Здесь содержатся все материалы по годовому курсу (2016-2017) по перечислительной комбинаторике ("Современные приложения дискретного и функционального анализа"). Курс является годовым. Всего запланировано 10 листочков.
Первая письменная контрольная проходит прямо сейчас, и завершится 1.05.2017, 21:00 (московское время). Задания можно присылать на почту организатору курса.
Помеченные и непомеченные объекты. Обыкновенные и экспоненциальные производящие функции. Элементы Theory of Species. Примеры: раскраски шаров, последовательности, многочлены, разбиения, именные полиномы, комбинаторная тригонометрия, бюллетени, циклические графы.
Примеры. Эллиптические кривые и модулярные формы. Гипотеза (теорема) Симуры-Таниямы-Вейля. Метод Ньютона-Рафсона и его комбинаторный смысл. Нигде не сходящиеся функции, которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям. Эволюция случайных графов. Пентагональная теорема Эйлера. Пилообразные перестановки. Комбинаторика слов.
Theory of Species (продолжение). Теорема о композиции, цикловой индекс. Количество инволюций. Чётные и нечётные перестановки. Операция дифференцирования и пометки (marking). Возрастающие деревья и монотонные ориентированные ациклические графы. Простое доказательство формулы Кэли количества помеченных графов на n вершинах. Комбинаторика произведения Адамара. Операция функториальной композиции.
Структуры с весом. Формулировка леммы Харера-Цагира. Производящая функция полиномов Эрмита. Доказательство теоремы о композиции циклового индекса.
Видео: [youtube]
Статистика на случайных деревьях. Производящие функции от нескольких переменных и их приложения. Генератор Больцмана.
Базовые приёмы асимптотического анализа коэффициентов. Деревья Каталана и число беспорядков. Трансфер-теоремы для асимптотики функций и коэффициентов. Асимптотика числа 2-регулярных графов.
Видео: [youtube]
Продолжение аналитических методов. Экстремальная комбинаторика. Паттерны в словах и унарные вершины в дереве Моцкина. Высота случайного дерева.
Метод седловой точки. Формула Харди-Рамануджана.
Фильм про Рамануджана и его формулу: http://www.imdb.com/title/tt0787524/
Алгебраическая комбинаторика. Базис Грёбнера. Kernel Method и комбинаторные спецификации с каталитическими переменными.
Многочлен Татта и перечисление карт.