Используется OAuth официального приложения ЯМ которое после входа перенаправляет на redirect_uri/Callback URI (music.yandex.ru). Расширение перехватывает это перенаправление и достаёт токен позволяя его удобно скопировать.
Спасибо @kiborg-samoubiytsa за начальную реализацию расширения для получения токена.