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本篇内容是主文档中的数学理论部分的扩展。
谈到数学理论，其实很多算法题都跟数学理论强相关。这个文档中的数学理论是比较基础的数学内容。严格意义上说，位运算和图论（离散数学，组合数学）也归属于数学理论部分。但因为它们本身又可以细分成许多不同内容，所以把它们分离了出去。本文档中不包含这两个部分的内容，详情请关注：图论文档和位运算文档。
| 作者 | Three |
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注：下面的代码由Python，Java和C++语言完成
Key Words : C++ Python Java Math Theory
下面给出整数翻转的模板：（不同题目不同条件下，需要微调。在不同进制下可以使用，比如LC190）：
long long rem = 0, y = 0; // 防止溢出
int flag = x; // 留一个做比较
while(x != 0){ // 常见处理
y = y * 10 + x % 10;
x = x / 10;
}
// 这个模板很简单，在处理翻转的时候，就可以不用栈、队列之类的数据结构了。
// 不过在定义变量的时候，要小心溢出！LC9 Palindrome Number 回文数 关于回文，还有其他题目，到时候一起分析。本题和LC7与LC190很像，也是进行翻转，之后进行是否回文的评判。方法上基本一致。
LC190 Reverse Bits 二进制数翻转 这一题和LC7非常相似，但是不同。因为这里**二进制有32位的硬性要求，导致2进制数前面的0也要进行翻转，不像10进制从第一位非0数进行翻转。**所以在LC7的基础上，要对循环进行修改，把while循环改成for循环更合适。
针对上面的三道题，详情也可以参见我的力扣题解
LC62 组合数公式 这道题很简单，可以从中学到写长串公式的代码的方法。比如在一些NLP早期模型中，很需要运用概率论的方法对文本进行分析（like 朴素贝叶斯(链接中内容是Coursera的自然语言处理专项课程中的作业，可以学习)）。在这些公式中，有的就是求积或者转换成log进行求和，可以用类似本题的写法完成长串公式的书写。
LC66 加一 Plus One Java代码 进位的模板处理 关于数学中digits的考法，主要是两种：1.0的处理，比如100，翻转后是001，按照十进制应该是1，去掉前面的0；2，进位的处理，比如本题。digits类题目，涉及的运算可以是：位运算，取模运算。涉及的题目应用比如整数翻转，回文数判断等等。digits是数学类题目里面很经常遇到的类型，有空我会把digits下的题目总结，归成数学下面的一个大类别。
LC989 Add to Array-Form of Integer 对数组形式的整数进行相加 本题和LC66 加一 Plus One很像，也是考察对于加法的理解。应该弄明白数位相加和进位的关系。此外，对于这种类型的题目，应该明白：不能用很简单的思路去做，比如：把数组转换为整数->相加->把结果再转换为数组。不能的原因是A数组太长了，没办法用整形数表示。再者，根据经验也知道力扣不能这么简单。所以本题是逐位相加，注意进位问题。
LC96 卡特兰数 本题也可以用动态规划的思路理解，在找到潜在递推关系之后，可以动归。
LC142 Linked List Cycle II 弗洛伊德判圈算法（Floyd Cycle Detection Algorithm） 本题数学推导 此算法也可用于LC287 Pending。
LC812 Largest Triangle Area 最大三角形面积 Java 鞋带公式 也可用海伦公式求解，暴力解。
LC867 Transpose Matrix 转置矩阵 先定义一个与原矩阵行列相反的矩阵，再用 B[j][i] = A[i][j] 赋值即可，可见我的力扣题解
LC238 Product of Array Except Self 数组中除自身以外的乘积 这道题非常巧妙，把原问题转换成一个上三角和下三角矩阵，这个矩阵的主对角线元素都是1，通过对矩阵里面的同行元素求积，得到结果。具体算法可见Solution中LC238_Ans。 本题和剑指Offer 66 构建乘积数组相同。
LC1018 Binary Prefix Divisible By 5 被5整除的二进制前缀 难点在于如果不对当下结果取余，会溢出。就算是使用long long类型，也会溢出。直接边取余边进行后续运算，不会对结果造成影响，在题目的参考链接中有证明过程。
LC1232 Check If It Is a Straight Line 检查点是不是在同一直线上 题目很简单，有几个小细节：1.斜率的式子应该从相除变成交叉相乘积相等，因为怕斜率不存在的情况；2.变相乘之后，要小心数字溢出。好在本题不用考虑。但其他题目写的时候应该有所提防。
LC628 Maximum Product of Three Numbers 三个数的最大乘积 这道题乍一看非常简单，好像递减排序之后取前三个相乘即可。但是要小心负数！！。这是一个力扣的常见套路，在样例中全给你正数，给你一种非负整数的错觉，其实不然。所以一定小心负数，看清楚题目要求。对于负数的考量，其实在代码中稍微变化即可，思路还是很巧妙的。对于代码中的分类讨论能力是需要加强的。
LC724 Find Pivot Index 寻找数组的中心索引 本题用简单的模拟法即可求解，但在求解的过程中，依照方法的不同，需要用不同的数学公式进行分析。可以详见链接中的题解。
LC888 Fair Candy Swap 公平的糖果棒交换 找寻潜在数学关系可以简便求解，有一些用法可以注意：1.因为返回一个即可，所以可使用unordered_set；2.accumulate方法在C++中可以有求和效果。
剑指Offer_14 - I_剪绳子 本题需要用到求导，可知尽量三个三个分配是最佳选择。LC343 Integer Break 整数拆分和本题一致。这道题除了可以用数学方法，也可以用DP方法。
LC1502 Can Make Arithmetic Progression From Sequence 判断能否形成等差数列 首先排序，再者进行等差数列的判断，运用其性质即可。
杨辉三角也称帕斯卡三角（Pascal's Triangle），解题思路就是利用不同行之间的递推公式。
LC119 Pascal's Triangle II 杨辉三角 II
C++中，直接 .resize 就可以改变动态数组大小： triYangHui[i].resize(i + 1);
快速幂是一种常用的求幂运算的方法，也是Python中pow(x, n)函数的底层实现。该算法可以把求幂的时间复杂度从O(n)降到O(log n)。
LC50 Pow(x, n) Pow(x, n) Python 快速幂算法的实现，很经典的算法，值得学习：算法截图1，算法截图2。
前缀和的概念类似于GRE中的percentile（百分位数），可以利用这种思想求某个覆盖范围内的和值。
LC303 Range Sum Query - Immutable 区域和检索 - 数组不可变 一维前缀和，求数组中某一段范围内的和值。
LC304 Range Sum Query 2D - Immutable 二维区域和检索 - 矩阵不可变 二维前缀和。为了求解这个问题，可以把问题分成两步：1.求前缀和preSum；2.利用第一步求到的前缀和求矩阵中覆盖范围的面积大小。依照前缀和的定义，可以利用下面两张图中的思路，按照公式写出答案：第一步：求解preSum , 第二步：求解覆盖面积 。结合图片中内容和代码进行分析
LC69 Sqrt(x) x的平方根 二分法求解。以后再遇到搜索类的题目，或者是传统思维中，需要一个个试过去的题目，应该考虑更高效的二分法求解！！
最大公因数：Greatest Common Divisor = GCD；最小公倍数：Least Common Multiple = LCM。
对于GCD的求法，一般使用欧几里得算法，这个算法基于GCD递归定理，现引入这个定理：
欧几里得算法：
通过这样的一个算法，可以得到两个数的GCD。
对于LCM，它和GCD有这样的关系：
最小公倍数 = 两数的乘积 / 最大公约（因）数
至此，我们可以通过上面的关系与定理，求得任意两个数的LCM与GCD，是非常方便的。
涉及丑数的有五道题目，下面三道题目对于丑数的定义一致，之后的两道比较不同。
LC263 Ugly Number 丑数 C++ 直接根据丑数的定义，进行模拟即可。此外，还有Java版本的代码。
LC264 Ugly Number II 丑数 II C++ 基于上面的题目中对于丑数的定义，我们需要找寻第n个丑数。思路和上面不同，上面是从数值大往数值小分析，这边是从数值小往数值大分析寻找。主要思路是“三指针”，很好的解法。此外，还有Python版代码。
剑指 Offer 49 Ugly Number 丑数 Python 本题虽然名为丑数，但实际上和上面的力扣264是相同的，可以一起写。
关于上面的三道题，也可以详见我的力扣题解和我的另一篇力扣题解。
后面的两道题...pending...
P是Polynominal的意思，代表一个算法的时间复杂度可以用多项式表示。如果用大O表示法，那就是O(n^k)。那么，什么样的算法不能用P表示？一些幂次级的时间复杂度就不能用P表示，比如O(k^n)，这类问题称为NP问题，N就是Not的意思。
在计算机领域，一些问题目前只有NP解。科学家们想要明白是否这些目前的NP问题可以有P的解。如果有，那么很多问题处理起来将会变得非常简单高效。现在，NP问题和P问题的关联还未被完全证明，是一个开放的领域。
Computational Geometry
运用数学建模的方法，使用计算机解决实际的几何学问题。计算几何学是计算机图形学（Computer Graphics）、CAD等内容的数学基础。
叉积
可以使用叉积来进行简单的判断，之后在此基础上进行深入研究。