Lectura_12_Intro_Probabilidad.ipynb

{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "Co5ptveeKrvu"
   },
   "source": [
    "---\n",
    "\n",
    "<p align=\"center\">\n",
    "  <img src=\"https://raw.githubusercontent.com/lacamposm/Diplomado_Metodos_UCentral/main/data/images/imagen_ucentral.jpg\" alt=\"logo_Ucentral\" width=\"400px\" height=\"300px\">\n",
    "</p>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "dZqhoXK8LPg3"
   },
   "source": [
    "# ___Diplomado: Métodos Estadísticos para el Análisis de Datos___\n",
    "\n",
    "## ___Docente: Luis Andres Campos Maldonado.___\n",
    "\n",
    "### ___Introducción  a la Probabilidad y las técnicas de conteo.___\n",
    "\n",
    "\n",
    "---"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "vehXEF14Lbjc"
   },
   "source": [
    "Supongamos el lanzamiento de 2 dados. ¿Cuales son los posibles resultados?\n",
    "\n",
    "Sabemos que tenemos 36 posbiles resultados, pues en cada dado tenemos 6 opciones de resultado.\n",
    "\n",
    "$$(i,j),\\ \\ 1\\leq i,j \\leq 6$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 1,
   "metadata": {
    "id": "7agVmZyBLnIA"
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "import numpy as np\n",
    "import pandas as pd\n",
    "from scipy.special import factorial, perm, comb"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 2,
   "metadata": {
    "colab": {
     "base_uri": "https://localhost:8080/"
    },
    "executionInfo": {
     "elapsed": 23,
     "status": "ok",
     "timestamp": 1681576754162,
     "user": {
      "displayName": "luis andres campos maldonado",
      "userId": "11260189668651664411"
     },
     "user_tz": 300
    },
    "id": "vfdlUZllMWui",
    "outputId": "591647b4-d7c9-4690-f58e-77f0dbea109a"
   },
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "2"
      ]
     },
     "execution_count": 2,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "dado1 = [1,2,3,4,5,6] ## Lista.\n",
    "dado2 = [1,2,3,4,5,6] ## Lista.\n",
    "##\n",
    "np.random.choice(dado1) ## Generamos lanzamiento del dado."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 3,
   "metadata": {
    "colab": {
     "base_uri": "https://localhost:8080/"
    },
    "executionInfo": {
     "elapsed": 17,
     "status": "ok",
     "timestamp": 1681576754162,
     "user": {
      "displayName": "luis andres campos maldonado",
      "userId": "11260189668651664411"
     },
     "user_tz": 300
    },
    "id": "W2jSsfK2OsMe",
    "outputId": "08fc469c-675d-44a6-bab2-655a10785a6e"
   },
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "[(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)]\n",
      "36\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "results = [(i,j) for i in dado1 for j in dado2]\n",
    "print(results)\n",
    "print(len(results))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 4,
   "metadata": {
    "colab": {
     "base_uri": "https://localhost:8080/"
    },
    "executionInfo": {
     "elapsed": 13,
     "status": "ok",
     "timestamp": 1681576754163,
     "user": {
      "displayName": "luis andres campos maldonado",
      "userId": "11260189668651664411"
     },
     "user_tz": 300
    },
    "id": "zT2jcyyQlvT0",
    "outputId": "6ebc731d-f339-4424-a76f-f6cb960b887a"
   },
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "array([6, 4, 1, ..., 3, 5, 2])"
      ]
     },
     "execution_count": 4,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "## Vamos a simular el lanzamiento de un 10000000 de veces de un dado\n",
    "np.random.choice(dado1, 10_000_000)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 5,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "array([3, 4, 6, ..., 2, 3, 5])"
      ]
     },
     "execution_count": 5,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "## ¿Como se distribuyen los valores en la simulación?\n",
    "np.random.choice(dado1, 10_000_000)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "CK-rwS5BUp0q"
   },
   "source": [
    "Hay dos tipos de experimentos:\n",
    "\n",
    "1. **Experimentos Deterministas:** Se obtiene el mismo resultado cuando se realizan con las mismas condiciones. Hay una ley que predice las mediciones\n",
    "\n",
    "2. **Experimentos Aleatorios:** No producen los mismos resultados con las mismas condiciones iniciales. \n",
    "\n",
    "\n",
    "  \n",
    "  \n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "JXRVFzPyP0TT"
   },
   "source": [
    "#### ***Ejemplo: Determine cuáles de los siguientes experimentos son deterministas y cuáles aleatorios***\n",
    "\n",
    "  + Dejar caer un objeto y medir el tiempo.\n",
    "  \n",
    "  + Lanzar un dado y observar el número que sale.\n",
    "  \n",
    "  + Inflar un globo y determinar el volumen.\n",
    "  \n",
    "  + Sacar de un maso de cartas una carta al azar.\n",
    "  \n",
    "  + Calcular el tiempo que tarda un auto en recorrer cierta distancia.\n",
    "  \n",
    "  + Seleccionar una persona al azar y determinar su profesión."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "n014La23dxgW"
   },
   "source": [
    "### ***Definición [Espacio Muestral]***: El espacio muestral de un determinado experimento es el conjunto de todos los posibles resultados. Denotaremos este espacio por $S$ u $\\Omega$.\n",
    "\n",
    "Veamos algunos ejemplos:\n",
    "\n",
    "* Experimento: Lanzar una moneda.\n",
    "\n",
    "$$\\Omega=\\{Cara\\, , \\, Sello\\}$$\n",
    "\n",
    "* Experimento: Lanzar dos monedas. En este caso el espacio muestral estará dado por todas las parejas que identifican los resultados en la moneda 1 y la moneda 2.\n",
    "\n",
    "$$ \\Omega=\\{(Cara, Cara) , (Cara, Sello) , (Sello, Cara) , (Sello, Sello) \\} $$\n",
    "\n",
    "- Experimento: Seleccionar un punto en una placa circular de radio $1$ y centro en el origen.\n",
    "\n",
    "$$\\Omega = \\{(x,y) \\in R^2 : x^2+y^2 \\leq 1\\}$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "p1IUvzPfd3en"
   },
   "source": [
    "### ***Definición [Evento]:*** Dado un experimento aleatorio con espacio muestral $\\Omega$, se llama *evento* o suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral. Generalmente se denota con letras mayúsculas A, B, C, E, etc. \n",
    "\n",
    "Nota: cuando el evento es el resultado de una sola repetición se denomina *evento simple*. También se dice simple si consta de un solo resultado del experimento aleatorio, si consta de más de un resultado se dice *compuesto*.\n",
    "\n",
    "Algunos ejemplos\n",
    "\n",
    "- Experimento: Lanzar un dado y observar el número de la cara posterior ($\\Omega=\\{1,2,3,4,5,6\\}$). En este caso tenemos seis eventos simples. Puede salir cualquiera de los seis números: \n",
    "\n",
    "$E_1=\\{1\\}$, $E_2=\\{2\\}$, $E_3=\\{3\\}$, $E_4=\\{4\\}$, $E_5=\\{5\\}$, $E_6=\\{6\\}$, $E_7=\\{5,6\\}$\n",
    "\n",
    "- Experimento: Lanzar una moneda y observar la marca posterior. En este caso tenemos dos eventos,  Que salga cara $E_1=\\{cara\\}$ y que salga sello $E_2=\\{sello\\}$\n",
    "\n",
    "**Observaciones**\n",
    "\n",
    "   + $E=\\phi$ es el evento vacío o que nunca ocurre.\n",
    "   \n",
    "   + $E= \\Omega$ es el evento seguro o que siempre ocurre.\n",
    "   \n",
    "***Ejemplo:*** Participamos en un sorteo de un premio con una rifa del 1 al 50. En este caso los posibles resultados están dados por $\\Omega = \\{1,2,3 \\dots , 50\\}$. Algunos eventos son:\n",
    "\n",
    "- $A$: El número ganador es par. En este caso $A=\\{2,4,6, \\dots 50\\}=\\{2k \\mid k \\in Z \\, , \\,  k \\in [1,25]\\}$. (evento compuesto)\n",
    "\n",
    "- $B$: El número es mayor que 30. Luego, $B=\\{31, 32, \\dots, 50\\}$. (evento compuesto)\n",
    "\n",
    "- $C$: El número ganador es 46. Luego $C=\\{46\\}$. (simple)\n",
    "\n",
    "Como los eventos corresponden a subconjuntos del espacio muestral revisaremos rápidamente algunas operaciones con conjuntos."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "97HNYpqJd-yQ"
   },
   "source": [
    "## ***Operaciones básicas con conjuntos.***\n",
    "\n",
    "Considere un experimento aleatorio con espacio muestral $\\Omega$. Sean $A$ y $B$ dos eventos de $\\Omega$, es decir, $A \\subset \\Omega$ y $B \\subset \\Omega$\n",
    "\n",
    "***Unión de Conjuntos:***\n",
    "\n",
    "La unión de conjuntos se denota por $A \\cup B$ y de define como:\n",
    "\n",
    "$$A \\cup B = \\{\\omega \\in \\Omega \\mid \\omega \\in A, \\quad  o \\quad \\omega \\in B\\}$$\n",
    "\n",
    "Es decir, $A \\cup B$ significa que ocurre el evento $A$ u ocurre el evento $B$.\n",
    "\n",
    "Algunas propiedades:\n",
    "\n",
    "  1. $A \\cup B = B \\cup A$\n",
    "  \n",
    "  2. $A \\cup A = A$\n",
    "  \n",
    "  3. $A \\cup \\phi = A$\n",
    "  \n",
    "  4. $A \\cup \\Omega = \\Omega$\n",
    "  \n",
    "  5. $A \\cup A^c = \\Omega$\n",
    "\n",
    "\n",
    "### ***Intersección de Conjuntos:***\n",
    "\n",
    "\n",
    "La intersección de conjuntos se denota por $A \\cap B$ y de define como:\n",
    "\n",
    "$$A \\cap B = \\{\\omega \\in \\Omega \\mid \\omega \\in A, \\quad  y \\quad \\omega \\in B\\}$$\n",
    "\n",
    "Es decir, $A \\cap B$ significa que ocurre el evento $A$ **y** ocurre el evento $B$.\n",
    "\n",
    "Algunas propiedades:\n",
    "\n",
    "  1. $A \\cap B = B \\cap A$\n",
    "  \n",
    "  2. $A \\cap A = A$\n",
    "  \n",
    "  3. $A \\cap \\phi = \\phi$\n",
    "  \n",
    "  4. $A \\cap \\Omega = A$\n",
    "  \n",
    "  5. $A \\cap A^c = \\phi$\n",
    "  \n",
    "\n",
    "\n",
    "### ***Diferencia de Conjuntos:***\n",
    "\n",
    "\n",
    "La diferencia de conjuntos se denota por $A - B$ y de define como:\n",
    "\n",
    "$$A - B = \\{\\omega \\in \\Omega \\mid \\omega \\in A, \\quad  y \\quad \\omega \\notin B\\}$$\n",
    "\n",
    "Es decir, $A - B$ significa que ocurre el evento $A$ **y no** ocurre el evento $B$.\n",
    "\n",
    "Algunas propiedades:\n",
    "\n",
    "  1. $A - B \\neq B - A$\n",
    "  \n",
    "  2. $A - A = \\phi$\n",
    "  \n",
    "  3. $A - B = A \\cap B^c$\n",
    "  \n",
    "  4. $A - \\phi = A$\n",
    "  \n",
    "  5. $\\Omega - A = A^c$\n",
    "  \n",
    "  6. $A - B = A- (A \\cap B)$\n",
    "\n",
    "\n",
    "### ***Complemento de un Conjunto:***\n",
    "\n",
    "\n",
    "El complemento de un conjunto se denota por $A^c$ y de define como:\n",
    "\n",
    "$$A^c = \\{\\omega \\in \\Omega \\mid \\omega \\notin A\\}$$\n",
    "\n",
    "Es decir, $A^c$ significa que **no** ocurre el evento $A$.\n",
    "\n",
    "Algunas propiedades:\n",
    "\n",
    "  + $\\phi^c = \\Omega$\n",
    "  \n",
    "  + $\\Omega^c = \\phi$\n",
    "  \n",
    "  + $(A^c)^c=A$\n",
    "  \n",
    "Dos propiedades importantes de conjuntos\n",
    "\n",
    " 1. Distributiva $A \\cap (B \\cup C)= (A \\cap B) \\cup (A \\cap C)$\n",
    "  \n",
    " 2. Distributiva $A \\cup (B \\cap C)= (A \\cup B) \\cap (A \\cup C)$\n",
    " \n",
    " 3. Ley de Morgan $(A \\cap B)^c = A^c \\cup B^c$\n",
    " \n",
    " 4. Ley de Morgan $(A \\cup B)^c = A^c \\cap B^c$\n",
    " \n",
    " \n",
    " ### ***Partes de un conjunto o conjunto potencia:***\n",
    " \n",
    "\n",
    "El conjunto de partes de $A$ es el conjunto de todos los posibles subconjuntos de $A$. Se denota como $\\mathscr{P}(A)$ y se define\n",
    "\n",
    "$$\\mathscr{P}(A) = \\{ B \\mid \\text{B es subconjunto de A} \\}$$\n",
    "\n",
    "Es decir, el conjunto de partes es el conjunto de todos los posibles eventos del espacio muestral.\n",
    "\n",
    "***Ejemplo:*** Si $A=\\{3,5,6\\}$. Entonces, el conjunto potencia o de partes del conjunto está dado por:\n",
    "\n",
    "$$\\mathscr{P}(A)=\\{\\phi,  \\{3\\}, \\{5\\}, \\{6\\}, \\{3,5\\}, \\{3,6\\}, \\{5,6\\}, \\{3,5,6\\} \\}$$\n",
    "Observe que este conjunto tiene $8$ elementos y $A$ tiene 3 elementos."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "I9H06WL2apuc"
   },
   "source": [
    "## ***Probabilidad.***\n",
    "\n",
    "El concepto de probabilidad esta asociado a una medida intuitiva de la posibilidad de que un evento ocurra. De esta manera vamos a definir la probabilidad de que un evento $A$ ocurra de la siguiente forma:\n",
    "\n",
    "***Definición (Probabilidad):***\n",
    "\n",
    "Supongamos que un experimento aleatorio con espacio muestral $\\Omega$ todos los elementos de $\\Omega$ tienen las mismas posibilidades de ocurrencia (es decir, equiprobable). Se define la probabilidad clásica (o de Laplace) de un evento $A \\subseteq \\Omega$ como:\n",
    "\n",
    "$$P(A) =  \\dfrac{\\text{numero de casos favorables}}{\\text{numero de casos\n",
    "posibles}}= \\dfrac{\\# A}{\\# \\Omega}$$\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "8yF1Kk5lQ97G"
   },
   "source": [
    "Veamos algunos ejemplos: \n",
    "\n",
    "***Ejemplo:*** Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado, salga el número 5.\n",
    "\n",
    "Para cualquier ejercicio de probabilidad es necesario identificar lo siguiente.\n",
    "\n",
    "* Experimento: Lanzar un dado.\n",
    "   \n",
    "+ Espacio muestral. Todos los posibles resultados $\\Omega=\\{1,2,3,4,5,6\\}$. Tamaño del espacio muestral es $6$; $\\# \\Omega =6$\n",
    "   \n",
    "+ Evento: $A=\\{\\text{obtener el número 5}\\}=\\{5\\}$. Tamaño del evento $\\# A = 1$.\n",
    "   \n",
    "Dados los anteriores elementos, basta aplicar la fórmula\n",
    "\n",
    "$$P(A)=\\dfrac{\\# A}{\\# \\Omega}=\\dfrac{1}{6}$$\n",
    "La probabilidad de que obtener un cinco en un lanzamiento de un dado es una entre seis, es decir $1/6$.   \n",
    "\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "9nJZ03X4RKQW"
   },
   "source": [
    "***Ejemplo:*** Calcular la probabilidad de que al lanzar dos monedas distinguibles al mismo tiempo, por lo menos una muestre cara.\n",
    "\n",
    "Es necesario identificar lo siguiente.\n",
    "\n",
    "* Experimento: Lanzar dos monedas\n",
    "   \n",
    "+ Espacio muestral. Todos los posibles resultados $\\Omega=\\{(c,c), \\, (c,s), \\, (s,c), (s,s) \\}$. Tamaño del espacio muestral es $4$; $\\# \\Omega =4$\n",
    "   \n",
    "+ Evento: $C=\\{\\text{obtener al menos una cara}\\}=\\{(c,s), \\, (s,c), \\, (c,c)\\}$. Tamaño del evento $\\# C = 3$.\n",
    "   \n",
    "Dados los anteriores elementos, basta aplicar la fórmula\n",
    "\n",
    "$$P(A)=\\dfrac{\\# C}{\\# \\Omega}=\\dfrac{3}{4}$$\n",
    "La probabilidad de obtener una cara en el lanzamiento de dos monedas es $0.75$. Es decir, una posibilidad del $75\\%$.  \n",
    "\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "WlI2Kl9hRPCA"
   },
   "source": [
    "***Ejemplo:*** Calcular la probabilidad de que al lanzar dos dados distinguibles la suma de las caras superiores sea siete.\n",
    "\n",
    "Es necesario identificar lo siguiente.\n",
    "\n",
    "* Experimento: Lanzar dos dados que se distinguen.\n",
    "   \n",
    "+ Espacio muestral. Todos los posibles resultados $\\Omega=\\{(1,1), \\, (1,2), \\, (1,3), \\dots, (6,6) \\}= \\{(x,y) \\mid x,y=1,2,3, \\dots, 6\\}$. Tamaño del espacio muestral es $36$; $\\# \\Omega =36$\n",
    "   \n",
    "+ Evento: $D=\\{\\text{suma de los resultados es 7}\\}=\\{(1,6),\\, (6,1), \\, (2,5), \\, (5,2), \\, (3,4), \\, (4,3)\\}$. Tamaño del evento $\\# D = 6$.\n",
    "   \n",
    "Dados los anteriores elementos, basta aplicar la fórmula\n",
    "\n",
    "$$P(A)=\\dfrac{\\# D}{\\# \\Omega}=\\dfrac{6}{36}=\\dfrac{1}{6}$$\n",
    "La probabilidad de que la suma de los valores en los dados sea siete es $1/6 \\approx 0,166$.  \n",
    "\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "DYpHq8XeRUDp"
   },
   "source": [
    "***Ejemplo:*** En un grupo de 1000 hombres y de 1500 mujeres se escogen al azar a dos personas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas personas sean mujeres? ¿ Cuál es la probabilidad de escoger un hombre y una mujer?\n",
    "\n",
    "Es necesario identificar lo siguiente.\n",
    "\n",
    "+ Experimento: Escoger dos personas de un conjunto de 2500 personas donde 1000 son hombre y 1500 son mujeres.\n",
    "   \n",
    "+ Espacio muestral. Todos los posibles resultados $\\Omega=\\{(H1,H2),\\, (H1,H3), \\dots (M1,M2), \\, (M1, M3), \\dots , (H1,M1), \\, (H1, M2), \\dots \\}$. Ahora, la preguntas es: ¿Cuál es el tamaño de $\\Omega$ ?\n",
    "   \n",
    "+ Evento: $D=\\{\\text{las personas extraidas sean dos mujeres}\\}=\\{(M1,M2), \\, (M1,M3), \\, (M2,M3), \\dots\\}$. ¿Cuál es el tamaño del evento?\n",
    "   \n",
    "Si desconocemos los tamaños de estos conjuntos no podemos calcular la probabilidad. Para responder estas preguntas requerimos de algunas técnicas de conteo.\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "RY9hapOxRaU6"
   },
   "source": [
    "Existen otras definiciones de probabilidad.\n",
    "\n",
    "**Probabilidad Geométrica:** Dados dos conjuntos acotados $A$ y $\\Omega$, donde $\\Omega$ es el espacio muestral, podemos definir la probabilidad de A, mediante\n",
    "\n",
    "$$P(A)=\\dfrac{\\text{Area de A}}{\\text{Area de} \\, \\Omega}$$\n",
    "\n",
    "**Probabilidad Axiomática** La probabilidad es una función $P$, \n",
    "\n",
    "$$P \\, : \\,   \\text{coleccion de eventos} \\to [0,1]$$\n",
    "que satisface:\n",
    "\n",
    "1. $P(A) \\geq 0$\n",
    "\n",
    "2. $P(\\Omega)=1$\n",
    "\n",
    "3. $P \\left ( \\cup_{k=1}^{\\infty} A_k \\right) = \\sum \\limits_{k=1}^{\\infty} P(A_k)$, para eventos disyuntos dos a dos, es decir, mutuamente excluyentes.\n",
    "\n",
    "Donde $A$ un evento y así mismo $A_{k}$.\n",
    "\n",
    "***Propiedades:***\n",
    "\n",
    "- $P(\\phi)=0$\n",
    "\n",
    "- $P \\left ( \\cup_{k=1}^n A_k \\right)= \\sum \\limits_{k=1}^{n} P(A_k)$, para eventos disyuntos dos a dos.\n",
    "\n",
    "- $P(A^c)=1-P(A)$\n",
    "\n",
    "- Si $A \\subseteq B$ entonces $P(A) \\leq P(B)$. \n",
    "\n",
    "- $P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)$\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "86CjebWXRenK"
   },
   "source": [
    "***Ejemplo: (probabilidad geométrica:)***\n",
    "\n",
    "Se escoge al azar un punto dentro del círculo de radio R. Calcular la proba de que el punto esté más cerca de la circunferencia que del centro del círculo.\n",
    "\n",
    "***Solución:*** \n",
    "\n",
    "Dado que es una circunferecnia de rario $R$, tenemos\n",
    "\n",
    "$\\Omega =$ \"conjunto de todos los puntos dentro del círculo de radio $R$\"\n",
    "\n",
    "$A=$ \"Conjunto de puntos que estar en el anillo presentado en la explicación\"\n",
    "\n",
    "Luego, si $p$ es probabilidad buscada, entonces:\n",
    "\n",
    "$$p=\\frac{\\text{Área de $A$}}{\\text{Área de $\\Omega$}}=\\frac{\\pi*R^2-\\pi*(R/2)^2}{\\pi*R^2}$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 6,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "0.75"
      ]
     },
     "execution_count": 6,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "## Tenemos R=2 a manera de ejemplo puntual.\n",
    "R = 2\n",
    "probabilidad = (np.pi*(R)**2 - np.pi*(R/2)**2)/(np.pi*(R)**2)\n",
    "probabilidad"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "i0BNerTrH5df"
   },
   "source": [
    "## ***Técnicas de Conteo.***\n",
    "\n",
    "Vamos a abordar diferentes elementos básicos de conteo que se usarán para calcular el tamaño de algunas muestras y de esta manera calcular probabilidades. Trabajaremos los siguientes temas:\n",
    "\n",
    "1. Principio Fundamental del Conteo.\n",
    "2. Ordenaciones.\n",
    "3. Combinaciones.\n",
    "4. Permutaciones."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "Xf1MmGPEuKwK"
   },
   "source": [
    "***Principio Fundamental del Conteo.***\n",
    "\n",
    "\n",
    "<div align=\"center\"><img src='https://raw.githubusercontent.com/lacamposm/Diplomado_Metodos_UCentral/main/data/images/conteo12.png' width=600>\n",
    "</div>\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "cB-p9DCgPZnY"
   },
   "source": [
    "### ***Veamos algunos ejemplos:***"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "mhPAp_HfYH1q"
   },
   "source": [
    "#### ***Ejemplo.***\n",
    "\n",
    "<div align=\"center\"><img src='https://raw.githubusercontent.com/lacamposm/Diplomado_Metodos_UCentral/main/data/images/conteo15.png' width=600>\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "ZHHyAnWJYVFv"
   },
   "source": [
    "#### ***Ejemplo.***\n",
    "\n",
    "<div align=\"center\"><img src='https://raw.githubusercontent.com/lacamposm/Diplomado_Metodos_UCentral/main/data/images/conteo13.png' width=600>\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 7,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "320\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "print(10*8*4)  ## Pintas distintas de Profe."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "4jA35HUYYbQN"
   },
   "source": [
    "#### ***Ejemplo.***\n",
    "\n",
    "<div align=\"center\"><img src='https://raw.githubusercontent.com/lacamposm/Diplomado_Metodos_UCentral/main/data/images/conteo14.png' width=600>\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "PuBGlNaDYlMh"
   },
   "source": [
    "#### ***Ejemplo.***\n",
    "\n",
    "<div align=\"center\"><img src='https://raw.githubusercontent.com/lacamposm/Diplomado_Metodos_UCentral/main/data/images/conteo16.png' width=600>\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 8,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "5040"
      ]
     },
     "execution_count": 8,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "## Necesitamos 7!\n",
    "7*6*5*4*3*2*1"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 9,
   "metadata": {
    "colab": {
     "base_uri": "https://localhost:8080/"
    },
    "executionInfo": {
     "elapsed": 7,
     "status": "ok",
     "timestamp": 1681579760462,
     "user": {
      "displayName": "luis andres campos maldonado",
      "userId": "11260189668651664411"
     },
     "user_tz": 300
    },
    "id": "HvpjDi7nJYPl",
    "outputId": "b778fba8-a6d6-427e-def0-2941a07e3c27"
   },
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "720.0"
      ]
     },
     "execution_count": 9,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "## Factorial de un número.\n",
    "factorial(6)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "_gzns7tp5VlE"
   },
   "source": [
    "\n",
    "***Ordenaciones.***\n",
    "\n",
    "Supongamos que tenemos un conjunto con $n$ elementos y deseamos extraer $k$ elementos de uno en uno de manera secuencial, es decir, con orden."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "7ozlvRxHZAzw"
   },
   "source": [
    "#### ***Ejemplo.***\n",
    "\n",
    "<div align=\"center\"><img src='https://raw.githubusercontent.com/lacamposm/Diplomado_Metodos_UCentral/main/data/images/conteo17.png' width=600>\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 10,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "30"
      ]
     },
     "execution_count": 10,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "## Campeón y subcampeón de entre 6 equipo. ##\n",
    "6*5"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 11,
   "metadata": {
    "colab": {
     "base_uri": "https://localhost:8080/"
    },
    "executionInfo": {
     "elapsed": 7,
     "status": "ok",
     "timestamp": 1681580242666,
     "user": {
      "displayName": "luis andres campos maldonado",
      "userId": "11260189668651664411"
     },
     "user_tz": 300
    },
    "id": "yNYP-0fzLDGq",
    "outputId": "c98dd9ef-0340-4527-bc3b-46f56f0c4f7c"
   },
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "30.0"
      ]
     },
     "execution_count": 11,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "## Campeón y subcampeón de entre 6 equipo. ##\n",
    "perm(6, 2,)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "MvHRw58iBCLa"
   },
   "source": [
    "Veamos algunos ejemplos\n",
    "\n",
    "- <font color =\"Blue\">Ejemplo 2.1 </font>¿ Cuántas claves de 5 caracteres se pueden construir con un conjunto de 60 caracteres diferentes?\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "- <font color =\"Blue\">Ejemplo 2.2 </font> En una carrera participan 6 corredores, ¿ de cuántas formas distintas pueden registrarse los 3 primeros lugares?\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "- <font color =\"Blue\">Ejemplo 2.3 </font>En una carrera participan 6 corredores, ¿ de cuántas formas distintas pueden registrarse las seis posiciones?\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 12,
   "metadata": {
    "colab": {
     "base_uri": "https://localhost:8080/"
    },
    "executionInfo": {
     "elapsed": 209,
     "status": "ok",
     "timestamp": 1681580274458,
     "user": {
      "displayName": "luis andres campos maldonado",
      "userId": "11260189668651664411"
     },
     "user_tz": 300
    },
    "id": "jEfV2JsjJ7tn",
    "outputId": "7a3560ef-c831-4a72-b77c-82d362f3863d"
   },
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "El número total de formas es: 777600000\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "## Solución del Ejemplo 2.1\n",
    "## 60*60*60*60*60\n",
    "print(\"El número total de formas es:\", 60**5)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 13,
   "metadata": {
    "colab": {
     "base_uri": "https://localhost:8080/"
    },
    "executionInfo": {
     "elapsed": 187,
     "status": "ok",
     "timestamp": 1681580435617,
     "user": {
      "displayName": "luis andres campos maldonado",
      "userId": "11260189668651664411"
     },
     "user_tz": 300
    },
    "id": "aTbxtr9_KiQ4",
    "outputId": "c56a0e92-721b-475e-b539-ff3f8abb4eb4"
   },
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "El número total de formas es: 120.0\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "## Solución del Ejemplo 2.2\n",
    "## Tenemos una permutación de 6 en 3.\n",
    "print(\"El número total de formas es:\", perm(6,3))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 14,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "El número total de formas es: 720.0\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "## Solución del Ejemplo 2.3\n",
    "print(\"El número total de formas es:\", factorial(6))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 15,
   "metadata": {
    "colab": {
     "base_uri": "https://localhost:8080/"
    },
    "executionInfo": {
     "elapsed": 189,
     "status": "ok",
     "timestamp": 1681580467823,
     "user": {
      "displayName": "luis andres campos maldonado",
      "userId": "11260189668651664411"
     },
     "user_tz": 300
    },
    "id": "9QUKHs50K_B-",
    "outputId": "7b3d40f1-53d4-468f-fc95-cb0e5e77a324"
   },
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "El número total de formas es: 720.0\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "## Solución del Ejemplo 2.3\n",
    "print(\"El número total de formas es:\", perm(6, 5))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "mrN1eNiTE7Fq"
   },
   "source": [
    "***Combinaciones.***\n",
    "\n",
    "Suponga que se tiene un conjunto de $n$ elementos y se extrae un grupo de $k$ elementos (muestra) donde no importa el orden de los elementos. La pregunta en cuestión es :\n",
    "\n",
    "- ¿cuántas muestras diferentes de $k$ elementos puedo extraer de un conjunto de $n$ elementos si no importa el orden de los elementos?\n",
    "\n",
    "Esto último significa lo siguiente: Supongamos que tenemos el conjunto $\\{carro, casa, perro\\}$, si extraemos grupos de dos elementos podemos formar: $\\{carro, casa\\}$ , $\\{carro, perro\\}$ , $\\{casa, perro\\}$. Observe que el conjunto  $\\{carro, casa\\}$ y $\\{casa, carro\\}$ es el mismo. A esto se refiere el hecho de que no importa el orden."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "6mD496K5ZQdi"
   },
   "source": [
    "<div align=\"center\"><img src='https://raw.githubusercontent.com/lacamposm/Diplomado_Metodos_UCentral/main/data/images/conteo1.png' width=600>\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "lase-RQ4FBRM"
   },
   "source": [
    "***Combinación sin repetición (es decir, sin reemplazo).***\n",
    "\n",
    "Veamos primero, la fórmula para la extracción sin repetición. "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "GaUMq5jqZWcX"
   },
   "source": [
    "<div align=\"center\"><img src='https://raw.githubusercontent.com/lacamposm/Diplomado_Metodos_UCentral/main/data/images/conteo2.png' width=600>\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 16,
   "metadata": {
    "colab": {
     "base_uri": "https://localhost:8080/"
    },
    "executionInfo": {
     "elapsed": 165,
     "status": "ok",
     "timestamp": 1681580777502,
     "user": {
      "displayName": "luis andres campos maldonado",
      "userId": "11260189668651664411"
     },
     "user_tz": 300
    },
    "id": "d2wXlx-GJrUY",
    "outputId": "f8b32ed9-44fb-4ba4-da3f-43bbfaca7d0a"
   },
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "252.0"
      ]
     },
     "execution_count": 16,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "## Ejemplo de C(10,5) con python (scipy.special) comb(10,5)\n",
    "## Combinación de N con k ---> comb(N,k)\n",
    "comb(10,5)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "Fr_NIljdReSa"
   },
   "source": [
    "### Veamos algunos ejemplos:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "w4QzNFcyZhVs"
   },
   "source": [
    "<div align=\"center\"><img src='https://raw.githubusercontent.com/lacamposm/Diplomado_Metodos_UCentral/main/data/images/conteo3.png' width=600>\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 17,
   "metadata": {
    "colab": {
     "base_uri": "https://localhost:8080/"
    },
    "executionInfo": {
     "elapsed": 27,
     "status": "ok",
     "timestamp": 1681576754760,
     "user": {
      "displayName": "luis andres campos maldonado",
      "userId": "11260189668651664411"
     },
     "user_tz": 300
    },
    "id": "t9uWWUddNAd1",
    "outputId": "6b7f9b61-985b-4699-a687-4bc602381e27"
   },
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "La cantidad de comites es: 4845.0\n",
      "**************************************************\n",
      "Se intercambiaron 15.0 saludos\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "## Solución Problema 1.\n",
    "print(\"La cantidad de comites es:\", comb(20,4))\n",
    "## Solución Problema 2.\n",
    "print(\"*\"*50)\n",
    "print(\"Se intercambiaron\", comb(6,2), \"saludos\")"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "rJ9U76KeGll3"
   },
   "source": [
    "***Combinación con repetición( es decir, con reemplazo).***\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "7M0M6G9eZrY_"
   },
   "source": [
    "<div align=\"center\"><img src='https://raw.githubusercontent.com/lacamposm/Diplomado_Metodos_UCentral/main/data/images/conteo4.png' width=600>\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "YfiXMdpOR90C"
   },
   "source": [
    "### ***Veamos algunos ejemplos:***"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "q5jpwV0iZx-2"
   },
   "source": [
    "<div align=\"center\"><img src='https://raw.githubusercontent.com/lacamposm/Diplomado_Metodos_UCentral/main/data/images/conteo5.png' width=600>\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 18,
   "metadata": {
    "colab": {
     "base_uri": "https://localhost:8080/"
    },
    "executionInfo": {
     "elapsed": 412,
     "status": "ok",
     "timestamp": 1681580799741,
     "user": {
      "displayName": "luis andres campos maldonado",
      "userId": "11260189668651664411"
     },
     "user_tz": 300
    },
    "id": "ETA0nDHLSIhX",
    "outputId": "471933b1-2789-4bc5-ed67-f6a7f13f16ff"
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "## Celda para probar"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 19,
   "metadata": {
    "colab": {
     "base_uri": "https://localhost:8080/"
    },
    "executionInfo": {
     "elapsed": 178,
     "status": "ok",
     "timestamp": 1681580803834,
     "user": {
      "displayName": "luis andres campos maldonado",
      "userId": "11260189668651664411"
     },
     "user_tz": 300
    },
    "id": "_kO0s7bPSIVn",
    "outputId": "85b2d94f-d61e-47a8-d31c-c4be9244b40d"
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "## Celda para probar"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "pkGlbVMaGCyN"
   },
   "source": [
    "***Permutaciones.***\n",
    "\n",
    "Seguimos con el concepto de permutación. Suponga que se tiene un conjunto de $n$ elementos y nos preguntamos\n",
    "\n",
    "¿De cuántas formas se pueden ordenar los $n$ elementos?\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "fMOPrO8pZ3jZ"
   },
   "source": [
    "<div align=\"center\"><img src='https://raw.githubusercontent.com/lacamposm/Fundamentos_Analitica/main/images/conteo6.png' width=600>\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "PukExClpSXQa"
   },
   "source": [
    "***Permutaciones sin repetición.***\n",
    "\n",
    "En este caso vamos a suponer que tenemos n elementos los cuales los vamos a ordenar y supondremos que en este conjunto no hay elementos repetidos."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "4hlZw4FOZ_T1"
   },
   "source": [
    "<div align=\"center\"><img src='https://raw.githubusercontent.com/lacamposm/Diplomado_Metodos_UCentral/main/data/images/conteo7.png' width=600>\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "lgqNu6vSSfqW"
   },
   "source": [
    "## ***Veamos unos ejemplos.***"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "ibFFxy4OaBxR"
   },
   "source": [
    "<div align=\"center\"><img src='https://raw.githubusercontent.com/lacamposm/Diplomado_Metodos_UCentral/main/data/images/conteo8.png' width=600>\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 20,
   "metadata": {
    "colab": {
     "base_uri": "https://localhost:8080/"
    },
    "executionInfo": {
     "elapsed": 184,
     "status": "ok",
     "timestamp": 1681580814545,
     "user": {
      "displayName": "luis andres campos maldonado",
      "userId": "11260189668651664411"
     },
     "user_tz": 300
    },
    "id": "eHVBoWBiSnjF",
    "outputId": "300d3414-2d98-4eb4-e604-6ec86704bc80"
   },
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "120.0"
      ]
     },
     "execution_count": 20,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "## Celda para probar\n",
    "factorial(5)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 21,
   "metadata": {
    "colab": {
     "base_uri": "https://localhost:8080/"
    },
    "executionInfo": {
     "elapsed": 185,
     "status": "ok",
     "timestamp": 1681580822058,
     "user": {
      "displayName": "luis andres campos maldonado",
      "userId": "11260189668651664411"
     },
     "user_tz": 300
    },
    "id": "8Puxl66-Spod",
    "outputId": "46bf7c15-39e8-4eb2-dfc9-fcf160a3ff36"
   },
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "720.0"
      ]
     },
     "execution_count": 21,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "## Celda para probar\n",
    "factorial(6)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "sq1SJUtADnoB"
   },
   "source": [
    "***Permutaciones con repetición.***\n",
    "\n",
    "En este caso vamos a suponer que tenemos $n$ elementos en los cuales hay elementos repetidos.\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "hwR650xtaIbb"
   },
   "source": [
    "<div align=\"center\"><img src='https://raw.githubusercontent.com/lacamposm/Diplomado_Metodos_UCentral/main/data/images/conteo9.png' width=600>\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 22,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "## cook ##"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "WFKNPTqNSw-4"
   },
   "source": [
    "## Veamos algunos ejemplos"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "sxurNrx1aK89"
   },
   "source": [
    "<div align=\"center\"><img src='https://raw.githubusercontent.com/lacamposm/Diplomado_Metodos_UCentral/main/data/images/conteo10.png' width=600>\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "eKbXJnxBaQl2"
   },
   "source": [
    "<div align=\"center\"><img src='https://raw.githubusercontent.com/lacamposm/Diplomado_Metodos_UCentral/main/data/images/conteo11.png' width=600>\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "id": "6q9KwQGGAW1d"
   },
   "source": [
    "## ***Piense en como resolver los siguientes ejercicios.***\n",
    "\n",
    "1.  Una  clase  consta  de  seis  niñas  y  10  niños.  Si  se  escoge  un  comité  de  tres  al azar, hallar la probabilidad de: a) Seleccionar tres niños, b) Seleccionar exactamente dos niños y una niña. c) Seleccionar por lo menos un niño.\n",
    "2. En una baraja de 52 cartas. Tenemos cuatro palos, numerados del 1 al 10 y además J,Q,K. ¿Cuántas manos diferentes de cinco cartas se pueden formar?\n",
    "\n",
    "3. ¿Cuántas apuestas se pueden hacer en el Baloto? Tenga en cuenta que son 43 números y se escogen 5.\n",
    "\n",
    "4.  Tenemos un grupo compuesto por 6 hombres y 8 mujeres. Calcular:\n",
    "\n",
    "   + ¿De cuántas formas se puede escoger 4 hombres y 5 mujeres.\n",
    "   \n",
    "   + ¿De cuántas formas se puede escoger un grupo formado por 3 hombres y 4 mujeres, si en el grupo debe estar una mujer determinada.\n",
    "   \n",
    "5. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 9 niñas en una fila de 9 asientos?\n",
    "\n",
    "6. ¿De cuántas formas pueden quedar clasificados 3 equipos de fútbol que participan en un torneo de 10 equipos? \n",
    "\n",
    "7. ¿Cuántas placas de 3 letras y tres números se pueden formar?\n",
    "\n",
    "8. ¿Cuántas números pares de tres cifras se pueden formar con los números {0,1,2,…7}\n"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "colab": {
   "provenance": []
  },
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3 (ipykernel)",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.10.11"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 1
}