/
product-van-metrische-ruimten.tex
38 lines (28 loc) · 1.35 KB
/
product-van-metrische-ruimten.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
\documentclass[main.tex]{subfiles}
\begin{document}
\section{Het product van metrische ruimten}
\label{sec:het-product-van}
\begin{de}
Op een product van twee metrische ruimten $X_{1},d_{X_{1}}$ en $X_{2},d_{X_{2}}$, definieren we de $i$-de \term{selectie-metriek} $d_{i}$ als volgt:
\[ d_{i}:\ X_{1}\times X_{2} \rightarrow \mathbb{R}^{+}:\ ((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})) \mapsto d_{X_{i}}(x_{i},y_{i}) \]
De metriek 'selecteert' met andere woorden het resultaat van \'e\'en van de metrische ruimten.
\end{de}
\begin{opm}
$X_{1}\times X_{2},d_{i}$ is dus volledig als en slechts als $X_{i}$ volledig is.
\end{opm}
\begin{vb}
De volgende functie is een metriek voor een product van twee metrische ruimten $X_{1},d_{X_{1}}$ en $X_{2},d_{X_{2}}$:
\[ d_{+}:\ X_{1}\times X_{2} \rightarrow \mathbb{R}^{+}:\ ((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})) \mapsto d_{X_{1}}(x_{1},y_{1}) + d_{X_{2}}(x_{2},y_{2}) \]
\extra{nagaan dat dit inderdaad een metriek is.}
\end{vb}
\begin{vb}
Het maximum van twee metrieken is, op een productruimte, weer een metriek:
\[ d_{\max}:\ X_{1}\times X_{2} \rightarrow \mathbb{R}^{+}:\ ((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})) \mapsto \max\{ d(x_{1},y_{1}), d(x_{2},y_{2})\} \]
\extra{nagaan dat dit echt een metriek is}
\end{vb}
\extra{city-block metriek op productruimten}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: