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true	困难	https://github.com/doocs/leetcode/edit/main/solution/0800-0899/0829.Consecutive%20Numbers%20Sum/README.md	数学 枚举

829. 连续整数求和

English Version

题目描述

给定一个正整数 n，返回 连续正整数满足所有数字之和为 n 的组数 。 

 

示例 1:

输入: n = 5
输出: 2
解释: 5 = 2 + 3，共有两组连续整数([5],[2,3])求和后为 5。

示例 2:

输入: n = 9
输出: 3
解释: 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4

示例 3:

输入: n = 15
输出: 4
解释: 15 = 8 + 7 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

 

提示:

• 1 <= n <= 109​​​​​​​

解法

方法一：数学推导

连续正整数构成一个公差 $d=1$ 的等差数列。我们假设等差数列的第一项为 $a$，项数为 $k$，那么 $n=(a+a+k-1)\times k/2$，即 $n\times 2=(a\times 2+k-1)\times k$。这里我们可以得出 $k$ 一定能整除 $n\times 2$，并且 $(n\times 2)/k-k+1$ 一定是偶数。

由于 $a\ge 1$，所以 $n\times 2=(a\times 2+k-1)\times k\ge k\times (k+1)$。

综上，我们可以得出：

1. $k$ 一定能整除 $n\times 2$；
2. $k\times (k+1)\le n\times 2$；
3. $(n\times 2)/k-k+1$ 一定是偶数。

我们从 $k=1$ 开始枚举，当 $k\times (k+1)>n\times 2$ 时，我们可以结束枚举。在枚举的过程中，我们判断 $k$ 是否能整除 $n\times 2$，并且 $(n\times 2)/k-k+1$ 是否是偶数，如果是则满足条件，答案加一。

枚举结束后，返回答案即可。

时间复杂度 $O(\sqrt{n})$，其中 $n$ 为给定的正整数。空间复杂度 $O(1)$。

Python3

class Solution:
    def consecutiveNumbersSum(self, n: int) -> int:
        n <<= 1
        ans, k = 0, 1
        while k * (k + 1) <= n:
            if n % k == 0 and (n // k + 1 - k) % 2 == 0:
                ans += 1
            k += 1
        return ans

Java

class Solution {

    public int consecutiveNumbersSum(int n) {
        n <<= 1;
        int ans = 0;
        for (int k = 1; k * (k + 1) <= n; ++k) {
            if (n % k == 0 && (n / k + 1 - k) % 2 == 0) {
                ++ans;
            }
        }
        return ans;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int consecutiveNumbersSum(int n) {
        n <<= 1;
        int ans = 0;
        for (int k = 1; k * (k + 1) <= n; ++k) {
            if (n % k == 0 && (n / k + 1 - k) % 2 == 0) {
                ++ans;
            }
        }
        return ans;
    }
};

Go

func consecutiveNumbersSum(n int) int {
	n <<= 1
	ans := 0
	for k := 1; k*(k+1) <= n; k++ {
		if n%k == 0 && (n/k+1-k)%2 == 0 {
			ans++
		}
	}
	return ans
}

TypeScript

function consecutiveNumbersSum(n: number): number {
    let ans = 0;
    n <<= 1;
    for (let k = 1; k * (k + 1) <= n; ++k) {
        if (n % k === 0 && (Math.floor(n / k) + 1 - k) % 2 === 0) {
            ++ans;
        }
    }
    return ans;
}