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引入

DFS 为图论中的概念，详见 DFS（图论） 页面。在 搜索算法 中，该词常常指利用递归函数方便地实现暴力枚举的算法，与图论中的 DFS 算法有一定相似之处，但并不完全相同。

解释

考虑这个例子：

???+ note "例题" 把正整数 $n$ 分解为 $3$ 个不同的正整数，如 $6=1+2+3$，排在后面的数必须大于等于前面的数，输出所有方案。

对于这个问题，如果不知道搜索，应该怎么办呢？

当然是三重循环，参考代码如下：

???+ note "实现" === "C++" cpp for (int i = 1; i <= n; ++i) for (int j = i; j <= n; ++j) for (int k = j; k <= n; ++k) if (i + j + k == n) printf("%d = %d + %d + %d\n", n, i, j, k);

=== "Python"
    ```python
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(i, n + 1):
            for k in range(j, n + 1):
                if i + j + k == n:
                    print("%d = %d + %d + %d" % (n, i, j, k))
    ```

=== "Java"
    ```Java
    for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
        for (int j = i; j < n + 1; j++) {
            for (int k = j; k < n + 1; k++) {
                if (i + j + k == n) System.out.printf("%d = %d + %d + %d%n", n, i, j, k);
            }
        }
    }
    ```

那如果是分解成四个整数呢？再加一重循环？

那分解成小于等于 $m$ 个整数呢？

这时候就需要用到递归搜索了。

该类搜索算法的特点在于，将要搜索的目标分成若干「层」，每层基于前几层的状态进行决策，直到达到目标状态。

考虑上述问题，即将正整数 $n$ 分解成小于等于 $m$ 个正整数之和，且排在后面的数必须大于等于前面的数，并输出所有方案。

设一组方案将正整数 $n$ 分解成 $k$ 个正整数 $a_1, a_2, \ldots, a_k$ 的和。

我们将问题分层，第 $i$ 层决定 $a_i$。则为了进行第 $i$ 层决策，我们需要记录三个状态变量：$n-\sum_{j=1}^i{a_j}$，表示后面所有正整数的和；以及 $a_{i-1}$，表示前一层的正整数，以确保正整数递增；以及 $i$，确保我们最多输出 $m$ 个正整数。

为了记录方案，我们用 arr 数组，第 i 项表示 $a_i$. 注意到 arr 实际上是一个长度为 $i$ 的栈。

代码如下：

???+ note "实现" === "C++" ```cpp int m, arr[103]; // arr 用于记录方案

    void dfs(int n, int i, int a) {
      if (n == 0) {
        for (int j = 1; j <= i - 1; ++j) printf("%d ", arr[j]);
        printf("\n");
      }
      if (i <= m) {
        for (int j = a; j <= n; ++j) {
          arr[i] = j;
          dfs(n - j, i + 1, j);  // 请仔细思考该行含义。
        }
      }
    }
    
    // 主函数
    scanf("%d%d", &n, &m);
    dfs(n, 1, 1);
    ```

=== "Python"
    ```python
    arr = [0] * 103  # arr 用于记录方案
    
    
    def dfs(n, i, a):
        if n == 0:
            print(arr[1:i])
        if i <= m:
            for j in range(a, n + 1):
                arr[i] = j
                dfs(n - j, i + 1, j)  # 请仔细思考该行含义。
    
    
    # 主函数
    n, m = map(int, input().split())
    dfs(n, 1, 1)
    ```

=== "Java"
    ```Java
    static int m;
    
    // arr 用于记录方案
    static int[] arr = new int[103];
    
    public static void dfs(int n, int i, int a) {
        if (n == 0) {
            for (int j = 1; j <= i - 1; j++) System.out.printf("%d ", arr[j]);
            System.out.println();
        }
        if (i <= m) {
            for (int j = a; j <= n; ++j) {
                arr[i] = j;
                dfs(n - j, i + 1, j); // 请仔细思考该行含义。
            }
        }
    }
    
    // 主函数
    final int N = new Scanner(System.in).nextInt();
    m = new Scanner(System.in).nextInt();
    dfs(N, 1, 1);
    ```

例题

???+ note "Luogu P1706 全排列问题" cpp --8<-- "docs/search/code/dfs/dfs_1.cpp"