Реализация ПИД-регулятора

[kalaider]

Данные

ПИД-регулятор, Пропорциональный интегрально-дифференцирующий регулятор -- один из простейших статических регуляторов с обратной связью.

Его простейшая форма -- ПИ-регулятор -- представляется уравнением регулятора:

u[n+1] = K_p e[n] + K_p K_i T sum_(m=(n-M)..n) e[m]

где u[n+1] -- вычисленная величина следующего управляющего сигнала, e[n] -- текущая статическая ошибка регулирования, определяемая как разность e[n] = f[n] - f[n-1], f[n] -- обратная связь -- текущее значение управляемой величины, M -- "размер" памяти системы.

Коэффициенты K_p и K_i, а также M -- параметры ПИ-регулятора. В сумме они задают степень "инертности" регулятора, т.е. направленность регулирования в сторону большей чувствительности к мгновенным изменениям значения управляемой величины или в сторону большей чувствительности к общей тенденции изменения величины.

(За уточнением формулы и ее трактовки следует обратиться к ТАУ.)

Основная проблема программной реализации алгоритма заключается в отсутствии в ATmega8A аппаратной поддержки вычислений с плавающей точкой. Поддержка реализована посредством компилятора, а значит крайне не эффективна. В то время как операции с целыми числами выполняются за один такт, операции с плавающей точкой могут выполняться десятки тактов. Поэтому требуется реализовать алгоритм регулятора в целых числах.

При реализации алгоритма следует помнить о разрядности int, равной 16, а не 32 бит. Соответственно, диапазон значений int в ATmega8A есть -32768..0..+32767, что есть крайне мало. Для того, чтобы не наступило переполнение типа при суммировании, требуется ограничится достаточно малым M и достаточно малыми K_p, K_i.

Также следует понимать, что допускается понижение точности данных с 10-разрядного АЦП с целью увеличения возможного качества регулирования путем отбрасывания нескольких младших из 10 значимых разрядов получаемого кода (побитовый сдвиг вправо на s+1, что эквивалентно делению на 2^s).

Задача

Реализовать алгоритм ПИ-регулирования:

• Инициализация работы АЦП
• Чтение очередного отсчета сигнала с АЦП
• Вычисление очередного отсчета регулирующего сигнала
• Пересылка его в блок выработки ШИМ в требуемом масштабе ( Реализация мезанизма управления ШИМ #11 )
• Отладочный вывод текущего отсчета сигналов, ошибки регулирования, а также нового отсчета регулирующего сигнала в соответствии с выработанным протоколом передачи данных ( Реализация обмена информацией по USART #10 )
• Применение введенных коэффициентов регулятора к расчетам, а также отладочный вывод сигнала об их успешном получении и применении ( Реализация обмена информацией по USART #10 )

[kalaider]

Дополнение к задаче

Установлены предварительные требования к целочисленным вычислениям формулы ПИД-регулятора.

0. Все масштабные коэффициенты и параметры ПИД-регулятора целесообразно задавать в виде степени двойки. Тогда не потребуется применение математического умножения или деления. Эти операции заменятся левым и правым сдвигами.
1. При снятии показаний 10-разрядного АЦП использовать левое выравнивание данных с целью вычитывания 8-битного значения из старшего регистра данных.
2. Полученные 8-битные значения складываются с учетом M -- размера "памяти" ПИД-регулятора. При M = 2^7 = 128 даже при условии, что все складываемые значения -- 0xff = 2^8 - 1 = 255, переполнения int не наступит. В реальности же складываться будут не максимальные значения. Более того, среди значений будут как положительные, так и отрицательные.
3. Значение регулирующего напряжения (16 бит) нужно отмасштабировать таким образом, чтобы оно уместилось в регистр OCR2 модуля генерации ШИМ.

Пример анализа формулы ПИД-регулятора

Обозначения

u[n+1] = K_p e[n] + K_p K_i T sum_(m=(n-M)..n) e[m] -- сама формула. Коэффициент K_p K_i T можно без потери общности заменить на просто K_i.

Пользуясь пунктом 0, введем обозначения: K_p = 2^kp, K_i = 2^ki, где kp, ki -- целые числа со знаком. Тогда операции умножения на, например, K_p в формуле заменятся на << kp, а деления (kp < 0) -- на >> (-kp). Без потери общности можно писать просто <<kp, понимая под <<kp, kp < 0 инструкцию >> (-kp).

Перепишем формулу ПИД-регулятора:

u[n+1] = ( e[n] << kp ) + ( { sum_(m=(n-M)..n) e[m] } << ki )

При вводе u в регистр OCR2 потребуется произвести еще одно масштабирование:

OCR2 = u[n+1] << ks

Представляя M = 2^km, получим полный набор величин, характеризующих ПИД-регулятор: kp, ki, km>0, ks.

Есть вероятность, что представление всех коэффициентов в виде степеней двоек не даст исчерпывающей точности. Однако перебором этих коэффициентов в небольшом диапазоне можно подобрать уже необходимые константные поправочные множители.

Анализ

Пусть km = 7. Поскольку e[n] -- 8-битные, то их максимальное значение не превышает 2^8. Значит сумма из M = 2^km = 2^7 = 128 элементов не будет превышать 2^7 * 2^8 = 2^15. Разрядность int -- 16 бит. Даже с учетом того, что первый бит отводится под знак числа, переполнения не случится. Коэффициент K_i = 2^kp может быть использован для возвращения суммы в диапазон 8 бит (ki = -7) или другой требуемый диапазон (0 > ki > -7).

С первым членом суммы ситуация аналогична.

Разрядность числа u будет зависеть от ki и kp. Можно добиться приемлемой точности без использования ks. Однако не всегда.

Не стоит забывать, что чаще всего (при более или менее стабильном режиме работы) величины e[n] не должны сильно приближаться к максимальному значению. Потому коэффициенты регулирования придется подбирать "по обстановке" при тестировании приложения в боевых условиях.

[kalaider]

#20 -- реализовано.

[kalaider]

Концепция ПИД-регуляции была понята неверно. "Память" регулятора бесконечно велика.

К реализации

[kalaider]

0cfd1ee исправляет проблему.

Память теперь понимается бесконечной.