegen van de complementen controleren we nog dat
+ de unie nog steeds erin blijft. Zij $A, B \in \mathcal{A}$.
+ \begin{itemize}
+ \item $A \cup B \in \mathcal{A}$
+ \item $A^{\mathsf{c}} \cup B^{\mathsf{c}} = (A \cap B)^{\mathsf{c}}$
+ waar $A \cap B \in \mathcal{A}$ want een ring is ook
+ een semiring.
+ \item $A^{\mathsf{c}} \cup B = (A \setminus B)^{\mathsf{c}}$,
+ verschil blijft in de ring.
+ \end{itemize}
+
+ Dus is $\mathcal{A} \cup \{ A^{\mathsf{c}} | A \in \mathcal{A} \}$
+ een algebra en, aangezien elke algebra rond $\mathcal{A}$
+ sowieso al de complementen ook nodig heeft, is het een deel van
+ al die algebras. Dus is het $f(\mathcal{A})$.
+\end{oplossing}
+
+\begin{opgave}
+ Zij $\Omega_i$, $i = 1, 2$ twee niet-lege verzamelingen en zij
+ $\mathcal{S}_i$ een semiring op $\Omega_i$. Stel
+ $\mathcal{S} = \{ A_1 \times A_2 \mid A_i \in \mathcal{S}_i \}$.
+ Toon dat $\mathcal{S}$ een semiring op
+ $\Omega_1 \times \Omega_2$ is.
+
+ Merk op dat dit over het algemeen \emph{niet} geldt voor andere structuren.
+\end{opgave}
+\begin{oplossing}
+ Controleer de semiring voorwaarden:
+ \begin{enumerate}
+ \item $\emptyset \times \emptyset \in \mathcal{S}$, want
+ $\mathcal{S}_i$ semiringen.
+ \item Doorsnede.
+ $(A_1 \times A_2) \cap (B_1 \times B_2) = (A_1 \cap B_1) \times (A_2 \cap B_2)$
+ \item Verschil `opvulbaar' met eindige disjuncte unie.
+ Neem $A_1 \subseteq B_1 \in \mathcal{S}_1$,
+ $A_2 \subseteq B_2 \in \mathcal{S}_2$ en dus
+ $A_1 \times A_2 \subseteq B_1 \times B_2$.
+ Nu is (waarom zo uitgebreid??)%TODO
+ \[
+ \begin{array}{rcl}
+ (B_1 \times B_2) \setminus (A_1 \times A_2) &= &[(B_1 \setminus A_1) \times (B_2 \setminus A_2)]\\
+ &&\cup [(B_1 \setminus A_1) \times A_2]\\
+ &&\cup [A_1 \times (B_2 \times A_2)]
+ \end{array}
+ \]
+ En dan elk afzonderlijk invullen...
+ \end{enumerate}
+\end{oplossing}
+
+\begin{opgave}
Stel op $\left( \Omega, \mathcal{F} \right)$ twee eindige maten $\mu_1$ en
$\mu_2$ zodanig dat $\mu_1 \leq \mu_2$ op $\mathcal{S}$, waar $\mathcal{S}$
een semiring is zodanig dat $\sigma(\mathcal{S}) = \mathcal{F}$.
@@ -707,6 +720,36 @@ \section{Maatruimten}
\end{oplossing}
\begin{opgave}
+ Zij $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ een maatruimte met $\mu$ een eindige maat,
+ $\mathcal{A}$ een semiring en $\mathcal{F} = \sigma(\mathcal{A})$. Toon
+ volgende gelijkheid aan
+ \[
+ (\Omega, \mathcal{M}(\mu^*), \mu^*) = (\Omega, \mathcal{F}_\mu, \overline{\mu})
+ \]
+ waarbij $\mu^*$ de uitwendige maat behorend bij $\mu$ is en $\mathcal{F}_\mu$
+ zoals in stelling 1.9 op pagina 14.
+\end{opgave}
+\begin{oplossing}
+ Hint: Voor $\mathcal{\mu^*} \subseteq \mathcal{F}_\mu$ kan gebruikt worden dat
+ \[
+ \mu^*(A) = \inf \left\lbrace \sum_{i \geq 1} \mu(B_i) \mid A \subseteq \bigcup_{i \geq 1} B_i, B_i \in \mathcal{A} \text{ disjunct} \right\rbrace
+ \]
+\end{oplossing}
+
+\begin{opgave}
+ Zij $(\Omega, \mathcal{F})$ een meetbare ruimte en $\mu_i^*, i \geq 1$ een rij
+ uitwendige maten op $(\Omega, \mathcal{F})$. Toon aan dat
+ \begin{enumerate}
+ \item
+ $\sum_{i=1}^\infty \mu_i^*$
+ \item
+ $\sup\limits_{i \geq 1} \mu_i^*$
+ \end{enumerate}
+\end{opgave}
+\begin{oplossing}
+\end{oplossing}
+
+\begin{opgave}
Zij $\mu$ een eindige maat op $\mathcal{R}^k$, de Borel-$\sigma$-algebra
op $\R^k$. Stel
\begin{align*}

No commit comments for this range

Something went wrong with that request. Please try again.