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PROJECT EULERO
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Intel i5 Intel i7 Intel i7
Problema Soluzione Tempo (msec) Tempo (msec) Tempo (msec)
Algorithm 1 Algorithm 1 Algorithm 2
| 1 | 233168 | 0 | 0 | 0 |
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| 5 | 232792560 | 0 | 0 | 0 |
| 6 | 25164150 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 104743 | 78 | 31 | 16 |
| 8 | 23514624000 | 110 | 62 | 0 |
| 9 | 31875000 | 62 | 31 | 0 |
| 10 | 142913828922 | 1563 | 1078 | 546 |
| 11 | 70600674 | 0 | 0 | 3 |
| 12 | 76576500 | 5445 | 4022 | 0 |
| 13 | 5537376230 | 0 | 0 | - |
| 14 | 837799 | 22487 | 15408 | 7563 |
| 15 | 137846528820 | 0 | 0 | 0 |
| 16 | 1366 | 0 | 0 | 32 |
| 17 | 21124 | 0 | 0 | - |
| 18 | 1074 | 32 | 7 | 0 |
| 19 | 171 | 3 | 1 | 1 |
| 20 | 648 | 0 | 0 | - |
| 21 | 31626 | 220 | 134 | 87 |
| 22 | 871198282 | 20 | 10 | - |
| 23 | 4179871 | 40900 | 27534 | - |
| 24 | 2783915460 | 25309 | 12282 | - |
| 25 | 4782 | 4926 | 3469 | - |
| 26 | 983 | 488 | 266 | - |
| 27 | -59231 | 2000 | 1532 | - |
| 28 | 669171001 | 0 | 0 | - |
| 29 | 9183 | 141 | 94 | - |
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| 31 | 73682 | 1 | 0 | - |
| 32 | 45228 | 1625 | 1079 | - |
| 33 | 100 | 0 | 0 | - |
| 34 | 40730 | 3797 | 2625 | - |
| 35 | 55 | 1267 | 902 | - |
| 36 | 872187 | 1443 | 945 | - |
| 37 | 748317 | 778 | 651 | - |
| 38 | 932718654 | 94 | 48 | - |
| 39 | 840 | 13486 | 9561 | - |
| 40 | 210 | 141 | 433 | - |
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| 42 | 162 | 31 | 4 | - |
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| 44 | 5482660 | 5589 | 4182 | - |
| 45 | 1533776805 | 115 | 63 | - |
| 46 | 5777 | 31 | 5 | - |
| 47 | 134043 | 0 | 0 | - |
| 48 | 9110846700 | 266 | 186 | - |
| 49 | 296962999629 | 19 | 5 | - |
| 50 | 997651 | 27113 | 18871 | - |
| 51 | 121313 | 269 | 180 | - |
| 52 | 142857 | 313 | 204 | - |
| 53 | 4075 | 25 | 5 | - |
| 54 | 376 | 154 | 91 | - |
| 55 | 249 | 116 | 69 | - |
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| 57 | 153 | 10 | 1 | - |
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| 59 | 129448 / 107359 | 15 | 1 | - |
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| 61 | 28684 | - | 85 | - |
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| 63 | 49 | - | 0 | 0 |
| 64 | 1322 | - | 81 | - |
| 65 | 272 | - | 0 | - |
| 66 | 661 | - | 0 | - |
| 67 | 7273 | - | 1 | - |
| 68 | 6531031914842725 | - | 21 | - |
| 69 | 510510 | - | 642 | - |
| 70 | 8319823 | - | 9621 | 7 |
| 71 | 428570 | - | 191 | - |
| 72 | 303963552391 | - | 2060 | - |
| 73 | 7295372 | - | 1809 | 2345 |
| 74 | 402 | - | 286059 | 1125 |
| 75 | 161667 | - | 822 | - |
| 76 | 190569291 | - | 0 | - |
| 77 | 71 | - | 4 | - |
| 78 | 55374 | - | 7918 | - |
| 79 | 73162890 | - | 0 | - |
| 80 | 40886 | - | 29 | - |
| 81 | 427337 | - | 3 | - |
| 82 | 260324 | - | 5 | - |
| 83 | 425185 | - | 6503 | - |
| 84 | 101524 | - | 66 | - |
| 85 | 2772 | - | 2 | - |
| 86 | 1818 | - | 233564 | 528 |
| 87 | 1097343 | - | 1153 | - |
| 88 | 7587457 | - | 24771 | 377 |
| 89 | 743 | - | 0 | - |
| 90 | 1217 | - | 31 | - |
| 91 | 14234 | - | 7259 | 1 |
| 92 | 8581146 | - | 51582 | 16 |
| 93 | 1258 | - | 389 | - |
| 94 | 518408346 | - | 28946 | 0 |
| 95 | 14316 | - | 1846 | - |
| 96 | 24702 | - | 27084 | - |
| 97 | 8739992577 | - | 497 | - |
| 98 | 18769 | - | 136 | - |
| 99 | 709 | - | 0 | - |
| 100 | 756872327473 | - | 0 | - |
| 101 | 37076114526 | - | 70 | - |
| 102 | 228 | - | 2 | 1 |
| 103 | 20313839404245 | - | 0 | - |
| 104 | 329468 | - | 37978 | - |
| 105 | 73702 | - | 864 | - |
| 108 | 180180 | - | 7521 | 331 |
| 109 | 38182 | - | 9 | - |
| 110 | 9350130049860600 | - | 16 | - |
| 112 | 1587000 | - | 1732 | - |
| 113 | 51161058134250 | - | 8 | - |
| 114 | 16475640049 | - | 0 | - |
| 115 | 168 | - | 2 | - |
| 116 | 20492570929 | - | 1 | - |
| 117 | 100808458960497 | - | 1 | - |
| 119 | 248155780267521 | - | 26 | - |
| 120 | 333082500 | - | 0 | - |
| 121 | 2269 | - | 1 | - |
| 122 | 1582 | - | 138 | - |
| 123 | 21035 | - | 134 | - |
| 124 | 21417 | - | 140 | - |
| 125 | 2906969179 | - | 1570 | - |
| 135 | 4989 | - | 2874 | 1194 |
| 145 | 608720 | - | 99501 | 0 |
| 173 | 1572729 | - | 124 | 0 |
| 188 | 95962097 | - | 29 | - |
| 191 | 1918080160 | - | 1 | 0 |
| 206 | 1389019170 | - | 2 | - |
| 469 | 0.56766764161831 | - | 0 | - |
Sito web: https://projecteuler.net/archives
Cos'è Project Euler?
Project Euler è una serie di stimolanti problemi di programmazione matematica/informatica che richiedono molto più di semplici approfondimenti matematici per essere risolti. Sebbene la matematica aiuti ad arrivare a metodi eleganti ed efficienti, per risolvere la maggior parte dei problemi sarà necessario l'uso di un computer e competenze di programmazione.
La motivazione per l'avvio di Project Euler, e la sua continuazione, è di fornire una piattaforma per la mente indagatrice per addentrarsi in aree non familiari e apprendere nuovi concetti in un contesto divertente e ricreativo.
A chi sono rivolti i problemi?
Il pubblico previsto comprende studenti per i quali il curriculum di base non alimenta la loro fame per imparare, adulti il cui background non era principalmente la matematica ma aveva un interesse per le cose matematiche, e professionisti che vogliono mantenere le loro capacità di solving e la matematica all'avanguardia.
Chiunque può risolvere i problemi?
I problemi sono di diversa difficoltà e per molti l'esperienza è l'apprendimento a catena induttivo. Cioè, risolvendo un problema ti esporrà ad un nuovo concetto che ti permette di intraprendere un problema precedentemente inaccessibile. Quindi il partecipante determinato lentamente ma sicuramente farà il suo lavoro attraverso ogni problema.
Cosa fare in seguito?
Per tenere traccia dei tuoi progressi è necessario impostare un account e abilitare i cookie. Se hai già un account puoi accedere senza problemi, altrimenti devi registrati - è completamente gratuito!
Tuttavia, poiché alcuni problemi sono difficili, potresti voler visionare i problemi prima di registrarti.
"Il progetto Eulero esiste per incoraggiare, sfidare e sviluppare le capacità e il divertimento di chiunque abbia un interesse per l'affascinante mondo della matematica."
Nota: i problemi devono essere risolti con la "regola del minuto", cioè i programmi devono trovare la soluzione entro un minuto (se possibile).
In questo paragrafo affronteremo e risolveremo alcuni di questi problemi. Comunque prima di vedere la soluzione dovresti provare a risolverli per conto proprio in modo da migliorare le tue capacità di problem-solver e di programmatore.
Nota: La maggior parte delle soluzioni contiene una spiegazione dell'algoritmo utilizzato e alcuni problemi sono risolti con due algoritmi diversi. In genere il secondo algoritmo ha un approccio più matematico ed è più veloce.
Nota: La soluzione della maggior parte dei problemi comporta (almeno per me) la ricerca di informazioni su internet di argomenti diversi (matematica, algoritmi, problem solving, ecc.).
Vengono prima presentate alcune funzioni che servono per la soluzione di diversi problemi.
;=============================================
; (isprime? n)
; Controlla se n è un numero primo
; Non funziona con i big integer
; numero massimo (int64): 9223372036854775807
;=============================================
(define (isprime? n)
(if (< n 2) nil
(= 1 (length (factor n)))))
;=============================================
;=============================================
; (factor-group n)
; fattorizza il numero x raggruppando i termini uguali
; Non funziona con i big integer
; numero massimo (int64): 9223372036854775807
;=============================================
(define (factor-group x)
(if (= x 1) '(1 1)
(letn (fattori (factor x)
unici (unique fattori))
(transpose (list unici (count unici fattori)))
)
)
)
(factor-group 1)
;-> (1 1)
(factor-group 2000)
;-> ((2 4) (5 3))
(factor-group 232792560)
;-> ((2 4) (3 2) (5 1) (7 1) (11 1) (13 1) (17 1) (19 1))
E la funzione inversa a factor-group che genera il numero partendo dalla fattorizzazione:
(define (inv-factor-group lst)
(apply * (map (lambda (x) (pow (first x) (last x))) lst))
)
(inv-factor-group (factor-group 232792560))
;-> 232792560
----------------------------------------------------------------------------
==========
Problema 1
==========
Multipli di 3 e di 5
Se elenchiamo i numeri sotto a 10 che sono multipli di 3 o di 5, otteniamo 3, 5, 6 e 9.
La loro somma vale 23.
Trova la somma di tutti i multipli di 3 o di 5 sotto a 1000.
============================================================================
La funzione "sequence" genera una lista di numeri:
(sequence 1 10)
;-> (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10)
(sequence 1 10 2)
;-> (1 3 5 7 9)
Possiamo anche scrivere una funzione che si comporta come "sequence":
(define (seq start end (step 1))
(cond ((= start end) (list end))
((> start end) '())
(true (cons start (seq (+ start step) end step)))
)
)
(seq 1 10)
;-> (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10)
(seq 1 10 2)
;-> (1 3 5 7 9)
Un numero n è divisibile esattamente per m se risulta (n mod m == 0),
cioè il resto della divisione tra n e m vale zero.
In newLISP "%" è la funzione mod per i numeri interi.
(zero? (% 10 2))
;-> true
(zero? (% 130 11))
;-> nil
La funzione "filter" seleziona tutti i valori che soddisfano un predicato:
(filter (fn(x) (> x 5)) '(6 4 5 2 6 7 3 4 8 9))
;-> (6 6 7 8 9)
La funzione "apply" applica una funzione utilizzando tutti gli argomenti:
(apply + '(1 3 5))
;-> 9
Adesso possiamo scrivere la funzione:
(define (e001)
(apply + (filter (fn(x) (or (zero? (% x 3)) (zero? (% x 5)))) (sequence 1 999)))
)
(e001)
;-> 233168
(time (e001))
;-> 0
(time (e001) 10000)
;-> 2453.466
Soluzione alternativa:
generiamo due sequenze (una con i multipli di 3 e l'altra con i multipli di 5)
(setq a (sequence 3 20 3))
;-> (3 6 9 12 15 18)
(setq b (sequence 5 20 5))
;-> (5 10 15 20)
uniamo le sequenze (la funzione union mantiene solo valori unici)
(setq c (union a b))
;-> (3 6 9 12 15 18 5 10 20)
infine sommiamo tutti i numeri:
(apply + c)
;-> 18
Ed ecco la funzione:
(define (e001)
(apply + (union (sequence 3 999 3) (sequence 5 999 5)))
)
(e001)
;-> 233168
(time (e001))
;-> 0
(time (e001) 10000)
;-> 796.682
Dal punto di vista matematico possiamo notare che:
Sum[1..n] (i) = (1/2)*n*(n + 1) (Formula di Gauss)
Se vogliamo sapere quanti numeri sono divisibili per 3 possiamo scrivere:
D(n 3) = 3 * Sum[1 (floor n/3)] (i) = 3*(1/2)*(floor n/3)*((floor n/3) + 1)
Perchè contiamo fino a (floor n/3)? Applichiamo la formula:
(3) * (1 + 2 + 3 + ... 999) ==> (3 6 9 12 ... 2997)
Quanti sono i divisori di 3 fino a 999:
(for (i 1 999) (if (zero? (% i 3)) (++ d))) d
;-> 333
Quindi:
(floor (div 999 3))
;-> 333
E per un generico valore k (invece di 3):
D(n k) = k*Sum[1 (floor n/k)](i) = k*(1/2)*(floor n/k)*((floor n/k) + 1)
Adesso sommiamo i divisori di 3 e i divisori di 5 e sottraiamo i divisori 15 (perchè lcm(5 3) = 15):
sol = D(999 3) + D(999 5) - D(999 15)
(define (e001-2 n)
(local (a b c)
(setq a (floor (div n 3)))
(setq b (floor (div n 5)))
(setq c (floor (div n 15)))
(div (- (+ (* 3 a (+ a 1)) (* 5 b (+ b 1))) (* 15 c (+ c 1))) 2)))
(e001-2 999)
;-> 233168
(time (e001-2 999))
;-> 0
(time (e001-2 999) 10000)
;-> 15.586
Il tempo di questa funzione non dipende da n (diversamente dalle prime due funzioni).
(time (e001-2 10000) 10000)
;-> 15.587
----------------------------------------------------------------------------
==========
Problema 2
==========
I numeri di Fibonacci pari
Ciascun nuovo termine della sequenza di Fibonacci viene generato addizionando i due termini precedenti.
Partendo da 1 e 2, i primi 10 termini valgono:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
Considerando i termini della sequenza di Fibonacci i cui valori non superano quattro milioni, trovare la somma dei termini pari.
============================================================================
Questa è la funzione per il calcolo dei numeri di fibonacci:
(define (fibonacci n)
(let (L '(0 1))
(dotimes (i n)
(setq L (list (L 1) (apply + L)))
)
;(L 1)
(last L)
)
)
Il numero 32 è quello che genera l'ultimo valore utile (minore di 4.000.000):
(fibonacci 32)
;-> 3524578
(fibonacci 33)
;-> 5702887
Modifichiamo l'espressione "dotimes" con "while" per controllare il valore ottenuto.
Inoltre aggiorniamo il valore del risultato (res) quando il numero calcolato è dispari.
(define (e002)
(let (L '(0 1) res 0)
;(dotimes (i n)
(while (< (last L) 4000000)
(setq L (list (L 1) (apply add L)))
(if (even? (last L)) (inc res (last L)))
)
;(last L)
res
)
)
(e002)
;-> 4613732
(time (e002))
;-> 0
(time (e002) 100000)
;-> 671.918
Soluzione alternativa:
(define (e002)
(let (a 2 b 1 ans 0)
(until (> b 4000000)
(if (even? a)
(inc ans a))
(inc b a)
(swap a b))
ans))
(e002)
;-> 4613732
(time (e002))
;-> 0
(time (e002) 100000)
;-> 343.627
Dal punto di vista matematico:
Formula di Binet (relazione tra i numeri di fibonacci e il rapporto aureo):
Fib(n) = (phi^n - psi^n)/sqrt(5)
dove: phi = (1 + sqrt(5))/2 e psi = (1 - sqrt(5))/2
Invertendo la formula troviamo l'indice n per il numero di fibonacci Fib(n) dato:
n = floor (log[phi](F*sqrt(5) + (1/2)))
Inoltre utilizziamo la seguente identità (la somma dei primi n numeri di fibonacci vale (F(n+2) - 1):
Sum[0 n] F(i) = F(n+2) - 1
Usiamo queste formule per scrivere la funzione:
(define (setval)
(setq sr (sqrt 5))
(setq phi (div (add 1 sr) 2))
(setq psi (div (sub 1 sr) 2)))
(define (f n) (div (sub (pow phi n) (pow psi n)) sr))
(define (idx fib) (floor (div (log (add (mul fib sr) 0.5)) (log phi))))
(define (sumfib n) (sub (f (+ n 2)) 1))
(define (e002-2 n)
(setval)
(round (div (sumfib (idx n)) 2)))
(e002-2 3999999)
;-> 4613732
(time (e002-2 3999999))
;-> 0
(time (e002-2 3999999) 100000)
;-> 78.098
Il tempo di questa funzione non dipende da n (diversamente dalle prime due funzioni).
(time (e002-2 9999999) 100000)
;-> 78.096
----------------------------------------------------------------------------
==========
Problema 3
==========
Il più grande fattore primo
I fattori primi di 13195 sono 5, 7, 13 e 29.
Qual'è il fattore primo più grande del numero 600851475143 ?
============================================================================
La funzione "factor" di newLISP restituisce tutti i fattori di un numero:
(factor 600851475143)
;-> (71 839 1471 6857)
Non resta che trovare il valore massimo:
(apply max (factor 600851475143))
;-> 6857
Definiamo la funzione:
(define (e003)
(apply max (factor 600851475143))
)
(e003)
;-> 6857
(time (e003))
;-> 0
(time (e003) 100000)
;-> 496.8
Se vogliamo implementare la fattorizzazione, possiamo scrivere:
(define (e003-2 n)
(let (i 2)
(while (<= (* i i) n)
(while (= (% n i) 0)
(setq n (/ n i))
)
(++ i)
)
n))
(e003-2 600851475143)
;-> 6857
(time (e003-2 600851475143))
;-> 0
(time (e003-2 600851475143) 100000)
;-> 18174.285
----------------------------------------------------------------------------
==========
Problema 4
==========
Il più grande prodotto palindromo
Un numero palindromo ha lo stesso valore leggendo da sinistra a destra o da destra a sinistra.
Il più grande numero palindromo ottenuto dal prodotto di due numeri da due cifre vale 9009 = 91 * 99.
Trova il più grande numero palindromo ottenuto dal prodotto di due numeri da tre cifre.
============================================================================
(define (e004)
(let (out 0 val 0)
(for (i 100 999)
(for (j i 999)
(setq val (string (* i j)))
(when (= val (reverse (copy val)))
(setq out (max out (int val)))
)
)
)
out)
)
(e004)
;-> 906609
(time (e004))
;-> 204.069
(time (e004) 100)
;-> 19220.569
Dal punto di vista matematico:
La prima osservazione è che il numero deve essere compreso tra 100^2 e 999^2 o nell'intervallo (10000, 998001). Poiché la maggior parte dei numeri ha 6 cifre e stiamo cercando il più grande, ignoriamo i numeri a 5 cifre. Sulla base di questo, possiamo costruire un numero palindromo come:
'abccba' = 100000a + 10000b + 1000c + 100c + 10b + a
= 100001a + 10010b + 1100c
11*(9091a + 910b + 100c)
Pertanto, stiamo cercando i due numeri più grandi p, q:
p*q = 11*(9091a + 910b + 100c) ≤ 999^2
Questa equazione ci mostra che p o q, ma non entrambi, devono avere un fattore 11. Per massimizzare le due incognite, iniziamo la ricerca con p = 9 e per ogni p decrescente cerchiamo un massimo q per costruire un palindromo. Possiamo fare un'ottimizzazione basata sull'osservazione precedente: se p non è divisibile per 11, q lo deve essere, e come tale possiamo iniziare la ricerca con 990 come maggior multiplo di 11 e cercare solo multipli di 11. Un'altra ottimizzazione è, che non abbiamo bisogno di lasciare che q vadaal di sotto di p poiché possiamo scambiare i numeri. Vediamo un'implementazione:
(define (palindromo? num)
(let (str (string num))
(= str (reverse (copy str)))))
(define (e004-2)
(local (r s t q p found)
(setq r 0)
(setq p 999)
(while (>= p 100)
(if (zero? (% p 11))
(setq q 999 s 1)
(setq q 990 s 11)
)
(setq found nil)
(while (and (> q 99) (not found))
(setq t (* p q))
(if (and (< r t) (palindromo? t))
(setq r t found true)
;(begin (println p { } q { } t) (setq r t found true))
)
(setq q (- q s))
)
(-- p)
)
r))
(e004-2)
;-> 906609
993 * 913 = 906609
(time (e004-2))
31.237
(time (e004-2) 100)
;-> 2187.681
Questa funzione è circe 10 volte più veloce della prima funzione.
Possiamo migliorare la funzione invertendo di nuovo p e q. In questo modo possiamo usare un ciclo con p da 990 attraverso i multipli di 11 e usare q per trovare un palindromo.
(define (e004-2)
(local (r t q p found)
(setq r 0)
(for (p 990 100 -11)
(setq found nil)
(for (q 999 100 -1 found)
(setq t (* p q))
(if (and (< r t) (palindromo? t))
(setq r t found true)
(if (< t r) (setq found true))
)
)
)
r))
(e004-2)
;-> 906609
(time (e004-2))
;-> 0
(time (e004-2) 100)
;-> 109.373
Quest'ultima funzione è 20 volte più veloce della precedente (seconda) funzione.
(div 2187.681 109.373)
;-> 20.002
Quest'ultima funzione è 175 volte più veloce della prima funzione.
(div 19220.569 109.373)
;-> 175.734
----------------------------------------------------------------------------
==========
Problema 5
==========
Il multiplo minore
2520 è il più piccolo numero che può essere diviso esattamente (senza resto) da tutti i numeri da 1 a 10.
Qual'è il più piccolo numero positivo che è divisibile esattamente per tutti i numeri da 1 a 20 ?
============================================================================
La soluzione non vale 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17*18*19*20 perchè, per esempio, quando il numero cercato è divisibile per 3 e per 5 è anche divisibile per 15.
La soluzione consiste nel trovare tutti i numeri che sono fattori unici con gli esponenti massimi e moltiplicarli tra loro.
Proviamo con il numero 10:
Troviamo tutte scomposizioni in fattori:
2 -> (2)
3 -> (3)
4 -> (2 2)
5 -> (5)
6 -> (2 3)
7 -> (7)
8 -> (2 2 2)
9 -> (3 3)
10 -> (2 5)
I fattori unici sono: 2, 3, 5, e 7.
Questi hanno esponenete massimo rispettivamente: 3 2 1 1.
Quindi i numeri da moltiplicare sono: 2^3, 3^2, 5^1 e 7^1.
Otteniamo: 8 * 9 * 5 * 7 = 2520.
; lista con le fattorizzazioni dei numeri da 2 a 10
(setq a (map factor (sequence 2 10)))
;-> ((2) (3) (2 2) (5) (2 3) (7) (2 2 2) (3 3) (2 5))
; lista con tutti i numeri dei fattori
(setq b (flat (map factor (sequence 2 10))))
;-> (2 3 2 2 5 2 3 7 2 2 2 3 3 2 5)
; lista con tutti i numeri dei fattori presi una sola volta
(setq c (unique (flat (map factor (sequence 2 10)))))
;-> (2 3 5 7)
Adesso dobbiamo trovare gli esponenti massimi di 2,3,5 e 7 nella lista con le fattorizzazioni dei numeri da 2 a 10.
Vediamo prima come funziona funzione "count":
(setq a '((1 2) (5 5) (2 3)))
(setq c '(2 3 5))
Vogliamo trovare quante volte gli elementi di c compaiono in a:
(map (curry count c) a)
;-> ((1 0 0) (0 0 2) (1 1 0)
cosa significa il risultato?
(1 0 0) -> conto il 2 una volta su (1 2)
-> conto il 3 zero volte su (1 2)
-> conto il 5 zero volte su (1 2)
(0 0 2) -> conto il 2 zero volte su (5 5)
-> conto il 3 zero volte su (5 5)
-> conto il 5 due volte su (5 5)
(1 1 0) -> conto il 2 una volta su (2 3)
-> conto il 3 una volta su (2 3)
-> conto il 5 zero volte su (2 3)
Se trasponiamo la lista:
(transpose(map (curry count c) a))
;-> ((1 0 1) (0 0 1) (0 2 0))
Che significa:
(1 0 1) -> conto il 2 una volta su (1 2)
-> conto il 2 zero volte su (5 5)
-> conto il 2 una volta su (2 3)
(0 0 1) -> conto il 3 zero volte su (1 2)
-> conto il 3 zero volte su (5 5)
-> conto il 3 una volta su (2 3)
(0 2 0) -> conto il 5 zero volte su (1 2)
-> conto il 5 due volte su (5 5)
-> conto il 5 zero volte su (2 3)
Nel nostro caso:
; lista con le fattorizzazioni dei numeri da 2 a 10
(setq a (map factor (sequence 2 10)))
;-> ((2) (3) (2 2) (5) (2 3) (7) (2 2 2) (3 3) (2 5))
; lista con tutti i numeri dei fattori
(setq b (flat (map factor (sequence 2 10))))
;-> (2 3 2 2 5 2 3 7 2 2 2 3 3 2 5)
; lista con tutti i numeri dei fattori presi una sola volta
(setq c (unique (flat (map factor (sequence 2 10)))))
;-> (2 3 5 7)
Adesso troviamo quante volte gli elementi di c compaiono in a:
(setq d (transpose(map (curry count c) a)))
;-> ((1 0 2 0 1 0 3 0 1) (0 1 0 0 1 0 0 2 0) (0 0 0 1 0 0 0 0 1) (0 0 0 0 0 1 0 0 0))
Adesso dobbiamo trovare il valore massimo di ogni sottolista (che sono gli esponenti massimi rispettivamente di 2,3,5 e 7).
(setq e (map (curry apply max)
(transpose(map (curry count c) a))))
;-> (3 2 1 1)
Per capire meglio come funziona l'ultima espressione vediamo un esempio.
Se vogliamo applicare la funzione "sin" ad una lista di valori possiamo usare la funzione "map":
(map sin '(10 20 30))
;-> (-0.5440211108893698 0.9129452507276277 -0.9880316240928618)
Ma se i valori sono in sottoliste questo non funziona:
(map sin '((10) (20) (30)))
;-> ERR: value expected in function sin : '(10)
La soluzione si ottiene utilizzando la funzione "curry" e "apply":
(map (curry apply sin) '((10) (20) (30)))
;-> (-0.5440211108893698 0.9129452507276277 -0.9880316240928618)
Oppure in modo equivalente:
(map (lambda (x) (apply sin x)) '((10) (20) (30)))
"curry" transforma una funzione f(x, y) che prende due argomenti in una funzione fx(y) che prende un singolo argomento.
In questo modo "curry" dice ad "apply" di applicare la funzione "sin" solo alla sottolista.
Tornando al problema abbiamo:
; lista con tutti i numeri dei fattori presi una sola volta
(setq c (unique (flat (map factor (sequence 2 10)))))
;-> (2 3 5 7)
; lista con gli esponenti massimi rispettivamente di 2,3,5 e 7).
(setq e (map (curry apply max)
(transpose(map (curry count c) a))))
;-> (3 2 1 1)
Adesso calcoliamo i numeri con la funzione "pow" e li moltiplichiamo tra loro:
(apply * (map pow c e))
;-> 2520
Scriviamo la funzione finale:
(define (e005)
(setq a (map factor (sequence 2 20)))
(setq b (flat a))
(setq c (unique b))
(setq e (map (curry apply max)
(transpose(map (curry count c) a))))
(apply * (map pow c e))
)
(e005)
;-> 232792560
(time (e005))
;-> 0
Dal punto di vista matematico, dopo tutti questi ragionamenti per trovare la soluzione notiamo che il problema richiedeva semplicemente di trovare il minimo comune multiplo dei primi venti numeri interi...
Quindi utilizzando la seguente funzione che calcola il Minimo Comune Multiplo di una serie di numeri:
(define-macro (mcm)
(apply (fn (x y) (/ (* x y) (gcd x y))) (args) 2))
Potevamo calcolare la soluzione con:
(mcm 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20)
;-> 232792560
(define (e005-2) (apply mcm (sequence 2 20)))
(e005-2)
;-> 232792560
(time (e005-2))
;-> 0
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Problema 6
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Somma quadrati differenza
La somma dei quadrati dei primi dieci numeri naturali vale,
1^2 + 2^2 + ... + 10^2 = 385
Il quadrato della somma dei primi dieci numeri naturali vale,
(1 + 2 + ... + 10)^2 = 55^2 = 3025
Quindi la differenza tra la somma dei quadrati e il quadrato della somma dei primi dieci numeri naturali vale 3025 − 385 = 2640.
Trovare la differenza tra la somma dei quadrati e il quadrato della somma dei primi cento numeri naturali.
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I primi dieci numeri li otteniamo da:
(setq num (sequence 1 10))
;-> (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10)
La loro somma vale:
(setq sum (apply add num))
;-> 55
Il quadrato della somma vale:
(setq qs (* sum sum))
;-> 3025
La somma dei quadrati vale:
(setq sq (apply add (map * num num)))
Nota che:
(setq lst (sequence 1 10))
(map * lst lst)
;-> (1 4 9 16 25 36 49 64 81 100)
(map * lst lst lst)
;-> (1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000)
La loro differenza vale:
(sub qs sq)
;-> 2640
Scriviamo la funzione:
(define (e006)
(setq num (sequence 1 100))
(setq sum (apply add num))
(setq qs (* sum sum))
(setq sq (apply add (map * num num)))
(sub qs sq)
)
(e006)
;-> 25164150
(time (e006))
;-> 0
(time (e006) 100000)
;-> 640.678
Soluzione alternativa:
(define (e006)
(let (lst (sequence 1 100))
(- (pow (apply + lst)) (apply + (map * lst lst))))
)
(e006)
;-> 25164150
(time (e006))
;-> 0
(time (e006) 100000)
;-> 640.467
Dal punto di vista matematico abbiamo:
Somma dei Quadrati
f(n) = Sum[1..n] i^2 = (1/6)*n*(n - 1)*(2*n - 1)
Quadrato della Somma
g(n) = (Sum[1..n] i)^2 = (1/4)*n^2*(n + 1)^2
La loro differenza:
g(n) - f(n) = (1/12)*n*(n + 1)*(3*n^2 - n - 2)
Possiamo scrivere la funzione:
(define (e006-2 n)
(/ (* n (+ n 1) (sub (* 3 (pow n)) n 2)) 12))
(e006-2 100)
;-> 25164150
(time (e006-2 100))
;-> 0
(time (e006-2 100) 100000)
;-> 31.237
Il tempo di questa funzione non dipende da n (diversamente dalle prime due funzioni).
(time (e006-2 10000) 100000)
;-> 31.235
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Problema 7
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Il 10001-esimo numero primo
Elencando i primi sei numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, e 13, si nota che il sesto primo è 13.
Qual'è il 10001-esimo numero primo?
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