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给定正整数 n,找到若干个完全平方数(比如 1, 4, 9, 16, ...)使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。
给你一个整数 n ,返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。
完全平方数 是一个整数,其值等于另一个整数的平方;换句话说,其值等于一个整数自乘的积。例如,1、4、9 和 16 都是完全平方数,而 3 和 11 不是。
示例 1:
- 输入:n = 12
- 输出:3
- 解释:12 = 4 + 4 + 4
示例 2:
- 输入:n = 13
- 输出:2
- 解释:13 = 4 + 9
提示:
- 1 <= n <= 10^4
《代码随想录》算法视频公开课:换汤不换药!| LeetCode:279.完全平方数,相信结合视频再看本篇题解,更有助于大家对本题的理解。
可能刚看这种题感觉没啥思路,又平方和的,又最小数的。
我来把题目翻译一下:完全平方数就是物品(可以无限件使用),凑个正整数n就是背包,问凑满这个背包最少有多少物品?
感受出来了没,这么浓厚的完全背包氛围,而且和昨天的题目动态规划:322. 零钱兑换就是一样一样的!
动规五部曲分析如下:
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[j]:和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]
- 确定递推公式
dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出, dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。
此时我们要选择最小的dp[j],所以递推公式:dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
- dp数组如何初始化
dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量,那么dp[0]一定是0。
有同学问题,那0 * 0 也算是一种啊,为啥dp[0] 就是 0呢?
看题目描述,找到若干个完全平方数(比如 1, 4, 9, 16, ...),题目描述中可没说要从0开始,dp[0]=0完全是为了递推公式。
非0下标的dp[j]应该是多少呢?
从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的,所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值,这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。
- 确定遍历顺序
我们知道这是完全背包,
如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品。
在动态规划:322. 零钱兑换中我们就深入探讨了这个问题,本题也是一样的,是求最小数!
所以本题外层for遍历背包,内层for遍历物品,还是外层for遍历物品,内层for遍历背包,都是可以的!
我这里先给出外层遍历背包,内层遍历物品的代码:
vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
}
}
- 举例推导dp数组
已输入n为5例,dp状态图如下:
dp[0] = 0 dp[1] = min(dp[0] + 1) = 1 dp[2] = min(dp[1] + 1) = 2 dp[3] = min(dp[2] + 1) = 3 dp[4] = min(dp[3] + 1, dp[0] + 1) = 1 dp[5] = min(dp[4] + 1, dp[1] + 1) = 2
最后的dp[n]为最终结果。
以上动规五部曲分析完毕C++代码如下:
// 版本一
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
}
}
return dp[n];
}
};
- 时间复杂度: O(n * √n)
- 空间复杂度: O(n)
同样我在给出先遍历物品,在遍历背包的代码,一样的可以AC的。
// 版本二
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i * i <= n; i++) { // 遍历物品
for (int j = i * i; j <= n; j++) { // 遍历背包
dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
}
}
return dp[n];
}
};
- 同上
如果大家认真做了昨天的题目动态规划:322. 零钱兑换,今天这道就非常简单了,一样的套路一样的味道。
但如果没有按照「代码随想录」的题目顺序来做的话,做动态规划或者做背包问题,上来就做这道题,那还是挺难的!
经过前面的训练这道题已经是简单题了
class Solution {
// 版本一,先遍历物品, 再遍历背包
public int numSquares(int n) {
int max = Integer.MAX_VALUE;
int[] dp = new int[n + 1];
//初始化
for (int j = 0; j <= n; j++) {
dp[j] = max;
}
//如果不想要寫for-loop填充數組的話,也可以用JAVA內建的Arrays.fill()函數。
//Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
//当和为0时,组合的个数为0
dp[0] = 0;
// 遍历物品
for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
// 遍历背包
for (int j = i * i; j <= n; j++) {
//if (dp[j - i * i] != max) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
//}
//不需要這個if statement,因爲在完全平方數這一題不會有"湊不成"的狀況發生( 一定可以用"1"來組成任何一個n),故comment掉這個if statement。
}
}
return dp[n];
}
}
class Solution {
// 版本二, 先遍历背包, 再遍历物品
public int numSquares(int n) {
int max = Integer.MAX_VALUE;
int[] dp = new int[n + 1];
// 初始化
for (int j = 0; j <= n; j++) {
dp[j] = max;
}
// 当和为0时,组合的个数为0
dp[0] = 0;
// 遍历背包
for (int j = 1; j <= n; j++) {
// 遍历物品
for (int i = 1; i * i <= j; i++) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
}
}
return dp[n];
}
}
先遍历背包, 再遍历物品
class Solution:
def numSquares(self, n: int) -> int:
dp = [float('inf')] * (n + 1)
dp[0] = 0
for i in range(1, n + 1): # 遍历背包
for j in range(1, int(i ** 0.5) + 1): # 遍历物品
# 更新凑成数字 i 所需的最少完全平方数数量
dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)
return dp[n]
先遍历物品, 再遍历背包
class Solution:
def numSquares(self, n: int) -> int:
dp = [float('inf')] * (n + 1)
dp[0] = 0
for i in range(1, int(n ** 0.5) + 1): # 遍历物品
for j in range(i * i, n + 1): # 遍历背包
# 更新凑成数字 j 所需的最少完全平方数数量
dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j])
return dp[n]
其他版本
class Solution:
def numSquares(self, n: int) -> int:
# 创建动态规划数组,初始值为最大值
dp = [float('inf')] * (n + 1)
# 初始化已知情况
dp[0] = 0
# 遍历背包容量
for i in range(1, n + 1):
# 遍历完全平方数作为物品
j = 1
while j * j <= i:
# 更新最少完全平方数的数量
dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)
j += 1
# 返回结果
return dp[n]
class Solution(object):
def numSquares(self, n):
# 先把可以选的数准备好,更好理解
nums, num = [], 1
while num ** 2 <= n:
nums.append(num ** 2)
num += 1
# dp数组初始化
dp = [float('inf')] * (n + 1)
dp[0] = 0
# 遍历准备好的完全平方数
for i in range(len(nums)):
# 遍历背包容量
for j in range(nums[i], n+1):
dp[j] = min(dp[j], dp[j-nums[i]]+1)
# 返回结果
return dp[-1]
// 版本一,先遍历物品, 再遍历背包
func numSquares1(n int) int {
//定义
dp := make([]int, n+1)
// 初始化
dp[0] = 0
for i := 1; i <= n; i++ {
dp[i] = math.MaxInt32
}
// 遍历物品
for i := 1; i <= n; i++ {
// 遍历背包
for j := i*i; j <= n; j++ {
dp[j] = min(dp[j], dp[j-i*i]+1)
}
}
return dp[n]
}
// 版本二,先遍历背包, 再遍历物品
func numSquares2(n int) int {
//定义
dp := make([]int, n+1)
// 初始化
dp[0] = 0
// 遍历背包
for j := 1; j <= n; j++ {
//初始化
dp[j] = math.MaxInt32
// 遍历物品
for i := 1; i <= n; i++ {
if j >= i*i {
dp[j] = min(dp[j], dp[j-i*i]+1)
}
}
}
return dp[n]
}
func min(a, b int) int {
if a < b {
return a
}
return b
}
// 先遍历物品,再遍历背包
var numSquares1 = function(n) {
let dp = new Array(n + 1).fill(Infinity)
dp[0] = 0
for(let i = 1; i**2 <= n; i++) {
let val = i**2
for(let j = val; j <= n; j++) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - val] + 1)
}
}
return dp[n]
};
// 先遍历背包,再遍历物品
var numSquares2 = function(n) {
let dp = new Array(n + 1).fill(Infinity)
dp[0] = 0
for(let i = 1; i <= n; i++) {
for(let j = 1; j * j <= i; j++) {
dp[i] = Math.min(dp[i - j * j] + 1, dp[i])
}
}
return dp[n]
};
// 先遍历物品
function numSquares(n: number): number {
const goodsNum: number = Math.floor(Math.sqrt(n));
const dp: number[] = new Array(n + 1).fill(Infinity);
dp[0] = 0;
for (let i = 1; i <= goodsNum; i++) {
const tempVal: number = i * i;
for (let j = tempVal; j <= n; j++) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - tempVal] + 1);
}
}
return dp[n];
};
// 先遍历背包
function numSquares(n: number): number {
const dp = Array(n + 1).fill(Infinity)
dp[0] = 0;
for(let i = 1; i <= n; i++){
for(let j = 1; j * j <= i; j++){
dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i -j * j] + 1)
}
}
return dp[n]
};
#define min(a, b) ((a) > (b) ? (b) : (a))
int numSquares(int n) {
int* dp = (int*)malloc(sizeof(int) * (n + 1));
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
dp[j] = INT_MAX;
}
dp[0] = 0;
// 遍历背包
for (int i = 0; i <= n; ++i) {
// 遍历物品
for (int j = 1; j * j <= i; ++j) {
dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
}
}
return dp[n];
}
// 先遍历背包
impl Solution {
pub fn num_squares(n: i32) -> i32 {
let n = n as usize;
let mut dp = vec![i32::MAX; n + 1];
dp[0] = 0;
for i in 0..=n {
let mut j = 1;
loop {
match j * j > i {
true => break,
false => dp[i] = dp[i].min(dp[i - j * j] + 1),
}
j += 1;
}
}
dp[n]
}
}
// 先遍历物品
impl Solution {
pub fn num_squares(n: i32) -> i32 {
let (n, mut goods) = (n as usize, 1);
let mut dp = vec![i32::MAX; n + 1];
dp[0] = 0;
loop {
if goods * goods > n {
break;
}
for j in goods * goods..=n {
dp[j] = dp[j].min(dp[j - goods * goods] + 1);
}
goods += 1;
}
dp[n]
}
}