Add 欧拉数（E_n）以及相关内容

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页面英文名

Euler number

我希望能添加的内容是

欧拉数（E_n）。
添加内容应为一个页面。

• 本Issue与（[内容有误] Eulerian number词条名与词条内容缺乏一致性 #4012 ）相关。
• 内容上可以与伯努利数（https://oi-wiki.org/math/combinatorics/bernoulli/ ）相关。

我了解到的相关参考资料有

尚未参考的部分

参见
https://mathworld.wolfram.com/EulerNumber.html
欧拉数（E_n）是双曲正割函数的展开式系数。对于正切、余切、余割三个函数，展开式系数都与伯努利数相关，欧拉数（E_n）本身也和伯努利数密切相关。
（纠正一个之前没注意到写了许久的小错误）
也可以参见OEIS上关于上述数列的描述（相关数列请自行搜索）：
http://oeis.org/
其他来源还可以参考《组合数学》、《特殊函数概论》等等。

已经参考的部分

可以参见Entringer Number：
https://mathworld.wolfram.com/EntringerNumber.html
也可以参见Seidel-Entringer-Arnold Triangle：
https://mathworld.wolfram.com/Seidel-Entringer-ArnoldTriangle.html
还有
https://mathworld.wolfram.com/EulerZigzagNumber.html

[Great-designer]

本issue讨论承接 #4012

[Great-designer]

这几天看了看，感觉Euler number和伯努利数放在一起。
恩廷格数另起一个页面续在Euler number后面，内容顺序按照“恩廷格数-Seidel-Entringer-Arnold Triangle-Euler Zigzag Number”比较合理。
顺便组合数学部分的内容排布顺序也调整调整……整体挪到“多项式和生成函数后面”，作为生成函数续章。

顺序是
组合数学:
- 排列组合
——阶乘必须第一个讲——
- 抽屉原理
- 容斥原理
——两个原理放在一起，抽屉比容斥简单——
- 康托展开
——作为过渡，后面的顺序不用动——
- 卡特兰数
- 斯特林数
- 贝尔数
- 伯努利数
- Euler Number
- 恩廷格数
- Eulerian Number
- 分拆数

[Great-designer]

目前恩廷格数部分已经完成搭建，即参考资料的
https://mathworld.wolfram.com/EntringerNumber.html
https://mathworld.wolfram.com/Seidel-Entringer-ArnoldTriangle.html
https://mathworld.wolfram.com/EulerZigzagNumber.html
已经全部参考完毕。

Entringer Number -- from Wolfram MathWorld

1 0 1 0 1 1 0 1 2 2 0 2 4 5 5 (1) The Entringer numbers E(n,k) (OEIS A008281) are the number of permutations of {1,2,...,n+1}, starting with k+1, which, after initially falling, alternately fall then rise. The Entringer numbers are given by E(0,0) = 1 (2) E(n,0) = 0 (3) together with the recurrence relation E(n,k)=E(n,k-1)+E(n-1,n-k). (4) A suitably arranged number triangle of these numbers is known as the Seidel-Entringer-Arnold triangle. The numbers A(n)=E(n,n)...

Seidel-Entringer-Arnold Triangle -- from Wolfram MathWorld

The Seidel-Entringer-Arnold triangle is the number triangle consisting of the Entringer numbers E_(n,k) arranged in "ox-plowing" order, E_(00)E_(10)->E_(11)E_(22)<-E_(21)<-E_(20)E_(30)->E_(31)->E_(32)->E_(33)E_(44)<-E_(43)<-E_(42)<-E_(41)<-E_(40) giving 10->11<-1<-00->1->2->25<-5<-4<-2<-0 (OEIS A008280). The plot above shows the binary representations for the first 255 (top figure) and 511 (bottom figure) terms of a flattened Seidel-Entringer-Arnold triangle.

Euler Zigzag Number -- from Wolfram MathWorld

The number of alternating permutations for n elements is sometimes called an Euler zigzag number. Denote the number of alternating permutations on n elements for which the first element is k by E(n,k). Then E(1,1)=1 and E(n,k)={0 for k>=n or k<1; E(n,k-1)+E(n-1,n-k) otherwise. (1) where E(n,k) is an Entringer number.

[Great-designer]

目前：

• Entringer Number中若干个使用双反斜杠换行的数表都未能成功换行。如果可以的话，可以将箭头“->”和“<-”一并改为latex中的左右箭头记号。
• 如果能将Entringer Number一文中所有的OEIS加上相应外链，似乎更加合理。

一段时间内无法处理，先记录在这。

[Junyan721113]

目前：

• Entringer Number中若干个使用双反斜杠换行的数表都未能成功换行。如果可以的话，可以将箭头“->”和“<-”一并改为latex中的左右箭头记号。
• 如果能将Entringer Number一文中所有的OEIS加上相应外链，似乎更加合理。

一段时间内无法处理，先记录在这。

左右箭头记号是否加入格式手册

[Great-designer]

鉴于 #4572 的 conflicts 确实无法修正，故将：

• 增加欧拉数
• 移动欧拉函数
  拆为两个议题，同时旧的无法修正 conflicts 的 pr 决定关闭，并将原文附在下方。若有好心人愿意接手，可以继续改进。

[Great-designer]

/math/prime /math/number-theory/prime
/math/meissel-lehmer /math/number-theory/meissel-lehmer
/math/gcd /math/number-theory/gcd
/math/euler /math/number-theory/euler
/math/euler /math/number-theory/euler-totient
/math/sieve /math/number-theory/sieve
/math/fermat /math/number-theory/fermat
/math/euclidean /math/number-theory/euclidean
@@ -89,6 +89,7 @@
/math/quick-pow /math/binary-exponentiation
/math/sign /math/notation
/math/expectation /math/probability/basic-conception
/math/number-theory/euler /math/number-theory/euler-totient
/geometry/polar-coordinate/ /math/coordinate
/graph/tree-misc /graph/tree-centroid
/graph/bridge /graph/cut

[Great-designer]

???+ warning "注意"
下文中的欧拉数特指 Euler number。注意与后文的 Eulerian Number，以及 Euler's number（指与欧拉相关的数学常数例如 $\gamma$ 或 $\mathrm{e}$）作区分。

欧拉数（Euler number） 是与伯努利数形式相似的一个数列。

欧拉多项式

欧拉多项式 $E_n(x)$ 由展开式给出：

$$ \frac{2\mathrm{e}^{xt}}{\mathrm{e}^t+1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}E_n(x) $$

左方的函数称为欧拉多项式的生成函数。级数在 $|t|&lt;\pi$ 时收敛，因为左方函数距离 $t=0$ 最近的奇点是 $t=\pm \pi \mathrm{i}$。

在欧拉多项式的生成函数中，令 $x$ 取 $\frac{1}{2}$，等式左端变为 $t$ 的偶函数，右边不出现 $t$ 的奇次方，有：

$$ \frac{2\mathrm{e}^{\frac{t}{2}}}{\mathrm{e}^t+1}=\operatorname{sech} \frac{t}{2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{E_n}{n!}{\left(\frac{t}{2}\right)}^n $$

其中欧拉数定义为：

$$ E_n=2^nE_n\left(\frac{1}{2}\right) $$

所有的奇数项欧拉数均为 $0$。因此，欧拉数是双曲正割函数的展开式系数。

前几个欧拉多项式为：

$$ E_0(x)=1 $$

$$ E_1(x)=x-\frac{1}{2} $$

$$ E_2(x)=x(x-1) $$

$$ E_3(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x^2-x-\frac{1}{2}\right) $$

$$ E_4(x)=x(x-1)(x^2-x-1) $$

$$ E_5(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)(x^4-2x^3-x^2+2x+1) $$

$$ E_6(x)=x(x-1)(x^4-2x^3-2x^2+3x+3) $$

从下标为 $0$ 开始的欧拉数的前几项为：$1$、$0$、$-1$、$0$、$5$、$0$、$-61$、$0$、$1385$、$0$、$-50521$、$0$、$2702765$、$0$、$-199360981$、$0$、$19391512145$、$0$、$-2404879675441$、$0$、……

对比：

伯努利多项式 $B_n(x)$：

$$ \frac{t\mathrm{e}^{xt}}{\mathrm{e}^t-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}B_n(x) $$

左方的函数称为伯努利多项式的生成函数。级数在 $|t|&lt;2\pi$ 时收敛，因为左方函数距离 $t=0$ 最近的奇点是 $t=\pm 2\pi \mathrm{i}$。

在伯努利多项式的生成函数中，令 $x$ 取 $0$，等式左端变为：

$$ \frac{t}{\mathrm{e}^t-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}B_n $$

其中伯努利数定义为：

$$ B_n=B_n(0) $$

即为伯努利多项式的常数项。除了下标为 $1$ 的伯努利数为 $-\frac{1}{2}$ 以外，所有的奇数项伯努利数均为 $0$。

前几个伯努利多项式为：

$$ B_0(x)=1 $$

$$ B_1(x)=x-\frac{1}{2} $$

$$ B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6} $$

$$ B_3(x)=x(x-1)\left(x-\frac{1}{2}\right)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x $$

$$ B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30} $$

$$ B_5(x)=x(x-1)\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x^2-x-\frac{1}{3}\right)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x $$

$$ B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{2}{5}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42} $$

从下标为 $0$ 开始的伯努利数的前几项为：$1$、$-\frac{1}{2}$、$\frac{1}{6}$、$0$、$-\frac{1}{30}$、$0$、$\frac{1}{42}$、$0$、$-\frac{1}{30}$、$0$、$\frac{5}{66}$、$0$、$-\frac{691}{2730}$、$0$、$\frac{7}{6}$、$0$、$-\frac{3617}{510}$、$0$、$\frac{43867}{798}$、$0$、$-\frac{174611}{330}$、$0$、……

欧拉多项式与欧拉数的递推关系

欧拉多项式的生成函数可以整理为：

$$ \frac{2\mathrm{e}^{\frac{t}{2}}\mathrm{e}^{\left(x-\frac{1}{2}\right)t}}{\mathrm{e}^t+1}=\sum_{k=0}^\infty\frac{E_k}{k!}{\left(\frac{t}{2}\right)}^k\sum_{t=0}^\infty\frac{{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^l}{l!}t^l=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{E_k}{2^k}\dbinom{n}{k}{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^{n-k} $$

因此欧拉多项式的显式表达为：

$$ E_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{E_k}{2^k}\dbinom{n}{k}{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^{n-k} $$

这个等式可以形式上记为：

$$ E_n(x)={\left(\frac{E_k}{2}+x-\frac{1}{2}\right)}^n $$

在前文欧拉数的双曲正割定义法中，将 $t$ 换为 $2t$，可以得到：

$$ 1=\frac{\mathrm{e}^t+\mathrm{e}^{-t}}{2}\sum_{l=0}^\infty\frac{E_l}{l!}t^l=\sum_{r=0}^\infty\frac{t^{2r}}{(2r)!}\sum_{l=0}^\infty\frac{E_l}{l!}t^l=\sum_{k=0}^\infty\frac{t^{2k}}{(2k)!}\sum_{l=0}^k\frac{E_l(2k)!}{l!(2k-l)!} $$

于是欧拉数 $E_k$ 可以用递推关系求出。初值有：

$$ E_0=1 $$

对于至少为 $1$ 的 $k$ 有：

$$ \sum_{l=0}^k \dbinom{2k}{l} E_l=0 $$

这个等式可以形式上记为：

$$ (E+1)^{2k}=0 $$

对比：

伯努利多项式的生成函数可以整理为：

$$ \frac{t\mathrm{e}^{xt}}{\mathrm{e}^t-1}=\sum_{k=0}^\infty\frac{t^k}{k!}B_k\sum_{l=0}^\infty\frac{t^l}{l!}x^l=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} B_k x^{n-k} $$

因此伯努利多项式的显式表达为：

$$ B_n(x)=\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} B_k x^{n-k} $$

这个等式可以形式上记为：

$$ B_n(x)={(B+x)}^n $$

在伯努利数的定义中，有：

$$ 1=\frac{\mathrm{e}^t-1}{t}\sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k!}B_k=\sum{l=1}^\infty\frac{t^{l-1}}{l!}\sum\frac{t^k}{k!}B_k=\sum_{n=1}^\infty t^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{B_k}{k!(n-k)!} $$

于是伯努利数 $B_k$ 可以用递推关系求出。初值有：

$$ B_0=1 $$

对于至少为 $2$ 的 $n$ 有：

$$ \sum_{k=0}^{n-1} \dbinom{n}{k} B_k=0 $$

这个等式可以形式上记为：

$$ {(B+1)}^n-B_n=0 $$

求和公式

对于欧拉多项式，有均值关系：

$$ E_n(x+1)+E_n(x)=2x^n $$

根据上式有求和公式：

$$ \sum_{s=1}^m {(-1)}^s s^n=\frac{1}{2}\sum_{s=1}^m {(-1)}^s(E_n(s+1)+E_n(s))=\frac{1}{2}({(-1)}^m E_n(m+1)-E_n(1)) $$

因此交错的 $n$ 次方的部分和是欧拉多项式。

这里应用的求和是整数取值，然而欧拉多项式在 $\frac{1}{2}$ 处取值才是欧拉数。考虑半整数取值，有：

$$ \sum_{s=1}^m {(-1)}^s\frac{{(2s-1)}^n}{2^n}=\frac{1}{2}\left({-1}^m E_n\left(m+\frac{1}{2}\right)-E_n\left(\frac{1}{2}\right)\right) $$

$$ \sum_{s=1}^m {(-1)}^s {(2s-1)}^n=\frac{1}{2}\left({-1}^m 2^n E_n\left(m+\frac{1}{2}\right)-E_n\right) $$

因此交错的奇数 $n$ 次方的部分和是欧拉多项式，并且式中减去的一项是欧拉数。

对比：

对于 $n$ 至少为 $1$ 的伯努利多项式，有差分关系：

$$ B_n(x+1)=B_n(x)+nx^{n-1} $$

根据上式，对于 $n$ 至少为 $1$ 有求和公式：

$$ \sum_{s=1}^m s^m=\frac{1}{n+1}(B_{n+1}(m+1)-B_{n+1}) $$

因此 $n$ 次方的部分和是伯努利多项式，并且式中减去的一项是伯努利数。

欧拉多项式的导数

欧拉多项式的 $p$ 阶导数为：

$$ \frac{\mathrm{d}^p}{\mathrm{d}x^p}E_n(x)=\frac{n!}{(n-p)!}E_{n-p}(x) $$

欧拉多项式的积分为：

$$ \int_a^x E_n(y)\mathrm{d}y=\frac{1}{n+1}(E_{n+1}(x)-E_{n+1}(a)) $$

对比：

伯努利多项式的 $p$ 阶导数为：

$$ \frac{\mathrm{d}^p}{\mathrm{d}x^p}B_n(x)=\frac{n!}{(n-p)!}B_{n-p}(x) $$

伯努利多项式的积分为：

$$ \int_a^x B_n(y)\mathrm{d}y=\frac{1}{n+1}(B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)) $$

欧拉多项式的互余宗量关系

对于欧拉多项式有：

$$ E_n(1-x)={(-1)}^n E_n(x) $$

对比：

对于伯努利多项式有：

$$ B_n(1-x)={(-1)}^n B_n(x) $$

正割函数的展开式

由定义式的双曲正割，通过代换变为正割，可以得到：

$$ \sec t=\sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n\frac{E_{2n}}{(2n)!}t^{2n} $$

对比：

由伯努利数的定义式可以得到余切、正切和余割函数的展开式：

$$ \frac{t}{2}\cot\frac{t}{2}=1+\sum_{n=1}^\infty {(-1)}^n\frac{B_{2n}}{(2n)!}t^{2n} $$

$$ \frac{t}{2}\tan\frac{t}{2}=\frac{t}{2}\cot\frac{t}{2}-t\cot t=\sum_{n=1}^\infty {(-1)}^n\frac{(1-2^{2n})B_{2n}}{(2n)!}t^{2n} $$

$$ t\csc t=\frac{t}{2}\cot\frac{t}{2}+\frac{t}{2}\tan\frac{t}{2}=1+\sum_{n=1}^\infty {(-1)}^n\frac{(2-2^{2n})B_{2n}}{(2n)!}t^{2n} $$

[Great-designer]

• 素数: math/number-theory/prime.md
  - 最大公约数: math/number-theory/gcd.md
  - 数论分块: math/number-theory/sqrt-decomposition.md
  - 欧拉函数: math/number-theory/euler.md
  - 欧拉函数: math/number-theory/euler-totient.md
  - 筛法: math/number-theory/sieve.md
  - Meissel-Lehmer 算法: math/number-theory/meissel-lehmer.md
  - 分解质因数: math/number-theory/pollard-rho.md
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  - 斯特林数: math/combinatorics/stirling.md
  - 贝尔数: math/combinatorics/bell.md
  - 伯努利数: math/combinatorics/bernoulli.md
  - 欧拉数: math/combinatorics/euler-number.md
  - Entringer Number: math/combinatorics/entringer.md
  - Eulerian Number: math/combinatorics/eulerian.md
  - 分拆数: math/combinatorics/partition.md