最简单的摆由一条绳或一个杆和一个锤组成。摆可以用来解释很多物理现象，如著名的傅科摆可以说明地球的自转。单摆，即小角度简单摆，要求绳子在最高处和最低处之间的角度 $\theta\leq5^\circ$。
单摆的摆动明显是一种往复运动。物理学中，将往复运动称之为振动。位置和速度均恢复到规定的初始状态时的最短时间为一个周期。下面举三个例子，帮助读者理解振动的周期的定义。如果规定单摆摆到左侧最高位置为初始位置，则位置的初始状态为最左侧，而速度的初始状态为0。所以下次单摆摆动到最左侧时就经历了一个周期。如果规定单摆摆到右侧最高位置时定为初始位置，则位置的初始状态为最右侧；速度的初始状态为0。所以下次单摆摆动到最右侧时就经历了一个周期。对于初学者，需要注意的是如果规定单摆摆到最低位置且向左侧运动时为初始位置，则单摆必须重新回到最低位置，并再次往左侧运动时，才能叫回到初始状态。如果是回到最低位置，但往右侧运动，不能算作完成一个周期。因为一个周期的要求是位置和速度同时恢复到规定的初始状态。
在近年的中学物理教材中，振动不是必修课程，因此读者很可能并不了解振动，也不了解单摆。请读者不要在本课程中追求单摆周期公式的严格推导，这需要求解微分方程。这不是降低课程要求，而是因为本课程学习物理原理，主要是把握真实实验仪器和物理模型的差异。
在摆动角度 $\theta\leq5^\circ$ 时，单摆的周期公式如下：
$$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$
$\pi$ 是圆周率。 $g$ 是重力加速度。 $L$ 是摆长。
在公式中可以看到，单摆的周期是和摆动的时间长短是无关的。单摆摆动开始之后，随着机械能转化为热能，摆动的幅度会越来越小，但周期并不会变化。也就是说，单摆毋需做无摩擦的假设。这意味着什么呢？意味着实验仪器之间即便具有可观的摩擦也无妨。
希望读者在今后的学习、科研和工作中能够注意这一点：在实际情况中应用某物理公式时必须充分检验实际情况是否符合物理模型要求的假设条件。如果实际情况不满足假设条件，则该物理公式失效。读者将在今后的《数学物理方程》课程中再次体会假设条件的意义。
物理模型中的摆锤是没有体积的质点。实际的实验仪器中的摆球不可能没有体积。所以这里要求实验仪器中的摆球的体积相对于摆绳的长度而言必须非常小。
另外，需要指出公式中的摆长在实际中应为摆绳的长度（ $L_1$ ）和摆球的半径（ $\frac{d}{2}$ ）的和。
最后，如果能够测量出单摆摆动的周期和摆长，即可使用单摆周期公式计算出重力加速度。这便是单摆测量重力加速度的基本原理。
要通过单摆周期公式计算出重力加速度，需要的是周期和摆长。只测量一次周期显然有较大的偶然误差，因此需要测量 $n$ 个周期的总时间 $t$ ，再计算单个周期的时间： $T=\frac{t}{n}$。摆长也是如此。另外，摆长是由摆绳的长度（ $L_1$ ）和摆球的半径（ $\frac{d}{2}$ ）组成的： $L=L_1+\frac{d}{2}$ 。在测量完直接量之后即可计算出重力加速度。注意，这时的直接量是总时间 $t$、摆绳的长度 $L_1$ 和摆球直径 $d$ 。
- 使用螺旋测微器测量5次摆球的直径，并以这5次的算数平均数为摆球直径的最佳估计。
- 用厘米尺测量摆线的长度。只测量一次。
- 让单摆摆动30个周期，借助电子计时器测量完成这30次周期的运动的总时间。重复5次，并以这5次的算数平均数为摆球运动30次周期的总时间的最佳估计。
- 利用以上直接量，使用物理公式计算间接量，并计算不确定度。
- 小球在一个周期内遮挡光电门是2次。也就是说，如果记录的是“60次”的时间，其实周期只有30次。
- 小球要在一个平面摆动，摆动角度要小于5度。
- 钢尺有两面，一面为厘米，一面为英寸，注意用厘米那一面。
- 有一些螺旋测微器有点问题了，觉得很不对劲的话，可以换其他桌子的。
- 用单摆测量重力加速度
- 练习使用螺旋测微器
- 学习不确定度的计算
| 仪器 |
估读误差 |
仪器误差 |
置信系数 $C$
|
置信因子 $k_p$
|
| 厘米尺 |
0.5 mm |
0.20 mm |
3 |
1.960 |
| 螺旋测微器 |
0.005 mm |
0.004 mm |
3 |
1.960 |
| 电子计时器 |
0 |
- |
3 |
1.960 |
| 单摆 |
- |
- |
- |
- |
本实验得出间接量，用的是直接量和间接量之间的物理公式，所以需要给出这个公式，并指出该公式内每一个量的含义
$$g=4\pi^2\frac{n^2(L_1+\frac{d}{2})}{t^2}$$
上交的实验报告中不要出现<>符号。
$g$ 是指<>。 $n$ 是指<>。 $L_1$ 是指<>。 $d$ 是指<>。 $t$ 是指<>。
$$u(g)=g\sqrt{[\frac{u(L)}{L}]^2+[\frac{2u(t)}{t}]^2}$$
$$u(L) = \sqrt{u^2(L_1)+\frac{1}{4}u^2(d)}$$
$$u(L_1)=u_B(L_1)=k_p\frac{\Delta_{钢尺}}{C_{钢尺}}$$
$$u(d)=\sqrt{u_A^2(d)+u_B^2(d)}$$
$$u_A(d)=\frac{t_{0.95}}{\sqrt{n_d}}\sqrt{\frac{\Sigma(d-\overline{d})^2}{n_d-1}}$$
$$u_B(d)=k_p\frac{\Delta_{螺旋测微器}}{C_{螺旋测微器}}$$
$$u(t)=u_A(t)=\frac{t_{0.95}}{\sqrt{n_t}}\sqrt{\frac{\Sigma(t-\overline{t})^2}{n_t-1}}$$
请自行总结实验过程。这部分等价于上面的“实验内容”部分。但是请用自己的语言叙述。
摆线长 $L_1$ 的读数是：< 物理量的值 > $\rm mm$
$u(L_1)=u_B(L_1)=k_p\frac{\Delta_{钢尺}}{C_{钢尺}}=1.96\frac{\sqrt{0.5^2+0.2^2}}{3} \rm mm = 0.3518307673994543 \rm mm$
$L_1 = <物理量的值> \pm 0.4 \rm mm$ $P=0.95$
螺旋测微器的零点读数 $d_0$ 是：<> $\rm mm$
摆球$d$的五次读数是：
| 次数 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| 直径 |
< $d_1$ > |
< $d_2$ > |
< $d_3$ > |
< $d_4$ > |
< $d_5$ > |
$\overline{d}=\frac{d_1+d_2+d_3+d_4+d_5}{5}=<平均值>\rm mm$
$u_A(d) = 1.24 \times \sqrt{\frac{(d_1-\overline{d})^2+(d_2-\overline{d})^2+(d_3-\overline{d})^2+(d_4-\overline{d})^2+(d_5-\overline{d})^2}{4}}= \rm <A类不确定度（不要修约）> mm$
$u_B(d) =k_p\frac{\Delta_{螺旋测微器}}{C_{螺旋测微器}}=\frac{1.96}{3}\sqrt{0.005^2+0.004^2} \rm mm = 0.0418337 \rm mm$
$u(d)=\sqrt{u_A^2(d)+u_B^2(d)} = <不确定度（不要修约）> \rm mm$
$d = <物理量的值> \pm <不确定度> \rm m$ $P=0.95$
30 个周期的总时间 $t$ 的读数是：
| 次数 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| $t (s)$ |
< $t_1$ > |
< $t_2$ > |
< $t_3$ > |
< $t_4$ > |
< $t_5$ > |
$\overline{t}=\frac{t_1+t_2+t_3+t_4+t_5}{5}=<平均值>\rm s$
$u(t)=u_A(t)=1.24 \times \sqrt{\frac{(t_1-\overline{t})^2+(t_2-\overline{t})^2+(t_3-\overline{t})^2+(t_4-\overline{t})^2+(t_5-\overline{t})^2}{4}}= \rm <不确定度（不要修约）> s$
$t = <物理量的值> \pm <不确定度> \rm s$ $P=0.95$
$g=<物理量的值>\pm<不确定度>\rm m/s^2$ $P=0.95$
重力加速度可以用如下公式给出：
$$g=9.7803253359\Bigg[\frac{1+0.001931852646396\sin^2\theta}{\sqrt{1-0.00669437990141\sin^2\theta}}\Bigg]$$
公式中的 $\theta$ 是本地的纬度。本地的纬度是<>。计算出的重力加速度是<> $\rm m/s^2$ ，相对误差是<用百分数表示>。