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%   Laurent Claessens
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Nous donnons ici quelques idées de développements associés aux leçons mises à jour en 2021. Parfois, il est bon d'ajouter quelques lemmes au développement proposé, si il est trop court. Si l'un ou l'autre ne vous semble pas adapté à l'énoncé de la leçon, faites le moi savoir.

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\section{Algèbre et géométrie}
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\paragraph{Exemples d'équations en arithmétique.}


\paragraph{PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.}
\paragraph{Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.}
\paragraph{Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.}
\paragraph{Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.}
\paragraph{Distances et isométries d'un espace affine euclidien.}
\paragraph{Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.}
\paragraph{Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.}


\begin{itemize}
	\item Partitions d'un entier en parts fixées, théorème \ref{THOooQDYWooCOiUMb}.
	\item Théorème de Sophie Germain, théorème \ref{THOooSZXWooVeHdrh}.
\end{itemize}
\paragraph{Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Structure des groupes d'ordre \( pq\), théorème~\ref{ThoLnTMBy}.
	\item Les groupes abéliens finis, théorème \ref{ThoRJWVJd}.
\end{itemize}
\paragraph{Conjugaison dans un groupe. Exemples  de  sous-groupes  distingués  et de groupes quotients. Applications.}
\begin{itemize}
	\item Le groupe alterné \( A_n\) est simple, théorème \ref{ThoURfSUXP}.
	\item Structure des groupes d'ordre \( pq\), théorème~\ref{ThoLnTMBy}.
\end{itemize}
\paragraph{Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.}
\begin{itemize}
	\item Coloriage de roulette (\ref{pTqJLY}) et composition de colliers (\ref{siOQlG}).
	\item Nombres de Bell, théorème~\ref{ThoYFAzwSg}.
	\item Le dénombrement des solutions de l'équation \( \alpha_1 n_1+\ldots \alpha_pn_p=n\) utilise des séries entières et des décompositions de fractions en éléments simples, théorème~\ref{THOooQDYWooCOiUMb}.
\end{itemize}
\paragraph{Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.}
\begin{itemize}
	\item Théorème de Carathéodory~\ref{ThoJLDjXLe}.
	\item Points extrémaux de la boule unité dans \( \aL(E)\), théorème~\ref{ThoBALmoQw}.
	\item Enveloppe convexe du groupe orthogonal~\ref{ThoVBzqUpy}.
\end{itemize}
\paragraph{Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.}
\begin{itemize}
	\item Le lemme au lemme de Morse, lemme~\ref{LemWLCvLXe}, voir le lemme de Morse lui-même~\ref{LemNQAmCLo}.
	\item Connexité des formes quadratiques de signature donnée, proposition~\ref{PropNPbnsMd}.
	\item Sous-groupes compacts de \( \GL(n,\eR)\), lemme~\ref{LemOCtdiaE} ou proposition~\ref{PropQZkeHeG}.
	\item Ellipsoïde de John-Loewner, proposition~\ref{PropJYVooRMaPok}.
\end{itemize}
\paragraph{Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.}
\begin{itemize}
	\item Algorithme des facteurs invariants~\ref{PropPDfCqee}.
	\item Méthode du gradient à pas optimal~\ref{PropSOOooGoMOxG}.
\end{itemize}
\paragraph{Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).}
\begin{itemize}
	\item Décomposition polaire~\ref{ThoLHebUAU}.
	\item Sous-groupes compacts de \( \GL(n,\eR)\), lemme~\ref{LemOCtdiaE} ou proposition~\ref{PropQZkeHeG}.
	\item Théorème~\ref{ThoeTMXla} sur la diagonalisation de matrices symétriques.
\end{itemize}
\paragraph{Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.}
\begin{itemize}
	\item Racine carrée d'une matrice hermitienne positive, proposition~\ref{PropVZvCWn}.
	\item Le lemme au lemme de Morse, lemme~\ref{LemWLCvLXe}.
	\item Connexité des formes quadratiques de signature donnée, proposition~\ref{PropNPbnsMd}.
	\item Théorème~\ref{ThoeTMXla} sur la diagonalisation de matrices symétriques.
\end{itemize}
\paragraph{Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.}
\begin{itemize}
	\item Théorème de Burnside sur les sous-groupes d'exposant fini de \( \GL(n,\eC)\), théorème~\ref{ThooJLTit}.
	\item Décomposition de Dunford, théorème~\ref{ThoRURcpW}.
	\item Théorème de Lie-Kolchin~\ref{ThoUWQBooCvutTO}.
\end{itemize}
\paragraph{Exponentielle de matrices. Applications.}
\begin{itemize}
	\item Décomposition de Dunford, théorème~\ref{ThoRURcpW}.
	\item Théorème de Von Neumann~\ref{ThoOBriEoe}.
\end{itemize}
\paragraph{Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.}
\begin{itemize}
	\item Théorème de Burnside sur les sous-groupes d'exposant fini de \( \GL(n,\eC)\), théorème~\ref{ThooJLTit}.
	\item Racine carrée d'une matrice hermitienne positive, proposition~\ref{PropVZvCWn}, parce qu'un utilise le résultat de diagonalisation simultanée.
	\item Équation de Hill \( y''+qy=0\), proposition~\ref{PropGJCZcjR}.
	\item Décomposition de Dunford, théorème~\ref{ThoRURcpW}.
	\item Endomorphismes cycliques et commutant dans le cas diagonalisable, proposition~\ref{PropooQALUooTluDif}.
\end{itemize}
\paragraph{Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.}
\begin{itemize}
	\item Équation de Hill \( y''+qy=0\), proposition~\ref{PropGJCZcjR}.
	\item Décomposition de Dunford, théorème~\ref{ThoRURcpW}.
	\item Théorème de Lie-Kolchin~\ref{ThoUWQBooCvutTO}.
\end{itemize}
\paragraph{Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.}
\begin{itemize}
	\item Racine carrée d'une matrice hermitienne positive, proposition~\ref{PropVZvCWn}.
	\item Théorème de Burnside sur les sous-groupes d'exposant fini de \( \GL(n,\eC)\), théorème~\ref{ThooJLTit}.
	\item Décomposition de Dunford, théorème~\ref{ThoRURcpW}.
	\item Algorithme des facteurs invariants~\ref{PropPDfCqee}.
\end{itemize}
\paragraph{Déterminant. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Forme alternées de degré maximum, proposition~\ref{ProprbjihK}, parce que c'est ce théorème qui donne l'unicité du déterminant du fait que l'espace est de dimension un.
	\item Théorème de Rothstein-Trager~\ref{ThoXJFatfu} parce que le résultant en est un.
	\item Ellipsoïde de John-Loewner, proposition~\ref{PropJYVooRMaPok}.
\end{itemize}
\paragraph{Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Forme alternées de degré maximum, proposition~\ref{ProprbjihK}, parce que c'est ce théorème qui donne l'unicité du déterminant du fait que l'espace est de dimension un.
	\item Théorème de la dimension~\ref{ThonmnWKs}.
	\item Extrema liés, théorème~\ref{ThoRGJosS}.
	\item Théorème~\ref{ThoeTMXla} sur la diagonalisation de matrices symétriques.
	\item Stabilité du rang par extension des scalaires, proposition~\ref{PROPooJFQDooZSsxMf}.
\end{itemize}
\paragraph{Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.}
\begin{itemize}
	\item Action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré, théorème~\ref{ThoItqXCm}.
	\item Lemme de Morse, lemme~\ref{LemNQAmCLo}.
	\item Sous-groupes compacts de \( \GL(n,\eR)\), lemme~\ref{LemOCtdiaE} ou proposition~\ref{PropQZkeHeG}.
	\item Algorithme des facteurs invariants~\ref{PropPDfCqee}.
\end{itemize}
\paragraph{Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Irréductibilité des polynômes cyclotomiques, proposition~\ref{PropoIeOVh}.
	\item Polynômes irréductibles sur \( \eF_q\).
\end{itemize}
\paragraph{Extensions de corps. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Polynômes séparables, proposition~\ref{PropolyeZff}.
	\item Lien entre les racines (multiples) de \( P\) et \( P'\), proposition~\ref{PropolyeZff}.
	\item Théorème de l'élément primitif~\ref{ThoORxgBC}.
	\item À propos d'extensions de \( \eQ\), le lemme~\ref{LemSoXCQH}.
	\item Polynômes irréductibles sur \( \eF_q\).
	\item Polygones réguliers constructibles, théorème de Gauss-Wantzel,~\ref{ThoTWAooEsLjJu}.
\end{itemize}
\paragraph{Corps finis. Applications.}
\begin{itemize}
	\item Théorème de Chevalley-Warning~\ref{ThoLTcYKk}.
	\item Loi de réciprocité quadratique~\ref{ThoMiEiUm}.
	\item \( (\eZ/p\eZ)^*\simeq \eZ/(p-1)\eZ\), corolaire~\ref{CorpRUndR}.
	\item Polynômes irréductibles sur \( \eF_q\).
\end{itemize}

\paragraph{Nombres premiers. Applications.}
\begin{itemize}
	\item Structure des groupes d'ordre \( pq\), théorème~\ref{ThoLnTMBy}.
	\item Divergence de la somme des inverses des nombres premiers, théorème~\ref{ThonfVruT}.
	\item RSA, section~\ref{SecEVaFYi}, plus l'exponentielle rapide, plus la recherche de couples de Bézout.
	\item Forme faible du théorème de Dirichlet (avec ses deux lemmes)~\ref{ThoxwTjcl}.
	\item \( (\eZ/p\eZ)^*\simeq \eZ/(p-1)\eZ\), corolaire~\ref{CorpRUndR}, peut-être redondant avec les groupes d'ordre \( pq\).
	\item Irréductibilité des polynômes cyclotomiques, proposition~\ref{PropoIeOVh}.
	\item Théorème des deux carrés, théorème~\ref{ThospaAEI}.
\end{itemize}
\paragraph{Anneaux \( \eZ/n\eZ\). Applications.}
\begin{itemize}
	\item RSA, section~\ref{SecEVaFYi}, plus l'exponentielle rapide, plus la recherche de couples de Bézout.
	\item Forme faible du théorème de Dirichlet (avec ses deux lemmes)~\ref{ThoxwTjcl}.
	\item \( (\eZ/p\eZ)^*\simeq \eZ/(p-1)\eZ\), corolaire~\ref{CorpRUndR}.
	\item Groupes d'ordre \( pq\), théorème~\ref{ThoLnTMBy}.
	\item Irréductibilité des polynômes cyclotomiques, proposition~\ref{PropoIeOVh}.
\end{itemize}
\paragraph{Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.}
\begin{itemize}
	\item RSA, section~\ref{SecEVaFYi}. Assez indirect : la système RSA se base sur la formule \( \varphi(pq)=(p-1)(q-1)\), laquelle se base sur l'isomorphisme \( \eZ/p\eZ\times \eZ/q\eZ\simeq \eZ/pq\eZ\) et leurs générateurs.
	\item Action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré, théorème~\ref{ThoItqXCm}, parce que c'est avec lui qu'on montre les générateurs du groupe modulaire dans le corolaire~\ref{CorJQwgNp}.
	\item Générateurs du groupe diédral, proposition~\ref{PropLDIPoZ}
	\item Table des caractères du groupe diédral, section~\ref{SecWMzheKf}.
	\item Le groupe alterné est simple, théorème~\ref{ThoURfSUXP}.
	\item Les groupes de pavage de \( \eR^2\), théorème \ref{THOooUPHQooYfeHAy}.
\end{itemize}
\paragraph{Représentations et caractères d'un groupe fini sur un \( \eC\)-espace vectoriel. Exemples}
\begin{itemize}
	\item Table des caractères du groupe diédral, section~\ref{SecWMzheKf}.
	\item Table des caractères du groupe symétrique \( S_4\), section~\ref{SecUMIgTmO}.
\end{itemize}
\paragraph{Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie \( E\) , sous-groupes de \( \GL(E)\). Applications.}
\begin{itemize}
	\item Théorème de Burnside sur les sous-groupes d'exposant fini de \( \GL(n,\eC)\), théorème~\ref{ThooJLTit}.
	\item Décomposition de Bruhat, théorème~\ref{ThoizlYJO}.
	\item Le lemme au lemme de Morse, lemme~\ref{LemWLCvLXe}.
	\item Décomposition polaire~\ref{ThoLHebUAU}.
	\item Enveloppe convexe du groupe orthogonal~\ref{ThoVBzqUpy}.
	\item Sous-groupes compacts de \( \GL(n,\eR)\), lemme~\ref{LemOCtdiaE} ou proposition~\ref{PropQZkeHeG}.
	\item Théorème de Von Neumann~\ref{ThoOBriEoe}.
\end{itemize}
\paragraph{Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.}
\begin{itemize}
	\item RSA, section~\ref{SecEVaFYi}, plus l'exponentielle rapide, plus la recherche de couples de Bézout.
	\item Coloriage de roulette (\ref{pTqJLY}) et composition de colliers (\ref{siOQlG}).
	\item Forme alternées de degré maximum, proposition~\ref{ProprbjihK}.
	\item Décomposition de Bruhat, théorème~\ref{ThoizlYJO}.
	\item Polynômes semi-symétriques, proposition~\ref{PropUDqXax}.
	\item Table des caractères du groupe diédral, section~\ref{SecWMzheKf}.
	\item Table des caractères du groupe symétrique \( S_4\), section~\ref{SecUMIgTmO}.
	\item Isométries du cube, section~\ref{SecPVCmkxM}.
	\item Le groupe alterné est simple, théorème~\ref{ThoURfSUXP}.
\end{itemize}
\paragraph{Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.}
\begin{itemize}
	\item Théorème de Burnside sur les sous-groupes d'exposant fini de \( \GL(n,\eC)\), théorème~\ref{ThooJLTit}.
	\item Forme faible du théorème de Dirichlet (avec ses deux lemmes)~\ref{ThoxwTjcl} (parce qu'on parle de polynômes cyclotomiques qui sont basés sur les racines de l'unité).
	\item Action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré, théorème~\ref{ThoItqXCm}, parce qu'on y utilise un peu les propriétés des nombres du type \( | z |=1\).
	\item Générateurs du groupe diédral, proposition~\ref{PropLDIPoZ}.
	\item Irréductibilité des polynômes cyclotomiques, proposition~\ref{PropoIeOVh}.
	\item Théorème de Wedderburn~\ref{ThoMncIWA}.
\end{itemize}
\paragraph{Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Les groupes de pavage de \( \eR^2\), théorème \ref{THOooUPHQooYfeHAy}.
	\item Action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré, théorème~\ref{ThoItqXCm}.
	\item Polynômes semi-symétriques, proposition~\ref{PropUDqXax}.
	\item Lemme de Morse, lemme~\ref{LemNQAmCLo}.
	\item Générateurs du groupe diédral, proposition~\ref{PropLDIPoZ}.
	\item Sous-groupes compacts de \( \GL(n,\eR)\), lemme~\ref{LemOCtdiaE} ou proposition~\ref{PropQZkeHeG}.
	\item Théorème de Wedderburn~\ref{ThoMncIWA}.
	\item Isométries du cube, section~\ref{SecPVCmkxM}.
	\item Algorithme des facteurs invariants~\ref{PropPDfCqee}.
\end{itemize}


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\section{Analyse}
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\paragraph{Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.}
\paragraph{Approximation d'une fonction par des fonctions régulières.  Exemples et applications.}
\paragraph{Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.}
\paragraph{Applications différentiables définies sur un ouvert de \( \eR^n\) . Exemples et applications.}
\paragraph{Équations différentielles ordinaires. Exemple de résolution et d'études de solutions en dimension \( 1\) et \( 2\).}
\paragraph{Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires}
\paragraph{Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.}
\paragraph{Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence \( u_{n+1}=f(u_n)\). Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.}
\paragraph{Séries  de  nombres  réels  ou  complexes. Comportement  des  restes  ou  des sommes partielles des séries numériques. Exemples.}
\paragraph{Analyse numérique matricielle : résolution approchée de systèmes linéaires, recherche de vecteurs propres, exemples.}
\paragraph{Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.}
\paragraph{Problèmes d'interversion de limites et d'intégrales.}
\paragraph{Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.}
\paragraph{Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications}
\paragraph{Loi d'une variable aléatoire: caractérisations, exemples, applications.}
\paragraph{Convergences d'une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.}
\paragraph{Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.}
\paragraph{Exemples d'études et d'applications de fonctions usuelles et spéciales.}
\paragraph{Illustration de la notion d'indépendance en probabilité.}
\paragraph{Exemples d'utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.}


\paragraph{Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Le théorème de Weierstrass sur la limite uniforme de fonctions holomorphes, théorème~\ref{ThoArYtQO}.
	\item Les théorèmes sur les fonctions définies par des intégrales, section~\ref{SecCHwnBDj}.
	\item Lemme de Morse, lemme~\ref{LemNQAmCLo}.
	\item Prolongement méromorphe de la fonction \( \Gamma\) d'Euler.
\end{itemize}
\paragraph{Utilisation de la notion de convexité en analyse.}
\begin{itemize}
	\item Ellipsoïde de John-Loewner, proposition~\ref{PropJYVooRMaPok}.
	\item Peut-être la méthode de Newton, théorème~\ref{ThoHGpGwXk}, mais je ne sais pas très bien pourquoi.
\end{itemize}

\paragraph{Transformation de Fourier. Applications.}
\begin{itemize}
	\item Formule sommatoire de Poisson, proposition~\ref{ProprPbkoQ}.
	\item Équation de Schrödinger, théorème~\ref{ThoLDmNnBR}.
\end{itemize}

\paragraph{Séries de Fourier. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Formule sommatoire de Poisson, proposition~\ref{ProprPbkoQ}.
	\item Inégalité isopérimétrique, théorème~\ref{ThoIXyctPo}.
	\item Fonction continue et périodique dont la série de Fourier ne converge pas, proposition~\ref{PropREkHdol}.
\end{itemize}

\paragraph{Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.}
\begin{itemize}
	\item Formule sommatoire de Poisson, proposition~\ref{ProprPbkoQ}.
	\item Théorème taubérien de Hardy-Littlewood~\ref{ThoPdDxgP}.
	\item Le théorème de Weierstrass sur la limite uniforme de fonctions holomorphes, théorème~\ref{ThoArYtQO}.
	\item La proposition~\ref{PropWoywYG} qui donne des indications sur la notion de classes dans \( L^p\).
	\item Théorème de Montel~\ref{ThoXLyCzol}.
	\item Prolongement méromorphe de la fonction \( \Gamma\) d'Euler.
\end{itemize}

\paragraph{Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item La proposition~\ref{PropMYskGa} donne un résultat sur \( y''+qy=0\) à partir d'une hypothèse de croissance.
	\item L'inégalité de Jensen, proposition~\ref{PropABtKbBo}.
	\item Méthode de Newton, théorème~\ref{ThoHGpGwXk}, si on parvient à expliquer quelle est le lien entre la méthode de Newton et la convexité.
	\item Ellipsoïde de John-Loewner, proposition~\ref{PropJYVooRMaPok}.
\end{itemize}

\begin{itemize}
	\item Extrema liés, théorème~\ref{ThoRGJosS}.
	\item Théorème d'inversion locale, théorème~\ref{ThoXWpzqCn}.
	\item Lemme de Morse, lemme~\ref{LemNQAmCLo}.
\end{itemize}

\paragraph{Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Espace de Sobolev \( H^1(I)\), théorème~\ref{ThoESIyxfU}.
	\item Inégalité isopérimétrique, théorème~\ref{ThoIXyctPo}.
	\item Dual de \( L^p\big( \mathopen[ 0 , 1 \mathclose] \big)\) pour \( 1<p<2\), proposition~\ref{PropOAVooYZSodR}.
	      % Fonctions de Haar
\end{itemize}

\paragraph{Espaces de fonctions : exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Théorème de Fischer-Riesz~\ref{ThoGVmqOro}.
	\item Espace de Sobolev \( H^1(I)\), théorème~\ref{ThoESIyxfU}.
	\item Théorème de Cauchy-Lipschitz~\ref{ThokUUlgU}.
	\item Dual de \( L^p\big( \mathopen[ 0 , 1 \mathclose] \big)\) pour \( 1<p<2\), proposition~\ref{PropOAVooYZSodR}.
\end{itemize}

\paragraph{Utilisation de la notion de compacité.}
\begin{itemize}
	\item Le théorème de Weierstrass sur la limite uniforme de fonctions holomorphes, théorème~\ref{ThoArYtQO}.
	\item Suite telle que \( \lim_{k\to \infty} d(u_{k+1},u_k)=0\), théorème~\ref{PropLHWACDU}.
	\item Sous-groupes compacts de \( \GL(n,\eR)\), lemme~\ref{LemOCtdiaE} ou proposition~\ref{PropQZkeHeG}.
	\item Théorème de Montel~\ref{ThoXLyCzol}.
	\item Ellipsoïde de John-Loewner, proposition~\ref{PropJYVooRMaPok}.
\end{itemize}

\paragraph{Connexité. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Théorème de Runge~\ref{ThoMvMCci}.
	\item Suite telle que \( \lim_{k\to \infty} d(u_{k+1},u_k)=0\), théorème~\ref{PropLHWACDU}.
	\item Théorème de Brouwer en dimension \( 2\) via l'homotopie~\ref{ThoLVViheK}.
	\item Théorème de Lie-Kolchin~\ref{ThoUWQBooCvutTO}.
\end{itemize}
\paragraph{Espaces complets. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item La proposition~\ref{PropWoywYG} qui donne des indications sur la notion de classes dans \( L^p\).
	\item Prolongement de fonction définie sur une partie dense, théorème~\ref{ThoPVFQMi}
	\item Complétion d'un espace métrique, théorème~\ref{ThoKHTQJXZ}.
	\item Théorème de Fischer-Riesz~\ref{ThoGVmqOro}.
	\item Théorème de Cauchy-Lipschitz global~\ref{THOooZIVRooPSWMxg}.
\end{itemize}
\paragraph{Prolongement de fonctions. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Prolongement de fonction définie sur une partie dense, théorème~\ref{ThoPVFQMi}
	\item Lemme de Borel~\ref{LemRENlIEL}.
	\item Prolongement méromorphe de la fonction \( \Gamma\) d'Euler.
	\item Théorème de Tietze~\ref{ThoFFQooGvcLzJ}.
\end{itemize}
\paragraph{Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.}
\begin{itemize}
	\item Théorème de Fischer-Riesz~\ref{ThoGVmqOro}.
	\item Théorème de Banach-Steinhaus~\ref{ThoPFBMHBN}.
	\item Dual de \( L^p\big( \mathopen[ 0 , 1 \mathclose] \big)\) pour \( 1<p<2\), proposition~\ref{PropOAVooYZSodR}.
\end{itemize}


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\section{Anciennes leçons}
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\paragraph{Transformation de Fourier. Applications.}
\begin{itemize}
	\item Théorème de Cauchy-Lipschitz global~\ref{THOooZIVRooPSWMxg}.
\end{itemize}
\paragraph{Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires.\\ Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Équation de Hill \( y''+qy=0\), proposition~\ref{PropGJCZcjR}.
	\item Théorème de stabilité de Lyapunov~\ref{ThoBSEJooIcdHYp}.
	\item Le système proie-prédateur de Lotka-Volterra~\ref{ThoJHCLooHjeCvT}
	\item Théorème de Cauchy-Lipschitz global~\ref{THOooZIVRooPSWMxg}, si on parvient à réexprimer le théorème dans le cas linéaire.
\end{itemize}
\paragraph{Exemples de parties denses et applications.}
\begin{itemize}
	\item Prolongement de fonction définie sur une partie dense, théorème~\ref{ThoPVFQMi}
	\item Complétion d'un espace métrique, théorème~\ref{ThoKHTQJXZ}.
	\item Points extrémaux de la boule unité dans \( \aL(E)\), théorème~\ref{ThoBALmoQw}.
	\item Critère de Weyl, proposition~\ref{PropDMvPDc}.
	\item Densité des polynômes dans \( C^0\big( \mathopen[ 0 , 1 \mathclose] \big)\), théorème de Bernstein~\ref{ThoDJIvrty}.
	\item Enveloppe convexe du groupe orthogonal~\ref{ThoVBzqUpy}.
\end{itemize}
\paragraph{Applications des formules de Taylor.}
\begin{itemize}
	\item Méthode de Newton, théorème~\ref{ThoHGpGwXk}
	\item Lemme de Morse, lemme~\ref{LemNQAmCLo}.
\end{itemize}
\paragraph{Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Divergence de la somme des inverses des nombres premiers, théorème~\ref{ThonfVruT}.
	\item Formule sommatoire de Poisson, proposition~\ref{ProprPbkoQ}.
	\item Théorème taubérien de Hardy-Littlewood~\ref{ThoPdDxgP}.
	\item Nombres de Bell, théorème~\ref{ThoYFAzwSg}.
	\item Partitions d'un entier en parts fixes, proposition~\ref{THOooQDYWooCOiUMb}.
	\item Théorème d'Abel angulaire~\ref{ThoTGjmeen}.
\end{itemize}
\paragraph{Espaces \( L^p\), \( 1\leq p\leq\infty\)}
\begin{itemize}
	\item La proposition~\ref{PropWoywYG} qui donne des indications sur la notion de classes dans \( L^p\).
	\item Théorème de Fischer-Riesz~\ref{ThoGVmqOro}.
	\item Espace de Sobolev \( H^1(I)\), théorème~\ref{ThoESIyxfU}.
	\item Dual de \( L^p\big( \mathopen[ 0 , 1 \mathclose] \big)\) pour \( 1<p<2\), proposition~\ref{PropOAVooYZSodR}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Processus de Galton-Watson, théorème~\ref{ThoJZnAOA}.
	\item Formule sommatoire de Poisson, proposition~\ref{ProprPbkoQ}.
	\item Nombres de Bell, théorème~\ref{ThoYFAzwSg}.
	\item Théorème d'Abel angulaire~\ref{ThoTGjmeen}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Applications des nombres complexes à la géométrie.}
\begin{itemize}
	\item Action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré, théorème~\ref{ThoItqXCm}.
	\item Générateurs du groupe diédral, proposition~\ref{PropLDIPoZ}
	\item Le groupe circulaire, proposition~\ref{THOooKMKWooZPIDaK}.
\end{itemize}
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\paragraph{Sous-groupes discrets de \( \eR^2\). Réseaux. Exemples}
\begin{itemize}
	\item Les groupes de pavage de \( \eR^2\), théorème \ref{THOooUPHQooYfeHAy}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimensions \( 2\) et \( 3\).}
\begin{itemize}
	\item Isométries du cube, section~\ref{SecPVCmkxM}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Exemples d’équations diophantiennes.}
\begin{itemize}
	\item Dans~\ref{subsecZVKNooXNjPSf}, nous résolvons \( ax+by=c\) en utilisant Bézout (théorème~\ref{ThoBuNjam}).
	\item L'exemple~\ref{ExmuQisZU} résout l'équation \( x^2+2=y^3\) en parlant de l'extension \( \eZ[i\sqrt{2}]\) et de stathme.
	\item Les propositions~\ref{PropXHMLooRnJKRi} et~\ref{propFKKKooFYQcxE} parlent de triplets pythagoriciens.
	\item Le dénombrement des solutions de l'équation \( \alpha_1 n_1+\ldots \alpha_pn_p=n\) utilise des séries entières et des décompositions de fractions en éléments simples, théorème~\ref{THOooQDYWooCOiUMb}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.}
\begin{itemize}
	\item Suites de décomposition et théorème de Jordan-Hölder~\ref{ThoLgxWIC}.
	\item Groupes d'ordre \( pq\), théorème~\ref{ThoLnTMBy}.
	\item Le groupe alterné est simple, théorème~\ref{ThoURfSUXP}.
	\item Théorème de Lie-Kolchin~\ref{ThoUWQBooCvutTO}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Sous-groupes finis de \( \gO(2,\eR)\) et \( \gO(3,\eR)\). Applications}
\begin{itemize}
	\item Les groupes de pavage de \( \eR^2\), théorème \ref{THOooUPHQooYfeHAy}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Groupes finis. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item RSA, section~\ref{SecEVaFYi}, plus l'exponentielle rapide, plus la recherche de couples de Bézout.
	\item Théorème de Wedderburn~\ref{ThoMncIWA}.
	\item Théorème de Sylow~\ref{ThoUkPDXf}. Tout le théorème, c'est un peu long. On peut se contenter de la partie qui dit que \( G\) contient un \( p\)-Sylow.
	\item Coloriage de roulette (\ref{pTqJLY}) et composition de colliers (\ref{siOQlG}).
	\item Suites de décomposition et théorème de Jordan-Hölder~\ref{ThoLgxWIC}.
	\item Théorème de Burnside sur les sous-groupes d'exposant fini de \( \GL(n,\eC)\), théorème~\ref{ThooJLTit}.
	\item \( (\eZ/p\eZ)^*\simeq \eZ/(p-1)\eZ\), corolaire~\ref{CorpRUndR}.
	\item Groupes d'ordre \( pq\), théorème~\ref{ThoLnTMBy}.
	\item Générateurs du groupe diédral, proposition~\ref{PropLDIPoZ}.
	\item Le groupe alterné est simple, théorème~\ref{ThoURfSUXP}.
	\item Isométries du cube, section~\ref{SecPVCmkxM}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Angles : Définitions et utilisation en géométrie}
\begin{itemize}
	\item Les groupes de pavage de \( \eR^2\), théorème \ref{THOooUPHQooYfeHAy}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Formes réduites. Applications}
\begin{itemize}
	\item Les groupes de pavage de \( \eR^2\), théorème \ref{THOooUPHQooYfeHAy}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Applications affines}
\begin{itemize}
	\item Les groupes de pavage de \( \eR^2\), théorème \ref{THOooUPHQooYfeHAy}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Utilisation des groupes en géométrie.}
\begin{itemize}
	\item Coloriage de roulette (\ref{pTqJLY}) et composition de colliers (\ref{siOQlG}).
	\item Forme alternées de degré maximum, proposition~\ref{ProprbjihK}, parce que c'est ce théorème qui donne l'unicité du déterminant du fait que l'espace est de dimension un.
	\item Action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré, théorème~\ref{ThoItqXCm}.
	\item Générateurs du groupe diédral, proposition~\ref{PropLDIPoZ}
	\item Isométries du cube, section~\ref{SecPVCmkxM}.
	\item Les groupes de pavage de \( \eR^2\), théorème \ref{THOooUPHQooYfeHAy}.
\end{itemize}


\paragraph{Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d’une matrice. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Décomposition de Bruhat, théorème~\ref{ThoizlYJO}.
	\item Algorithme des facteurs invariants~\ref{PropPDfCqee}.
\end{itemize}

\paragraph{Exemples de décompositions remarquables dans le groupe linéaire. Applications}
\begin{itemize}
	\item Décomposition polaire~\ref{ThoLHebUAU}.
	\item Décomposition de Dunford, théorème~\ref{ThoRURcpW}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Résultant. Applications.}
\begin{itemize}
	\item Théorème de Rothstein-Trager~\ref{ThoXJFatfu}.
	\item Théorème de Kronecker~\ref{ThoOWMNAVp}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Matrices équivalentes. Matrices semblables. Applications.}
\begin{itemize}
	\item Racine carrée d'une matrice hermitienne positive, proposition~\ref{PropVZvCWn}.
	\item Sous-groupes compacts de \( \GL(n,\eR)\), lemme~\ref{LemOCtdiaE} ou proposition~\ref{PropQZkeHeG}.
	      %Ici on peut mettre le théorème de Sylvester.
\end{itemize}
\paragraph{Exemples d'utilisation de la notion de dimension d'un espace vectoriel.}
\begin{itemize}
	\item Forme alternées de degré maximum, proposition~\ref{ProprbjihK}, parce que c'est ce théorème qui donne l'unicité du déterminant du fait que l'espace est de dimension un.
	\item Théorème de la dimension~\ref{ThonmnWKs}, bien que ce soit plutôt dans la définition de la dimension que dans l'utilisation.
	\item Théorème de Carathéodory~\ref{ThoJLDjXLe}.
\end{itemize}

\paragraph{Corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur un corps commutatif. Applications.}
\begin{itemize}
	\item Théorème de Rothstein-Trager~\ref{ThoXJFatfu}.
	\item Partitions d'un entier en parts fixes, proposition~\ref{THOooQDYWooCOiUMb}.
\end{itemize}

\paragraph{Anneau de séries formelles. Applications.}
\begin{itemize}
	\item Nombres de Bell, théorème~\ref{ThoYFAzwSg}.
	\item Partitions d'un entier en parts fixes, proposition~\ref{THOooQDYWooCOiUMb}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Formes linéaires et hyperplans en dimension finie. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Extrema liés, théorème~\ref{ThoRGJosS}.
	\item Enveloppe convexe du groupe orthogonal~\ref{ThoVBzqUpy}.
	\item Une forme canonique pour les transvections et dilatations, théorème~\ref{ThoooAZKDooNDcznv}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Algèbre des polynômes d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.}
\begin{itemize}
	\item Racine carrée d'une matrice hermitienne positive, proposition~\ref{PropVZvCWn}.
\end{itemize}
\paragraph{Formes quadratiques réelles. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Le lemme au lemme de Morse, lemme~\ref{LemWLCvLXe}.
	\item Connexité des formes quadratiques de signature donnée, proposition~\ref{PropNPbnsMd}.
	\item Sous-groupes compacts de \( \GL(n,\eR)\), lemme~\ref{LemOCtdiaE} ou proposition~\ref{PropQZkeHeG}.
	\item Ellipsoïde de John-Loewner, proposition~\ref{PropJYVooRMaPok}.
\end{itemize}
\paragraph{Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Applications à la réduction d'un endomorphisme en dimension finie.}
\begin{itemize}
	\item Endomorphismes cycliques et commutant dans le cas diagonalisable, proposition~\ref{PropooQALUooTluDif}.
\end{itemize}
\paragraph{Applications des nombres complexes à la géométrie. Homographies.}
\begin{itemize}
	\item Action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré, théorème~\ref{ThoItqXCm}. Parce que l'action est avec des homographies.
\end{itemize}

\paragraph{Anneaux principaux. Applications}
\begin{itemize}
	\item Polynôme minimal d'endomorphisme semi-simple, théorème~\ref{ThoFgsxCE}.
	\item Théorème de Bézout, corolaire~\ref{CorimHyXy}.
	\item Théorème des deux carrés, théorème~\ref{ThospaAEI}.
	\item Algorithme des facteurs invariants~\ref{PropPDfCqee}.
\end{itemize}
\paragraph{Représentations de groupes finis de petit cardinal.}
\begin{itemize}
	\item Table des caractères du groupe diédral, section~\ref{SecWMzheKf}.
	\item Table des caractères du groupe symétrique \( S_4\), section~\ref{SecUMIgTmO}.
\end{itemize}
\paragraph{Algèbre des polynômes à \( n\) indéterminées (\( n\geq 2\)). Polynômes symétriques. Applications.}
\begin{itemize}
	\item À propos d'extensions de \( \eQ\), le lemme~\ref{LemSoXCQH}.
	\item Polynômes semi-symétriques, proposition~\ref{PropUDqXax}.
	\item Théorème de Chevalley-Warning~\ref{ThoLTcYKk}.
	\item Théorème de Kronecker~\ref{ThoOWMNAVp}.
\end{itemize}

\paragraph{Racines d’un polynômes. Fonctions symétriques élémentaires. Localisation des racines dans les cas réel et complexe.}
\begin{itemize}
	\item À propos d'extensions de \( \eQ\), le lemme~\ref{LemSoXCQH}.
\end{itemize}

\paragraph{135 - Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Forme réduite. Applications en dimensions \( 2\) et \( 3\).}
\begin{itemize}
	\item Points extrémaux de la boule unité dans \( \aL(E)\), théorème~\ref{ThoBALmoQw}.
	\item Générateurs du groupe diédral, proposition~\ref{PropLDIPoZ}
	\item Isométries du cube, section~\ref{SecPVCmkxM}.
\end{itemize}

\paragraph{248 - Approximation des fonctions numériques par des fonctions polynomiales.\\ Exemples.}
\begin{itemize}
	\item Théorème taubérien de Hardy-Littlewood~\ref{ThoPdDxgP}.
	\item Théorème de Runge~\ref{ThoMvMCci}.
	\item Densité des polynômes dans \( C^0\big( \mathopen[ 0 , 1 \mathclose] \big)\), théorème de Bernstein~\ref{ThoDJIvrty}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{250 - Loi des grands nombres. Théorème central limite. Applications.}
\begin{itemize}
	\item Presque tous les nombres sont normaux, proposition~\ref{PropEEOXLae}.
	\item Estimation des grands écarts, théorème~\ref{ThoYYaBXkU}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{251 - Indépendance d’événements et de variables aléatoires. Exemples.}
\begin{itemize}
	\item Presque tous les nombres sont normaux, proposition~\ref{PropEEOXLae}.
	\item Estimation des grands écarts, théorème~\ref{ThoYYaBXkU}.
	\item Densité des polynômes dans \( C^0\big( \mathopen[ 0 , 1 \mathclose] \big)\), théorème de Bernstein~\ref{ThoDJIvrty}.
	\item Problème de la ruine du joueur, section~\ref{SecMSOjfgM}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{252 - Loi binomiale. Loi de Poisson. Applications.}
\begin{itemize}
	% Cette leçon est classée dans les non couvertes parce qu'il faudrait un développement sur la loi de Poisson.
	\item Estimation des grands écarts, théorème~\ref{ThoYYaBXkU}.
	\item Densité des polynômes dans \( C^0\big( \mathopen[ 0 , 1 \mathclose] \big)\), théorème de Bernstein~\ref{ThoDJIvrty}.
	\item Problème de la ruine du joueur, section~\ref{SecMSOjfgM}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{219 - Problèmes d'extrémums.}
\begin{itemize}
	\item Extrema liés, théorème~\ref{ThoRGJosS}.
	\item Lemme de Morse, lemme~\ref{LemNQAmCLo}.
	\item Ellipsoïde de John-Loewner, proposition~\ref{PropJYVooRMaPok}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Équations différentielles \( X' = f (t , X )\). Exemples d'étude des solutions en dimension \( 1\) et \( 2\).}
\begin{itemize}
	\item Théorème de Cauchy-Lipschitz~\ref{ThokUUlgU}.
	\item Théorème de stabilité de Lyapunov~\ref{ThoBSEJooIcdHYp}.
	\item Équation de Hill \( y''+qy=0\), proposition~\ref{PropGJCZcjR}.
	\item Le système proie-prédateur de Lotka-Volterra~\ref{ThoJHCLooHjeCvT}
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{223 - Convergence des suites numériques. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Calcul d'intégrale par suite équirépartie~\ref{PropDMvPDc}.
	\item Théorème taubérien de Hardy-Littlewood~\ref{ThoPdDxgP}.
	\item Méthode de Newton, théorème~\ref{ThoHGpGwXk}
	\item Théorème d'Abel angulaire~\ref{ThoTGjmeen}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{224 - Comportement asymptotique de suites numériques. Rapidité de convergence. Exemples.}
\begin{itemize}
	\item Le dénombrement des solutions de l'équation \( \alpha_1 n_1+\ldots \alpha_pn_p=n\) utilise des séries entières et des décompositions de fractions en éléments simples, théorème~\ref{THOooQDYWooCOiUMb}.
	\item Divergence de la somme des inverses des nombres premiers, théorème~\ref{ThonfVruT}.
	\item Formule sommatoire de Poisson, proposition~\ref{ProprPbkoQ}, grâce à l'exemple~\ref{ExDLjesf}.
	\item Méthode de Newton, théorème~\ref{ThoHGpGwXk}
	\item Estimation des grands écarts, théorème~\ref{ThoYYaBXkU}.
	\item Le dénombrement des solutions de l'équation \( \alpha_1 n_1+\ldots \alpha_pn_p=n\) utilise des séries entières et des décompositions de fractions en éléments simples, théorème~\ref{THOooQDYWooCOiUMb}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{226 - Comportement d’une suite réelle ou vectorielle définie par une itération \( u_{n+1}=f(u_n)\). Exemples.}
\begin{itemize}
	\item Processus de Galton-Watson, section~\ref{SecBPmrPdtGalton}.
	\item Méthode de Newton, théorème~\ref{ThoHGpGwXk}
	\item Méthode du gradient à pas optimal~\ref{PropSOOooGoMOxG}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{245 - Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de \( \eC\). Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Le théorème de Weierstrass sur la limite uniforme de fonctions holomorphes, théorème~\ref{ThoArYtQO}.
	\item Théorème de Montel~\ref{ThoXLyCzol}.
	\item Prolongement méromorphe de la fonction \( \Gamma\) d'Euler.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{238 - Méthodes de calcul approché d'intégrales et de solutions d’équations différentielles.}
\begin{itemize}
	\item Calcul d'intégrale par suite équirépartie~\ref{PropDMvPDc}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{222 - Exemples d’équations différentielles. Solutions exactes ou approchées.}
\begin{itemize}
	\item Équation \( y''+qy=0\),~\ref{subsecSyTwyM}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{225 - Étude locale de surfaces. Exemples.}
\begin{itemize}
	\item Lemme de Morse, lemme~\ref{LemNQAmCLo}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Exemples de problèmes d’interversion de limites.}
%\index{limite!inversion}
\begin{itemize}
	\item Théorème taubérien de Hardy-Littlewood~\ref{ThoPdDxgP} parce que l'énoncé revient à montrer la limite \( \lim_{x\to 1^-} \sum_{n\in \eN}a_nx^n=\sum_{n\in \eN}a_n\).
	\item Le théorème de Weierstrass sur la limite uniforme de fonctions holomorphes, théorème~\ref{ThoArYtQO}.
	\item La proposition~\ref{PropWoywYG} qui donne des indications sur la notion de classes dans \( L^p\). Ça utilise la convergence monotone pour  pour permuter une somme et une intégrale.
	\item Les théorèmes sur les fonctions définies par des intégrales, section~\ref{SecCHwnBDj}.
	\item Nombres de Bell, théorème~\ref{ThoYFAzwSg}.
\end{itemize}
\paragraph{254 - Espaces de Schwartz et distributions tempérées.}
\begin{itemize}
	\item Formule sommatoire de Poisson, proposition~\ref{ProprPbkoQ}.
	\item Équation de Schrödinger, théorème~\ref{ThoLDmNnBR}.
\end{itemize}

\paragraph{Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Extrema liés, théorème~\ref{ThoRGJosS}.
	\item Théorème d'inversion locale, théorème~\ref{ThoXWpzqCn}.
	\item Lemme de Morse, lemme~\ref{LemNQAmCLo}.
	\item Théorème de Von Neumann~\ref{ThoOBriEoe}.
\end{itemize}
\paragraph{Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et contre-exemples.}
\begin{itemize}
	\item Les théorèmes sur les fonctions définies par des intégrales, section~\ref{SecCHwnBDj}.
	\item Lemme de Borel~\ref{LemRENlIEL}.
\end{itemize}
\paragraph{232 - Méthodes d'approximation des solutions d’une équation \( F(X)=0\). Exemples.}
\begin{itemize}
	\item Méthode de Newton, théorème~\ref{ThoHGpGwXk}
	\item Méthode du gradient à pas optimal~\ref{PropSOOooGoMOxG}.
\end{itemize}
\paragraph{Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables réelles.}
\begin{itemize}
	\item Calcul d'intégrale par suite équirépartie~\ref{PropDMvPDc}.
	\item Théorème de Rothstein-Trager~\ref{ThoXJFatfu}.
\end{itemize}
\paragraph{256 - Transformation de Fourier dans \( \swS(\eR^d)\) et \( \swS'(\eR^d)\).}
\begin{itemize}
	\item Formule sommatoire de Poisson, proposition~\ref{ProprPbkoQ}.
	\item Équation de Schrödinger, théorème~\ref{ThoLDmNnBR}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Espaces de Schwartz \( \swS(\eR^d)\) et distributions tempérées. Transformation de Fourier dans \( \swS(\eR^d)\) et \( \swS'(\eR^d)\)}
\begin{itemize}
	\item Formule sommatoire de Poisson, proposition~\ref{ProprPbkoQ}.
	\item Équation de Schrödinger, théorème~\ref{ThoLDmNnBR}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Espaces de Schwartz. Distributions. Dérivation au sens des distributions.}
\begin{itemize}
	\item L'équation \( (x-x_0)^{\alpha}u=0\) pour \( u\in\swD'(\eR)\), théorème~\ref{ThoRDUXooQBlLNb}.
	\item Espace de Sobolev \( H^1(I)\), théorème~\ref{ThoESIyxfU}.
	\item Équation de Schrödinger, théorème~\ref{ThoLDmNnBR}.
\end{itemize}

\paragraph{Fonctions développables en série entière, fonctions analytiques. Exemples.}
\begin{itemize}
	\item Le dénombrement des solutions de l'équation \( \alpha_1 n_1+\ldots \alpha_pn_p=n\) utilise des séries entières et des décompositions de fractions en éléments simples, théorème~\ref{THOooQDYWooCOiUMb}.
\end{itemize}
\paragraph{Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item Processus de Galton-Watson, théorème~\ref{ThoJZnAOA}.
	\item Théorème d'inversion locale, théorème~\ref{ThoXWpzqCn}.
	\item Théorème de Brouwer en dimension \( 2\) via l'homotopie~\ref{ThoLVViheK}.
	\item Théorème de Picard~\ref{ThoEPVkCL} et l'inséparable théorème de Cauchy-Lipschitz~\ref{ThokUUlgU}
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{itemize}
	\item Inégalité isopérimétrique, théorème~\ref{ThoIXyctPo}.
	\item Théorème des quatre sommets, théorème~\ref{THOooFRBBooWKZcfY}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{itemize}
	\item Formule sommatoire de Poisson, proposition~\ref{ProprPbkoQ}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Sous-variétés de \( \eR^n\). Exemples.}
\begin{itemize}
	\item Extrema liés, théorème~\ref{ThoRGJosS}.
	\item Théorème de Von Neumann~\ref{ThoOBriEoe}.
	\item Lemme de Morse, lemme~\ref{LemNQAmCLo}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Suites et séries de fonctions intégrables. Exemples et applications.}
\begin{itemize}
	\item La proposition~\ref{PropWoywYG} qui donne des indications sur la notion de classes dans \( L^p\).
	\item Le théorème de Weierstrass sur la limite uniforme de fonctions holomorphes, théorème~\ref{ThoArYtQO}.
	\item Les théorèmes sur les fonctions définies par des intégrales, section~\ref{SecCHwnBDj}.
	\item Théorème de Fischer-Riesz~\ref{ThoGVmqOro}.
	\item Prolongement méromorphe de la fonction \( \Gamma\) d'Euler.
	\item Problème de la ruine du joueur, section~\ref{SecMSOjfgM}.
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Utilisation en probabilités du produit de convolution et de la transformation de Fourier ou de Laplace.}
\begin{itemize}
	\item Processus de Galton-Watson, lemme~\ref{LemezrOiI} et théorème~\ref{ThoJZnAOA}.
	\item Fonction caractéristique~\ref{PropDerFnCaract}.
	\item Théorème central limite~\ref{ThoOWodAi}.
\end{itemize}
\paragraph{Suites de variables de Bernoulli indépendantes.}
\begin{itemize}
	\item Processus de Galton-Watson, section~\ref{SecBPmrPdtGalton}.
	\item Estimation des grands écarts, théorème~\ref{ThoYYaBXkU}.
	\item Densité des polynômes dans \( C^0\big( \mathopen[ 0 , 1 \mathclose] \big)\), théorème de Bernstein~\ref{ThoDJIvrty}.
	\item Problème de la ruine du joueur, section~\ref{SecMSOjfgM}.
\end{itemize}