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\lecture{2009-12-09}

% EISBACH %
\noindent $y'(x) = f(x)$ einfache Differentialgleichung, da $f$ nur Funktion von $x$ und nicht von $y$ ist.
Daher ist das Erraten der Lösung als Integral möglich.

\begin{equation*}\leadsto y(x) = \int \! f(x) \, \diff x\end{equation*}
Allgemeines Anfangswertproblem:
\begin{equation*}\dot y(t) = f(t, y) \qquad y \in \mathbb{R}^n \qquad y(t_0) = y_0\end{equation*}
Eisbach: allgemeines AWP linear 1. Ordnung/Typs
\[ y'(x) = p(x)\cdot y + q(x)\qquad y \in \mathbb{R}^1 \]

\subsection{Umkehrfunktionen}
$f: I \to \mathbb{R}$ stetig (evtl. auch etwas weniger stückweise stetig oder auch etwas mehr differenzierbar)

\begin{definition}[Umkehrbarkeit]
    $f$ heißt umkehrbar über $D \subseteq I$, falls für alle $y \in f(D)$ gilt:
    Die Gleichung $y=f(x)$ hat genau eine Lösung $x$
    \begin{equation*}
        \left.
        \begin{array}{r}
            g:\underbrace{f(D)}_{\subseteq \mathbb{R}} \to D x= g(y) \Leftrightarrow y=f(x) \\
            g: \text{Umkehrfunktion zu }f: g=f^{-1}
        \end{array}
        \right\}
        \begin{array}{l}
            g \circ f = f \circ g = id\\
            g(f(x)) = x\\
            f(g(y)) = y
        \end{array}
    \end{equation*}
\end{definition}

\begin{example}
\begin{enumerate}
    \item $f(x)=ax + b \implies g(y) = \frac{1}{a} \cdot (y-b) $
    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[]
         \draw[->,semithick] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[below]{x};
         \draw[->,semithick] (0,-0.5) -- (0,3) node[left]{y};
         \draw[domain=-2:2] plot [id=umkehr_a, samples=50] function {0.6*x+1};
         \node at (1.5,0.5) {$y=a\cdot x + b$};
        \end{tikzpicture}
    \end{center}
    \item
        $
            y=f(x)=x^2 \implies
            \begin{cases}
            x \geq 0: &g(y) = +\sqrt{y}\\
            x < 0: &g(y) = -\sqrt{y}
            \end{cases}
        $
    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[]
         \draw[->,semithick] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[below]{x};
         \draw[->,semithick] (0,-0.5) -- (0,4.25) node[left]{y};
         \draw [dashed] (-1,0) -- (-1,1) -- (1,1) -- (1,0);
         \draw (-1,0) -- (-1,-0.2) node[below] {$\hat{x}$};
         \draw (1,0) -- (1,-0.2) node[below] {$x$};
         \draw[domain=-2:2] plot [id=umkehr_b, samples=50] function {x**2};
         \node at (0.7,2) {$y=x^2$};
        \end{tikzpicture}
    \end{center}
\end{enumerate}
\end{example}

\noindent offensichtlich: (streng) monotone Funktionen erlauben Umkehrung\\
monotone Funktionen werden an $y=x$ gespiegelt $\leadsto g=f^{-1}$ (siehe Abbildung \ref{fig:monoton_umkehr} auf Seite \pageref{fig:monoton_umkehr})

\begin{figure}[htp]
  \centering
  \begin{tikzpicture}[]
    \draw[->,semithick] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right]{x};
    \draw[->,semithick] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[left]{y};
    \draw [dashed] (-2.5,-2.5) -- (2.5,2.5);
    \draw[domain=-2.3:2.3,color=blue] plot [id=monoton, samples=50] function {sinh(x)/2};
    \draw[domain=-2.4:2.4,color=red] plot [id=monoton_umkehr, samples=50] function {asinh(2*x)};
    \node[right] at (.5,-1) {\color{blue}$y=\frac{\sinh x}{2}$};
    \node[right] at (.5,-1.8) {\color{red}$y=\arsinh 2x$};
  \end{tikzpicture}
  \caption{streng monotone Funktion und zugehörige Umkehrfunktion}
  \label{fig:monoton_umkehr}
\end{figure}


\subsubsection*{Hauptsatz zu Umkehrfunktionen}
\begin{enumerate}
    \item Jede streng monotone Funktion $f(x)$ ist umkehrbar.
    \item $f$ und $g=f^{-1}$ gegeben $\implies$ Graph von $g$ ist symmetrisch zu Graph von $f$ bzgl. $y=x$. (siehe Skizzen)
    \item
        $
            \left.
            \begin{array}{l}
            f:I \to \mathbb{R} \text{ differenzierbar und umkehrbar}\\
            g:f(I) \to \mathbb{R} \text{ Umkehrfunktion}\\
            \text{es gilt: g differenzierbar und } g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}
            \end{array}
            \right\}
            \begin{array}{l}
            \text{Kettenregel } f(g(x)) = x\\
            \text{differenziere } f'(g(x)) \cdot g'(x) = 1
            \end{array}
        $
\end{enumerate}

\begin{example}[Umkehrfunktionen]
\begin{enumerate}

    \item n-te Wurzel für rationale Exponenten:\\
        bisher $y = \sqrt[n]{x} \quad n \in \mathbb{N} \Leftrightarrow y^n = x \quad
            \begin{cases}
                x \geq 0 & \text{$n$ gerade} \\
                x < 0 & \text{$n$ ungerade}
            \end{cases}
        $\\
        Umschreibung:
        \[\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\]
        Potenzbildung:
        \[x^{\frac{m}{n}} := \left(x^{\frac{1}{n}}\right)^m\]
        Ableitung:
        \begin{align*}
            f(x)=x^n \qquad g(x) = x^{\frac{1}{n}}\\
            g'(x)=\frac{1}{n \cdot \left(x^{\frac{1}{n}}\right)^{n-1}}=\frac{1}{n} \cdot x^{\left(\frac{1}{n}-1\right)}
        \end{align*}
        Kettenregel: Exponent $\frac{m}{n}$ zu berechnen:\\
        \[ \frac{\diff}{\diff x}x^{\frac{m}{n}} = \frac{m}{n} \cdot x^{\left(\frac{m}{n}-1\right)}\]
    \item Arkus-Funktion:\\
        trigonometrische Funktionen sind nicht \emph{global} umkehrbar\\
        Umkehrung möglich in $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$
        \begin{definition}[Umkehrfunktion von $\sin x$]
        Die Umkehrfunktion von $\sin x$ in $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ist $\arcsin x\,:[-1,1]\to[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
        \end{definition}
        Ableitung:
        \[\frac{\diff}{\diff x}\arcsin x=\frac{1}{\underbrace{\cos}_{f'}(\underbrace{\arcsin x}_{g})}\]
        Mit Pythagoras $1=\sin^2 x+\cos^2 x \implies \cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}$ (wegen Abschnitt "`$+\sqrt{\,}$"') folgt:
        \[\frac{\diff}{\diff x}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]
        Analog für $\cos x, \tan x, \cot x$:
        % note: Sinus und Cosinus dürften bekannt sein -> habe die Graphen weggelassen
        \begin{align*}
            \arccos x&: [-1,1]\to[0,\pi]\\
            \frac{\diff}{\diff x} \arccos x &= \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\
            \frac{\diff}{\diff x} \arctan x &= \frac{1}{1+x^2}
        \end{align*}

\end{enumerate}
\end{example}

\subsection{Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion}
\subsubsection*{Eigenschaften von $\euler^x$}
\begin{itemize}
    \item Definiert aus Grenzwert $\ds\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n =: \euler^x = \exp(x)$
    \item Ableitung $\frac{\diff}{\diff x}\euler^x = \euler^x$ (hebt $\euler^x$ aus allen $f(x)$ heraus)
    \item Positivität: $\euler^0 = 1 \qquad \euler^x > 0 \, \forall x \in \mathbb{R}$
            \[\euler^1=\euler=2,718281828459... \text{Euler'sche Zahl}\]
    \item Wachstum: $\ds\lim_{x \to \infty} \euler^x = \infty$
            \[\lim_{x \to -\infty} \euler^x = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\euler^x} = 0\]
    \item Vergleich mit Wachstum von $x^n$:
        \begin{align*}
            \lim_{x \to \infty} \frac{\euler^x}{x^n} = \left(\frac{\infty}{\infty}\right) = \lim_{x \to \infty}\frac{\euler^x}{n\cdot x^{n-1}} = \left(\frac{\infty}{\infty}\right) = \ldots =  \lim_{x \to \infty}\frac{\euler^x}{n!} = \infty
        \end{align*}
        "`$\euler$-Funktion wächst schneller als jede Potenz von $x^n$"' (L'Hospital, Seite \pageref{theorem:hospital})
    \item Umkehrbarkeit: $\euler^x$ ist monoton $\implies \euler^x$ ist umkehrbar
\end{itemize}

\begin{center}
    \begin{tikzpicture}[]
     \draw[->,semithick] (-2.5,0) -- (3,0) node[below]{x};
     \draw[->,semithick] (0,-0.5) -- (0,4) node[left]{y};

     \draw[domain=-2.5:1.3] plot [id=euler, samples=400] function { exp(x)};
     \node at (2,1.5) {$y = \euler^x$};
     \draw (-2pt,1) -- (2pt,1) node[left] {1};
     \draw (1,2pt) -- (1,-2pt) node[below] {1};
     \draw (-1,2pt) -- (-1,-2pt) node[below] {-1};
    \end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{definition}[Logarithmus Naturalis]
    Die Umkehrfunktion von $\euler^x$ ist der natürliche Logarithmus $\ln x$.
    \begin{align*}
        \ln 1 = 0 \qquad \ln \euler = 1\\
        0 < x < 1 &\implies \ln x < 0\\
        x > 1 &\implies \ln x > 0\\
        \frac{\diff}{\diff x}\ln x = \frac{1}{\underbrace{\exp}_{f'}\underbrace{(\ln x)}_{g}} = \frac{1}{x}
    \end{align*}
\end{definition}

\begin{center}
    \begin{tikzpicture}[]
     \draw[->,semithick] (-0.5,0) -- (5.5,0) node[below]{x};
     \draw[->,semithick] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[left]{y};

     \draw[domain=0.1:5] plot [id=log_ln, samples=400] function { log(x)};
     \node at (2,1.5) {$y = \ln x$};
     \draw [dash pattern=on 1pt off 1pt] (0,1)-- (2.718,1);
     \draw [dash pattern=on 1pt off 1pt] (2.718,0)-- (2.718,1);
     \draw (-2pt,1) -- (2pt,1) node[left] {1};
     \draw (1,2pt) -- (1,-2pt) node[below] {1};
     \draw (2.718,2pt) -- (2.718,-2pt) node[below] {$\euler$};
    \end{tikzpicture}
\end{center}

\subsubsection*{Rechenregeln}
\begin{enumerate}
    \item $\ln(x\cdot y) = \ln x + \ln y$
    \item $\ln\left(\frac{x}{y}\right) = \ln x - \ln y \quad (y \neq 0)$
\end{enumerate}

\subsubsection*{Allgemeine Potenzen zu $x^\alpha$ für $\alpha \in \mathbb{R}$}
Idee: allgemeine Potenzfunktion $a^x$ mit $ a > 0,\, x \in \mathbb{R}$:
\begin{equation*} a^x = \exp(\ln a^x) = \exp (x \ln a) = \euler^{x \ln a}\end{equation*}
Berechne $x^\alpha$ und die Ableitung ($x > 0$):
\[ \frac{\diff}{\diff x} x^\alpha = \frac{\diff}{\diff x} \euler^{\alpha \ln x} = \alpha \underbrace{\euler^{\alpha \ln x}}_{x^\alpha} \cdot \frac{1}{x} = \alpha \cdot x^\alpha \cdot \frac{1}{x} = \alpha \cdot x^{\alpha-1}\]
\subsubsection*{Rechenregeln}
\begin{enumerate}
    \item $a^x \cdot a^y = a^{(x+y)}$
    \item $(a^x)^y = a^{\left(x\cdot y\right)}$
    \item $(a\cdot b)^x = a^x \cdot b^x$
    \item $\ln(a^x) = x \cdot \ln a \quad | a > 0$
\end{enumerate}

\begin{definition}[Hyperbelfunktion]
    \begin{align*}
        \sinh x = \frac{\euler^x - \euler^{-x}}{2}\\
        \cosh x = \frac{\euler^x + \euler^{-x}}{2}
    \end{align*}
\end{definition}
\begin{center}
    \begin{tikzpicture}[]
     \draw[->,semithick] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[below]{x};
     \draw[->,semithick] (0,-2) -- (0,3.5) node[left]{y};
     \draw[blue,domain=-1.3:1.8] plot [id=sinh, samples=50] function { sinh(x)};
     \draw[red,domain=-1.8:1.8] plot [id=cosh, samples=50] function { cosh(x)};
     \node[color=blue] at (1.5,0.6) {$\sinh x$};
     \node[color=red] at (-0.7,2.2) {$\cosh x$};
    \end{tikzpicture}
\end{center}