KR3f0026_037.txt

# -*- mode: mandoku-view; -*-
#+TITLE: 歷算全書
#+DATE: 2015-08-24 23:10:10.215965
#+PROPERTY: ID KR3f0026
#+PROPERTY: BASEEDITION WYG    
#+PROPERTY: JUAN 卷三十三
<pb:KR3f0026_WYG_037-1a>¶
欽定四庫全書¶
　厯算全書卷三十三¶
　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰¶
　　籌算六之七¶
　開方捷法¶
勿菴氏曰亷隅二形也故有二法今借開方大籌為隅¶
　法列于亷法籌之下而合商之則亷隅合為一法而¶
　用加捷矣存前法者所以著其理用捷法者所以善¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-1b>¶
　其事¶
　平方¶
法曰如前列實從單位作㸃每隅位㸃之以求初商(初/商)¶
　(列位有常法/進法俱如前)既得初商即倍根數為亷法(亦同/前法)以亷¶
　法數用籌(亷法幾位/用籌幾根)列于平方籌之上為亷隅共法¶
　(或省曰/次商法)合視亷隅共法籌某行内有次商之實同者¶
　或略少者減實以得次商(以本行内/方根命之)¶
　三商者合初商次商倍之以其數用籌列平方籌上¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-2a>¶
　為亷隅共法(或省曰/三商法)以除三商之實而得三商¶
　四商以上倣此求之¶
解曰隅者小平方也故可以平方籌為法　亷之數每¶
　大于隅一位今以平方籌為隅列于亷之下則隅之¶
　進位與亷之本位兩半圓合成一數故亷隅可合為¶
　一法¶
　(何以知亷大于隅一位也曰有次商則初商是十數/矣平方亷法是初商倍數其位同初商故大于隅一)¶
　(位/)¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-2b>¶
凡初商減積盡最上一㸃故最上一㸃者初商之實也¶
　次商減積盡第二㸃故第二㸃以上次商之實也三¶
　商減積盡第三㸃故第三㸃以上三商之實也推之¶
　第四㸃為四商之實第五㸃為五商之實(以上/並同)¶
審空位法曰若次商之實小于亷隅共法之第一行(凡/籌)¶
　(第一行最/小數也)則知次商是空位也(不能成一/數故空)即作圈于¶
　初商下以為次商　乃于亷法籌下平方籌上加一¶
　空位籌為亷隅共法以求三商(若空位多者另/有簡法見後)¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-3a>¶
　三商實小有空位並同¶
假如有平方積二千四百九十九萬九千九百九十九¶
　尺問每面若干¶
　列位　作㸃¶
　　　　　　　　　　如圖㸃在次位以二千四百¶
　　　　　　　　　　萬為初商實¶
　　　　　　　　　　視平方籌有小于二四者是¶
　一六其方四也商四千尺減積一千六百萬尺(有四/㸃故)¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-3b>¶
　(初商是千/而有次商)¶
　次以初商四千尺倍之得八千尺為亷法用第八籌¶
　列平方籌上為亷隅共法¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-4a>¶
　以第二㸃餘實八百九十九萬為次商實視籌第九¶
　行合數八○一小于實次商九百尺減實八百○一¶
　萬尺¶
　(此所減首位不/空故對位書之)¶
　次倍初商次商共四千九百尺得九千八百尺用第¶
　九第八兩籌列平方籌上為廉隅共法　以第三㸃¶
　上餘實九八九九為三商之實¶
　合視籌第九行是八九○一小于實商九十尺減餘¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-4b>¶
　　　　　　　　　　　　　實八十九萬○一百¶
　　　　　　　　　　　　　尺¶
　　　　　　　　　　　　　(首位不空故/亦對位書之)¶
　¶
　¶
　¶
　次倍三次商共四千九百九十尺得九千九百八十¶
　尺用九九八三籌列平方籌上為廉隅共法¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-5a>¶
　　　　　　　　　　　　　　　以第四㸃上餘¶
　　　　　　　　　　　　　　　積九九八九九¶
　　　　　　　　　　　　　　　為四商之實¶
　　　　　　　　　　　　　　　合視籌第九行¶
　　　　　　　　　　　　　　　積八九九○一¶
　　　　　　　　　　　　　　　小于實商九尺¶
　　　　　　　　　　　　　　　減餘實八萬九¶
　　　　　　　　　　　　　　　千九百○一尺¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-5b>¶
　不盡九千九百九十八尺¶
　開方已得單尺而有不盡以法命之倍方根加一數¶
　得九千九百九十九為命分¶
　凡開得平方四千九百九十九尺又九千九百九十¶
　九之九千九百九十八¶
　　右例可明四以上用常法之理葢積所少者不過¶
　　萬分之一不能成五數之方而其法迥異¶
加空籌式¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-6a>¶
假如有平方積一千六百七十七萬七千二百一十六¶
　問每面若干¶
　列位　作㸃¶
　　　　　　　　　如圖㸃在次位以一千六百萬¶
　　　　　　　　　為初商實¶
　　　　　　　　　視平方籌有一六與實同其方¶
　四商四千尺減積一千六百萬尺(凡餘實必在商數/下一位起倘空位)¶
　(則作圈補/之後倣此)　次以初商四千尺倍得八千尺為亷法¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-6b>¶
　用第八籌列平方籌上為亷隅共法(籌見/前例)¶
　以第二㸃上餘實○七七為次商實¶
　　　　　　　　籌最小數是○八一(第一/行數)大于實¶
　　　　　　　　不及減是商數無百也¶
　　　　　　　　乃于初商四千下作一圈以為次¶
　商(減去實/中○位)　次如上圖加一空位籌于次商亷法之¶
　下平方籌之上為三商亷隅共法¶
　以第三㸃上七七七二為三商實¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-7a>¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　視籌第九行是七二八一小于實商九十尺減積七¶
　十二萬八千一百¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-7b>¶
　次合初商次商三商共四○九倍之得八一八為廉¶
　法¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-8a>¶
　去空位籌加一八兩籌列于平方籌之上為四商廉¶
　隅共法¶
　以第四㸃上四九一一六為四商之實¶
　合視籌第六行數與實合商六尺減積四萬九千一¶
　百一十六尺恰盡¶
　凡開得平方四千○九十六尺¶
假如有平方積九億○○一十八萬○○○九步問每¶
　面若干¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-8b>¶
　列位¶
　作㸃¶
　如後圖㸃在首位以○九億步為初商實¶
　　　　　　　　　　視平方籌有○九與實同商¶
　　　　　　　　　　三萬步(五㸃故/初商萬)減積九億步¶
　　　　　　　　　　次以初商三萬步倍之得六¶
　萬步用第六籌加平方籌上為次商法(即廉隅/共法)　以¶
　第二㸃上為次商之實視實三位俱空無減知商數¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-9a>¶
　有空位且不止一空位也如前法宜挨次商得一空¶
　位則于原實内銷一圈(凡續商之實必下于前商之/實一位故雖○位必減去之)¶
　(以清出續/商之實)而于共法籌内加一空位籌如此挨商頗¶
　覺碎雜故改用又法¶
　又法曰凡實有多空位者知商數亦有多空不必挨¶
　商當于原實中審定可減之數在何位則此位之上¶
　皆連作圈而徑求後商如此餘實有三圈皆無積可¶
　減必至○一乃有可減而法是第六籌籌最小是○¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-9b>¶
　六大于○一仍不可減必至一八方可減而一是籌¶
　之進位當以商數對之則知以上俱是空位乃皆作¶
　圏合視之有三圈即次商三商四商也干原實内銷¶
　去三圈如後圖¶
　　　　　　　　　　　　　　此即次商三商四¶
　　　　　　　　　　　　　　商合圖也¶
　¶
　次加三空籌于平亷(第六/籌)之下平方之上為五商亷¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-10a>¶
　隅共法　徑以第五㸃上一八○○○九為五商實¶
　　　　　　　　視籌第三行數與餘實合商三尺¶
　　　　　　　　除積一八○○○九恰盡¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　　　　　　　　凡開得平方三萬○○○三步¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-10b>¶
又假如積二千五百○七萬○○四十九尺問方若干¶
　列位　作㸃¶
　　　　　　　　　　　如圖㸃在次位以二千五¶
　　　　　　　　　　　百萬尺為初商實¶
　　　　　　　　　　　視平方籌有二五與實同¶
　其方五商五千尺減積二千五百萬尺¶
　次倍初商五千尺得一萬○千尺用一籌空位籌為¶
　廉法(凡商得五數則/原帶有空位)列平方籌上為次商法　實多¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-11a>¶
　空位以前除又法審之必至○七萬尺乃有可減而¶
　○七之○與籌上首位之○對當以商數居之則知此¶
　以上俱無商數也于是于初商五千下作兩圏如後圖¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-11b>¶
　此次商三商合圖也(原實上減兩圏/商數下加兩圏)¶
　如上圖加兩空位籌于廉法一萬○千之下平方之¶
　上為四商法¶
　以○七○○四九為四商實(次商三商之兩㸃已/銷故徑用第四㸃)¶
　　　　　　　　　視籌第七行相合商七尺減實¶
　　　　　　　　　恰盡¶
　　　　　　　　　凡開得平方五千○○七尺¶
又假如積五千六萬三千五百○○尺問方若干¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-12a>¶
　列位¶
　作㸃　如圖㸃在次位以五十六萬為初商實¶
　　　　　　　　　　　視平方第七行是四九小¶
　　　　　　　　　　　于實商七百尺除實四十¶
　　　　　　　　　　　九萬¶
　次倍初商七百得一千四百用第一第四兩籌列平¶
　方籌上為次商法　以第二㸃上○七三五為次商¶
　實¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-12b>¶
　　　　　　　　　　　　　　　　　合視第五¶
　　　　　　　　　　　　　　　　　行是○七¶
　　　　　　　　　　　　　　　　　二五小于¶
　　　　　　　　　　　　　　　　　實商五十¶
　　　　　　　　　　　　　　　　　尺減去餘¶
　　　　　　　　　　　　　　　　　積○七萬¶
　　　　　　　　　　　　　　　　　二千五百¶
　　　　　　　　　　　　　　　　　尺¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-13a>¶
　次合商數七百五十倍之得一千五百○尺應用第一¶
　第五空位三籌加于平方籌上為三商法以第三㸃¶
　上○一千○○尺為三商實而實小于法不能成一尺¶
　乃于商數未作一圏以為三商其不盡之數以法命之¶
　　　　　　　　凡亷隅共法籌第一行數即命分¶
　　　　　　　　也葢能滿此數即成一單數矣¶
　　　　　　　　凡開得平方七百五十○尺又一¶
　　　　　　　　千五百○一之一千○○○約為¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-13b>¶
　三之二弱¶
　立方¶
法曰如前列實隔兩位作㸃以求初商既得初商即以¶
　初商數自乘而三之為平亷法(即方/法)以平亷法用籌¶
　列于立方籌之上(借立方籌/為隅法也)為平亷小隅共法¶
　别以初商數三之而進一位為長亷法(即亷/法)以長亷¶
　法用籌列于立方籌之下(法于長亷數下加一空/籌以合進一位之數)¶
　先以平隅共法(即平亷小隅共/法或省曰共法)為次商之法即截取¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-14a>¶
　初商下一位至第二㸃止為次商之實法除實得次¶
　商(視共法籌内有小于實者為平亷/亷小隅共積用其根數為次商)次以次商之自¶
　乘數(即大籌立積下/所帶平方積數)與長亷法相乘(以平方數尋長/亷籌之行取其)¶
　(行内積/數用之)得數加入平隅共積為次商總積以此總積¶
　減次商之實及減則已倘不及減轉改次商及減而¶
　止(因亷積或大/有不及減者)¶
三商者合初商次商數自乘而三之為平亷法以其數¶
　用籌列方籌上為平亷小隅共法¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-14b>¶
　别以初商次商數三而進位以其數用籌加一空位¶
　籌列立方籌下為長亷法¶
　截取次商下一位至第三㸃為三商之實共法為法除¶
　之以得三商(其積為/共積)　次以三商自乘數與長亷法¶
　相乘得數加入共積為三商總積　减實(又一法長/亷法不必)¶
　(加空位籌得于得數/下加一圏即進位也)¶
四商以上倣此¶
解曰隅者小立方也故可以立方籌為法平亷之數每¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-15a>¶
　大于隅二位今以立方籌為隅列于平亷下則隅之¶
　首位與平亷之末位兩半圓合成一數故平亷小隅¶
　可合為一法　長亷之兩頭皆如次商自乘之數故¶
　可以平方乘之又長亷之數每大于隅一位故于下¶
　加一空籌以進其位便加積也¶
　(何以知平亷大于隅二位而長亷只大一位也曰平/亷者初商自乘之數也初商于次商為十數十乘十)¶
　(則百數矣隅積者次商本位也故平亷與隅如百與/單相去二位也若長亷只是初商之三倍位同初商)¶
　(初商與次商如十與單故長亷與/小隅亦如十與單相去一位也)¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-15b>¶
凡初商積盡于上一㸃故上一㸃為初商實次商積盡¶
　于第二㸃故第二㸃以上為次商實推之三㸃為三¶
　商實四㸃為四商實以上並同¶
審空位法曰若次商之實小于平亷小隅共法之第一¶
　行或僅如共法之第一行而無長亷積則次商是空¶
　位也即作圏于初商下以為次商乃于平亷籌下立¶
　方籌上加兩空位籌為三商平亷小隅之共法以求¶
　三商其長亷法下又加一空位籌(并原有一空位/籌共兩空位籌)為¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-16a>¶
　三商長亷法(又法長亷不必加空籌/但于得數下加兩圏)　若商數有兩¶
　空位者平亷小隅籌下加四空位籌長亷積下加三¶
　圏¶
解曰有空位則所求者三商也初商于三商如百與單¶
　而平亷者初商之自乘百乘百成萬故平亷與三商¶
　之隅如萬與單大四位也此加兩空籌之理也(平亷/原大)¶
　(二位加二空籌/則大四位矣)初商與三商既如百與單則長亷與¶
　隅亦如百與單大兩位也此又加一空籌之理也¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-16b>¶
初商列位商一用常法二至五用進法六至九用超法¶
　今各存一例于後¶
假如有立方積六百八十五萬九千尺問每面若干¶
　列位　作㸃¶
　　　　　　　　　　如圖㸃在首位以○○六百¶
　　　　　　　　　　萬為初商實¶
　　　　　　　　　　視立方籌有小于○○六者¶
　○○一也其立方一商一百尺(三㸃故/初商百)減積一百萬¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-17a>¶
　尺次截取第二㸃上五八五九為次商實¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-17b>¶
　以初商一百尺自乘得一萬尺而三因之得三萬¶
　尺為平廉法用第三籌列立方籌上為平廉小隅¶
　共法¶
　别以初商一百尺三而進位得三百○十尺為長¶
　廉法¶
　列立方籌下視平隅共法籌第九行是三四二九¶
　小于實商九十尺¶
　次以第九行平方八一乘長廉三得二四三○以加¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-18a>¶
　共積得五百八十五萬九千為次商九十尺之積除¶
　實盡¶
　次商十宜有三商而除實已盡是方面無單數也¶
　凡開得立方每面一百九十○尺¶
假如有立方積一千二百八十六億三千四百六十七¶
　萬○五百九十二尺問方若干¶
　列位¶
　作㸃¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-18b>¶
　　　　　　　　　　　　如圖㸃在第三位以一¶
　　　　　　　　　　　　千二百八十億為初商¶
　　　　　　　　　　　　實¶
　視立方籌内有小于一二八是一二五其方五也商¶
　五千尺(四㸃故/初商千)減積一千二百五十億¶
　次截取第二㸃上○三六三四為次商實¶
　以初商五千自乘得二千五百萬而三之得七千五¶
　百萬為平廉法用七五兩籌列立方籌上為平廉小¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-19a>¶
　隅共法别以初商五千尺三而進位得一萬五千○¶
　百尺為長亷法用籌列立方籌下¶
　　　　　　　　　　　　視共法籌第一行是○¶
　　　　　　　　　　　　七五○一大于實不及¶
　　　　　　　　　　　　減知次商百位空也于¶
　初商下作一圏為次商(原實上/減一圏)¶
　乃截第三㸃三六三四六七○為三商實¶
　次于平亷籌下立方籌上加兩空位籌為平亷小隅¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-19b>¶
　共法¶
　于長亷籌下又加一空位籌(原有一空位/籌共二空位)為長亷法¶
　　　　　　　　　　　　　　視共法籌第四行¶
　¶
　¶
　¶
　　　　　　　　　　　　　　是三○○○○六¶
　　　　　　　　　　　　　　四小于實用為共¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-20a>¶
　積商四十尺　以長廉法與四行之平方一六相乘¶
　得二四○○○為長廉積加入共積得三○二四○¶
　六四減積三十○億二千四百○六萬四千尺¶
　次以商數五千○四十自乘得二千五百四十○萬¶
　一千六百尺而三之得七千六百二十○萬四千八¶
　百尺為平廉法列立方籌上為平隅共法别以商數¶
　五千○四十尺三而進位得一萬五千一百二十○¶
　尺為長廉法列立方籌下¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-20b>¶
　　　　　　　　　　　　　　　　乃截第四㸃¶
　　　　　　　　　　　　　　　　六一○六○¶
　　　　　　　　　　　　　　　　六五九二為¶
　　　　　　　　　　　　　　　　四商之實¶
　　　　　　　　　　　　　　　　視共法籌第¶
　　　　　　　　　　　　　　　　八行六○九¶
　　　　　　　　　　　　　　　　六三八九¶
　　　　　　　　　　　　　　　　一二小于實¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-21a>¶
　商八尺以長亷法與第八行平方六四相乘得九六¶
　七六八○為長亷積以加共積得六一○六○六五¶
　九二除實盡¶
　凡開得立方每面五千○四十八尺¶
　　右加兩空籌例¶
假如有立方積七千二百九十七億二千九百二十四¶
　萬三千○二十七尺問每面若干¶
　列位　作㸃¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-21b>¶
　　　　　　　　　　　　如圖㸃在第三位以七¶
　　　　　　　　　　　　千二百九十億為初商¶
　　　　　　　　　　　　實　視立方籌方九之¶
　積七二九與實同商九千尺減積七千二百九十億¶
　(四㸃故/初商千)次截第二㸃○○○七二九為次商實¶
　以初商九千尺自乘八千一百萬尺而三之得二億¶
　四千三百萬尺為平亷法列立方籌上為平亷小隅¶
　共法别以初商九千尺三而進位得二萬七千○百¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-22a>¶
　尺為長亷法列立方籌下　視共法籌第一行是○¶
　二四三○一大于實不及減知次商百位空也于初¶
　商九千尺下作一圏為次商(原實上減/去一圏)乃于平亷籌¶
　下立方籌上加兩空籌為平廉小隅共法于長亷籌¶
　下又加一空籌得二七○○為長亷法　截取第三¶
　㸃○○七二九二四三為三商實　視共法籌第一¶
　行是○二四三○○○一大于實仍不及減知三商十位¶
　亦空也于商得九千○百下加一圏為三商(原實上又/減去一圏)¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-22b>¶
　(又法實多空不必挨商但尋至不空之界如○七乃/與平亷相應即于○七之上初商之下作連圏為次)¶
　(商三商而于原/實中銷兩圏)¶
　　　　　　　　　　　　此次商三商合圖也¶
　　　　　　　　　　　　乃于平亷籌下立方籌¶
　　　　　　　　　　　　上又加兩空籌(共四/空籌)為¶
　平亷小隅共法　其長亷籌下又加一空籌(共三/空籌)得¶
　二七○○○為長亷法(或不必加籌只于得/數下加三圏亦同)¶
　截取第四㸃○七二九二四三○二七為四商實¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-23a>¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-23b>¶
　　　　　　　　　　視共法籌第三行是○七二¶
　　　　　　　　　　九○○○○二七小于實商¶
　　　　　　　　　　三尺　以長亷法與第三行¶
　　　　　　　　　　平方○九相乘得二四三○¶
　　　　　　　　　　○○為長亷積以加共積得¶
　　　　　　　　　　○七二九二四三○二七除實盡¶
　凡開得立方每面九千○○三尺¶
　　右加四空籌例¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-24a>¶
　開方分秒法(籌算七/)¶
勿菴氏曰命分古法也然但可以存其不盡之數而已¶
　若還原則有不合故有分秒法以御之也雖亦終不¶
　能盡然最小之分即無關于大數視命分之法不啻¶
　加宻矣¶
　平方¶
法曰凡開平方有餘實不能成一數不可開矣若必欲¶
　開其分秒則于餘實下加二圏(原實一化/為一百分)如法開之¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-24b>¶
　所得根數是一十分内之幾分也或加四圏(原實一/化為一)¶
　(萬/分)如法開之所得根數是一百分内之幾分也或加¶
　六圏(原實一化為/一百萬分)如法開之所得根數是一千分内¶
　之幾分也如此遞加兩圏則多開得一位乃至加十¶
　圏(原實一化/為百億分)其根數則十萬分内之幾萬幾千幾百¶
　幾十幾分也¶
假如平方積八步開得二步除實四步餘四步不盡分¶
　秒幾何¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-25a>¶
　　　　　　　　法于餘實下添兩圏則餘實四步¶
　　　　　　　　化為四百○○分為次商之實¶
　　　　　　　　依捷法以初商二步倍作四步為¶
　　　　　　　　亷法列平方籌上為亷隅共法簡¶
　籌第八行積三八四小于餘實次商八分除實三百¶
　八十四分開得平方每面二步八分不盡一十六分¶
　再開之¶
　又于餘實下加兩圏則餘實一十六分化為一千六¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-25b>¶
　百○○秒為三商之實¶
　依捷法以初商次商共二步八分倍之得五步六分¶
　為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第二行積一¶
　一二四小于餘實商作二秒除實一千一百二十四¶
　秒共開得平方每面二步八分二秒不盡四百七十¶
　六秒¶
　　此單下開兩位式也所不盡之數不過百分之四¶
　　若欲再開亦可得其忽㣲如後式¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-26a>¶
　還原以二步八二用籌為法又以二步八二列為實¶
　而自相乘之得七萬九千五百二十四分加不盡之¶
　分四百七十六共八萬乃以一萬分為一步之法除¶
　之(當退/四位)仍得八步合原數¶
　解曰此以一步化為百分故其積萬分何也自乘者¶
　横一步直一步也今既以一步化為一百分則是横¶
　一百分直一百分而其積一萬分為一步¶
　¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-26b>¶
　¶
　¶
　¶
　¶
假如平方九十步開得九步除實八十一步餘實○九¶
　步不盡(小分/幾何)¶
　法于餘實九步下加八圏則餘實九步化為九億共¶
　作五㸃而以第二㸃○九億○○分為次商之實¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-27a>¶
　依捷法以初商九步倍作一十八步為亷法列平方¶
　　　　　　　　　　　籌上為亷隅共法簡籌第¶
　　　　　　　　　　　四行○七三六略小于餘¶
　　　　　　　　　　　實商四千分除實七億三¶
　　　　　　　　　　　千六百萬分餘一億六千¶
　　　　　　　　　　　四百○○萬分為第三商¶
　　　　　　　　　　　之實(第三/㸃也)¶
　又依捷法以初商次商九步又十之四倍之得一十¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-27b>¶
　八步八為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第八¶
　行一五一○四略小于餘實商八除實一億五千一¶
　百○四萬餘一千二百九十六萬分○○為第四次¶
　商之實(第四/㸃也)¶
　又依捷法以三次所商共九步四八倍之得一十八¶
　步九六為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第六¶
　行一一三七九六略小于實商六除實一千一百三¶
　十七萬九千六百分餘一百五十八萬○四百○○¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-28a>¶
　分為第五次商之實(第五/㸃也)¶
　又依捷法以所商九步四八六倍之得一十八步九¶
　七二為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第八行¶
　一五一七八二四略小于實商八除實一百五十一¶
　萬七千八百二十四分餘六萬二千五百七十六分¶
　不盡凡開得平方每面九步四千八百六十八分(亦/可)¶
　(名為四分八/秒六忽八㣲)不盡一○○○○○○○○之○○○¶
　○六二五七六(即一萬分之/六分有竒)¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-28b>¶
　雖不盡不過萬分之一不足為損益可棄不用¶
　還原以九步四八六八用籌為法又為實自乘得八¶
　十九億九千九百九十三萬七千四百二十四分加¶
　入不盡之分六萬二千五百七十六共九十億以一¶
　億分為一步之法除之(當退/八位)仍得九十步合原數¶
　解曰此以一步化為一萬分故其自乘之積一億何¶
　也自乘者横一步直一步之積也今既以一萬分為¶
　步則是横一萬分直一萬分而其積一億為一步¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-29a>¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　¶
若依命分法則還原不合¶
　如前例　原實八步開得方二步除實四步不盡四¶
　步法當倍每方二步作四步又加隅一步為命分命¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-29b>¶
　為二步又五分步之四意若曰若得五步則商三步¶
　矣今只四步是五分内止得四分也然還原有不合¶
　何也¶
以算明之¶
　用通分法以命分五通二步得一十分又加得分四¶
　共一十四分自乘得一百九十六為實以命分五自¶
　　　　　　　　　　　乘得二十五分為法(每步/通作)¶
　　　　　　　　　　　(五分横一步直一步/則共得二十五分也)除之¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-30a>¶
　得七步又二十五分之二十一以較原實少二十五之四¶
以圖明之¶
　　　　　　　每步作五分其羃積二十五分方二¶
　　　　　　　步積四步共一百分又五之四以乘¶
　　　　　　　方二步得四十分倍之為亷積八十¶
　　　　　　　分又五之四自乘得隅積一十六分¶
　共九十六分以合原餘積四步該一百分少二十五¶
　分之四¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-30b>¶
　以此觀之實數每縮虛數常盈故命分之法不可以¶
　還原　其故何也曰隅差也何以謂之隅差曰平方¶
　之有竒零其在兩亷者實其在隅者虛何也亷之虛¶
　者一面而隅之虛者兩面也即如二步五之四謂五¶
　分内虛一分故不能成一歩也然試觀于圖兩亷之¶
　四步皆虛一分(横四分直五分積二十分以二十五/分計之是為于五分之中虛一分)¶
　而隅之一步虛一分有零(横四分直亦四分積一十/六分虛九分以二十五分)¶
　(計之是為五分/之中虛二分弱)則是邊數二步五之數者其積不及¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-31a>¶
　五之四也今餘積四步者實數也其邊數常盈于五¶
　之四有竒也而命之曰五之四宜其不及矣然則古¶
　何以設此法曰古率常寛以為所差者㣲故命之也¶
　不但此也古率圓一圍三方五斜七今考之皆有㣲¶
　差故曰寛也¶
　愚常考定開平方隅差之法法曰如法以命分之毋¶
　通其整而納其子(即得/分)為全數以全數自相乘得數¶
　為通積另置分毋以分子減之餘數以乘分子而加¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-31b>¶
　之為實乃以分毋自乘為法除之即適還原數　如¶
　上方二步五之四以分毋五通二步得十納子四共¶
　十四自乘得方積一百九十六分另以分子四減分¶
　毋五餘一以轉乘分子四得四即隅差也以隅差加¶
　入方積共二百分為實乃以分毋五自乘得二十五¶
　為法以除實得八步合原積¶
　又如後例　原實九十步開得九步除實八十一步¶
　不盡九步法當倍每方九步作十八步又加隅一共¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-32a>¶
　十九步為命分命為九步又十九分步之九意若曰¶
　若得十九歩則加商一步成十步今只九步是十九¶
　分内只得九分也然還原亦不合¶
以算明之¶
　用通分法以命分十九通九步得一百七十一步又¶
　加得分九共一百八十步自乘得三萬二千四百為¶
　實以命分十九自乘得三百六十一為法(每步十九/分横十九)¶
　(分直十九分共得/三百六十一分也)除之得八十九步又三百六十一¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-32b>¶
　分之二百七十一以較原實之九十步計少三百六¶
　十一分之九十分¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　若依隅差之分以得分九減命分十九餘十轉乘得¶
　分得九十分為隅差以加自乘通積三萬二千四百¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-33a>¶
　共得三萬二千四百九十為實乃以命分自乘三百¶
　六十一為法除之恰得九十步合原積¶
以圖明之¶
　　　　　　　　　　甲戊丁庚形者方九步九分¶
　　　　　　　　　　之總形也通為一百八十分¶
　　　　　　　　　　積三萬二千四百分以三百¶
　　　　　　　　　　六十一為步除之較原實少¶
　　　　　　　　　　九十分¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-33b>¶
　内分甲丙乙巳形為初商方九步之形其積八千一歩¶
　戊乙形庚乙形次商亷積之形也長九步(通為一百/七十一分)¶
　濶九分積一千五百三十九分兩亷共計三千○七¶
　十八分¶
　丁乙者小隅者横直各九分以較亷積中每一步之¶
　形(如丑/乙)欠一丁癸形即隅差也¶
　以積考之亷九步每步濶九分長一步(通為十/九分)積一¶
　百七十一分隅濶九分長亦九分積八十一分少九¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-34a>¶
　十分為隅差¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　立方¶
法曰凡立方有餘實不能成一數不可開矣若必欲知¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-34b>¶
　其分秒則于餘實下加三圏(原實一化/為一千分)如法開之所¶
　得根數是一十分之幾分也若加六圏(原實一化為/一百萬分)¶
　所得根數是一百分之幾分也若加九圏(原實一化/為十億)¶
　則根數是一千分之幾分也若加十二圏(原實一化/為萬億)¶
　則根數是一萬分之幾分也¶
解曰平方籌兩位故兩位作㸃而其化小分亦以兩位¶
　為率葢積多兩位則根數可多一位也(亷一位隅一/位故兩位)¶
　立方籌三位故三位作㸃而其化小分亦以三位為¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-35a>¶
　率葢積多三位則根數可多一位也(平亷一位長亷/一位隅一位故)¶
　(三/位)¶
假如立方積一十七步開得立方二步除八步餘實九¶
　　　　　　　　　　　　　步不盡法于餘實下¶
　　　　　　　　　　　　　加十二圈則餘實九¶
　　　　　　　　　　　　　步化為九萬億分(増/)¶
　　　　　　　　　　　　　(四㸃可加開四位/)¶
　依捷法截第二㸃○九○○○為次商之實　以初¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-35b>¶
　商二自乘(四/)而三之得一十二步為平亷法列立方¶
　籌上為平隅共法　以初商(二/)三而進位得(六○/)為¶
　長亷法列立方籌下　簡共法籌第五行積(○六一/)¶
　(二五/)小于實商五分(六行七行亦小于實因無長亷/)¶
　(積故不用/)¶
　乃以第五行平方(二五/)與長亷法相乘得(一五○○/)¶
　為長亷積以加共積共得(○七六二五/)是為次商五¶
　分之積以除實餘一三七五以俟三商¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-36a>¶
　又截取第三㸃一三七五○○○為三商之實　以¶
　初商次商共二步五分自乘得(六二五/)而三之得(一/)¶
　(八七五/)為平亷法列立方籌上為平隅共法　以初¶
　商次商(二步五分/)三而進位得(七五○/)為長亷法列¶
　立方籌第七行(一三一二八四三/)共法(八四三/)小于¶
　實商七秒　乃以第七行平方(四九/)與長亷法相乘¶
　得(三六七五○/)為長亷積以加共積共得(一三四九/)¶
　(五九三/)為三商七秒之積以除實餘○二五四○七¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-36b>¶
　以候續商¶
　又截取第四㸃○二五四○七○○○為四商之實¶
　以商數(二五七/)自乘得(六六○四九/)而三之得(一九/)¶
　(八一四七/)為平亷法列立方籌上為平隅共法　以¶
　商數(二五七/)進位而三之得(七七一○/)為長亷法列¶
　立方籌下簡共法籌第一行(○一九八一四七○一/)¶
　小于實商一忽¶
　乃以第一行平方(一/)乘長亷得(七七一○/)為長亷積¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-37a>¶
　以加共積得(一九八二二四一一/)為商一忽之積以¶
　除實餘○五五八四五八九以候末商¶
　通第五㸃○五五八四五八九○○○為末商之實¶
　　以商數(二五七一/)自乘得(六六一○○四一/)而三¶
　之得(一九八三○一二三/)為平亷法列立方籌上為¶
　平隅共法　以商數(二五七一/)進位而三之得(七七/)¶
　(一三○/)為長亷法列立方籌下簡共法籌第二行(○/)¶
　(三九六六○二四六○八/)小于實商二㣲¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-37b>¶
　乃以第二行平方(○四/)乘長亷法得(三○八五二○/)¶
　為長亷積以加共積得(○三九六六三三三一二八/)¶
　為末商二㣲之積以減實餘一六一八二五五八七¶
　二不盡¶
　凡開得立方每面二步五分七秒一忽二㣲(不盡之/數不能)¶
　(成一㣲/棄不用)¶
　還原以二步五七一二用籌為法别以二步五七一¶
　二列為實以法乘實得六六一一○六九四四¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-38a>¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　再乘之得一十六萬九千九百八十三億八千一百¶
　七十四萬四千一百二十八分¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-39a>¶
　乃以不盡之積一十六億一千八百二十五萬五千¶
　八百七十二分加入再乘積共得一十七萬億以一¶
　萬億為一步之法(以一步為萬分横一萬直/一萬商一萬共一萬億)除之得¶
　一十七步合原數¶
　¶
　¶
　¶
若依命分法則還原不合¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-39b>¶
　如前所設立方積一十七步開得立方每面二步除¶
　積九步餘九步法當以立方二步自乘得四步而三¶
　之得十二步為平亷又以立方二步三之得六步為¶
　長亷又加(一步/)為隅共(一十九步/)為命分命為立方¶
　二步又十九分步之九意若曰餘積若滿十九步則¶
　加商一步矣今只有九步是以十九分為一步而今¶
　僅得九分也然還原則有不合¶
以算明之¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-40a>¶
　用通分法以命分十九通立方二步得(三十八分/)又¶
　加得分九共(四十七分/)此即所云二步又十九分之¶
　九乃立方一面之數也以此自乘得(二千二百○九/)¶
　(分/)再乘得(一十○萬三千八百二十三/)乃立方二步¶
　又十九分之九所容積數也為實别以命分十九自¶
　乘得(三百六十一/)再乘得(六千八百五十九/)乃方一¶
　步之積為法以除實得(一十五步又六千八百五十/)¶
　(九之九百三十八/)較原實一十七步少(一步又六千/)¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-40b>¶
　(八百五十九分之五千九百二十一/)¶
　其故何也曰長亷小隅之差也何以言之曰立方之¶
　有竒零其在平亷者實其在長亷小隅者虛何也平¶
　亷之虛者一面而長亷虛兩面小隅虛三面故也今¶
　以十九分為一步其立方積(六千八百五十九分/)為¶
　步法以十九分除之得每(三百六十一/)為分法平亷¶
　每步(横十九分直十九分髙九/分積三千二百四十九)分法除之得九是為¶
　十九分之九適合命分之數也¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-41a>¶
　若長亷(横九分直十九分髙九分/積一千五百三十九分)分法除之得四分¶
　有竒而已以較平亷九分之積(三千二百四十九/)少¶
　(一千七百一十分/)三長亷共(六步/)共少(一萬○二百/)¶
　(六十分/)步法除之得一步又三千四百○一分為長¶
　亷差¶
　若小隅(横直髙各九分積/七百二十九分)分法除之得二分有竒而¶
　已¶
　以較平亷九分之積(三千二百四十九/)少二千五百¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-41b>¶
　二十分為隅差¶
　合亷隅兩差計之共少一步又六千八百五十九分¶
　之五千九百二十一¶
以圖明之¶
　　　　　丑寅為立方一步之形每步通為十九分¶
　　　　　横直髙各十九分積六千八百五十九分¶
　　　　　是為步法¶
　以十九分除步法得三百六十一分是為分法¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-42a>¶
亷隅總圖(見左/)¶
　甲乙丙三平亷也縱横各方二步通為三十八分厚¶
　九分積一萬二千九百九十六分三亷共三萬八千¶
　　　　　　　　　九百八十八分丁戊巳三長亷¶
　　　　　　　　　也各長二步通為三十八分厚¶
　　　　　　　　　濶各九分積三千○七十八分¶
　　　　　　　　　三亷共九千二百三十四分¶
　　　　　　　　　庚小隅也長濶髙皆九分積七¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-42b>¶
　百二十九分¶
　三長廉三平廉一小隅共包一正方形在内¶
　正方形縱横各二步通為三十八分　積五萬四千¶
　八百七十二分¶
　總形方二步九分通為四十七分髙如之　積¶
　一十○萬三千八百二十三分　以步法除之¶
　得一十五步有竒不滿原實一步又五千九百二¶
　十一分¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-43a>¶
　　　　　　　　平亷方二步其容四步即辛壬癸¶
　　　　　　　　子之分形也每步縱横皆一步通¶
　　　　　　　　為十九分厚皆九分積三千二百¶
　四十九(辛一形積如此/壬癸子者同)　以分除之適得九分¶
　　　　　　　　長亷長二步(如丑寅/合形)通為三十八¶
　　　　　　　　分厚九分皆與平亷同所不同者¶
　　　　　　　　平亷濶十九分而長亷濶只九分¶
　故長亷二步尚不及平亷一步之積以積計之每長¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-43b>¶
　亷一步(如丑/形)積一千五百三十九分較平亷每步之¶
　積(如丑夘/合形)少一千七百一十分(如丑之/虛分夘)三長亷計六¶
　步共少一萬○二百六十分是為長亷之差¶
　　　　　　　　小隅横直髙皆九分(如未/形)于平亷¶
　　　　　　　　一步之積不及四之一以積計之¶
　　　　　　　　小隅之積七百二十九較平亷一¶
　步之積(如未申/合形)少二千五百二十分(如未之/虛分申)是為小¶
　隅之差　合二差共一步五千九百二十一分¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-44a>¶
　今考定開立方亷隅差法法曰凡立方有命分者如¶
　法以分母(即命/分)通其整而納以分子(即得/分)為立方全¶
　數以全數自乘再乘得數為立方通積另置命分(母/數)¶
　與得分(子數/)各自乘得數以相減用其餘數以乘得¶
　分得數為隅差又置命分與得分相減用其餘數轉¶
　與得分相乘以乘命分得數是為長亷每步虛數又¶
　以長亷法乘之得數為長亷差合二差數以加通積¶
　為實以命分自乘再乘得數為法除之即適還原數¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-44b>¶
　　如所設立方積十七步開得立方二步又十九分¶
　之九法以分母(十九/)通立方二步而以分(子九分/)納¶
　之共(四十七分/)為立方全數以全數自乘再乘得(一/)¶
　(十○萬三千八百二十三/)為通積另置命分(十九/)自¶
　乘得(三百六十一/)内減分子(九/)自乘(八十一/)餘(二百/)¶
　(八十分/)以分子(九/)乘之得(二千五百二十分/)為隅差¶
　又置命分(一十九/)内減得分(九/)餘十分轉乘得分(九/)¶
　得(九十分/)以乘命分(十九/)得(一千七百一十分/)為長¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-45a>¶
　亷每步虛數又以長亷法(六步/)乘之得(一萬○二百/)¶
　(六十分/)為長亷差合二差共一萬二千七百八十分¶
　以加通積共得一十一萬六千六百○三分為實以¶
　命分一十九自乘再乘得六千八百五十九分為法¶
　以除實得一十七步合原積¶
　¶
　¶
　¶
<pb:KR3f0026_WYG_037-45b>¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　¶
　厯算全書卷三十三¶