2. 01背包问题.md

2. 01背包问题

题目

有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包。每件物品只能使用一次。

第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。 输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，$N$，$V$，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0<N,V≤1000$ $0<v_i,w_i≤1000$

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例

8

AC代码

经典DP

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n,m;
int v[1010],w[1010];
int f[1010][1010];

int main()
{
    cin >> n >>m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        cin >> v[i] >> w[i];
        
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 0; j <= m; j ++ ){
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }
            
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

一维优化

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n,m;
int v[1010],w[1010];
int f[1010];

int main()
{
    cin >> n >>m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        cin >> v[i] >> w[i];
        
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = m; j >= v[i]; j -- )
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
            
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

操作优化

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n,m;
int v,w;
int f[1010];

int main()
{
    cin >> n >>m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
        cin >> v >> w;
        for (int j = m; j >= v; j -- )
            f[j]=max(f[j],f[j-v]+w);
    }
            
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

解题思路

动态规划+背包问题

核心套路

优化一般就是优化状态转移方程

01背包

特点:每个物品仅能使用一次

重要变量&公式解释

f[i][j]:表示所有选法集合中,只从前i个物品中选,并且总体积≤≤j的选法的集合,它的值是这个集合中每一个选法的最大值.

状态转移方程 $f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]]+w[i])$ $f[i-1][j]$:不选第i个物品的集合中的最大值 $f[i-1][j-v[i]]+w[i]$:选第i个物品的集合,但是直接求不容易求所在集合的属性,这里迂回打击一下,先将第i个物品的体积减去,求剩下集合中选法的最大值.

问题

集合如何划分

• 一般原则:不重不漏,不重不一定都要满足(一般求个数时要满足)

• 如何将现有的集合划分为更小的子集,使得所有子集都可以计算出来.

注意

​ 优化时

​ 若用到上一层的状态时,从大到小枚举, 反之从小到大哦

作者：竹林正在青 链接：https://www.acwing.com/solution/content/4515/ 来源：AcWing

操作优化

我们注意到在处理数据时，我们是一个物品一个物品，一个一个体积的枚举。

因此我们可以不必开两个数组记录体积和价值，而是边输入边处理。