paddle.fft 目录下包含飞桨框架支持的快速傅里叶变换的相关 API。具体如下：
- :ref:`标准快速傅里叶变换 <standard_ffts>`
- :ref:`实数傅里叶变换 <real_ffts>`
- :ref:`厄米特傅里叶变换 <hermitian_ffts>`
- :ref:`辅助函数 <helper_functions>`
| API 名称 | API 功能 |
|---|---|
:ref:`paddle.fft.fft <cn_api_paddle_fft_fft>` |
一维离散傅里叶变换 |
:ref:`paddle.fft.ifft <cn_api_paddle_fft_ifft>` |
一维逆向离散傅里叶变换 |
:ref:`paddle.fft.fft2 <cn_api_paddle_fft_fft2>` |
二维离散傅里叶变换 |
:ref:`paddle.fft.ifft2 <cn_api_paddle_fft_ifft2>` |
二维逆向离散傅里叶变换 |
:ref:`paddle.fft.fftn <cn_api_paddle_fft_fftn>` |
N 维离散傅里叶变换 |
:ref:`paddle.fft.ifftn <cn_api_paddle_fft_ifftn>` |
N 维逆向离散傅里叶变换 |
| API 名称 | API 功能 |
|---|---|
:ref:`paddle.fft.rfft <cn_api_paddle_fft_rfft>` |
一维离散实数傅里叶变换 |
:ref:`paddle.fft.irfft <cn_api_paddle_fft_irfft>` |
一维离散实数傅里叶变换的逆变换 |
:ref:`paddle.fft.rfft2 <cn_api_paddle_fft_rfft2>` |
二维离散实数傅里叶变换 |
:ref:`paddle.fft.irfft2 <cn_api_paddle_fft_irfft2>` |
二维离散实数傅里叶变换的逆变换 |
:ref:`paddle.fft.rfftn <cn_api_paddle_fft_rfftn>` |
N 维离散实数傅里叶变换 |
:ref:`paddle.fft.irfftn <cn_api_paddle_fft_irfftn>` |
N 维离散实数傅里叶变换的逆变换 |
| API 名称 | API 功能 |
|---|---|
:ref:`paddle.fft.hfft <cn_api_paddle_fft_hfft>` |
一维离散厄米特傅里叶变换 |
:ref:`paddle.fft.ihfft <cn_api_paddle_fft_ihfft>` |
一维离散厄米特傅里叶变换的逆变换 |
:ref:`paddle.fft.hfft2 <cn_api_paddle_fft_hfft2>` |
二维离散厄米特傅里叶变换 |
:ref:`paddle.fft.ihfft2 <cn_api_paddle_fft_ihfft2>` |
二维离散厄米特傅里叶变换的逆变换 |
:ref:`paddle.fft.hfftn <cn_api_paddle_fft_hfftn>` |
N 维离散厄米特傅里叶变换 |
:ref:`paddle.fft.ihfftn <cn_api_paddle_fft_ihfftn>` |
N 维离散厄米特傅里叶变换的逆变换 |
| API 名称 | API 功能 |
|---|---|
:ref:`paddle.fft.fftfreq <cn_api_paddle_fft_fftfreq>` |
计算傅里叶变换采样频率 |
:ref:`paddle.fft.rfftfreq <cn_api_paddle_fft_rfftfreq>` |
计算傅里叶变换采样频率，用于 rfft, irfft |
:ref:`paddle.fft.fftshift <cn_api_paddle_fft_fftshift>` |
移动零频率项至频谱中心 |
:ref:`paddle.fft.ifftshift <cn_api_paddle_fft_ifftshift>` |
fftshift 的逆变换 |
傅里叶分析是将信号表示为一系列周期性成分，并且从这些周期性成分中还原信号的方法。当信号和傅里叶 变换都被替换成离散化的，这个过程称为离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform, DFT). 因为快速傅里叶变换算法的高效性，傅里叶变换称为数值计算的一个重要支柱。
离散傅里叶变换将离散的输入表示为离散频率的周期性成分之和，在数字信号处理上有广泛的应用，比如滤 波。在数字信号处理的语境中，离散傅里叶变换的输入一般是定义在时域上的，称为信号(signal)，其输出 定义在频域上的，称为频谱(spectrum).
paddle.fft 的离散傅里叶变换中，一维离散傅里叶变换定义如下：
X_{k} = \sigma \sum_{j=0}^{n-1} x_{j} \exp (\delta i 2 \pi \frac{jk}{n})
其中频率为 f （单位：循环每采样间隔）的分量被表示为一个复指数函数 \exp (i 2\pi fj \Delta t), \Delta t 为采样间隔。
n 为傅里叶变换点数，亦即傅里叶变换轴的长度。
\delta 和变换的方向有关，正向变换中，取值为 -1， 逆向变换中，取值为 1.
\sigma 为缩放系数，和变换的方向以及缩放方案有关。paddle.fft 中缩放方案有三种： "forward"，"backward"，"ortho" 之一，默认值为 "backward"。三种缩放模式对应的行为如下：
- "backward": 正向和逆向变换的缩放系数分别为
1和1/n; - "forward": 正向和逆向变换的缩放系数分别为
1/n和1; - "ortho": 正向和逆向变换的缩放系数均为
1/sqrt(n);
输出的结果遵循“标准”排布：
如果 X = fft(x, n), 那么 X[0] 包含 0 频率项（亦即直流分量），对于实数输入来说，
这一项总是实数。X[1: n//2] 包含正频率项，频率以递增顺序排列。X[n//2 + 1:] 包含负
频率项，频率以绝对值从大到小排列。对于傅里叶变换点数为偶数的情况，X[n//2] 同时包含了正和
负的奈奎斯特（Nyquist）频率项，对于实数输入来说，这一项也总是实数。X[(n-1)//2] 为频率最
大的正频率项，`X[(n+1)//2]`为频率绝对值最大的负频率项。
paddle.fft.fftfreq(n) 可以返回频谱中每一项对应的频率值。paddle.fft.fftshift(X)
可以对频谱进行偏移，将零频率移动到中心位置，paddle.fft.fftshift(X) 则是这个变换的逆变
换。
多维离散傅里叶变换的定义如下：
X_{k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{d}} = \sigma \sum_{j_{d}=0}^{n_{d}-1} \cdots \sum_{j_{2}=0}^{n_{2}-1} \sum_{j_{d}=0}^{n_{1}-1} x_{j_{1}, j_{2}, \cdots ,j_{d}} \exp (\delta i 2 \pi \sum_{l=1}^{d} \frac{j_{l}k_{l}}{n_{l}})
d 是傅里叶变换维数。 n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{d} 是每个傅里叶变换轴的长度。
\delta 和变换的方向有关，正向变换中，取值为 -1， 逆向变换中，取值为 1.
\sigma 为缩放系数，和变换的方向以及缩放方案有关。paddle.fft 中缩放方案有三种： "forward"，"backward"，"ortho" 之一，默认值为 "backward"。三种缩放模式对应的行为如下：
- "backward": 正向和逆向变换的缩放系数分别为
1和1/n; - "forward": 正向和逆向变换的缩放系数分别为
1/n和1; - "ortho": 正向和逆向变换的缩放系数均为
1/sqrt(n);
其中
n = \prod_{i=1}^{d} n_{i}
当输入信号为实数信号时，傅里叶变换的结果具有厄米特对称性，亦即频率 f_{k} 上的分量和
-f_{k} 上的分量互为共轭。因此可以利用对称性来减少计算量。实数傅里叶变换
(rfft) 系列的函数是用于实数输入的，并且利用了对称性，只计算正频率项，直到奈奎斯特频率项。
因此，对于实数傅里叶变换，n 个复数输入点只产生 n//2 + 1 个实数输出点。这一系列变换
的逆变换也预设了输入数据具有厄米特对称性，要产生 n 个实数输出点，只需要使用
n//2 + 1 个复数输入点。
与此相对应，当频谱是纯实数时，输入信号具有厄米特对称性。厄米特傅里叶变换（hfft）系列同样
利用对称性，产生 n 个实数输出点，只需要使用 n//2 + 1 个复数输入点。
paddle.fft 中的傅里叶变换函数支持自动微分，使用的方法是维廷格微积分(Wertinger Calculus)。 对于复函数 f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}，paddle 中的惯例是使用 f(z) 对其输入的共轭的偏导数 \frac{\partial f}{\partial z^{*}}.