本页面将简要介绍欧拉图的概念、实现和应用。
- 欧拉回路：通过图中每条边恰好一次的回路
- 欧拉通路：通过图中每条边恰好一次的通路
- 欧拉图：具有欧拉回路的图
- 半欧拉图：具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图
欧拉图中所有顶点的度数都是偶数。
若 $G$ 是欧拉图，则它为若干个环的并，且每条边被包含在奇数个环内。
- 无向图是欧拉图当且仅当：
- 无向图是半欧拉图当且仅当：
- 有向图是欧拉图当且仅当：
- 有向图是半欧拉图当且仅当：
- 非零度顶点是弱连通的
- 至多一个顶点的出度与入度之差为 1
- 至多一个顶点的入度与出度之差为 1
- 其他顶点的入度和出度相等
也称避桥法，是一个偏暴力的算法。
算法流程为每次选择下一条边的时候优先选择不是桥的边。
一个广泛使用但是错误的实现方式是先 Tarjan 预处理桥边，然后再 DFS 避免走桥。但是由于走图过程中边会被删去，一些非桥边会变为桥边导致错误。最简单的实现方法是每次删除一条边之后暴力跑一遍 Tarjan 找桥，时间复杂度是 $\Theta(m(n+m))=\Theta(m^2)$。复杂的实现方法要用到动态图等，实用价值不高。
也称逐步插入回路法。
算法流程为从一条回路开始，每次任取一条目前回路中的点，将其替换为一条简单回路，以此寻找到一条欧拉回路。如果从路开始的话，就可以寻找到一条欧拉路。
Hierholzer 算法的暴力实现如下：
$$
\begin{array}{ll}
1 & \textbf{Input. } \text{The edges of the graph } e , \text{ where each element in } e \text{ is } (u, v) \\
2 & \textbf{Output. } \text{The vertex of the Euler Road of the input graph}.\\
3 & \textbf{Method. } \\
4 & \textbf{Function } \text{Hierholzer } (v) \\
5 & \qquad circle \gets \text{Find a Circle in } e \text{ Begin with } v \\
6 & \qquad \textbf{if } circle=\varnothing \\
7 & \qquad\qquad \textbf{return } v \\
8 & \qquad e \gets e-circle \\
9 & \qquad \textbf{for} \text{ each } v \in circle \\
10& \qquad\qquad v \gets \text{Hierholzer}(v) \\
11& \qquad \textbf{return } circle \\
12& \textbf{Endfunction}\\
13& \textbf{return } \text{Hierholzer}(\text{any vertex})
\end{array}
$$
这个算法的时间复杂度约为 $O(nm+m^2)$。实际上还有复杂度更低的实现方法，就是将找回路的 DFS 和 Hierholzer 算法的递归合并，边找回路边使用 Hierholzer 算法。
如果需要输出字典序最小的欧拉路或欧拉回路的话，因为需要将边排序，时间复杂度是 $\Theta(n+m\log m)$（计数排序或者基数排序可以优化至 $\Theta(n+m)$）。如果不需要排序，时间复杂度是 $\Theta(n+m)$。
有向欧拉图可用于计算机译码。
设有 $m$ 个字母，希望构造一个有 $m^n$ 个扇形的圆盘，每个圆盘上放一个字母，使得圆盘上每连续 $n$ 位对应长为 $n$ 的符号串。转动一周（$m^n$ 次）后得到由 $m$ 个字母产生的长度为 $n$ 的 $m^n$ 个各不相同的符号串。
构造如下有向欧拉图：
设 $S = {a_1, a_2, \cdots, a_m}$，构造 $D=\langle V, E\rangle$，如下：
$V = {a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}} |a_i \in S, 1 \leq i \leq n - 1 }$
$E = {a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}|a_j \in S, 1 \leq j \leq n}$
规定 $D$ 中顶点与边的关联关系如下：
顶点 $a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}$ 引出 $m$ 条边：$a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}a_r, r=1, 2, \cdots, m$。
边 $a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}$ 引入顶点 $a_{j_2}a_{j_3}\cdots a_{j_{n}}$。
这样的 $D$ 是连通的，且每个顶点入度等于出度（均等于 $m$），所以 $D$ 是有向欧拉图。
任求 $D$ 中一条欧拉回路 $C$，取 $C$ 中各边的最后一个字母，按各边在 $C$ 中的顺序排成圆形放在圆盘上即可。
???+ note "洛谷 P2731 骑马修栅栏"
给定一张有 500 个顶点的无向图，求这张图的一条欧拉路或欧拉回路。如果有多组解，输出最小的那一组。
在本题中，欧拉路或欧拉回路不需要经过所有顶点。
边的数量 m 满足 $1\leq m \leq 1024$。
??? note "解题思路"
用 Fleury 算法解决本题的时候只需要再贪心就好，但是由于复杂度不对，所以要换用 Hierholzer 算法。
保存答案可以使用 `std::stack<int>`，因为如果找的不是回路的话必须将那一部分放在最后。
注意，不能使用邻接矩阵存图，否则时间复杂度会退化为 $\Theta(nm)$。由于需要将边排序，建议使用前向星或者 `std::vector` 存图。示例代码使用 `std::vector`。
??? note "示例代码"
cpp --8<-- "docs/graph/code/euler/euler_1.cpp"
