KR3f0013_009.txt

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#+TITLE: 新法算書
#+DATE: 2015-08-24 23:09:33.391566
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#+PROPERTY: BASEEDITION WYG    
#+PROPERTY: JUAN 大測序
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大測序¶
大測者測三角形法也凡測算皆以此測彼而此一彼一¶
不可得測九章算多以三測一獨句股章以二測一則皆¶
三角形也其不言句股者句與股交必為直角直角者正¶
方角也遇斜角則句股窮矣分斜角為兩直角亦句股也¶
遇或不可得分又窮矣三角形之理非句股可盡故不名¶
句股也句股之易測者直線也平面也測天則圜面曲線¶
非句股所能得也故有弧矢弦割圜之法弧者曲線弦矢¶
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者直線也以弧求弧無法可得必以直線曲弧相當相準¶
乃可得之相當相準者圍徑之法也而圍與徑終古無相¶
準之率古云徑一圍三實圍以内二徑之六弦非圍也祖¶
冲之宻率云徑七圍二十二則其外切線也非圍也劉徽¶
宻率云徑五十圍百五十七則又其内弦也非圍也或推¶
至萬萬億以上然而小損即内弦小益即外切線也終非¶
圍也厯家以句股開方展轉商求累時方成一率然不能¶
離徑一圍三之法即祖率已繁不復能用况徽率乎况萬¶
萬億以上乎是以甚難而實謬今西法以周天一象限分¶
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為半弧而各取其正半弦其術從二徑六弦始以次求得¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-2a>¶
六宗率皆度數之正義無可疑者次求三要法相分相準¶
以求各率而得各弧之正半弦又以其餘弧之正弦為餘¶
弦以餘弦減半徑為矢弧之外與正弦平行而交於割線¶
者為切線以他半徑截弧之一端而交於切線者為割線¶
其與餘弦平行者則餘切線也即正割一線交於餘切線¶
而止者餘割線也以正弦減半徑者餘矢也總之為八線¶
其弧度分為五千四百每一度分有八線焉合之為四萬¶
三千二百率也其用之則一形中有三邊三角任有其三¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-2b>¶
可得其餘三也凡測候所得者皆弧度分也以此二三弧¶
求彼一弧先簡此弧之某直線與彼弧之某直線推算得數¶
簡表即得彼弧之度分不勞餘力不費晷刻為之者勞用¶
之者逸方之句股開方以測圓者甚易而實是也然則必¶
無差乎曰有之或在其末位如半徑設十萬則所差者十¶
萬分之一也設千萬則所差者千萬分之一也厯家推演¶
至㣲纎以下率皆棄去即謂之無差亦可故論此法者謂¶
於推步術中為農夫之剡耜工匠之利噐矣測天者所必¶
湏大於他測故名大測其解義六篇分為二卷八線表九¶
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十度分為六卷如左¶
#+PROPERTY: JUAN 卷九
<pb:KR3f0013_WYG_009-3a>¶
欽定四庫全書¶
　新法算書卷九　　　　明　徐光啟等　撰¶
　大測卷一¶
　　因明篇第一¶
總論三十二條¶
三角形者一形而三邊容有三角也¶
　　　　　　如上圖甲乙丙為平面三角形丁戊己¶
　　　　　　為球面三角形¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-3b>¶
三角形各以兩邊容一角此兩邊為角形之兩腰第三邊為角形之底¶
　如前甲乙丙形若以甲乙甲丙為兩腰則容乙甲丙角¶
　(第二字為/所指角)乙丙其底也餘二同丁戊己亦同¶
各邊向一角者名為對角¶
　如前甲乙線向丙角者名為對丙角甲丙向乙名為對乙角¶
角以何為尺度一弧之心在交㸃從心引出線為兩腰而¶
　弧在兩腰之間此弧即此角之尺度¶
　　　　　　如上乙甲丙角其尺度則丁丙或戊己皆¶
　　　　　　是其法甲為心其界或近如丁丙或逺如¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-3b>¶
　　　　　　戊巳¶
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大測法分圏三百六十為度度析百分(中/厯)或六十分(逺/西)分¶
　或百析為秒遞析為百至纎而止(中/厯)或析為六十秒遞¶
　析為六十至十位而止(逺/西)¶
　圏愈大其度分亦愈大¶
　兩弧之分數等其圏等則弧亦等其圏不等弧亦不等¶
　　　　　其不等之兩弧名相似弧¶
　　　　　如上丁丙雖小于戊己而同對甲角即同為¶
　　　　　若干度分之弧也¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-4b>¶
圏四分之一為九十度¶
有弧不足九十度則其外至九十者名餘弧亦曰較弧亦¶
　曰差弧¶
　　　　　　如甲丁弧四十度則丁至丙五十度為餘¶
　　　　　　弧¶
有弧大于象限(在九十/以上)名為過弧¶
　　　　　　如甲乙弧大于甲丁過九十度則丁乙為¶
　　　　　　過弧¶
　　　　　　半圏界一百八十度¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-4b>¶
有弧小于半圏則其外至百八十度者名為半圏之較弧¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-5a>¶
　　　　　如甲乙弧小于甲乙丙半圏則乙丙為其¶
　　　　　較弧¶
　¶
凡交角俱相等¶
　　　　　　如甲與乙丙與丁皆交角相等(見㡬何/第一卷)¶
　　　　　　(十五/題)如戊與己亦交角相等¶
角有二類一直角一斜角¶
凡直角其度皆九十¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-5b>¶
斜角有二類一鋭角一鈍角¶
鈍角者其度大于象限¶
鋭角者其度小于象限¶
角之餘與弧同理(或曰較角/或曰差角)¶
有兩角并在一線上為同方角并之等于兩直角¶
　　　　　　如上甲與乙丙與丁皆是¶
　¶
同方兩角等于兩直角故彼角為此角之較¶
　如前乙角即甲之較甲亦乙之較¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-5b>¶
三角形或三邊等或兩邊等或三不等¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-6a>¶
三角形兩腰等其底線上兩角亦等底上兩角等則兩腰¶
　亦等(見㡬何一/卷第五)¶
三邊形之三角等則三邊亦等¶
三角形之角有二類一為直角三邊形一為斜角三邊形¶
直角三邊形形内止有一直角¶
直角三邊形之對直角邊名弦兩腰名句股(逺西句股俱/名垂線互用)¶
　(之/)¶
斜角形其角皆斜¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-6b>¶
斜角形有二類一曰鋭角一曰鈍角¶
鈍角形止有一鈍角¶
鋭角形三皆鋭角¶
三角形有二類一曰平面上形一曰球上形¶
論平面上三角形　十一條¶
平面上三角形有三種一直線一曲線一雜線大測所論¶
　皆直線也¶
凡等角兩三邊形其在等角旁之各兩腰線相與為比例¶
　必等而對等角之邊為相似邊(㡬何六卷/第四題)¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-6b>¶
凡兩三角形其角兩邊之比例等即兩形為等角形而對¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-7a>¶
　各相似邊之角各等(㡬何六卷第五方此二題為大測/之根本不用開  直以比例得之)¶
　(法至簡用/至大也)¶
　　　　　　　如上圖甲乙丙丁戊己兩形甲與丁¶
　　　　　　　乙與戊丙與己皆等角其旁各兩腰¶
　　　　　　　之比例等者十與六若五與三也更¶
　之則十與五若六與三也反之則六與十若三與五也¶
　　　　　凡兩形中各對相當等角之邊皆相似之¶
　　　　　邊如甲丙對乙丁己對戊而乙戊為等角¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-7b>¶
　　　　　者即甲丙丁己為相似之邊也¶
三角形之外角與相對之内兩角并等(㡬何一卷/之三十二)¶
　　　　　如上甲乙丙形之乙甲兩角并與甲丙丁角¶
　　　　　等¶
三角形之三角并等于兩直角¶
　　　　　　　　如上圖丁己庚直角與乙角等其甲¶
　　　　　　　　丙二角并與丁己戊角等¶
平面上三角形止有一直角或一鈍角其餘二必皆鋭角¶
三邊形内之第三角為前兩角之餘角何者為前兩角不¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-7b>¶
　滿二直角故¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-8a>¶
直角旁之兩腰其能與弦等能等者謂兩腰上兩方形并¶
　與弦上方形等也(㡬何一卷/之四七)¶
　　　　　　　　此理之用為先得二邊以求第三邊¶
　　　　　　　　如甲乙丙形先得甲乙乙丙兩邊而¶
　　　　　　　　求第三邊法以甲乙三自之為九乙¶
　丙四自之為十六并得二十五與甲丙之實等開方得¶
　甲丙弦五若先得直角旁之一腰如甲乙三又得甲丙¶
　弦五而求乙丙則以甲丙自之得二十五乙甲自之得¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-8b>¶
　九相減之較十六開方得乙丙四¶
直角形之兩等邊有數則其弦無數可推若弦有數則兩¶
　等邊無數可推¶
　　　　　　如上甲乙甲丙各三自之各九并之得十¶
　　　　　　八乙丙上實十八開方得四餘實二分之¶
　　　　　　或為八分之二或為九分之二八分之二¶
　則大于其真率九分之二則小于真率其乙丙真率無¶
　數可得更細分之亦復不盡¶
直角三邊形之兩鋭角彼鋭為此鋭之餘¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-8b>¶
　如乙丙二鋭角丙為餘角為三角并等二直角此二鋭¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-9a>¶
　　　　　　　　應等一直角乙一角不足一直角故¶
　　　　　　　　丙角為乙角與直角相減之較¶
平邊三角形在圏内其各角之度數皆為其對弧度數之¶
　半¶
　　　　　　　　如上甲乙丙形三邊等分圏為三各¶
　　　　　　　　弧俱一百二十度本形之三角等二¶
　　　　　　　　直角并得一百八十則對弧百二十¶
　度倍于對角六十也¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-9b>¶
平面兩三角形在圏内同底兩形之頂相連成一四邊形¶
　此形内有兩對角線則此形相對之各兩邊各相偕為¶
　兩直角形并與兩對角線相偕為直角形等¶
　　　　　　　　　　如上甲乙丙甲丁丙兩三角形¶
　　　　　　　　　　在甲乙丁丙圏内甲丙同底其¶
　　　　　　　　　　頂乙丁相連成甲乙丁丙四邊¶
　　　　　　　　　　形形内有甲丁乙丙兩對角線¶
　　　　　　　　　　以此兩線相偕為直角形次以¶
　乙丁甲丙兩相對邊以甲乙丁丙兩相對邊各相偕為¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-9b>¶
　直角形題言後兩形并與前一形等¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-10a>¶
　其用為先得五線以求第六線(多羅某/之法)¶
論球上三角形　二十條¶
凡球上三角形皆用大圏相交之角¶
大測所用三角形之各弧必小于大圏之半¶
球大圏分球為兩平分離于兩極各九十度¶
彼大圏過此大圏之極此兩圏必相交為直角兩大圏相¶
　　　　　　交為直角必彼大圏過此大圏之極¶
　　　　　　如甲丙大圏其極乙丁有乙戊丁己大圏¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-10b>¶
　　　　　　過兩極其交處如戊如己各成四直角¶
球上角之處必從交引出為兩弧各九十度而遇一象限¶
　之弧兩遇處相去之度即此角之大¶
　　　　　　如甲乙丙球上三角形欲知甲角之大為¶
　　　　　　㡬何度分不得用己庚弧為其尺度必從¶
　　　　　　甲引出至乙至丙各為一象限之弧而戊¶
　丁亦大圏之一象限弧也丁戊弧與甲乙甲丙相遇即¶
　乙丙弧之大為甲角之大¶
球上角之兩邊引出之至相遇即兩弧俱成半圏而兩對¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-10b>¶
　角必等¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-11a>¶
　　　　　如甲乙丙三角形從兩腰各引出之至丁則¶
　　　　　甲丙丁甲乙丁兩弧皆成半圏而甲與丁兩¶
　　　　　角等¶
球上三角形有相對彼三角形與同底而對角等即彼形¶
　之兩腰為此形兩腰之餘腰(初腰不足一百八十度/故後腰為半圏之餘)其¶
　彼此之同方兩角亦等兩直角而彼角為此角之餘角¶
　　　　　如上甲乙丙三角形與相對之乙丙丁同乙¶
　　　　　丙底而甲丁兩角等即乙丁為甲乙之餘弧¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-11b>¶
　　　　　丙丁為甲丙之餘弧丁乙丙角為甲乙丙之¶
　餘角(為甲乙丙不/足兩直角故)乙丙丁角為甲丙乙之餘角¶
球上直角三邊形或有一直角或二直角或三俱直角¶
球上三邊形有一直角者或有兩鋭角或有兩鈍角或一¶
　鈍一鋭角¶
　　　　　如上甲乙丙形甲為直角其乙丙為兩鋭角¶
　　　　　乙丁丙形丁為直角其乙丙為兩鈍角若丁¶
　　　　　戊己形則其戊為鋭角其己為鈍角甲戊己¶
　形則其戊為鈍角其己為鋭角¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-11b>¶
球上直角三邊形有兩鋭角則其對直角之直角三邊形¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-12a>¶
　有兩鈍角¶
　如前圖甲乙丙之甲直角與乙丁丙之丁直角相對者¶
　是¶
球上直角三邊形有兩鋭角其三弧皆小于象限¶
　如前甲乙丙是¶
球上直角三邊形有兩鈍角其兩腰皆大于象限而第三¶
　弧必小于象限¶
　如前乙丁丙是¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-12b>¶
球上直角三邊形有一鋭一鈍角其鋭角之相對三角形¶
　亦有一直角兩鋭角¶
　　　　　如上圖丁乙丙三邊形丙為直角丁為鋭角¶
　　　　　乙為鈍角即丁鋭角之相對乙丙戊形其丙¶
　　　　　為直角(與乙丙丁并/等兩直角)其乙與戊為兩鋭角¶
球上三邊形有多直角其對直角之各弧皆為一象限¶
　　　　　　如甲為直角乙丙弧對之為一象限餘二¶
　　　　　　同(此圖為三直角題言/多者以該二直角也)¶
球上三邊形有二直角若第三為鋭角即對角之弧小于¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-12b>¶
　象限若鈍角即對角之弧大于象限¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-13a>¶
　　　　　　　　如上丁戊己形丁戊皆直角己為鋭¶
　　　　　　　　角即對己之丁戊弧小于象限甲乙¶
　　　　　　　　丙形甲丙皆直角乙為鈍角則對乙¶
　之甲丙弧大于象限¶
球上斜三角形有三類或俱鋭角或俱鈍角或雜鋭鈍角¶
球上斜三角形俱鋭角者其相對三角形有兩鈍角一鋭¶
　　　　　角¶
　　　　　如上甲乙丙形三皆鋭角即相對丁乙丙形¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-13b>¶
　　　　　其乙丙為兩鈍角丁為鋭角¶
球上三邊形俱鈍角者其相對三角形有兩鋭角一鈍角¶
　　　　　　如上甲乙丙形三皆鈍角即相對乙丙丁¶
　　　　　　形其乙丙為鋭鋭角丁為鈍角¶
　¶
球上三角形之三角并大于兩直角¶
　有二直角即大何況一直一鈍以上¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-14a>¶
　　　割圓篇第二¶
總論二十六條¶
三角形有六率三角三邊是也測三角形者於六率中先¶
　得其三而測其餘三也(測三角形者止測其線非測其/容測或作推或作解下文通用)¶
測三角形必籍同比例法(亦曰三/率法)同比例者四率同比例¶
　先有三而求第四也故三角形之六率其比例欲定其¶
　分數欲明¶
三角形六率之比例其中用弧者最為難定何者圓線與¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-14b>¶
　直線之比例從古至今未有其法故¶
三角形何以有弧曰球上三角形其三邊皆弧也其三角¶
　皆弧角也即平面三角形其可以直線測者三邊耳欲¶
　測其角非弧不得而弧為圓線無數可測故測弧者必¶
　求其與弧相當之直線¶
與弧相當之直線者割圓界而求其直線之分與弧分相¶
　當者是也¶
割圓之直線有四一曰弦一名通弦二曰半弦皆在圓界¶
　内三曰切線在圓界外四曰割線在圓界之内外¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-14b>¶
弦者直線在圏内從此㸃至彼㸃分圏為兩分¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-15a>¶
凡弦皆對兩弧一上一下¶
　　　　　　如上圖甲乙為弦分甲丙乙丁圏為兩分¶
　　　　　　甲丁乙為大分甲丙乙為小分則甲乙弦¶
　　　　　　上當甲丙乙小弧下當甲丁乙大弧¶
正弧者從弧作垂線至全徑上¶
　　　　　　如上圖從丁作甲乙之垂線若從丁直至¶
　　　　　　戊則為通弦故丁丙為半弦¶
　¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-15b>¶
半弦又有二種有正弦有倒弦¶
正半弦是直線在半圏内從弧作垂線至徑上分半圏為¶
　不等之兩分一大弧一小弧此半弦當小弧亦當當大¶
　弧(當者為小弧之半弦/亦為大弧之半弦)¶
　　　　　　如上圖從己弧下至甲乙全徑上作己庚¶
　　　　　　垂線分甲丙乙半圏為不等兩分乙己弧¶
　　　　　　為小分己丙甲弧為大分則己庚為己乙¶
　小弧之半弦又為己丙甲大弧之半弦¶
正半弦從一㸃作兩半弦第一為前半弦第二為從半弦¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-15b>¶
　又為餘弧弦又為較弦又為差弦¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-16a>¶
　如前圖先論己庚即為前半弦其己戊即為後半弦又¶
　為餘為較者乙己丙弧九十度乙己不足九十度則己¶
　丙為餘弧亦為較弧故己戊為其餘弦較弦也¶
前後兩半弦其能等于半徑¶
　　　　　　如上圖庚己為前弦當乙己弧己戊為後¶
　　　　　　弦當己丙餘弧戊己弦等于丁庚(㡬何一/卷三十)¶
　　　　　　(四/)則丁己半徑上方與庚己己戊上兩方¶
　并等故云兩半弦之能等于半徑¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-16b>¶
　論曰兩半弦互為垂線則己庚丁為直角而對直角之¶
　弦己丁上方與勾股上兩方并等(㡬何一卷/四十七)¶
　系直角三邊形内有半徑亦有一半弦即可求後半弦¶
　法曰半徑上方形實減半弦上方形實其較即後半弦¶
　上方形之實開方得後半弦¶
　　　　　　　如丙乙半徑十甲乙前半弦六而有丙¶
　　　　　　　甲乙直角今求丙甲後半弦其法丙乙¶
　自之為百甲乙自之為三十六相減餘六十四即甲丙¶
　方之實平方開之得八¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-16b>¶
兩正弦之較與紀限左右距等弧之半弦等(六十度/為紀限)¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-17a>¶
　　　　　　　解曰甲乙丙象限内有丙己小弧丙己¶
　　　　　　　戊丁大弧丙戊弧為六十度而戊己戊¶
　　　　　　　丁兩弧等其兩半弦一為己辛一為丁¶
　庚兩半弦之較為丁癸題言丁癸較與己壬半弦壬¶
　丁半弦各等¶
　論曰試作一己子線則丁己子成三邊等角形何也此¶
　形中有子丁壬壬己子兩三角形此兩角形等又何也¶
　子戊同腰而丁壬壬己兩腰等則丁壬己壬兩直角亦¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-17b>¶
　等而丁子子己兩底亦等子丁己子己丁兩角亦等又¶
　　　　　　　丙戊弧既六十度其餘戊乙弧必三十¶
　　　　　　　度其乙甲戊角為三十度角甲乙庚丁¶
　　　　　　　既平行甲戊線截二線于子即内外角¶
　等而丁子戊角亦三十度戊子己角亦三十度是丁子¶
　己為六十度角也丁與己與全子三角既等兩直角(一/卷)¶
　(三十/二)則共為一百八十度於中減全子角六十度則丁¶
　己兩角百二十度而此兩角既等即各得六十度則此¶
　形之三角三邊俱等夫丁己己子兩線等則己癸垂線¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-17b>¶
　所分之丁癸子癸兩直角亦等而己癸同腰則丁癸與¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-18a>¶
　癸子必等丁癸為丁子之半丁壬為丁己之半全線等¶
　則所分必等是丁癸與丁壬等與壬己亦等¶
　系題兩弧各有其正半弦兩半弦至弧之㸃在六十度¶
　之左右而距度㸃等其前兩正半弦之較即後兩半弦¶
　如前圖丙己戊弧六十度丙己弧五十度己戊弧十度¶
　丙己之正半弦己辛簡表先得七千六百六十丙丁弧¶
　七十度丁戊弧亦十度丙丁弧之正半弦為丁庚先得¶
　九千三百九十六今求丁戊弧之半弦其法以己辛丁¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-18b>¶
　庚兩半弦相減得丁癸較一千七百三十六即丁戊弧¶
　十度之丁壬半弦(此設數半/徑一萬)¶
倒弦者餘弦與全數之較本名為矢¶
　　　　　如上圖甲丙徑以乙丁正半弦分徑為二分¶
　　　　　一為甲丁一為丁丙其丁丙即乙丁正半弦¶
　　　　　之倒弦也¶
矢有二有大有小¶
　如上圖甲丁為大矢與甲乙弧相當丁丙為小矢與乙¶
　丙弧相當¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-18b>¶
矢加于餘半弦即半徑¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-19a>¶
　如上圖乙己為乙丁正弦之餘弦以加丁丙即半徑為¶
　乙己與丁戊等故¶
切線者弧之外有線為徑一端之垂線半徑為底線而交¶
　於截弧之弦線(弦線者勾股之弦/非弧矢之弦也)¶
　　　　　　如上圖戊丙弧乙丙為半徑從丙出垂線¶
　　　　　　至丁又從乙出線截戊丙弧于戊而與丁¶
　　　　　　丙線交于丁即丁丙為切線與戊丙弧相¶
　當也¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-19b>¶
割線者從心過弧之一端而交于切線¶
　　　　　　如上圖乙戊丁線為割線與戊丙弧相當¶
　　　　　　也故戊丙弧在三角形内其句為半徑其¶
　　　　　　股為切線其弦為割線皆與戊丙弧相當¶
　之直線¶
　又戊丙一弧其相當之直線有四一丁丙切線一乙丁¶
　割線一戊己正半弦一己丙矢¶
定割圓之數當作割圓線之立成表(一名三角形表一名/度數表今名大測表)¶
大測表不過一象限¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-19b>¶
　古用弦則須半周¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-20a>¶
　　　　　如上圖用弦則乙丙弧必得乙丙弦乃至乙¶
　　　　　庚弧必得乙庚弦故百八十度之弧必得百¶
　　　　　八十度之弦也因此術既繁且難後從簡便¶
　則以半弦當之為各半弦可當上下兩弧故不過一象¶
　限而足也¶
　　　　　　如上圖辛壬半弦當乙壬小弧亦當壬己¶
　　　　　　甲大弧庚己半弦當乙己小弧亦當己甲¶
　　　　　　大弧且一象限之外無切線亦無割線故¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-20b>¶
　用半圏之全不如象限之半也¶
大測表不止有各弧之各度數亦有其各分數(欲極詳亦/可析分為)¶
　(十為六也/但少用耳)¶
作大測表先定半徑為若干分愈多愈細¶
凡割圓四線大抵皆不盡之數無論全數不盡即以畸零¶
　法命其分亦不能盡故大測表不得謂其不差但所差¶
　甚少不至半徑全數中之一耳¶
　假如半徑為千萬表中諸線中不至差千萬分之一分¶
　自一以内或半或大或少不能無差而微乎微矣故作¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-20b>¶
　表中半徑必用極大之數最少者一萬以上或至百萬¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-21a>¶
　千萬或至萬萬可也(七位即千萬/八位即萬萬)¶
定半徑之全數即可求一象限内各弧各度分之半弦以¶
　此半弦可求得其切線割線¶
凡半徑用數少即差多(如用千則差千之一/用萬則差萬之一)用極大之數¶
　即難推(如用萬萬以/上數極繁矣)今定為㡬何則可曰凡半徑之數¶
　其中之小分與半弧度分之小分大約相等而上之即¶
　是中數¶
　假如欲測有分之弧問半徑應定㡬何分曰一象限九¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-21b>¶
　十度毎度六十分則一象限五千四百分又古率圓與¶
　徑之比例大畧為二十二與七則象限弧與半徑之比¶
　例若十一與七¶
　　　　　　如上圖周二十二四分之則一象限為五¶
　　　　　　又半徑七二分之則三又半此二比例有¶
　　　　　　畸零之數故各倍之為十一與七也¶
　今用同比例法(即三/率法)以象限十一為第一數以半徑七¶
　為第二數以象限五千四百分為第三數而求得第四¶
　數為三千四百三十六故半徑分為三千四百三十六¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-21b>¶
　則半徑之各分略象等于一象限之各分五千四百也¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-22a>¶
　　　　　　故用大數最少一萬為與五千相近用此¶
　　　　　　乃可推有分之弧也¶
　　　　　　欲推弧分之秒亦用此法其象限為三十¶
　二萬四千秒依三率法十一與七若三十二萬四千與¶
　二十○萬六千一百八十二其半徑細分與象限之分¶
　秒相等而上之必用百萬¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-23a>¶
　　表原篇第三¶
表原者作表之原本也測圓無法必以直線直線與圓相¶
　準不差又極易見者獨有六邊一率而已古云徑一圍¶
　三是也然此六弧之弦非六弧之本數自此以外雖分¶
　至百千萬億皆弦耳故測弧必以弦弦愈細數愈宻其¶
　法仍由六邊之一準率始自此又推得五率此六率皆¶
　相準不差但後五率其理難見推求乃得是名為六宗¶
　率其法先定半徑為若干數(今用一/千萬)則作圏内六種多¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-23b>¶
　邊形(俱見㡬何/第四卷)推此六形各等邊之數得此六數即為¶
　六通弦各當其本弧因以為作表原本¶
宗率一　圏内六邊等切形求邊數¶
　㡬何原本四卷十五題言六邊等形在圏内者其各邊¶
　俱與半徑等半徑既定為千萬即邊亦千萬凡邊皆弦¶
　也圏分三百六十度此各弦相當之弧各六十度各與¶
　千萬相當矣相當者千萬即六十度弧之弦也¶
　　　　　　如上乙丙圏内有六邊等形其半徑甲乙¶
　　　　　　既定為千萬即乙丙弦為六邊形之一邊¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-23b>¶
　　　　　　亦千萬而相當之乙丙弧六十度¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-24a>¶
宗率二　内切圏直角方形求邊數¶
　㡬何四卷第六言一線在圏内對一象限為方形邊其¶
　上方形等于兩半徑上方形并(㡬何一/卷四七)此句股法也故¶
　用兩半徑之實并而開方而得本形邊¶
　　　　　　如上乙丙圏内方形甲乙為半徑句股法¶
　　　　　　甲乙甲丙上兩方并與乙丙上方等即以¶
　　　　　　之開方而得乙丙邊今兩半徑上方形并¶
　為二○○○○○○○○○○○○○○(此數為二百/萬萬萬)¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-24b>¶
　(旁作㸃者萬也/末○為單數)以開方得其邊一千四百一十四萬二¶
　千一百九十六此為乙丙弧之弦也乙丙弧為四分圏¶
　之一九十度則乙丙弦數為乙丙九十度弧相當之數¶
宗率三　圏内三邊等切形求邊數¶
　㡬何十三卷十二題言三邊等形内切圏其各邊上方¶
　形三倍于半徑上方形(丁乙方與丙丁丙乙兩方等而四倍于于丙丁/丙丁形則丙乙為丁乙四之三而三倍)¶
　　　　　　如上乙丙圏甲乙為半徑乙丙上方三倍¶
　　　　　　大于甲乙上方即三因半徑上方為三○¶
　　　　　　○○○○○○○○○○○○○(此數為/二百萬)¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-24b>¶
　(萬萬/有奇)開方得一千七百三十二萬○五○八弱¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-25a>¶
宗率四圏内十邊等切形求邊數¶
　㡬何十三卷九題言以比例分半徑為自分連比例線¶
　其大分則十邊等形之一邊¶
　　　　　　　　　　　　如上圖甲乙半徑與戊己等¶
　　　　　　　　　　　　用自分連比例法(㡬何六/卷三十)¶
　　　　　　　　　　　　(稱理分/中末線)分為大小分其大¶
　為丁己與十邊形之乙丙邊等蓋戊己線與己癸等己¶
　癸線既兩平分于庚則戊己己庚線上兩方并與庚戊¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-25b>¶
　上方等(㡬何一卷/四十七)今以庚戊上方開得庚戊線為一千¶
　一百一十八萬○四百三十○次減去己庚五百萬餘¶
　六百一十八萬○四百三十○即丁己線亦即乙丙弦¶
　而乙丙弧為全圏十分之一得三十六度是乙丙為三¶
　十六度弧之弦也¶
宗率五　圏内五邊等切形求邊數¶
　㡬何十三卷第十題言圏内五邊等切形其一邊上方¶
　形與六邊等形十邊等形之各一邊上方形并等¶
　如上圏内甲乙戊為五邊等形甲丙己為六邊等形甲¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-25b>¶
　丁乙為十邊等形題言甲丁甲丙上兩方并與甲乙上¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-26a>¶
　　　　　　　　方等者前言甲丙半徑為萬萬甲丁¶
　　　　　　　　線為六百一十八萬○四百三十○¶
　　　　　　　　各自之并得數開方得甲乙線為一¶
　　　　　　　　千一百七十五萬五千七百○四弱¶
　其弧五分全圏得七十二即甲乙為七十二度弧之度¶
宗率六　圏内十五邊等切形求邊數¶
　㡬何四卷十六題言圏内從一㸃作一三邊等形又作¶
　一五邊等形同以此㸃為其一角從此角求兩形相近¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-26b>¶
　之第一差弧即十五邊形之一邊¶
　　　　　　如上圖從甲㸃作甲乙丙三邊形甲丁戊五¶
　　　　　　邊形求得兩形相近之第一差為乙戊即¶
　　　　　　十五邊等形之一邊乃丁乙全差之半其¶
　數先有三邊形之乙丙一百二十度之弦為一千七百¶
　三十二萬○五百○八弱又有五邊形之戊子七十二¶
　度之弦為一千一百七十五萬五千七百○四弱則乙¶
　庚六十度之正弦為乙丙之半得八百六十六萬○二¶
　百五十四弱戊辛三十六度之正弦為戊子之半得五¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-26b>¶
　百八十七萬七千八百五十二兩相減餘為乙癸得二¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-27a>¶
　百七十八萬二千四百○二夫乙己半徑上方減壬乙¶
　六十度之正弦乙庚上方餘己庚依開方法為五百萬¶
　己子半徑上方與己辛三十六度之正弦辛子上兩方¶
　并等依前法亦得己辛八百○九萬○一百七十○己¶
　辛己庚兩相減餘為庚辛得三百○九萬○一百七十¶
　○庚辛即戊癸也既得乙癸二百七十八萬二千四百¶
　○二今得戊癸三百○九萬○一百七十○用句股術¶
　求得乙戊弦為四百一十五萬八千二百三十四為十¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-27b>¶
　五邊等形之一邊其乙戊弧為全圏十五分之一得二¶
　十四則乙戊為二十四度弧之相當弦¶
　六題總表¶
　邊　　　　弧度　　　　弦數¶
　三　　　　一百二十　　一七三二○五○八¶
　四　　　　九十　　　　一四一四二一九六¶
　五　　　　七十二　　　一一七五五七○四¶
　六　　　　六十¶
　十　　　　三十六　　　　六一八○三四○¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-27b>¶
　十五　　　二十四　　　　四一五八二三四¶
<pb:KR3f0013_WYG_009-28a>¶
　既得全數今推半弧(即半/角)半弦¶
　弧度　　　　半弦¶
　六十　　　　八六六○二五四¶
　四十五　　　七○七一○九八¶
　三十六　　　五八七七八五二¶
　三十　　　　五○○○○○○¶
　十八　　　　三○九○一七○¶
　十二　　　　二○七九一一七¶
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　新法算書卷九¶