/
algoritmes.tex
58 lines (47 loc) · 2.44 KB
/
algoritmes.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
\documentclass[main.tex]{subfiles}
\begin{document}
\chapter{Algoritmes}
\label{cha:algoritmes}
\section{Continu\"iteit in $\mathbb{R}$}
\label{sec:continuiteit-mathbbr}
\subsection{Bewijzen dat een functie continu is aan de hand van de definitie}
\label{sec:bewijzen-dat-een}
\subsubsection{Abstract}
Zij $f$ een functie:
\[ f:\ A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}:\ x \mapsto f(x) \]
Bewijs dat $f$ continu is over $A$.
\begin{itemize}
\item Kies een willekeurige $a \in A$ om de continu\"iteit over heel $A$ te bewijzen.\needed
\item Maak een afschatting voor $|f(x)-f(a)|$ voor een willekeurige $x \in A$ op basis van het voorschrift van $f$.
\item Zorg dat in de afschatting ergens $|x-a|$ voorkomt.
\item Optioneel: Maak gepaste afschattingen (naar onder) voor de overblijvende voorkomens van $x$ buiten de uitdrukking $|x-a|$, in het achterhoofd houdende dat $|x-a|$ willekeurig klein mag gekozen worden.
\item Kies een willekeurige $\epsilon$ (uit de definitie van continu\"iteit).
\item Kies dan $\delta$ zodat door $|x-a|$ te vervangen in de afschatting van $|f(x)-f(a)|$ er enkel nog $\epsilon$ overblijft. Zorg dat in de uitdrukking voor $\delta$ geen $x$ meer voorkomt.
$\delta$ is dus een uitdrukking in $a$ en $\epsilon$.
\item Besluit dat voor de gekozen $\delta$ uit $|x-a|$ volgt dat $|f(x)-f(a)|$ kleiner is dan $\epsilon$.
\end{itemize}
\feed
\subsubsection{Voorbeeld}
Beschouw de functie $f_{b}$:
\[ f_{b}:\ \mathbb{R}\setminus \{ b \} \rightarrow \mathbb{R}:\ x \mapsto \frac{1}{x-b} \]
Bewijs dat $f_{b}$ continu is.
\begin{proof}
We overlopen simpelweg de beschreven stappen.
\begin{itemize}
\item Kies een wilekeurige $a \in \mathbb{R}\setminus \{ b \}$.
\item Beschouw $|f(x)-f(a)|$ voor een willekeurige $x \in \mathbb{R}\setminus \{ b \}$:
\[ |f(x)-f(a)| = \left|\frac{1}{x-b} - \frac{1}{a-b}\right| = \frac{|(a-b) - (x-b)|}{|x-b||a-b|} = \frac{|a-x|}{|x-b||a-b|} \]
\item Voor $|x-a|$ kleiner dan $|a-b|$ geldt nu het volgende:
\[ |x-b| = |x-a+a-b| \le |x-a|+|a-b| \le 2|a-b| \]
\item Kies een willekeurige $\epsilon \in \mathbb{R}_{0}^{+}$.
\item Kies voor $\delta$ nu het minimum van $|a-b|$ en $3|a-b|\epsilon$.
\item Uit $|x-a| < \delta$ geldt nu het volgende:
\[ |f(x)-f(a)| = \frac{|a-x|}{|x-b||a-b|} \le \frac{|a-x|}{3|a-b|} < \frac{\delta}{3|a-b|} \le \frac{3|a-b|\epsilon}{3|a-b|} = \epsilon \]
\end{itemize}
\end{proof}
\feed
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: