SciPy 模块scipy.fft是numpy.fft的更全面的超集，包括了一个基本的例程。
fft(a[, n, axis, norm]) |
计算一维离散傅里叶变换。 |
|---|---|
ifft(a[, n, axis, norm]) |
计算一维逆离散傅里叶变换。 |
fft2(a[, s, axes, norm]) |
计算二维离散傅里叶变换。 |
ifft2(a[, s, axes, norm]) |
计算二维逆离散傅里叶变换。 |
fftn(a[, s, axes, norm]) |
计算 N 维离散傅里叶变换。 |
ifftn(a[, s, axes, norm]) |
计算 N 维逆离散傅里叶变换。 |
rfft(a[, n, axis, norm]) |
为实输入计算一维离散傅里叶变换。 |
|---|---|
irfft(a[, n, axis, norm]) |
计算rfft的逆。 |
rfft2(a[, s, axes, norm]) |
计算实数组的二维 FFT。 |
irfft2(a[, s, axes, norm]) |
计算rfft2的逆。 |
rfftn(a[, s, axes, norm]) |
为实输入计算 N 维离散傅里叶变换。 |
irfftn(a[, s, axes, norm]) |
计算rfftn的逆。 |
hfft(a[, n, axis, norm]) |
计算具有厄米对称性的信号的 FFT，即实谱。 |
|---|---|
ihfft(a[, n, axis, norm]) |
计算具有厄米对称性的信号的逆 FFT。 |
fftfreq(n[, d]) |
返回离散傅里叶变换的采样频率。 |
|---|---|
rfftfreq(n[, d]) |
返回离散傅里叶变换的采样频率（在与 rfft、irfft 一起使用时）。 |
fftshift(x[, axes]) |
将零频率分量移至频谱的中心。 |
ifftshift(x[, axes]) |
fftshift的反函数。 |
傅里叶分析基本上是一种将函数表示为周期性分量之和，并从这些分量中恢复函数的方法。当函数及其傅里叶变换都被替换为离散化的对应物时，就称为离散傅里叶变换(DFT)。DFT 在数值计算中已经成为一种主要方法，部分原因是计算 DFT 的一个非常快速的算法，称为快速傅里叶变换(FFT)，这个算法早在高斯(1805 年)之前就被知晓，并由库利和图基以其当前形式公之于众[CT]。Press 等人[NR]提供了对傅里叶分析及其应用的易于理解的介绍。
由于离散傅里叶变换将输入分解为在离散频率上起作用的分量，所以它在数字信号处理中有很多应用，例如用于滤波，在这种情况下，变换的输入被称为一个信号，它存在于时域中。输出被称为频谱或变换，存在于频域中。
有很多方法可以定义离散傅里叶变换(DFT)，可能会涉及到指数符号的正负、归一化等。在这个实现中，DFT 的定义如下：
[A_k = \sum_{m=0}^{n-1} a_m \exp\left{-2\pi i{mk \over n}\right} \qquad k = 0,\ldots,n-1.]
DFT 一般来说是针对复数输入和输出定义的，线性频率为(f)的单频分量由复指数表示为(a_m = \exp{2\pi i,f m\Delta t})，其中(\Delta t)为采样间隔。
结果中的值遵循所谓的“标准”顺序：如果 A = fft(a, n)，那么 A[0] 包含零频率项（信号的总和），对于实数输入总是纯实的。然后 A[1:n/2] 包含正频率项，而 A[n/2+1:] 包含负频率项，按照递减的负频率顺序。对于偶数个输入点，A[n/2] 代表正负奈奎斯特频率，并且对于实数输入总是纯实的。对于奇数个输入点，A[(n-1)/2] 包含最大正频率，而 A[(n+1)/2] 包含最大负频率。例程 np.fft.fftfreq(n) 返回一个数组，其中包含输出元素的频率。例程 np.fft.fftshift(A) 将变换及其频率移动以使零频率分量位于中间，而 np.fft.ifftshift(A) 撤销了该移位。
当输入 a 是时域信号，并且 A = fft(a)，np.abs(A) 是其幅度谱，np.abs(A)**2 是其功率谱。相位谱由 np.angle(A) 获得。
逆 DFT 被定义为
[a_m = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}A_k\exp\left{2\pi i{mk\over n}\right} \qquad m = 0,\ldots,n-1.]
它与正向变换的指数参数的符号不同，以及默认标准化为 (\frac{1}{n})。
numpy.fft 将 float32 和 complex64 数组分别提升为 float64 和 complex128 数组。对于不提升输入数组的 FFT 实现，请参见scipy.fftpack。
参数norm表示直接/反向变换对的方向和标准化因子。默认的标准化（"backward"）使得直接（正向）变换不经缩放，而反向（逆向）变换经缩放 (\frac{1}{n})。可以通过将关键字参数norm设置为"ortho"获得单位变换，从而使得直接和逆向变换都经缩放 (\frac{1}{\sqrt{n}})。最后，通过将关键字参数norm设置为"forward"，使得直接变换经缩放 (\frac{1}{n})，而逆向变换不经缩放（即与默认的"backward"完全相反）。对于向后兼容性，*None*是默认选项"backward"的别名。
当输入是纯实数时，其变换是埃尔米特的，即频率(f_k)处的分量是频率(-f_k)处分量的复共轭，这意味着对于实数输入，负频率分量中没有任何来自正频率分量中不可从中获取的信息。rfft 函数族旨在对实数输入进行操作，并且通过仅计算正频率分量（包括奈奎斯特频率）利用了此对称性。因此，n输入点会产生n/2+1个复数输出点。这个函数族的逆假设了其输入的对称性，并且对于n个点的输出使用n/2+1个输入点。
相应地，当频谱是纯实时，信号是埃尔米特的。hfft 函数族利用了这种对称性，使用n/2+1输入（时间）域中的复点对n频域中的实点。
在更高维度中，会使用 FFT，例如用于图像分析和滤波。FFT 的计算效率意味着它也可以是计算大型卷积的更快捷方式，利用了时域中卷积等效于频域中逐点相乘的性质。
在二维中，DFT 的定义如下：
[A_{kl} = \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{n=0}^{N-1} a_{mn}\exp\left{-2\pi i \left({mk\over M}+{nl\over N}\right)\right} \qquad k = 0, \ldots, M-1;\quad l = 0, \ldots, N-1,]
它以明显的方式扩展到更高维，而高维中的逆变换也以相同的方式扩展。
[CT]
Cooley, James W., and John W. Tukey, 1965, “The Fast Fourier Transform,” Math. Comput. 19: 297-301.
[NR]
Press, W., Teukolsky, S., Vetterline, W.T., and Flannery, B.P., 2007, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 第 12-13 章。剑桥大学出版社，剑桥，英国。
例如, 请参见各种函数。
fft(a[, n, axis, norm]) |
计算一维离散傅立叶变换。 |
|---|---|
ifft(a[, n, axis, norm]) |
计算一维离散傅立叶逆变换。 |
fft2(a[, s, axes, norm]) |
计算二维离散傅立叶变换。 |
ifft2(a[, s, axes, norm]) |
计算二维离散傅立叶逆变换。 |
fftn(a[, s, axes, norm]) |
计算 N 维离散傅立叶变换。 |
ifftn(a[, s, axes, norm]) |
计算 N 维离散傅立叶逆变换。 |
rfft(a[, n, axis, norm]) |
为实输入计算一维离散傅立叶变换。 |
|---|---|
irfft(a[, n, axis, norm]) |
计算rfft的逆。 |
rfft2(a[, s, axes, norm]) |
计算实数组的二维 FFT。 |
irfft2(a[, s, axes, norm]) |
计算rfft2的逆。 |
rfftn(a[, s, axes, norm]) |
为实输入计算 N 维离散傅立叶变换。 |
irfftn(a[, s, axes, norm]) |
计算rfftn的逆。 |
hfft(a[, n, axis, norm]) |
计算具有共轭对称性的信号的 FFT，即实谱。 |
|---|---|
ihfft(a[, n, axis, norm]) |
计算具有共轭对称性的信号的逆 FFT。 |
fftfreq(n[, d]) |
返回离散傅立叶变换的采样频率。 |
|---|---|
rfftfreq(n[, d]) |
返回离散傅立叶变换的采样频率（用于 rfft、irfft）。 |
fftshift(x[, axes]) |
将零频率分量移至频谱的中心。 |
ifftshift(x[, axes]) |
fftshift的逆。 |
傅里叶分析基本上是一种将函数表示为周期分量之和的方法，并从这些分量中恢复函数。当函数和它的傅里叶变换都用离散化的对应物代替时，它被称为离散傅里叶变换 (DFT)。DFT 已成为数值计算的主要工具之一，部分原因是有一个非常快的计算算法，叫做快速傅里叶变换 (FFT)，它在高斯时期 (1805 年) 就被知晓，并在目前的形式中由库利和图基 [CT] 揭示出来。Press 等人 [NR] 提供了对傅里叶分析及其应用的易懂介绍。
由于离散傅里叶变换将输入分解为在离散频率上有贡献的分量，因此它在数字信号处理中有很多应用，例如滤波，而在此背景下，变换的离散输入通常被称为信号，存在于时域中。输出称为频谱或变换，存在于频域中。
有许多方式来定义 DFT，包括指数的符号、归一化等。在这个实现中，DFT 被定义为
[A_k = \sum_{m=0}^{n-1} a_m \exp\left{-2\pi i{mk \over n}\right} \qquad k = 0,\ldots,n-1.]
DFT 通常用于复数输入和输出，线性频率 (f) 的单频率分量通过复指数 (a_m = \exp{2\pi i,f m\Delta t}) 来表示，其中 (\Delta t) 是采样间隔。
结果中的值按所谓的“标准”顺序排列：如果 A = fft(a, n)，那么 A[0] 包含零频率项 (信号的总和)，对于实数输入，它始终是纯实数的。然后 A[1:n/2] 包含正频率项，A[n/2+1:] 按照逐渐减小的负频率顺序包含负频率项。对于偶数个输入点，A[n/2] 表示正负奈奎斯特频率，对于实数输入，它也是纯实数的。对于奇数个输入点，A[(n-1)/2] 包含最大的正频率，而 A[(n+1)/2] 包含最大的负频率。例程 np.fft.fftfreq(n) 返回一个数组，给出了输出中对应元素的频率。例程 np.fft.fftshift(A) 将变换和它们的频率移位，使得零频率分量位于中间，而 np.fft.ifftshift(A) 则撤消了这种移位。
当输入 a 是一个时域信号，且 A = fft(a)，np.abs(A) 是其幅度谱，np.abs(A)**2 是其功率谱。相位谱可以通过 np.angle(A) 得到。
逆 DFT 被定义为
[a_m = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}A_k\exp\left{2\pi i{mk\over n}\right} \qquad m = 0,\ldots,n-1.]
它与正向变换的差别在于指数参数的符号以及默认的归一化因子 (1/n)。
numpy.fft 将 float32 和 complex64 数组提升为分别的 float64 和 complex128 数组。对于不提升输入数组的 FFT 实现，请参阅 scipy.fftpack.
参数norm指示了一对直接/逆变换的哪个方向被缩放以及使用什么归一化因子。默认的归一化（"backward"）使得直接（正向）变换未缩放，而逆（反向）变换则按 (1/n) 缩放。通过将关键字参数norm设置为"ortho"，可以获得幺正变换，这样直接和逆变换都按 (1/\sqrt{n}) 缩放。最后，将关键字参数norm设置为"forward"将使直接变换按 (1/n) 缩放，而逆变换不进行缩放（即与默认的"backward"完全相反）。None 是默认选项"backward"的一个别名，用于向后兼容性。
当输入纯粹为实数时，其变换是 Hermitian 的，即，在频率(f_k)处的分量是频率(-f_k)处分量的复共轭，这意味着对于实数输入，在负频率分量中没有额外的信息，这些信息在正频率分量中已经可用。rfft 函数族旨在处理实数输入，并通过仅计算正频率分量来利用这种对称性，直至包括奈奎斯特频率。因此，n 个输入点产生 n/2+1 个复数输出点。这个函数族的反变换假设其输入具有相同的对称性，对于 n 个点的输出使用 n/2+1 个输入点。
相应地，当频谱纯粹为实时，信号为 Hermitian。hfft 函数族利用这种对称性，使用 n/2+1 个复数点作为输入（时间）域，用于 n 个实数点的频率域。
在更高维度中，FFT 被用于图像分析和滤波等任务。FFT 的计算效率意味着它也可以是计算大卷积的一种更快捷的方法，利用了时域中的卷积等于频域中按点相乘的属性。
在二维中，DFT 被定义为
[A_{kl} = \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{n=0}^{N-1} a_{mn}\exp\left{-2\pi i \left({mk\over M}+{nl\over N}\right)\right} \qquad k = 0, \ldots, M-1;\quad l = 0, \ldots, N-1,]
这种方式直观地扩展到更高维度，而在更高维度中的逆变换也是以相同的方式扩展的。
[CT]
Cooley, James W., 和 John W. Tukey, 1965, “用于计算复傅里叶级数的算法,” Math. Comput. 19: 297-301.
[NR]
Press, W., Teukolsky, S., Vetterline, W.T., 和 Flannery, B.P., 2007, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, ch. 12-13. 剑桥大学出版社, 剑桥, 英国.
有关例子，请参见各种函数。