###1. 摘要 EXERCISES
6.12 Gaussian initial string displacements are convenient for the calculations of this section, but are not very realistic. When a real string, such as a guitar string, is plucked, the initial string displacement is more accurately described by two straight lines that start at the ends of the string (we assume fixed ends) and end at the excitation point, as illustrated in Figure 6.4. Compare the power spectrum for a string excited in this manner with results found above for a Gaussian initial wavepacket.
###2. 背景
- 波
波或波动是扰动或物理信息在空间上传播的一种物理现象，扰动的形式任意，传递路径上的其他介质也作同一形式振动。波的传播速度总是有限的。除了电磁波、引力波和重力波能够在真空中传播外，大部分波如机械波只能在介质中传播。波速与介质的弹性与惯性有关，但与波源的性质无关。
- 横波
横波，又称为高低波，是介质振动方向和波行进方向垂直的一种波。若此波沿着x轴移动，则介质的振动方向为与x轴垂直的方向上。举例来说绳波就是一种横波。
横波在传播过程中，凡是波传到的地方，每个质点都在自己的平衡位置附近振动。由于波以有限的速度向前传播，所以后开始振动的质点比先开始振动的质点在步调上要落后一段时间，即存在一个位相差。横波的传播，在外表上形成一种“波浪起伏”，即形成波峰和波谷，传播的只是振动状态，媒质的质点并不随波前进。实质上，横波的传播是由于媒质内部发生剪切变形（即是媒质各层之间发生平行于这些层的相对移动）并产生使体元恢复原状的剪切弹性力而实现的。否则一个体元的振动，不会牵动附近体元也动起来，离开平衡位置的体元，也不会在弹性力的作用下回到平衡位置。
固体有切变弹性，所以在固体中能传播横波，液体和气体没有切变弹性，因此只能传播纵波，而不能传播横波。
液体表面形成的水波是由于重力和表面张力作用而形成的，表面每个质点振动的方向又不和波的传播方向保持垂直，严格说，在水表面的水波并不属于横波的范畴，因为水波与地震波都是既有横波又有纵波的复杂类型的机械波。
- 驻波
驻波为两个波长、周期、频率和波速皆相同的正弦波相向行进干涉而成的合成波。与行波不同，驻波的波形无法前进，因此无法传播能量，故名之。
驻波通过时，每一个质点皆作简谐运动。各质点振荡的幅度不相等，振幅为零的点称为节点或波节，振幅最大的点位于两节点之间，称为腹点或波腹。由于节点静止不动，所以波形没有传播。能量以动能和势能的形式交换储存，亦传播不出去。两列传播方向相反的相干波相遇而产生干涉，或介质沿波速的相反方向运动时，均可产生这个现象。常见的驻波现象是谐振器中，一列波与自身的反射波产生干涉而形成的。
- 频谱
频谱是指一个时域的信号在频域下的表示方式，可以针对信号进行傅里叶变换而得，所得的结果会是以分别以幅度及相位为纵轴，频率为横轴的两张图，不过有时也会省略相位的信息，只有不同频率下对应幅度的资料。有时也以“幅度频谱”表示幅度随频率变化的情形，“相位频谱”表示相位随频率变化的情形。
简单来说，频谱可以表示一个信号是由哪些频率的弦波所组成，也可以看出各频率弦波的大小及相位等信息。
- 快速傅里叶变换
快速傅里叶变换（英语：Fast Fourier Transform, FFT），是计算序列的离散傅里叶变换（DFT）或其逆变换的一种算法。傅里叶分析将信号从原始域（通常是时间或空间）转换到频域的表示或者逆过来转换。FFT会通过把DFT矩阵分解为稀疏（大多为零）因子之积来快速计算此类变换。因此，它能够将计算DFT的复杂度从只用DFT定义计算需要的
快速傅立叶变换广泛的应用于工程、科学和数学领域。这里的基本思想在1965年才得到普及，但早在1805年就已推导出来。1994年吉尔伯特·斯特朗把FFT描述为“我们一生中最重要的数值算法”，它还被IEEE科学与工程计算期刊列入20世纪十大算法。
###3. 正文
- 理论推导
波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x和时间t的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足
这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。
我们着重研究弦线上波的传播规律。我们对一小段弦线进行受力分析有
我们对角度进行有限差分近似有
代入化简可得
这恰好就是波动方程的最简形式。
为了使用数值方法计算，我们将波动方程写成有限差分形式，为此，我们将和
都当成离散变量处理
并且我们将记为
从而我们获得弦振动方程的有限差分形式
由于且
大小已知，上式可化简为
其中
然而在实际情况中，弦线是有劲度的，它的受力会有所不同，劲度可以通过在之前的弦振动方程中添加一项以被以被包含在模型中
其中是无量纲的劲度系数，
是弦长
用和上一章相同的方法我们可以得到四阶偏导的有限差分形式
代入考虑了劲度系数的弦振动方程，经过一些运算，我们可得
其中。
- 程序模拟
齐次线性偏微分方程的一个重要特征是有限个解的线性组合也是方程的解。由此，在弦上运动的两个波包的运动是独立的。为了说明这一点，我们在弦上的x=0.3m，0.7m处各施加一个峰值不同的高斯型扰动，观察之后波包的运动。这里我们选择弦长为1m，c=300m/s，dx=0.01m，dt=dx/c，k=1000m^(-2)，边界点固定。
- Problem 6.12
我们先考虑弦线处于高斯初始状态下，即
并且弦长为1m。
当时，在
处，线元的振动图像如下
其对应的功率谱如下
当
时，
处的功率谱如下
当
时，
当
时，
当
时，
- 可以发现，
时的相仿，而
现在我们考察当初始波形为三角波的情况下的功率谱。当三角形的上顶角对应的位置为弦的中心时，处的振动图像如下
其对应的功率谱如下
当
当
当
当
- 可见，由于初始的波形没有了对称性，频谱上多出了一些峰。
###4. 结果讨论
1.高斯初始状态下，功率谱按频率从小到大有一簇大峰和一簇小峰，每簇峰为若干个峰的组合，高度从中心向两边递减（实际上还有若干簇更小的峰，但由于太小可以忽略）
2.初始波形为三角波的情况下，若三角形为等腰三角形，功率谱按频率从小到大有若干个逐渐减小的峰，若初始波形不对称，功率谱从小到大有若干簇逐渐减小的峰，每簇峰为若干个峰的组合，高度从中心向两边递减
3.总体而言高斯初始状态下波的频率成分较初始波形为三角波的情况下更为丰富
###5.鸣谢 蔡老师，吴雨桥学长，余康同学