Mandelbrot_Complexe_correction_vd.ipynb

{"cells":[{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"![En tête general](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/En_tete_general.png)\n\n\n<i>© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.</i><br>\n<i>Les activités partagées sur <a href=\"https://capytale2.ac-paris.fr/web/accueil\"><strong>Capytale</strong></a> sont sous licence <a href=\"https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/\">Creative Commons</a>.</i>\n\n<span style=\"color: #9317B4\"> Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec </span><span style=\"color: #B317B4\"><strong>SHIFT+Entrée</strong></span>.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"# <span style=\"color:#6C3483\">L'ensemble de Mandelbrot </span><span style=\"color:red\">(corrigé)</span>\n\n<span style=\"color:#6C3483\">Note : Cette activité <u>ne</u> nécessite <u>pas</u> la connaissance de l'écriture exponentielle d'un nombre complexe. </span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"### <span style=\"color:#8E44AD\">Sommaire</span>\n\n<span style=\"color:#8E44AD\">0.</span> <a href=\"#0\">Définition de l'ensemble de Mandelbrot $\\mathcal{M}$</a><br>\n<span style=\"color:#8E44AD\">1.</span> <a href=\"#1\">Étude mathématique du cas $c=i$.</a><br>\n<span style=\"color:#8E44AD\">2.</span> <a href=\"#2\">Étude algorithmique du cas $c=1+i$.</a><br>\n<span style=\"color:#8E44AD\">3.</span> <a href=\"#3\">Étude dans le cas général et représentation graphique</a><br>\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## <span style=\"color:#8E44AD\" id=\"0\">0. Définition de l'ensemble de Mandelbrot $\\mathcal{M}$.</span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__Pour tout $c \\in \\mathbb{C}$, on considère la suite de nombres complexes $(z_n)_{n \\geq 0}$ définie par :__\n<ul>\n    <li>$z_0=0$ ;</li>\n    <li>$\\forall n \\in \\mathbb{N}$ ; $\\displaystyle z_{n+1}=z_n^2+c$.</li>\n</ul>\n\n__et on pose :__<br><br>\n$\\forall n \\in \\mathbb{N}$ ; $r_n = \\lvert z_n \\rvert$.<br><br>\n<BLOCKQUOTE style='background-color:#DFF2FF;'>\nPour chaque valeur de $c$, la suite $(r_n)_{n \\geq 0}$ est soit bornée soit non bornée.<br><br>\n    L'<strong>ensemble de Mandelbrot</strong> $\\mathcal{M}$ est l'ensemble des nombres complexes $c$ tels que la suite $(r_n)_{n \\geq 0}$ est bornée.\n</BLOCKQUOTE>    \n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## <span style=\"color:#8E44AD\" id=\"1\">1. Étude mathématique du cas $c=i$.</span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__Dans cette partie, on pose $c=i$.__<br><br>\n__1.1. Déterminer les formes algébriques des termes $z_1$, $z_2$ , $z_3$ et $z_4$.__<br><br>\n<span style=\"color:red\">$z_1=z_0^2+i=0^2+i=i$ <br> $z_2=z_1^2+i=i^2+i=-1+i$ <br> $z_3=z_2^2+i=(-1+i)^2+i=-i$ <br> $z_4=z_3^2+i=(-i)^2+i=-1+i$ </span><br>\n\n__1.2. Émettre une conjecture sur la valeur de $z_n$ suivant les valeurs de $n$, et démontrer cette conjecture.__<br><br>\n<span style=\"color:red\">Au vu des valeurs précédemment calculées, on peut conjecturer que $\\forall k \\geq 1$ ; $z_{2k}=-1+i\\;$  et $\\;z_{2k+1}=-i$, qui se démontre par une récurrence immédiate.</span><br>\n\n__1.3. $i$ appartient-il à l'ensemble $\\mathcal{M}$ de Mandelbrot ?__\n\n<span style=\"color:red\">D'après ce qui précède, la suite $(r_n)$ est bornée : $\\forall n \\in \\mathbb{N}$ ; $r_n = \\lvert z_n \\rvert \\leq \\text{max}( \\lvert i \\rvert;\\lvert -1+i \\rvert;\\lvert -i \\rvert ) =\\displaystyle\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ et on en déduit donc que $i \\in \\mathcal{M}$</span><br>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## <span style=\"color:#8E44AD\" id=\"2\">2. Étude algorithmique du cas $c=1+i$.</span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__Dans cette partie, on pose $c=1+i$.__<br><br>\n__2.1. En langage Python, le nombre complexe $i$ se code <mark>1j</mark> et la fonction <mark>abs</mark> permet de calculer le module d'un nombre complexe.__<br>\n$\\quad\\;\\;$__a. Exécuter les cellules suivantes. Que permettent-elles de calculer ?__\n<br><br><span style=\"color:red\">Les saisies permettent de calculer successivement $z_0$ ; $r_0$ ; $z_1$ et $r_1$.</span>\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"c = 1+1j ; z0 = 0","execution_count":1,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"abs(z0)","execution_count":2,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"z1 = z0**2 +c\nz1","execution_count":3,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"abs(z1)","execution_count":4,"outputs":[{"data":{},"execution_count":4,"metadata":{},"output_type":"execute_result"}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\quad\\;\\;$__b. Effectuer des saisies pour calculer $z_2$ ; $z_3$, $r_2$ et $r_3$.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Utiliser ces zones de saisie pour les calculs des termes\nz2 = z1**2+c\nz2","execution_count":5,"outputs":[{"data":{},"execution_count":5,"metadata":{},"output_type":"execute_result"}]},{"metadata":{"scrolled":true,"trusted":false},"cell_type":"code","source":"z3 = z2**2+c\nz3","execution_count":6,"outputs":[{"data":{},"execution_count":6,"metadata":{},"output_type":"execute_result"}]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"abs(z2)","execution_count":7,"outputs":[{"data":{},"execution_count":7,"metadata":{},"output_type":"execute_result"}]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"abs(z3)","execution_count":8,"outputs":[{"data":{},"execution_count":8,"metadata":{},"output_type":"execute_result"}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__2.2. On souhaite maintenant automatiser le calcul des termes de la suite $(z_n)_{n \\geq 0}$.__<br>\n$\\quad\\;$__a. Définir une fonction Python <mark>z</mark> qui reçoit en argument <mark>n</mark> et renvoie le nombre complexe $z_n$.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Écrire ici la fonction Python z\ndef z(n):\n    \"\"\"\n    Fonction qui calcule le terme de rang n de la suite (zn) pour c=1+i\n    \"\"\"\n    m = 0\n    c = 1+1j\n    for k in range(n):\n        m = m**2+c\n    return m","execution_count":9,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\quad\\;$__b. Effectuer des appels à la fonction <mark>z</mark> pour retrouver les valeurs de $z_1$ ; $z_2$ et $z_3$.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Utiliser ces zones de saisie pour les calculs des termes\nz(1)","execution_count":10,"outputs":[{"data":{},"execution_count":10,"metadata":{},"output_type":"execute_result"}]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"z(2)","execution_count":11,"outputs":[{"data":{},"execution_count":11,"metadata":{},"output_type":"execute_result"}]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"z(3)","execution_count":12,"outputs":[{"data":{},"execution_count":12,"metadata":{},"output_type":"execute_result"}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\quad\\;$__c. À l'aide de la fonction Python <mark>z</mark>, déterminer $z_6$ puis $r_6$.__<br>\n$\\quad\\quad$__La suite $(r_n)_{n \\geq 0}$ semble-t-elle bornée?__<br>\n$\\quad\\quad$__$1+i$ semble-t-il appartenir à l'ensemble $\\mathcal{M}$ de Mandelbrot ?__\n<br><br><span style=\"color:red\">Au vu de la valeur de $r_6=\\lvert z_6 \\rvert$, on peut conjecturer que $1+i \\notin \\mathcal{M}$.</span>"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Utiliser ces zones de saisie pour les calculs\nz(6)","execution_count":13,"outputs":[{"data":{},"execution_count":13,"metadata":{},"output_type":"execute_result"}]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"abs(z(6))","execution_count":14,"outputs":[{"data":{},"execution_count":14,"metadata":{},"output_type":"execute_result"}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## <span style=\"color:#8E44AD\" id=\"3\">3. Étude dans le cas général et représentation graphique</span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__Dans cette partie, on revient au cas général où $c \\in \\mathbb{C}$ est quelconque.__<br><br>\n__3.1. Redéfinir la fonction Python <mark>z</mark> (vue en 2.2.a) pour qu'elle reçoive en arguments <mark>n</mark> et <mark>c</mark> (dans cet ordre) et renvoie le nombre complexe $z_n$.__\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Écrire ici la fonction Python z\ndef z(n,c):\n    \"\"\"\n    Fonction qui calcule le terme de rang n de la suite (zn)\n    \"\"\"\n    m = 0\n    for k in range(n):\n        m = m**2+c\n    return m","execution_count":15,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__Pour la suite, on <u>admettra</u> et on utilisera le résultat suivant :__\n\n<BLOCKQUOTE style='background-color:#DFF2FF;'>\nS'il existe un rang $N$ tel que $r_N>2$, alors la suite $(r_n)_{n \\geq 0}$ n'est pas bornée, et le nombre $c$ n'appartient alors pas à l'ensemble $\\mathcal{M}$ de Mandelbrot.\n</BLOCKQUOTE>    \n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__3.2. À l'aide de la fonction Python <mark>z</mark>, calculer $z_{10}$ puis $r_{10}$ dans le cas où $c=\\displaystyle\\frac{1+2i}{3}$.__<br>\n$\\quad\\;$__Le nombre $\\displaystyle\\frac{1+2i}{3}$ appartient-il à l'ensemble $\\mathcal{M}$ de Mandelbrot ?__\n<br><br><span style=\"color:red\">Comme $r_{10}=\\lvert z_{10} \\rvert >2$, on en déduit que $\\displaystyle\\frac{1+2i}{3} \\notin \\mathcal{M}$.</span>"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Utiliser ces zones de saisie pour les calculs\nz(10,(1+2j)/3)","execution_count":16,"outputs":[{"data":{},"execution_count":16,"metadata":{},"output_type":"execute_result"}]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"abs(z(10,(1+2j)/3))","execution_count":17,"outputs":[{"data":{},"execution_count":17,"metadata":{},"output_type":"execute_result"}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__3.3. Pour permettre de conjecturer si un nombre complexe $c$ appartient ou non à l'ensemble $\\mathcal{M}$ de Mandelbrot, on considère la fonction Python <mark>app_M</mark> donnée ci-dessous. Décrire la méthode expérimentale utilisée : Quel critère est appliqué ?__\n<br><br><span style=\"color:red\">L'algorithme teste si $\\lvert z_n \\rvert>2$ pour toutes les valeurs entières $n$ de $0$ à $29$. Dès qu'une de ces conditions est vérifiée, l'algorithme renvoie <mark>False</mark> qui signifie que $c \\notin \\mathcal{M}$. Dans le cas où aucune de ces conditions n'est vérifiée, on fait l'approximation que $c \\in \\mathcal{M}$ et l'algorithme renvoie <mark>True</mark>.</span>"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"def app_M(c,N=30):\n    \"\"\"\n    Fonction qui conjecture si c appartient à l'ensemble de Mandelbrot\n    \"\"\"\n    for n in range(N):\n        if abs(z(n,c))>2:\n            return False\n    \n    return True    ","execution_count":18,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__3.4. Effectuer des appels à la fonction <mark>app_M</mark> pour conjecturer si les nombres $\\displaystyle\\frac{1}{2}$ ; $\\displaystyle\\frac{i}{2}$ et $\\displaystyle-\\frac{3+2i}{5}$ appartiennent à $\\mathcal{M}$.__ "},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Utiliser ces zones de saisie pour les appels à la fonction app_M\napp_M(1/2)","execution_count":19,"outputs":[{"data":{},"execution_count":19,"metadata":{},"output_type":"execute_result"}]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"app_M(1j/2)","execution_count":20,"outputs":[{"data":{},"execution_count":20,"metadata":{},"output_type":"execute_result"}]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"app_M(-(3+2j)/5)","execution_count":21,"outputs":[{"data":{},"execution_count":21,"metadata":{},"output_type":"execute_result"}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__3.5 Grâce à la fonction Python <mark>app_M</mark>, on peut approcher la représentation graphique de l'ensemble de Mandelbrot dans le plan complexe.__<br>\n$\\quad$__Exécuter la fonction <mark>graph_M</mark> donnée ci-dessous pour visualiser $\\mathcal{M}$ (patienter quelques instants pendant les calculs...).__\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#import des modules nécessaires\nfrom PIL import Image, ImageDraw\n\ndef graph_M(app_M=app_M,profondeur=30,xmin=-2,xmax=1,ymin=-1,ymax=1,pix_unite=250,couleur_fond=(223,242,255),couleur_figure=(49,140,231),couleur_axes=(34,66,124),nom=\"Ensemble de Mandelbrot\"):\n    \"\"\"\n    REPRESENTATION GRAPHIQUE D'UN ENSEMBLE DE COMPLEXES\n    app_M: fonction booléenne qui indique si un complexe appartient à l'ensemble représenté\n    profondeur: profondeur de la recherche pour la fonction app_M\n    xmin, xmax, ymin, ymax : paramètres de réglage de la fenêtre de visualisation\n    pix_unite: nombre de pixels par unité\n    couleur_fond: couleur du fond\n    couleur_figure: couleur de l'ensemble représenté\n    couleur_axes: couleur des axes\n    nom: nom de l'ensemble représenté\n    \"\"\"\n    \n    # création du graphique\n    largeur=pix_unite*(xmax-xmin)+1 ; hauteur=pix_unite*(ymax-ymin)+1       \n    Graphique = Image.new('RGB', (largeur,hauteur), color = couleur_fond )           \n    Curseur = ImageDraw.Draw(Graphique)\n    \n    # tracé de l'ensemble M\n    for X in range(largeur):\n        for Y in range(hauteur):\n            # création des coordonnées mathématiques correspondant aux coordonnées de l'image\n            x,y = xmin+X*(xmax-xmin)/largeur,ymin+(hauteur-Y)*(ymax-ymin)/hauteur\n            # construction du complexe c\n            c = complex(x,y)\n            # coloration du point si c appartient à M\n            if app_M(c,N=profondeur): Curseur.point([X, Y], couleur_figure)\n\n    def conv_coord(x,y):\n        \"fonction qui convertit une coordonnée du repère mathématique en coordonnée sur l'image\"\n        return (x-xmin)*pix_unite,(y-ymin)*pix_unite,\n    \n    # tracé des axes\n    Curseur.line([conv_coord(xmin,0),conv_coord(xmax,0)],fill=couleur_axes)\n    Curseur.line([conv_coord(0,ymin),conv_coord(0,ymax)],fill=couleur_axes)\n    \n    # création des graduations annotées\n    for x in range(int(xmin),int(xmax)+1):\n        Curseur.line([conv_coord(x,-0.02),conv_coord(x,0.02)], fill=couleur_axes)    \n        Curseur.text(conv_coord(x+(-0.05 if x>=0 else 0.03),0.02),str(x),fill=couleur_axes)\n    for y in range(int(ymin),int(ymax)+1):\n        Curseur.line([conv_coord(-0.02,y),conv_coord(0.02,y)], fill=couleur_axes)    \n        Curseur.text(conv_coord(0.02,y+(-0.07 if y>=0 else 0.03)),str(-y),fill=couleur_axes)\n    \n    # écriture du titre / nom de la figure\n    Curseur.text((0,0),nom,fill=couleur_figure)\n        \n    return Graphique\n\ngraph_M()","execution_count":22,"outputs":[{"data":{"image/png":"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<a href=\"https://fr.wikipedia.org/wiki/Beno%C3%AEt_Mandelbrot\">Benoit Mandelbrot</a> (1924-2010) est considéré comme le découvreur des figures fractales, dont l'ensemble de Mandelbrot fait partie.</center>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<a href=\"https://notebook.basthon.fr/?from=https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/Julia_Complexe_vd.ipynb\">\n<figure style=\"float: left;\">\n    <img src=\"https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Julia.gif\">\n    <figcaption><FONT size=\"1pt\">Ensembles de Julia</FONT></figcaption>\n</figure>\n</a>\n<span style=\"color:#6C3483\">  <br><br> $\\quad$ Pour aller plus loin: Voir l'activité sur les <a href=\"https://notebook.basthon.fr/?from=https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/Julia_Complexe_vd.ipynb\">ensembles de Julia</a>.\n</span>\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<i>© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 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