04-Simulace_2_shift.Rmd

# Závislost na parametru $\sigma_{shift}$ {#simulace2shift}

V této části se budeme zabývat závislostí výsledků ze sekce \@ref(simulace2) na hodnotě $\sigma^2_{shift}$, která definuje rozptyl normálního rozdělení, ze kterého generujeme posun pro generované křivky. Očekáváme, že s rostoucí hodnotou $\sigma^2_{shift}$ se budou výsledky jednotlivých metod zhoršovat a tudíž klasifikace nebude tak úspěšná. Přitom předpokládáme, že metody, které využívají funkcionální podstatu dat, budou více úspěšné v porovnání s klasickými metodami při zvětšující se hodnotě $\sigma^2_{shift}$. V předchozí sekci \@ref(simulace2sigma) jsme se podívali na závislost výsledků na hodnotě $\sigma^2$, tedy na rozptylu normálního rozdělení, ze kterého generujeme náhodné chyby kolem generujících křivek.

## Simulace funkcionálních dat

Nejprve si simulujeme funkce, které budeme následně chtít klasifikovat.
Budeme uvažovat pro jednoduchost dvě klasifikační třídy.
Pro tuto simulaci zvolíme následující postup:

-   zvolíme vhodné body (pro každou klasifikační třídu jiné), které proložíme interpolačním splajnem,

- takto získané funkce využijeme ke generování náhodných křivek pro obě třídy,

-   generujeme body ze zvoleného intervalu pomocí vyhlazených funkcí interpolačním splajnem, které obsahují, například gaussovský, šum,

-   takto získané diskrétní body vyhladíme do podoby funkcionálního objektu pomocí nějakého vhodného bázového systému.

Tímto postupem získáme funkcionální objekty společně s hodnotou kategoriální proměnné $Y$, která rozlišuje příslušnost do klasifikační třídy.

```{r warning=FALSE, message=FALSE}
# nacteme potrebne balicky 

library(fda)
library(ggplot2)
library(dplyr)
library(tidyr)
library(ddalpha)
library(stats)

set.seed(42)
```

Uvažujme tedy dvě klasifikační třídy, $Y \in \{0, 1\}$, pro každou ze tříd stejný počet `n` generovaných funkcí.
Definujme si nejprve dvě funkce, každá bude pro jednu třídu.
Funkce budeme uvažovat na intervalu $I = [0, 12]$.

V tomto případě si definujeme v prvním kroku body, kterými má náš interpolační splajn procházet. Následně proložíme těmito body interpolační splajn, k čemuž využijeme funkci `spline()` z knihovny `stats`. Pro lepší interpretovatelnost simulovaných dat jsme definovali interval $I = [0, 12]$ a funkce pro obě klasifikační třídy zvolíme tak, aby při troše fantazie mohli představovat například vývoj určité veličiny (teplota, tlak, srážky, nezaměstnanost, prodej nějaké komodity atd.) v průběhu roku. Budeme předpokládat, že se vývoj této veličiny periodicky opakuje v čase (s roční periodou), proto ve funkci `spline()` zvolíme parametr `method = 'periodic'`. 

```{r}
# definujici body pro tridu 0
x.0 <- c(0, 2, 2.96, 3.64, 4.2, 5.3, 6.22, 7.32, 8.3, 9.3, 10.6, 11.54, 12)
y.0 <- c(3, 4.66, 4.6, 3.48, 2.08, 1.5, 1.32, 2.78, 3.82, 4.48, 3.88, 3.16, 3)

# definujici body pro tridu 1
x.1 <- c(0, 1.3, 2, 2.7, 3.33, 3.68, 4.06, 4.72, 5.9, 6.9, 8, 9.02, 10.1, 11.25, 12)
y.1 <- c(2.8, 3.95, 4.82, 5.1, 4.8, 4, 2.73, 1.67, 1.53, 2.2, 3, 3.73, 3.69, 3.6, 2.8)

# # definujici body pro tridu 0
# x.0 <- c(0, 2, 2.96, 3.64, 4.2, 5.3, 6.22, 7.32, 8.3, 9.3, 10.6, 11.54, 12)
# y.0 <- c(3, 4.66, 4.6, 3.48, 2.08, 1.5, 1.32, 2.78, 3.82, 4.48, 3.88, 3.16, 3)
# 
# # definujici body pro tridu 1
# x.1 <- c(0, 1.3, 2, 2.7, 3.33, 3.68, 4.06, 4.72, 5.9, 6.9, 8, 9.02, 10.1, 11.25, 12)
# y.1 <- c(2.9, 3.95, 4.62, 4.6, 4.1, 3.6, 2.73, 1.67, 1.53, 2.2, 3, 3.73, 3.69, 3.6, 2.9)
```



```{r}
# graf bodu
dat_points <- data.frame(x = c(x.0, x.1),
                         y = c(y.0, y.1),
                         Class = rep(c('Y = 0', 'Y = 1'), 
                                     c(length(x.0), length(x.1))))

ggplot(dat_points, aes(x = x, y = y, colour = Class)) + 
  geom_point(size=1.5) + 
  theme_bw() + 
  labs(colour = 'Klasifikační\n      třída')
```

Jejich grafy jsou na obrázcích níže.

```{r}
# generujici funkce pro Y = 0 a Y = 1
funkce_0 <- function(n) {
  sp <- spline(x.0, y.0, method = 'periodic', n = n)
  return(list(x = sp$x, y = sp$y))
}
# pridat nahodny posun v zacatku nebo periode
funkce_1 <- function(n) {
  sp <- spline(x.1, y.1, method = 'periodic', n = n)
  return(list(x = sp$x, y = sp$y))
}
```

```{r fig.cap='Znázornění dvou funkcí na intervalu $[0, 1]$, ze kterých generujeme pozorování ze tříd 0 a 1.'}
n_x <- 501
x <- funkce_0(n_x)$x
y0 <- funkce_0(n_x)$y
y1 <- funkce_1(n_x)$y
df <- data.frame(x = rep(x, 2),
                 y = c(y0, y1),
                 Y = rep(c('Y = 0', 'Y = 1'), each = length(x)))

df |> ggplot(aes(x = x, y = y, colour = Y)) + 
  geom_line(linewidth = 1) + 
  theme_bw() +
  labs(colour = 'Klasifikační\n      třída') 
```

Nyní si vytvoříme funkci pro generování náhodných funkcí s přidaným šumem (resp. bodů na předem dané síti) ze zvolené generující funkce.
Argument `t` označuje vektor hodnot, ve kterých chceme dané funkce vyhodnotit, `fun` značí generující funkci, `n` počet funkcí a `sigma` směrodatnou odchylku $\sigma$ normálního rozdělení $\text{N}(\mu, \sigma^2)$, ze kterého náhodně generujeme gaussovský bílý šum s $\mu = 0$.
Abychom ukázali výhodu použití metod, které pracují s funkcionálními daty, přidáme při generování ke každému simulovanému pozorování navíc i náhodný člen, který bude mít význam vertikálního posunu celé funkce.
Tento posun budeme generovat s normálního rozdělění s parametrem $\sigma^2 = 4$.

```{r}
generate_values <- function(t, fun, n, sigma, sigma_shift = 0) {
  # Arguments:
  # t ... vector of values, where the function will be evaluated
  # fun ... generating function of t 
  # n ... the number of generated functions / objects
  # sigma ... standard deviation of normal distribution to add noise to data
  # sigma_shift ... parameter of normal distribution for generating shift
  
  # Value:
  # X ... matrix of dimension length(t) times n with generated values of one 
  # function in a column 
  
  X <- matrix(rep(fun(length(t))$y, times = n), ncol = n, nrow = length(t), byrow = FALSE)
  noise <- matrix(rnorm(n * length(t), mean = 0, sd = sigma),
                  ncol = n, nrow = length(t), byrow = FALSE)
  shift <- matrix(rep(rnorm(n, 0, sigma_shift), each = length(t)),
                  ncol = n, nrow = length(t))
  return(X + noise + shift)
}
```

Nyní můžeme generovat funkce.
V každé ze dvou tříd budeme uvažovat 100 pozorování, tedy `n = 100`.

```{r}
# pocet vygenerovanych pozorovani pro kazdou tridu
n <- 100
# vektor casu ekvidistantni na intervalu [0, 12]
t <- seq(0, 12, length = 51)

# pro Y = 0
X0 <- generate_values(t, funkce_0, n, 1, 2)
# pro Y = 1
X1 <- generate_values(t, funkce_1, n, 1, 2)
```

Vykreslíme vygenerované (ještě nevyhlazené) funkce barevně v závislosti na třídě (pouze prvních 10 pozorování z každé třídy pro přehlednost).

```{r fig.cap='Prvních 10 vygenerovaných pozorování z každé ze dvou klasifikačních tříd. Pozorovaná data nejsou vyhlazená.'}
n_curves_plot <- 10 # pocet krivek, ktere chceme vykreslit z kazde skupiny

DF0 <- cbind(t, X0[, 1:n_curves_plot]) |> 
  as.data.frame() |> 
  reshape(varying = 2:(n_curves_plot + 1), direction = 'long', sep = '') |> 
  subset(select = -id) |> 
  mutate(
  time = time - 1,
  group = 0
  )

DF1 <- cbind(t, X1[, 1:n_curves_plot]) |> 
  as.data.frame() |> 
  reshape(varying = 2:(n_curves_plot + 1), direction = 'long', sep = '') |> 
  subset(select = -id) |> 
  mutate(
  time = time - 1,
  group = 1
  )

DF <- rbind(DF0, DF1) |>
  mutate(group = factor(group))

DF |> ggplot(aes(x = t, y = V, group = interaction(time, group), 
                 colour = group)) + 
  geom_line(linewidth = 0.5) +
  theme_bw() +
  labs(x = 'x',
       y = 'y',
       colour = 'Klasifikační\n      třída') +
  scale_colour_discrete(labels=c('Y = 0', 'Y = 1'))
```

## Vyhlazení pozorovaných křivek

Nyní převedeme pozorované diskrétní hodnoty (vektory hodnot) na funkcionální objekty, se kterými budeme následně pracovat.
Jelikož se nyní jedná o periodické křivky na intervalu $I = [0, 12]$, využijeme k vyhlazení *fourierovu* bázi.

Za uzly bereme celý vektor `t`, budeme uvažovat tzv. *harmonic acceleration penalties*. *Harmonic acceleration* pro funkci $x(t)$ je 
$$
Lx = \omega^2 Dx + D^3x,
$$
kde $D^mx$ značí $m$-tou derivaci funkce $x(t)$ podle $t$. Platí přitom $L\sin(\omega x) = 0 = L\cos(\omega x)$. Potom jako penalizaci bereme hodnotu funkcionálu
$$
J_L(x) = \int \left[Lx(t)\right]^2\text dt.
$$

```{r}
rangeval <- range(t)

fbasis <- create.fourier.basis(rangeval = rangeval, 
                               nbasis = length(t))

omega <- 2 * pi / diff(rangeval)
acvec <- c(0, omega^2, 0)
harmLfd <- vec2Lfd(bwtvec = acvec, rangeval = rangeval)
```

Najdeme vhodnou hodnotu vyhlazovacího parametru $\lambda > 0$ pomocí $GCV(\lambda)$, tedy pomocí zobecněné cross--validace.
Hodnotu $\lambda$ budeme uvažovat pro obě klasifikační skupiny stejnou, neboť pro testovací pozorování bychom dopředu nevěděli, kterou hodnotu $\lambda$, v případě rozdílné volby pro každou třídu, máme volit.

```{r}
# spojeni pozorovani do jedne matice
XX <- cbind(X0, X1)

lambda.vect <- 10^seq(from = -3, to = 2, length.out = 25) # vektor lambd
gcv <- rep(NA, length = length(lambda.vect)) # prazdny vektor pro ulozebi GCV

for(index in 1:length(lambda.vect)) {
  curv.Fdpar <- fdPar(fbasis, harmLfd, lambda.vect[index])
  FSmooth <- smooth.basis(t, XX, curv.Fdpar) # vyhlazeni
  gcv[index] <- mean(FSmooth$gcv) # prumer pres vsechny pozorovane krivky
}

GCV <- data.frame(
  lambda = round(log10(lambda.vect), 3),
  GCV = gcv
)

# najdeme hodnotu minima
lambda.opt <- lambda.vect[which.min(gcv)]
```

Pro lepší znázornění si vykreslíme průběh $GCV(\lambda)$.

```{r fig.cap="Průběh $GCV(\\lambda)$ pro zvolený vektor $\\boldsymbol\\lambda$. Na ose $x$ jsou hodnoty vyneseny v logaritmické škále. Červeně je znázorněna optimální hodnota vyhlazovacího parametru $\\lambda_{optimal}$."}
GCV |> ggplot(aes(x = lambda, y = GCV)) + 
  geom_line(linetype = 'dashed', linewidth = 0.8) + 
  geom_point(size = 2.5) + 
  theme_bw() + 
  labs(x = bquote(paste(log[10](lambda), ' ;   ', 
                        lambda[optimal] == .(round(lambda.opt, 4)))),
       y = expression(GCV(lambda))) + 
  geom_point(aes(x = log10(lambda.opt), y = min(gcv)), colour = 'red', size = 3)
```

S touto optimální volbou vyhlazovacího parametru $\lambda$ nyní vyhladíme všechny funkce a opět znázorníme graficky prvních 10 pozorovaných křivek z každé klasifikační třídy.

```{r fig.cap='Prvních 10 vyhlazených křivek z každé klasifikační třídy.'}
curv.fdPar <- fdPar(fbasis, harmLfd, lambda.opt)
FSmooth <- smooth.basis(t, XX, curv.fdPar)
XXfd <- FSmooth$fd

fdobjSmootheval <- eval.fd(fdobj = XXfd, evalarg = t)
DF$Vsmooth <- c(fdobjSmootheval[, c(1 : n_curves_plot, 
                                    (n + 1) : (n + n_curves_plot))])

DF |> ggplot(aes(x = t, y = Vsmooth, group = interaction(time, group), 
                 colour = group)) + 
  geom_line(linewidth = 0.75) +
  theme_bw() +
  labs(x = 'Time',
       y = 'Function',
       colour = 'Klasifikační\n      třída') +
  scale_colour_discrete(labels=c('Y = 0', 'Y = 1'))
```

Ještě znázorněme všechny křivky včetně průměru zvlášť pro každou třídu.

```{r fig.cap='Vykreslení všech vyhlazených pozorovaných křivek, barevně jsou odlišeny křivky podle příslušnosti do klasifikační třídy. Černou čerchovanou čarou je zakreslen průměr pro každou třídu.'}
DFsmooth <- data.frame(
  t = rep(t, 2 * n),
  time = rep(rep(1:n, each = length(t)), 2),
  Smooth = c(fdobjSmootheval),
  Mean = c(rep(apply(fdobjSmootheval[ , 1 : n], 1, mean), n),
            rep(apply(fdobjSmootheval[ , (n + 1) : (2 * n)], 1, mean), n)),
  group = factor(rep(c(0, 1), each = n * length(t)))
)

DFmean <- data.frame(
  t = rep(t, 2),
  Mean = c(apply(fdobjSmootheval[ , 1 : n], 1, mean), 
            apply(fdobjSmootheval[ , (n + 1) : (2 * n)], 1, mean)),
  group = factor(rep(c(0, 1), each = length(t)))
)

DFsmooth |> ggplot(aes(x = t, y = Smooth, group = interaction(time, group), 
                 colour = group)) + 
  geom_line(linewidth = 0.25) +
  theme_bw() +
  labs(x = 'Time',
       y = 'Function',
       colour = 'Klasifikační\n      třída') +
  scale_colour_discrete(labels = c('Y = 0', 'Y = 1')) + 
  geom_line(aes(x = t, y = Mean), 
            colour = 'black', linewidth = 1, linetype = 'twodash')
```

## Klasifikace křivek

Nejprve načteme potřebné knihovny pro klasifikaci.

```{r warning=FALSE, message=FALSE}
library(caTools) # pro rozdeleni na testovaci a trenovaci
library(caret) # pro k-fold CV
library(fda.usc) # pro KNN, fLR
library(MASS) # pro LDA
library(fdapace)
library(pracma)
library(refund) # pro LR na skorech
library(nnet) # pro LR na skorech
library(caret)
library(rpart) # stromy
library(rattle) # grafika
library(e1071)
library(randomForest) # nahodny les
```

Abychom mohli jednotlivé klasifikátory porovnat, rozdělíme množinu vygenerovaných pozorování na dvě části v poměru 70:30, a to na trénovací a testovací (validační) část.
Trénovací část použijeme při konstrukci klasifikátoru a testovací na výpočet chyby klasifikace a případně dalších charakteristik našeho modelu.
Výsledné klasifikátory podle těchto spočtených charakteristik můžeme následně porovnat mezi sebou z pohledu jejich úspěnosti klasifikace.

```{r}
# rozdeleni na testovaci a trenovaci cast
split <- sample.split(XXfd$fdnames$reps, SplitRatio = 0.7)

Y <- rep(c(0, 1), each = n)

X.train <- subset(XXfd, split == TRUE)
X.test <- subset(XXfd, split == FALSE)

Y.train <- subset(Y, split == TRUE)
Y.test <- subset(Y, split == FALSE)
```

Ještě se podíváme na zastoupení jednotlivých skupin v testovací a trénovací části dat.

```{r}
# absolutni zastoupeni
table(Y.train)
table(Y.test)

# relativni zastoupeni
table(Y.train) / sum(table(Y.train))
table(Y.test) / sum(table(Y.test))
```

### $K$ nejbližších sousedů

Začněme neparametrickou klasifikační metodou, a to metodou $K$ nejbližších sousedů.
Nejprve si vytvoříme potřebné objekty tak, abychom s nimi mohli pomocí funkce `classif.knn()` z knihovny `fda.usc` dále pracovat.

```{r}
x.train <- fdata(X.train)
y.train <- as.numeric(factor(Y.train))
```

Nyní můžeme definovat model a podívat se na jeho úspěšnost klasifikace.
Poslední otázkou však zůstává, jak volit optimální počet sousedů $K$.
Mohli bychom tento počet volit jako takové $K$, při kterém nastává minimální chybovost na trénovacích datech.
To by ale mohlo vést k přeučení modelu, proto využijeme cross-validaci.
Vzhledem k výpočetní náročnosti a rozsahu souboru zvolíme $k$-násobnou CV, my zvolíme například hodnotu $k = {10}$.

```{r}
# model pro vsechna trenovaci data pro K = 1, 2, ..., sqrt(n_train)
neighb.model <- classif.knn(group = y.train, 
                            fdataobj = x.train, 
                            knn = c(1:round(sqrt(length(y.train))))) 

# summary(neighb.model) # shrnuti modelu
# plot(neighb.model$gcv, pch = 16) # vykresleni zavislosti GCV na poctu sousedu K
# neighb.model$max.prob # maximalni presnost
(K.opt <- neighb.model$h.opt) # optimalni hodnota K
```

Proveďme předchozí postup pro trénovací data, která rozdělíme na $k$ částí a tedy zopakujeme tuto část kódu $k$-krát.

```{r}
k_cv <- 10 # k-fold CV
neighbours <- c(1:(2 * ceiling(sqrt(length(y.train))))) # pocet sousedu 

# rozdelime trenovaci data na k casti
folds <- createMultiFolds(X.train$fdnames$reps, k = k_cv, time = 1)

# prazdna matice, do ktere vlozime jednotlive vysledky
# ve sloupcich budou hodnoty presnosti pro danou cast trenovaci mnoziny
# v radcich budou hodnoty pro danou hodnotu K sousedu
CV.results <- matrix(NA, nrow = length(neighbours), ncol = k_cv)

for (index in 1:k_cv) {
  # definujeme danou indexovou mnozinu
  fold <- folds[[index]]
    
  x.train.cv <- subset(X.train, c(1:length(X.train$fdnames$reps)) %in% fold) |>
    fdata()
  y.train.cv <- subset(Y.train, c(1:length(X.train$fdnames$reps)) %in% fold) |>
    factor() |> as.numeric()
  
  x.test.cv <- subset(X.train, !c(1:length(X.train$fdnames$reps)) %in% fold) |>
    fdata()
  y.test.cv <- subset(Y.train, !c(1:length(X.train$fdnames$reps)) %in% fold) |>
    factor() |> as.numeric()
  
  # projdeme kazdou cast ... k-krat zopakujeme
  for(neighbour in neighbours) {
    # model pro konkretni volbu K
    neighb.model <- classif.knn(group = y.train.cv, 
                              fdataobj = x.train.cv, 
                              knn = neighbour) 
    # predikce na validacni casti
    model.neighb.predict <- predict(neighb.model, 
                                    new.fdataobj = x.test.cv)
    # presnost na validacni casti
    presnost <- table(y.test.cv, model.neighb.predict) |> 
      prop.table() |> diag() |> sum()
    
    # presnost vlozime na pozici pro dane K a fold
    CV.results[neighbour, index] <- presnost
  }
}

# spocitame prumerne presnosti pro jednotliva K pres folds
CV.results <- apply(CV.results, 1, mean)
K.opt <- which.max(CV.results)
presnost.opt.cv <- max(CV.results)
# CV.results
```

Vidíme, že nejlépe vychází hodnota parametru $K$ jako `r K.opt` s hodnotou chybovosti spočtenou pomocí 10-násobné CV `r round(1-presnost.opt.cv, 4)`.
Pro přehlednost si ještě vykresleme průběh validační chybovosti v závislosti na počtu sousedů $K$.

```{r fig.cap='Závislost validační chybovosti na hodnotě $K$, tedy na počtu sousedů.'}
CV.results <- data.frame(K = neighbours, CV = CV.results)
CV.results |> ggplot(aes(x = K, y = 1 - CV)) + 
  geom_line(linetype = 'dashed', colour = 'grey') + 
  geom_point(size = 1.5) + 
  geom_point(aes(x = K.opt, y = 1 - presnost.opt.cv), colour = 'red', size = 2) +
  theme_bw() + 
  labs(x = bquote(paste(K, ' ;   ', 
                        K[optimal] == .(K.opt))),
       y = 'Validační chybovost') + 
  scale_x_continuous(breaks = neighbours)
```

Nyní známe optimální hodnotu parametru $K$ a tudíž můžeme sestavit finální model.

```{r}
neighb.model <- classif.knn(group = y.train, fdataobj = x.train, knn = K.opt)

# predikce
model.neighb.predict <- predict(neighb.model, 
                                new.fdataobj = fdata(X.test))

# summary(neighb.model)

# presnost na testovacich datech
presnost <- table(as.numeric(factor(Y.test)), model.neighb.predict) |>
  prop.table() |>
  diag() |>
  sum()
# chybovost
# 1 - presnost
```

Vidíme tedy, že chybovost modelu sestrojeného pomocí metody $K$ nejbližších sousedů s optimální volbou $K_{optimal}$ rovnou `r K.opt`, kterou jsme určili cross-validací, je na trénovacích datech rovna `r 1 - round(neighb.model$max.prob, 4)` a na testovacích datech `r round(1 - presnost, 4)`.

K porovnání jendotlivých modelů můžeme použít oba typy chybovostí, pro přehlednost si je budeme ukládat do tabulky.

```{r}
RESULTS <- data.frame(model = 'KNN', 
                      Err.train = 1 - neighb.model$max.prob,
                      Err.test = 1 - presnost)
```

### Lineární diskriminační analýza

Jako druhou metodu pro sestrojení klasifikátoru budeme uvažovat lineární diskriminační analýzu (LDA).
Jelikož tato metoda nelze aplikovat na funkcionální data, musíme je nejprve diskretizovat, což provedeme pomocí funkcionální analýzy hlavních komponent.
Klasifikační algoritmus následně provedeme na skórech prvních $p$ hlavních komponent.
Počet komponent $p$ zvolíme tak, aby prvních $p$ hlavních komponent dohromady vysvětlovalo alespoň 90 % variability v datech.

Proveďme tedy nejprve funkcionální analýzu hlavních komponent a určeme počet $p$.

```{r}
# analyza hlavnich komponent
data.PCA <- pca.fd(X.train, nharm = 10) # nharm - maximalni pocet HK
nharm <- which(cumsum(data.PCA$varprop) >= 0.9)[1] # urceni p
if(nharm == 1) nharm <- 2

data.PCA <- pca.fd(X.train, nharm = nharm) 
data.PCA.train <- as.data.frame(data.PCA$scores) # skore prvnich p HK
data.PCA.train$Y <- factor(Y.train) # prislusnost do trid
```

V tomto konkrétním případě jsme za počet hlavních komponent vzali $p$ = `r nharm`, které dohromady vysvětlují `r 100 * round(cumsum(data.PCA$varprop)[nharm], 4)` % variability v datech.
První hlavní komponenta potom vysvětluje `r 100 * round(data.PCA$varprop[1], 4)` % a druhá `r 100 * round(data.PCA$varprop[2], 4)` % variability.
Graficky si můžeme zobrazit hodnoty skórů prvních dvou hlavních komponent, barevně odlišených podle příslušnosti do klasifikační třídy.

```{r fig.cap="Hodnoty skórů prvních dvou hlavních komponent pro trénovací data. Barevně jsou odlišeny body podle příslušnosti do klasifikační třídy."}
data.PCA.train |> ggplot(aes(x = V1, y = V2, colour = Y)) +
  geom_point(size = 1.5) + 
  labs(x = paste('1. hlavní komponenta (vysvětlená variabilita', 
                 round(100 * data.PCA$varprop[1], 2), '%)'),
       y = paste('2. hlavní komponenta (', 
                 round(100 * data.PCA$varprop[2], 2), '%)'),
       colour = 'Group') +
  scale_colour_discrete(labels = c('Y = 0', 'Y = 1')) +
  theme_bw()
```

Abychom mohli určit přesnost klasifikace na testovacích datech, potřebujeme spočítat skóre pro první `r nharm` hlavní komponenty pro testovací data.
Tato skóre určíme pomocí vzorce:

$$
\xi_{i, j} = \int \left( X_i(t) - \mu(t)\right) \cdot \rho_j(t)\text dt,
$$ kde $\mu(t)$ je střední hodnota (průměrná funkce) a $\rho_j(t)$ vlastní fukce (funkcionální hlavní komponenty).

```{r}
# vypocet skoru testovacich funkci
scores <- matrix(NA, ncol = nharm, nrow = length(Y.test)) # prazdna matice 

for(k in 1:dim(scores)[1]) {
  xfd = X.test[k] - data.PCA$meanfd[1] # k-te pozorovani - prumerna funkce
  scores[k, ] = inprod(xfd, data.PCA$harmonics) 
  # skalarni soucin rezidua a vlastnich funkci rho (funkcionalni hlavni komponenty)
}

data.PCA.test <- as.data.frame(scores)
data.PCA.test$Y <- factor(Y.test)
colnames(data.PCA.test) <- colnames(data.PCA.train) 
```

Nyní již můžeme sestrojit klasifikátor na trénovací části dat.

```{r}
# model
clf.LDA <- lda(Y ~ ., data = data.PCA.train)

# presnost na trenovacich datech
predictions.train <- predict(clf.LDA, newdata = data.PCA.train)
presnost.train <- table(data.PCA.train$Y, predictions.train$class) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()
  
# presnost na testovacich datech
predictions.test <- predict(clf.LDA, newdata = data.PCA.test)
presnost.test <- table(data.PCA.test$Y, predictions.test$class) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()
```

Spočítali jsme jednak chybovost klasifikátoru na trénovacích (`r 100 * round(1-presnost.train, 4)` %), tak i na testovacích datech (`r 100 * round(1-presnost.test, 4)` %).

Pro grafické znázornění metody můžeme zaznačit dělící hranici do grafu skórů prvních dvou hlavních komponent.
Tuto hranici spočítáme na husté síti bodů a zobrazíme ji pomocí funkce `geom_contour()`.

```{r fig.cap="Skóre prvních dvou hlavních komponent, barevně odlišené podle příslušnosti do klasifikační třídy. Černě je vyznačena dělící hranice (přímka v rovině prvních dvou hlavních komponent) mezi třídami sestrojená pomocí LDA."}
# pridame diskriminacni hranici
np <- 1001 # pocet bodu site
# x-ova osa ... 1. HK
nd.x <- seq(from = min(data.PCA.train$V1), 
            to = max(data.PCA.train$V1), length.out = np)
# y-ova osa ... 2. HK
nd.y <- seq(from = min(data.PCA.train$V2), 
            to = max(data.PCA.train$V2), length.out = np)
# pripad pro 2 HK ... p = 2
nd <- expand.grid(V1 = nd.x, V2 = nd.y)
# pokud p = 3
if(dim(data.PCA.train)[2] == 4) {
  nd <- expand.grid(V1 = nd.x, V2 = nd.y, V3 = data.PCA.train$V3[1])}
# pokud p = 4
if(dim(data.PCA.train)[2] == 5) {
  nd <- expand.grid(V1 = nd.x, V2 = nd.y, V3 = data.PCA.train$V3[1],
                    V4 = data.PCA.train$V4[1])}
# pokud p = 5
if(dim(data.PCA.train)[2] == 6) {
  nd <- expand.grid(V1 = nd.x, V2 = nd.y, V3 = data.PCA.train$V3[1],
                    V4 = data.PCA.train$V4[1], V5 = data.PCA.train$V5[1])}

# pridame Y = 0, 1
nd <- nd |> mutate(prd = as.numeric(predict(clf.LDA, newdata = nd)$class))

data.PCA.train |> ggplot(aes(x = V1, y = V2, colour = Y)) +
  geom_point(size = 1.5) + 
  labs(x = paste('1. hlavní komponenta (vysvětlená variabilita', 
                 round(100 * data.PCA$varprop[1], 2), '%)'),
       y = paste('2. hlavní komponenta (', 
                 round(100 * data.PCA$varprop[2], 2), '%)'),
       colour = 'Group') +
  scale_colour_discrete(labels = c('Y = 0', 'Y = 1')) +
  theme_bw() +
  geom_contour(data = nd, aes(x = V1, y = V2, z = prd), colour = 'black')
```

Vidíme, že dělící hranicí je přímka, lineární funkce v prostoru 2D, což jsme ostatně od LDA čekali.
Nakonec přidáme chybovosti do souhrnné tabulky.

```{r}
Res <- data.frame(model = 'LDA', 
                  Err.train = 1 - presnost.train,
                  Err.test = 1 - presnost.test)

RESULTS <- rbind(RESULTS, Res)
```

### Kvadratická diskriminační analýza

Jako další sestrojme klasifikátor pomocí kvadratické diskriminační analýzy (QDA).
Jedná se o analogický případ jako LDA s tím rozdílem, že nyní připouštíme pro každou ze tříd rozdílnou kovarianční matici normálního rozdělení, ze kterého pocházejí příslušné skóry.
Tento vypuštěný předpoklad o rovnosti kovariančních matic vede ke kvadratické hranici mezi třídami.

V `R` se provede QDA analogicky jako LDA v předchozí části, tedy opět bychom pomocí funkcionální analýzy hlavních komponent spočítali skóre pro trénovací i testovací funkce, sestrojili klasifikátor na skórech prvních $p$ hlavních komponent a pomocí něj predikovali příslušnost testovacích křivek do třídy $Y^* \in \{0, 1\}$.

Funkcionální PCA provádět nemusíme, využijeme výsledků z části LDA.

```{r include=FALSE, eval=FALSE}
# analyza hlavnich komponent ... uplne stejne jako u LDA
data.PCA <- pca.fd(X.train, nharm = 10) # nharm - maximalni pocet HK
nharm <- which(cumsum(data.PCA$varprop) >= 0.9)[1] # urceni p

data.PCA <- pca.fd(X.train, nharm = nharm) 
data.PCA.train <- as.data.frame(data.PCA$scores) # skore prvnich p HK
data.PCA.train$Y <- factor(Y.train) # prislusnost do trid
```

```{r include=FALSE, eval=FALSE}
# vypocet skoru testovacich funkci
scores <- matrix(NA, ncol = nharm, nrow = length(Y.test)) # prazdna matice 

for(k in 1:dim(scores)[1]) {
  xfd = X.test[k] - data.PCA$meanfd[1] # k-te pozorovani - prumerna funkce
  scores[k, ] = inprod(xfd, data.PCA$harmonics) 
  # skalarni soucin rezidua a vlastnich funkci rho (funkcionalni hlavni komponenty)
}

data.PCA.test <- as.data.frame(scores)
data.PCA.test$Y <- factor(Y.test)
colnames(data.PCA.test) <- colnames(data.PCA.train) 
```

Můžeme tedy rovnou přistoupit k sestrojení klasifikátoru, což provedeme pomocí funkce `qda()`.
Následně spočítáme přesnost klasifikátoru na testovacích a trénovacích datech.

```{r}
# model
clf.QDA <- qda(Y ~ ., data = data.PCA.train)

# presnost na trenovacich datech
predictions.train <- predict(clf.QDA, newdata = data.PCA.train)
presnost.train <- table(data.PCA.train$Y, predictions.train$class) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()
  
# presnost na testovacich datech
predictions.test <- predict(clf.QDA, newdata = data.PCA.test)
presnost.test <- table(data.PCA.test$Y, predictions.test$class) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()
```

Spočítali jsme tedy jednak chybovost klasifikátoru na trénovacích (`r 100 * round(1-presnost.train, 4)` %), tak i na testovacích datech (`r 100 * round(1-presnost.test, 4)` %).

Pro grafické znázornění metody můžeme zaznačit dělící hranici do grafu skórů prvních dvou hlavních komponent.
Tuto hranici spočítáme na husté síti bodů a zobrazíme ji pomocí funkce `geom_contour()` stejně jako v případě LDA.

```{r include=FALSE, eval=FALSE}
# pridame diskriminacni hranici
np <- 1001 # pocet bodu site
# x-ova osa ... 1. HK
nd.x <- seq(from = min(data.PCA.train$V1), 
            to = max(data.PCA.train$V1), length.out = np)
# y-ova osa ... 2. HK
nd.y <- seq(from = min(data.PCA.train$V2), 
            to = max(data.PCA.train$V2), length.out = np)
# pripad pro 2 HK ... p = 2
nd <- expand.grid(V1 = nd.x, V2 = nd.y)
# pokud p = 3
if(dim(data.PCA.train)[2] == 4) {
  nd <- expand.grid(V1 = nd.x, V2 = nd.y, V3 = data.PCA.train$V3[1])}
# pokud p = 4
if(dim(data.PCA.train)[2] == 5) {
  nd <- expand.grid(V1 = nd.x, V2 = nd.y, V3 = data.PCA.train$V3[1],
                    V4 = data.PCA.train$V4[1])}
# pokud p = 5
if(dim(data.PCA.train)[2] == 6) {
  nd <- expand.grid(V1 = nd.x, V2 = nd.y, V3 = data.PCA.train$V3[1],
                    V4 = data.PCA.train$V4[1], V5 = data.PCA.train$V5[1])}
```

```{r fig.cap="Skóre prvních dvou hlavních komponent, barevně odlišené podle příslušnosti do klasifikační třídy. Černě je vyznačena dělící hranice (parabola v rovině prvních dvou hlavních komponent) mezi třídami sestrojená pomocí QDA."}
nd <- nd |> mutate(prd = as.numeric(predict(clf.QDA, newdata = nd)$class))

data.PCA.train |> ggplot(aes(x = V1, y = V2, colour = Y)) +
  geom_point(size = 1.5) + 
  labs(x = paste('1. hlavní komponenta (vysvětlená variabilita', 
                 round(100 * data.PCA$varprop[1], 2), '%)'),
       y = paste('2. hlavní komponenta (', 
                 round(100 * data.PCA$varprop[2], 2), '%)'),
       colour = 'Group') +
  scale_colour_discrete(labels = c('Y = 0', 'Y = 1')) +
  theme_bw() +
  geom_contour(data = nd, aes(x = V1, y = V2, z = prd), colour = 'black')
```

Všimněme si, že dělící hranicí mezi klasifikačními třídami je nyní parabola.

Nakonec ještě doplníme chybovosti do souhrnné tabulky.

```{r}
Res <- data.frame(model = 'QDA', 
                  Err.train = 1 - presnost.train,
                  Err.test = 1 - presnost.test)

RESULTS <- rbind(RESULTS, Res)
```

### Support Vector Machines

Definujeme pro další metody data.

```{r}
# posloupnost bodu, ve kterych funkce vyhodnotime
t.seq <- seq(0, 12, length = 101)
   
grid.data <- eval.fd(fdobj = X.train, evalarg = t.seq)
grid.data <- as.data.frame(t(grid.data)) # transpozice kvuli funkcim v radku
grid.data$Y <- Y.train |> factor()

grid.data.test <- eval.fd(fdobj = X.test, evalarg = t.seq)
grid.data.test <- as.data.frame(t(grid.data.test))
grid.data.test$Y <- Y.test |> factor()
```

Nejprve si definujme potřebné datové soubory s koeficienty.

```{r}
# trenovaci dataset
data.Bbasis.train <- t(X.train$coefs) |> as.data.frame()
data.Bbasis.train$Y <- factor(Y.train)

# testovaci dataset
data.Bbasis.test <- t(X.test$coefs) |> as.data.frame()
data.Bbasis.test$Y <- factor(Y.test)
```

Nyní se podívejme na klasifikaci našich nasimulovaných křivek pomocí metody podpůrných vektorů (ang. Support Vector Machines, SVM).
Výhodou této klasifikační metody je její výpočetní nenáročnost, neboť pro definici hraniční křivky mezi třídami využívá pouze několik (často málo) pozorování.

Hlavní výhodou SVM je použití tzv.
*jádrového triku* (kernel trick), pomocí kterého nahradíme obyčejný skalární součin jiným skalárním součinem transformovaných dat, aniž bychom tuto transformaci museli přímo definovat.
Tím dostaneme obecně nelineární dělící hranici mezi klasifikačními třídami.
*Jádro* (jádrová funkce, ang. kernel, kernel function) $K$ je taková funkce, která splňuje

$$
K(x_i, x_j) = \langle \phi(x_i), \phi(x_j) \rangle_{\mathcal H}, 
$$ kde $\phi$ je nějaká (neznámá) transformace (ang. feature map), $\mathcal H$ je Hilbertův prostor a $\langle \cdot, \cdot \rangle_{\mathcal H}$ je nějaký skalární součin na tomto Hilbertově prostoru.

Nejčastěji se v praxi volí tři typy jádrových funkcí:

-   lineární jádro -- $K(x_i, x_j) = \langle x_i, x_j \rangle$,
-   polynomiální jádro -- $K(x_i, x_j) = \big(\alpha_0 + \gamma \langle x_i, x_j \rangle \big)^d$,
-   radiální (gaussovské) jádro -- $\displaystyle{K(x_i, x_j) = \text e^{-\gamma \|x_i - x_j \|^2}}$.

U všech výše zmíněných jader musíme zvolit konstantu $C > 0$, která udává míru penalizace za překročení dělící hranice mezi třídami (ang. inverse regularization parameter).
S rostoucí hodnotou $C$ bude metoda více penalizovat špatně klasifikovaná data a méně tvar hranice, naopak pro malé hodnoty $C$ metoda nedává takový význam špatně klasifikovaným datům, ale zaměřuje se více na penalizaci tvaru hranice.
Tato konstanta $C$ se defaultně volí rovna 1, můžeme ji určit i přímo například pomocí cross-validace.

V případě funkcionálních dat máme několik možností, jak použít metodu SVM.
Nejjednodušší variantou je použít tuto klasifikační metodu přímo na diskretizovanou funkci (sekce \@ref(diskr2)).
Další možností je opět využít skóre hlavních komponent a klasifikovat křivky pomocí jejich reprezentace \@ref(PCA-SVM2).
Další přímočarou variantou je využít vyjádření křivek pomocí Fourierovy báze a klasifikovat křivky na základě koeficientů jejich vyjádření v této bázi (sekce \@ref(basis-SVM2)).

Složitější úvahou můžeme dospět k několika dalším možnostem, které využívají funkcionální podstatu dat.
Jednak můžeme místo klasifikace původní křivky využít její derivaci (případně druhou derivaci, třetí, ...), druhak můžeme využít projekce funkcí na podprostor generovaný, např. B-splinovými nebo Fourierovými, funkcemi (sekce \@ref(projection-SVM2)). Poslední metoda, kterou použijeme pro klasifikaci funkcionálních dat, spočívá v kombinaci projekce na určitý podprostor generovaný funkcemi (Reproducing Kernel Hilbert Space, RKHS) a klasifikace příslušné reprezentace. Tato metoda využívá kromě klasického SVM i SVM pro regresi, více uvádíme v sekci RKHS + SVM \@ref(RKHS-SVM2).

#### Diskretizace intervalu

Začněme nejprve aplikací metody podpůrných vektorů přímo na diskretizovaná data (vyhodnocení funkce na dané síti bodů na intervalu $I = [0, 12]$), přičemž budeme uvažovat všech tři výše zmíněné jádrové funkce.

```{r}
# set norm equal to one
norms <- c()
for (i in 1:dim(XXfd$coefs)[2]) {
  norms <- c(norms, as.numeric(1 / norm.fd(XXfd[i])))
  }
XXfd_norm <- XXfd 
XXfd_norm$coefs <- XXfd_norm$coefs * matrix(norms, 
                                            ncol = dim(XXfd$coefs)[2],
                                            nrow = dim(XXfd$coefs)[1],
                                            byrow = T)

# rozdeleni na testovaci a trenovaci cast
X.train_norm <- subset(XXfd_norm, split == TRUE)
X.test_norm <- subset(XXfd_norm, split == FALSE)

Y.train_norm <- subset(Y, split == TRUE)
Y.test_norm <- subset(Y, split == FALSE)

grid.data <- eval.fd(fdobj = X.train_norm, evalarg = t.seq)
grid.data <- as.data.frame(t(grid.data)) 
grid.data$Y <- Y.train_norm |> factor()

grid.data.test <- eval.fd(fdobj = X.test_norm, evalarg = t.seq)
grid.data.test <- as.data.frame(t(grid.data.test))
grid.data.test$Y <- Y.test_norm |> factor()
```

```{r}
# sestrojeni modelu
clf.SVM.l <- svm(Y ~ ., data = grid.data,
                 type = 'C-classification',
                 scale = TRUE,
                 kernel = 'linear')

clf.SVM.p <- svm(Y ~ ., data = grid.data,
                 type = 'C-classification',
                 scale = TRUE,
                 coef0 = 1,
                 kernel = 'polynomial')

clf.SVM.r <- svm(Y ~ ., data = grid.data,
                 type = 'C-classification',
                 scale = TRUE,
                 kernel = 'radial')

# presnost na trenovacich datech
predictions.train.l <- predict(clf.SVM.l, newdata = grid.data)
presnost.train.l <- table(Y.train, predictions.train.l) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()

predictions.train.p <- predict(clf.SVM.p, newdata = grid.data)
presnost.train.p <- table(Y.train, predictions.train.p) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()

predictions.train.r <- predict(clf.SVM.r, newdata = grid.data)
presnost.train.r <- table(Y.train, predictions.train.r) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()

# presnost na testovacich datech
predictions.test.l <- predict(clf.SVM.l, newdata = grid.data.test)
presnost.test.l <- table(Y.test, predictions.test.l) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()

predictions.test.p <- predict(clf.SVM.p, newdata = grid.data.test)
presnost.test.p <- table(Y.test, predictions.test.p) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()

predictions.test.r <- predict(clf.SVM.r, newdata = grid.data.test)
presnost.test.r <- table(Y.test, predictions.test.r) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()
```

Chybovost metody SVM na trénovacích datech je tedy `r 100 * round(1-presnost.train.l, 4)` % pro lineární jádro, `r 100 * round(1-presnost.train.p, 4)` % pro polynomiální jádro a `r 100 * round(1-presnost.train.r, 4)` % pro gaussovské jádro.
Na testovacích datech je potom chybovost metody `r 100 * round(1-presnost.test.l, 4)` % pro lineární jádro, `r 100 * round(1-presnost.test.p, 4)` % pro polynomiální jádro a `r 100 * round(1-presnost.test.r, 4)` % pro radiální jádro.

```{r}
Res <- data.frame(model = c('SVM linear - diskr', 
                            'SVM poly - diskr', 
                            'SVM rbf - diskr'), 
                  Err.train = 1 - c(presnost.train.l, presnost.train.p, presnost.train.r),
                  Err.test = 1 - c(presnost.test.l, presnost.test.p, presnost.test.r))

RESULTS <- rbind(RESULTS, Res)
```

#### Skóre hlavních komponent

V tomto případě využijeme skóre prvních $p =$ `r nharm` hlavních komponent.

```{r}
# sestrojeni modelu
clf.SVM.l.PCA <- svm(Y ~ ., data = data.PCA.train,
                     type = 'C-classification',
                     scale = TRUE,
                     kernel = 'linear')

clf.SVM.p.PCA <- svm(Y ~ ., data = data.PCA.train,
                     type = 'C-classification',
                     scale = TRUE,
                     coef0 = 1,
                     kernel = 'polynomial')

clf.SVM.r.PCA <- svm(Y ~ ., data = data.PCA.train,
                     type = 'C-classification',
                     scale = TRUE,
                     kernel = 'radial')

# presnost na trenovacich datech
predictions.train.l <- predict(clf.SVM.l.PCA, newdata = data.PCA.train)
presnost.train.l <- table(data.PCA.train$Y, predictions.train.l) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()

predictions.train.p <- predict(clf.SVM.p.PCA, newdata = data.PCA.train)
presnost.train.p <- table(data.PCA.train$Y, predictions.train.p) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()

predictions.train.r <- predict(clf.SVM.r.PCA, newdata = data.PCA.train)
presnost.train.r <- table(data.PCA.train$Y, predictions.train.r) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()
  
# presnost na testovacich datech
predictions.test.l <- predict(clf.SVM.l.PCA, newdata = data.PCA.test)
presnost.test.l <- table(data.PCA.test$Y, predictions.test.l) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()

predictions.test.p <- predict(clf.SVM.p.PCA, newdata = data.PCA.test)
presnost.test.p <- table(data.PCA.test$Y, predictions.test.p) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()

predictions.test.r <- predict(clf.SVM.r.PCA, newdata = data.PCA.test)
presnost.test.r <- table(data.PCA.test$Y, predictions.test.r) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()
```

Chybovost metody SVM aplikované na skóre hlavních komponent na trénovacích datech je tedy `r 100 * round(1-presnost.train.l, 4)` % pro lineární jádro, `r 100 * round(1-presnost.train.p, 4)` % pro polynomiální jádro a `r 100 * round(1-presnost.train.r, 4)` % pro gaussovské jádro.
Na testovacích datech je potom chybovost metody `r 100 * round(1-presnost.test.l, 4)` % pro lineární jádro, `r 100 * round(1-presnost.test.p, 4)` % pro polynomiální jádro a `r 100 * round(1-presnost.test.r, 4)` % pro radiální jádro.

Pro grafické znázornění metody můžeme zaznačit dělící hranici do grafu skórů prvních dvou hlavních komponent.
Tuto hranici spočítáme na husté síti bodů a zobrazíme ji pomocí funkce `geom_contour()` stejně jako v předchozích případech, kdy jsme také vykreslovali klasifikační hranici.

```{r include=FALSE, eval=FALSE}
# pridame diskriminacni hranici
np <- 1001 # pocet bodu site
# x-ova osa ... 1. HK
nd.x <- seq(from = min(data.PCA.train$V1), 
            to = max(data.PCA.train$V1), length.out = np)
# y-ova osa ... 2. HK
nd.y <- seq(from = min(data.PCA.train$V2), 
            to = max(data.PCA.train$V2), length.out = np)
# pripad pro 2 HK ... p = 2
nd <- expand.grid(V1 = nd.x, V2 = nd.y)
# pokud p = 3
if(dim(data.PCA.train)[2] == 4) {
  nd <- expand.grid(V1 = nd.x, V2 = nd.y, V3 = data.PCA.train$V3[1])}
# pokud p = 4
if(dim(data.PCA.train)[2] == 5) {
  nd <- expand.grid(V1 = nd.x, V2 = nd.y, V3 = data.PCA.train$V3[1],
                    V4 = data.PCA.train$V4[1])}
# pokud p = 5
if(dim(data.PCA.train)[2] == 6) {
  nd <- expand.grid(V1 = nd.x, V2 = nd.y, V3 = data.PCA.train$V3[1],
                    V4 = data.PCA.train$V4[1], V5 = data.PCA.train$V5[1])}
```

```{r include=FALSE, echo=FALSE, eval=FALSE}
nd <- nd |> mutate(prd.l = as.numeric(predict(clf.SVM.l.PCA, newdata = nd,
                                              type = 'response')),
                   prd.p = as.numeric(predict(clf.SVM.p.PCA, newdata = nd,
                                              type = 'response')),
                   prd.r = as.numeric(predict(clf.SVM.r.PCA, newdata = nd,
                                              type = 'response')))

data.PCA.train |> ggplot(aes(x = V1, y = V2, colour = Y)) +
  geom_point(size = 1.5) + 
  labs(x = paste('1. hlavní komponenta (vysvětlená variabilita', 
                 round(100 * data.PCA$varprop[1], 2), '%)'),
       y = paste('2. hlavní komponenta (', 
                 round(100 * data.PCA$varprop[2], 2), '%)'),
       colour = 'Group') +
  scale_colour_discrete(labels = c('Y = 0', 'Y = 1')) +
  theme_bw() +
  geom_contour(data = nd, aes(x = V1, y = V2, z = prd.l), colour = 'black') + 
  geom_contour(data = nd, aes(x = V1, y = V2, z = prd.p), colour = 'blue') + 
  geom_contour(data = nd, aes(x = V1, y = V2, z = prd.r), colour = 'green')

```

```{r fig.cap="Skóre prvních dvou hlavních komponent, barevně odlišené podle příslušnosti do klasifikační třídy. Černě je vyznačena dělící hranice (přímka, resp. křivky v rovině prvních dvou hlavních komponent) mezi třídami sestrojená pomocí metody SVM."}
nd <- rbind(nd, nd, nd) |> mutate(
   prd = c(as.numeric(predict(clf.SVM.l.PCA, newdata = nd, type = 'response')),
           as.numeric(predict(clf.SVM.p.PCA, newdata = nd, type = 'response')),
           as.numeric(predict(clf.SVM.r.PCA, newdata = nd, type = 'response'))),
   kernel = rep(c('linear', 'polynomial', 'radial'),
                each = length(as.numeric(predict(clf.SVM.l.PCA, 
                                                 newdata = nd,
                                                 type = 'response')))))

data.PCA.train |> ggplot(aes(x = V1, y = V2, colour = Y)) +
 geom_point(size = 1.5) + 
 labs(x = paste('1. hlavní komponenta (vysvětlená variabilita', 
                round(100 * data.PCA$varprop[1], 2), '%)'),
      y = paste('2. hlavní komponenta (', 
                round(100 * data.PCA$varprop[2], 2), '%)'),
      colour = 'Group', 
      linetype = 'Kernel type') +
 scale_colour_discrete(labels = c('Y = 0', 'Y = 1')) +
 theme_bw() +
 geom_contour(data = nd, aes(x = V1, y = V2, z = prd, linetype = kernel), 
              colour = 'black') + 
 geom_contour(data = nd, aes(x = V1, y = V2, z = prd, linetype = kernel),
              colour = 'black') + 
 geom_contour(data = nd, aes(x = V1, y = V2, z = prd, linetype = kernel),
              colour = 'black')
```

```{r}
Res <- data.frame(model = c('SVM linear - PCA', 
                            'SVM poly - PCA', 
                            'SVM rbf - PCA'), 
                  Err.train = 1 - c(presnost.train.l, presnost.train.p, presnost.train.r),
                  Err.test = 1 - c(presnost.test.l, presnost.test.p, presnost.test.r))

RESULTS <- rbind(RESULTS, Res)
```

#### Bázové koeficienty

Nakonec použijeme vyjádření funkcí pomocí Fourierovy báze.

```{r}
# sestrojeni modelu
clf.SVM.l.Bbasis <- svm(Y ~ ., data = data.Bbasis.train,
                        type = 'C-classification',
                        scale = TRUE,
                        kernel = 'linear')

clf.SVM.p.Bbasis <- svm(Y ~ ., data = data.Bbasis.train,
                        type = 'C-classification',
                        scale = TRUE,
                        coef0 = 1,
                        kernel = 'polynomial')

clf.SVM.r.Bbasis <- svm(Y ~ ., data = data.Bbasis.train,
                        type = 'C-classification',
                        scale = TRUE,
                        kernel = 'radial')

# presnost na trenovacich datech
predictions.train.l <- predict(clf.SVM.l.Bbasis, newdata = data.Bbasis.train)
presnost.train.l <- table(Y.train, predictions.train.l) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()

predictions.train.p <- predict(clf.SVM.p.Bbasis, newdata = data.Bbasis.train)
presnost.train.p <- table(Y.train, predictions.train.p) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()

predictions.train.r <- predict(clf.SVM.r.Bbasis, newdata = data.Bbasis.train)
presnost.train.r <- table(Y.train, predictions.train.r) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()
  
# presnost na testovacich datech
predictions.test.l <- predict(clf.SVM.l.Bbasis, newdata = data.Bbasis.test)
presnost.test.l <- table(Y.test, predictions.test.l) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()

predictions.test.p <- predict(clf.SVM.p.Bbasis, newdata = data.Bbasis.test)
presnost.test.p <- table(Y.test, predictions.test.p) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()

predictions.test.r <- predict(clf.SVM.r.Bbasis, newdata = data.Bbasis.test)
presnost.test.r <- table(Y.test, predictions.test.r) |>
  prop.table() |> diag() |> sum()
```

Chybovost metody SVM aplikované na bázové koeficienty na trénovacích datech je tedy `r 100 * round(1-presnost.train.l, 4)` % pro lineární jádro, `r 100 * round(1-presnost.train.p, 4)` % pro polynomiální jádro a `r 100 * round(1-presnost.train.r, 4)` % pro gaussovské jádro.
Na testovacích datech je potom chybovost metody `r 100 * round(1-presnost.test.l, 4)` % pro lineární jádro, `r 100 * round(1-presnost.test.p, 4)` % pro polynomiální jádro a `r 100 * round(1-presnost.test.r, 4)` % pro radiální jádro.

```{r}
Res <- data.frame(model = c('SVM linear - Fbasis', 
                            'SVM poly - Fbasis', 
                            'SVM rbf - Fbasis'), 
                  Err.train = 1 - c(presnost.train.l, presnost.train.p, presnost.train.r),
                  Err.test = 1 - c(presnost.test.l, presnost.test.p, presnost.test.r))

RESULTS <- rbind(RESULTS, Res)
```

#### Projekce na Fourierovu bázi

Další možností, jak použít klasickou metodu SVM pro funkcionální data, je projektovat původní data na nějaký $d$-dimenzionální podprostor našeho Hilbertova prostoru $\mathcal H$, označme jej $V_d$.
Předpokládejme, že tento podprostor $V_d$ má ortonormální bázi $\{\Psi_j\}_{j = 1, \dots, d}$.
Definujeme transformaci $P_{V_d}$ jakožto ortogonální projekci na podprostor $V_d$, tedy můžeme psát

$$
P_{V_d} (x) = \sum_{j = 1}^d \langle x, \Psi_j \rangle \Psi_j.
$$

Nyní můžeme pro klasifikaci použít koeficienty z ortogonální projekce, tedy aplikujeme standardní SVM na vektory $\left( \langle x, \Psi_1 \rangle, \dots, \langle x, \Psi_d \rangle\right)^\top$.
Využitím této transformace jsme tedy definovali nové, tzv.
adaptované jádro, které je složené z ortogonální projekce $P_{V_d}$ a jádrové funkce standardní metody podpůrných vektorů.
Máme tedy (adaptované) jádro $Q(x_i, x_j) = K(P_{V_d}(x_i), P_{V_d}(x_j))$.
Jde tedy o metodu redukce dimenze, kterou můžeme nazvat *filtrace*.

Pro samotnou projekci použijeme v `R` funkci `project.basis()` z knihovny `fda`.
Na jejím vstupu bude matice původních diskrétních (nevyhlazených) dat, hodnoty, ve kterých měříme hodnoty v matici původních dat a bázový objekt, na který chceme data projektovat.
My zvolíme projekci na Fourierovu bázi, protože využití B-splinové báze není pro naše periodická data vhodné.

Dimenzi $d$ volíme buď z nějaké předchozí expertní znalosti, nebo pomocí cross-validace.
V našem případě určíme optimální dimenzi podprostoru $V_d$ pomocí $k$-násobné cross-validace (volíme $k \ll n$ kvůli výpočetní náročnosti metody, často se volí $k = 5$ nebo $k = 10$).

```{r}
k_cv <- 10 # k-fold CV

# hodnoty pro Fourierovu bazi
rangeval <- range(t)
n_basis_min <- 3
n_basis_max <- 40

dimensions <- n_basis_min:n_basis_max # vsechny dimenze, ktere chceme vyzkouset

# rozdelime trenovaci data na k casti
folds <- createMultiFolds(1:sum(split), k = k_cv, time = 1)

# list se tremi slozkami ... maticemi pro jednotlive jadra -> linear, poly, radial
# prazdna matice, do ktere vlozime jednotlive vysledky
# ve sloupcich budou hodnoty presnosti pro danou cast trenovaci mnoziny
# v radcich budou hodnoty pro danou hodnotu dimenze
CV.results <- list(SVM.l = matrix(NA, nrow = length(dimensions), ncol = k_cv),
                   SVM.p = matrix(NA, nrow = length(dimensions), ncol = k_cv),
                   SVM.r = matrix(NA, nrow = length(dimensions), ncol = k_cv))

for (d in dimensions) {
  # bazovy objekt
  fbasis <- create.fourier.basis(rangeval = rangeval, 
                                 nbasis = d)
  
  # projekce diskretnich dat na Fourierovu bazi o dimenzi d
  Projection <- project.basis(y = XX, # matice diskretnich dat
                              argvals = t, # vektor argumentu
                              basisobj = fbasis) # bazovy objekt
  
  # rozdeleni na trenovaci a testovaci data v ramci CV
  XX.train <- subset(t(Projection), split == TRUE)
  
  for (index_cv in 1:k_cv) {
    # definice testovaci a trenovaci casti pro CV
    fold <- folds[[index_cv]]
    cv_sample <- 1:dim(XX.train)[1] %in% fold
    
    data.projection.train.cv <- as.data.frame(XX.train[cv_sample, ])
    data.projection.train.cv$Y <- factor(Y.train[cv_sample])
    
    data.projection.test.cv <- as.data.frame(XX.train[!cv_sample, ])
    Y.test.cv <- Y.train[!cv_sample]
    data.projection.test.cv$Y <- factor(Y.test.cv)
  
    # sestrojeni modelu
    clf.SVM.l.projection <- svm(Y ~ ., data = data.projection.train.cv,
                            type = 'C-classification',
                            scale = TRUE,
                            kernel = 'linear')
    
    clf.SVM.p.projection <- svm(Y ~ ., data = data.projection.train.cv,
                            type = 'C-classification',
                            scale = TRUE,
                            coef0 = 1,
                            kernel = 'polynomial')
    
    clf.SVM.r.projection <- svm(Y ~ ., data = data.projection.train.cv,
                            type = 'C-classification',
                            scale = TRUE,
                            kernel = 'radial')
      
    # presnost na validacnich datech
    ## linear kernel
    predictions.test.l <- predict(clf.SVM.l.projection,
                                  newdata = data.projection.test.cv)
    presnost.test.l <- table(Y.test.cv, predictions.test.l) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
    ## polynomial kernel
    predictions.test.p <- predict(clf.SVM.p.projection, 
                                  newdata = data.projection.test.cv)
    presnost.test.p <- table(Y.test.cv, predictions.test.p) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
    ## radial kernel
    predictions.test.r <- predict(clf.SVM.r.projection,
                                  newdata = data.projection.test.cv)
    presnost.test.r <- table(Y.test.cv, predictions.test.r) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
    
    # presnosti vlozime na pozice pro dane d a fold
    CV.results$SVM.l[d - min(dimensions) + 1, index_cv] <- presnost.test.l
    CV.results$SVM.p[d - min(dimensions) + 1, index_cv] <- presnost.test.p
    CV.results$SVM.r[d - min(dimensions) + 1, index_cv] <- presnost.test.r
  }
}
  
# spocitame prumerne presnosti pro jednotliva d pres folds
for (n_method in 1:length(CV.results)) {
  CV.results[[n_method]] <- apply(CV.results[[n_method]], 1, mean)
}

d.opt <- c(which.max(CV.results$SVM.l) + n_basis_min - 1, 
           which.max(CV.results$SVM.p) + n_basis_min - 1, 
           which.max(CV.results$SVM.r) + n_basis_min - 1)
presnost.opt.cv <- c(max(CV.results$SVM.l), 
                     max(CV.results$SVM.p),
                     max(CV.results$SVM.r))
data.frame(d_opt = d.opt, ERR = 1 - presnost.opt.cv,
           row.names = c('linear', 'poly', 'radial'))
```

Vidíme, že nejlépe vychází hodnota parametru $d$ jako `r d.opt[1]` pro lineární jádro s hodnotou chybovosti spočtenou pomocí 10-násobné CV `r round(1-presnost.opt.cv[1], 4)`, `r d.opt[2]` pro polynomiální jádro s hodnotou chybovosti spočtenou pomocí 10-násobné CV `r round(1-presnost.opt.cv[2], 4)` a `r d.opt[3]` pro radiální jádro s hodnotou chybovosti `r round(1-presnost.opt.cv[3], 4)`.
Pro přehlednost si ještě vykresleme průběh validačních chybovostí v závislosti na dimenzi $d$.

```{r fig.cap='Závislost validační chybovosti na dimenzi podprostoru $V_d$, zvlášť pro všechna tři uvažovaná jádra v metodě SVM. Černými body jsou vyznačeny optimální hodnoty dimenze $V_d$ pro jednotlivé jádrové funkce.'}
CV.results <- data.frame(d = dimensions |> rep(3), 
                         CV = c(CV.results$SVM.l, 
                                CV.results$SVM.p, 
                                CV.results$SVM.r),
                         Kernel = rep(c('linear', 'polynomial', 'radial'), 
                                      each = length(dimensions)) |> factor())
CV.results |> ggplot(aes(x = d, y = 1 - CV, colour = Kernel)) + 
  geom_line(linetype = 'dashed') + 
  geom_point(size = 1.5) + 
  geom_point(data = data.frame(d.opt,
                               presnost.opt.cv),
             aes(x = d.opt, y = 1 - presnost.opt.cv), colour = 'black', size = 2) +
  theme_bw() + 
  labs(x = bquote(paste(d)),
       y = 'Validační chybovost') + 
  theme(legend.position = "bottom") + 
  scale_x_continuous(breaks = dimensions)
```

Nyní již můžeme natrénovat jednotlivé klasifikátory na všech trénovacích datech a podívat se na jejich úspěšnost na testovacích datech.
Pro každou jádrovou funkci volíme dimenzi podprostoru, na který projektujeme, podle výsledků cross-validace.

V proměnné `Projection` máme uloženou matici koeficientů ortogonální projekce, tedy

$$
\texttt{Projection} = \begin{pmatrix}
\langle x_1, \Psi_1 \rangle & \langle x_2, \Psi_1 \rangle & \cdots & \langle x_n, \Psi_1 \rangle\\
\langle x_1, \Psi_2 \rangle & \langle x_2, \Psi_2 \rangle & \cdots & \langle x_n, \Psi_2 \rangle\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\langle x_1, \Psi_d \rangle & \langle x_2, \Psi_d \rangle & \dots & \langle x_n, \Psi_d \rangle
\end{pmatrix}_{d \times n}.
$$

```{r}
# pripravime si datovou tabulku pro ulozeni vysledku
Res <- data.frame(model = c('SVM linear - projection', 
                            'SVM poly - projection', 
                            'SVM rbf - projection'), 
                  Err.train = NA,
                  Err.test = NA)

# projdeme jednotliva jadra
for (kernel_number in 1:3) {
  kernel_type <- c('linear', 'polynomial', 'radial')[kernel_number]
  # bazovy objekt
  fbasis <- create.fourier.basis(rangeval = rangeval, 
                                 nbasis = d.opt[kernel_number])
  
  # projekce diskretnich dat na Fourierovu bazi
  Projection <- project.basis(y = XX, # matice diskretnich dat
                              argvals = t, # vektor argumentu
                              basisobj = fbasis) # bazovy objekt
  
  # rozdeleni na trenovaci a testovaci data
  XX.train <- subset(t(Projection), split == TRUE)
  XX.test <- subset(t(Projection), split == FALSE)
  
  data.projection.train <- as.data.frame(XX.train)
  data.projection.train$Y <- factor(Y.train)
  
  data.projection.test <- as.data.frame(XX.test)
  data.projection.test$Y <- factor(Y.test)
  
  # sestrojeni modelu
  clf.SVM.projection <- svm(Y ~ ., data = data.projection.train,
                            type = 'C-classification',
                            scale = TRUE,
                            coef0 = 1,
                            kernel = kernel_type)
  
  # presnost na trenovacich datech
  predictions.train <- predict(clf.SVM.projection, newdata = data.projection.train)
  presnost.train <- table(Y.train, predictions.train) |>
    prop.table() |> diag() |> sum()
    
  # presnost na testovacich datech
  predictions.test <- predict(clf.SVM.projection, newdata = data.projection.test)
  presnost.test <- table(Y.test, predictions.test) |>
    prop.table() |> diag() |> sum()
  
  # ulozeni vysledku
  Res[kernel_number, c(2, 3)] <- 1 - c(presnost.train, presnost.test)
}
```

Chybovost metody SVM aplikované na bázové koeficienty na trénovacích datech je tedy `r 100 * round(Res[1, 2], 4)` % pro lineární jádro, `r 100 * round(Res[2, 2], 4)` % pro polynomiální jádro a `r 100 * round(Res[3, 2], 4)` % pro gaussovské jádro.
Na testovacích datech je potom chybovost metody `r 100 * round(Res[1, 3], 4)` % pro lineární jádro, `r 100 * round(Res[2, 3], 4)` % pro polynomiální jádro a `r 100 * round(Res[3, 3], 4)` % pro radiální jádro.

```{r}
RESULTS <- rbind(RESULTS, Res)
```

## Tabulka výsledků

```{r echo=FALSE}
knitr::kable(RESULTS,
             caption = "Souhrnné výsledky použitých metod na simulovaných datech. $\\widehat{Err}_{train}$ značí odhad trénovací chybovosti a $\\widehat{Err}_{test}$ testovací chybovosti.",
             digits = 4,
             col.names = c('Model                            ', 
                           '$\\widehat{Err}_{train}\\quad\\quad\\quad\\quad\\quad$      ',
                           '$\\widehat{Err}_{test}\\quad\\quad\\quad\\quad\\quad$       '),
             format = 'simple')
```

## Simulační studie

```{r, echo=FALSE}
# pocet simulaci pro kazdou hodnotu simulacniho parametru
n.sim <- 10

methods <- c('KNN', 'LDA', 'QDA', 
             'SVM linear - diskr', 'SVM poly - diskr', 'SVM rbf - diskr', 
             'SVM linear - PCA', 'SVM poly - PCA', 'SVM rbf - PCA', 
             'SVM linear - Fbasis', 'SVM poly - Fbasis', 
             'SVM rbf - Fbasis', 'SVM linear - projection',
             'SVM poly - projection', 'SVM rbf - projection')

# vektor smerodatnych odchylek definujicich posunuti generovanych krivek
shift_vector <- seq(0, 10, length = 21)
```

V celé předchozí části jsme se zabývali pouze jedním náhodně vygenerovaným souborem funkcí ze dvou klasifikačních tříd, který jsme následně opět náhodně rozdělili na testovací a trénovací část.
Poté jsme jednotlivé klasifikátory získané pomocí uvažovaných metod ohodnotili na základě testovací a trénovací chybovosti.

Jelikož se vygenerovaná data (a jejich rozdělení na dvě části) mohou při každém zopakování výrazně lišit, budou se i chybovosti jednotlivých klasifikačních algoritmů výrazně lišit.
Proto dělat jakékoli závěry o metodách a porovnávat je mezi sebou může být na základě jednoho vygenerovaného datového souboru velmi zavádějící.

Z tohoto důvodu se v této části zaměříme na opakování celého předchozího postupu pro různé vygenerované soubory.
Výsledky si budeme ukládat do tabulky a nakonec spočítáme průměrné charakteristiky modelů přes jednotlivá opakování.
Aby byly naše závěry dostatečně obecné, zvolíme počet opakování $n_{sim} = 10$.

Nyní zopakujeme celou předchozí část `n.sim`-krát a hodnoty chybovostí si budeme ukládat to objektu `SIMUL_params`. Přitom budeme měnit hodnotu parametru $\sigma_{shift}$ a podíváme se, jak se mění výsledky jednotlivých vybraných klasifikačních metod v závislosti na této hodnotě.

```{r eval=F, message=FALSE, warning=FALSE}
# nastaveni generatoru pseudonahodnych cisel
set.seed(42)

# pocet simulaci pro kazdou hodnotu simulacniho parametru
n.sim <- 10

methods <- c('KNN', 'LDA', 'QDA', 
             'SVM linear - diskr', 'SVM poly - diskr', 'SVM rbf - diskr', 
             'SVM linear - PCA', 'SVM poly - PCA', 'SVM rbf - PCA', 
             'SVM linear - Fbasis', 'SVM poly - Fbasis', 
             'SVM rbf - Fbasis', 'SVM linear - projection',
             'SVM poly - projection', 'SVM rbf - projection')

# vektor smerodatnych odchylek definujicich posunuti generovanych krivek
shift_vector <- seq(0, 10, length = 21)

# vysledny objekt, do nehoz ukladame vysledky simulaci
SIMUL_params <- array(data = NA, dim = c(length(methods), 4, length(shift_vector)),
                      dimnames = list(
                        method = methods,
                        metric = c('ERRtrain', 'Errtest', 'SDtrain', 'SDtest'), 
                        sigma = paste0(shift_vector)))

for (n_shift in 1:length(shift_vector)) {
  ## list, do ktereho budeme ukladat hodnoty chybovosti
  # ve sloupcich budou metody
  # v radcich budou jednotliva opakovani
  # list ma dve polozky ... train a test
  SIMULACE <- list(train = as.data.frame(matrix(NA, ncol = length(methods), 
                                               nrow = n.sim,
                                               dimnames = list(1:n.sim, methods))), 
                   test = as.data.frame(matrix(NA, ncol = length(methods), 
                                               nrow = n.sim,
                                               dimnames = list(1:n.sim, methods))))
  
  # objekt na ulozeni optimalnich hodnot hyperparametru, ktere se urcuji pomoci CV
  CV_RESULTS <- data.frame(KNN_K = rep(NA, n.sim), 
                           nharm = NA, 
                           LR_func_n_basis = NA,
                           SVM_d_Linear = NA,
                           SVM_d_Poly = NA,
                           SVM_d_Radial = NA)
  
  ## SIMULACE
  
  for(sim in 1:n.sim) {
    # pocet vygenerovanych pozorovani pro kazdou tridu
    n <- 100
    # vektor casu ekvidistantni na intervalu [0, 12]
    t <- seq(0, 12, length = 51)
    
    # pro Y = 0
    X0 <- generate_values(t, funkce_0, n, 1, shift_vector[n_shift])
    # pro Y = 1
    X1 <- generate_values(t, funkce_1, n, 1, shift_vector[n_shift])
    
    rangeval <- range(t)

    fbasis <- create.fourier.basis(rangeval = rangeval, 
                                   nbasis = length(t))
    
    omega <- 2 * pi / diff(rangeval)
    acvec <- c(0, omega^2, 0)
    harmLfd <- vec2Lfd(bwtvec = acvec, rangeval = rangeval)
  
    # spojeni pozorovani do jedne matice
    XX <- cbind(X0, X1)
    
    lambda.vect <- 10^seq(from = -5, to = 3, length.out = 25) # vektor lambd
    gcv <- rep(NA, length = length(lambda.vect)) # prazdny vektor pro ulozebi GCV
    
    for(index in 1:length(lambda.vect)) {
      curv.Fdpar <- fdPar(fbasis, harmLfd, lambda.vect[index])
      FSmooth <- smooth.basis(t, XX, curv.Fdpar) # vyhlazeni
      gcv[index] <- mean(FSmooth$gcv) # prumer pres vsechny pozorovane krivky
    }
    
    GCV <- data.frame(
      lambda = round(log10(lambda.vect), 3),
      GCV = gcv
    )
    
    # najdeme hodnotu minima
    lambda.opt <- lambda.vect[which.min(gcv)]
    
    curv.fdPar <- fdPar(fbasis, harmLfd, lambda.opt)
    BSmooth <- smooth.basis(t, XX, curv.fdPar)
    XXfd <- BSmooth$fd
    
    fdobjSmootheval <- eval.fd(fdobj = XXfd, evalarg = t)
    
    # rozdeleni na testovaci a trenovaci cast
    split <- sample.split(XXfd$fdnames$reps, SplitRatio = 0.7)
    
    Y <- rep(c(0, 1), each = n)
    
    X.train <- subset(XXfd, split == TRUE)
    X.test <- subset(XXfd, split == FALSE)
    
    Y.train <- subset(Y, split == TRUE)
    Y.test <- subset(Y, split == FALSE)
    
    x.train <- fdata(X.train)
    y.train <- as.numeric(factor(Y.train))
    
    ## 1) K nejbližších sousedů
    
    k_cv <- 10 # k-fold CV
    neighbours <- c(1:(2 * ceiling(sqrt(length(y.train))))) # pocet sousedu 
    
    # rozdelime trenovaci data na k casti
    folds <- createMultiFolds(X.train$fdnames$reps, k = k_cv, time = 1)
    
    CV.results <- matrix(NA, nrow = length(neighbours), ncol = k_cv)
    
    for (index in 1:k_cv) {
      # definujeme danou indexovou mnozinu
      fold <- folds[[index]]
        
      x.train.cv <- subset(X.train, c(1:length(X.train$fdnames$reps)) %in% fold) |>
        fdata()
      y.train.cv <- subset(Y.train, c(1:length(X.train$fdnames$reps)) %in% fold) |>
        factor() |> as.numeric()
      
      x.test.cv <- subset(X.train, !c(1:length(X.train$fdnames$reps)) %in% fold) |>
        fdata()
      y.test.cv <- subset(Y.train, !c(1:length(X.train$fdnames$reps)) %in% fold) |>
        factor() |> as.numeric()
      
      # projdeme kazdou cast ... k-krat zopakujeme
      for(neighbour in neighbours) {
        # model pro konkretni volbu K
        neighb.model <- classif.knn(group = y.train.cv, 
                                  fdataobj = x.train.cv, 
                                  knn = neighbour) 
        # predikce na validacni casti
        model.neighb.predict <- predict(neighb.model, 
                                        new.fdataobj = x.test.cv)
        # presnost na validacni casti
        presnost <- table(y.test.cv, model.neighb.predict) |> 
          prop.table() |> diag() |> sum()
        
        # presnost vlozime na pozici pro dane K a fold
        CV.results[neighbour, index] <- presnost
      }
    }
    
    # spocitame prumerne presnosti pro jednotliva K pres folds
    CV.results <- apply(CV.results, 1, mean)
    K.opt <- which.max(CV.results)
    CV_RESULTS$KNN_K[sim] <- K.opt
    presnost.opt.cv <- max(CV.results)
    CV.results <- data.frame(K = neighbours, CV = CV.results)
    
    neighb.model <- classif.knn(group = y.train, fdataobj = x.train, knn = K.opt)
    
    # predikce
    model.neighb.predict <- predict(neighb.model, 
                                    new.fdataobj = fdata(X.test))
    
    presnost <- table(as.numeric(factor(Y.test)), model.neighb.predict) |>
      prop.table() |>
      diag() |>
      sum()
    
    RESULTS <- data.frame(model = 'KNN', 
                          Err.train = 1 - neighb.model$max.prob,
                          Err.test = 1 - presnost)
    
    ## 2) Lineární diskriminační analýza
    
    # analyza hlavnich komponent
    data.PCA <- pca.fd(X.train, nharm = 10) # nharm - maximalni pocet HK
    nharm <- which(cumsum(data.PCA$varprop) >= 0.9)[1] # urceni p
    CV_RESULTS$nharm[sim] <- nharm
    if(nharm == 1) nharm <- 2
    
    data.PCA <- pca.fd(X.train, nharm = nharm) 
    data.PCA.train <- as.data.frame(data.PCA$scores) # skore prvnich p HK
    data.PCA.train$Y <- factor(Y.train) # prislusnost do trid
    
    # vypocet skoru testovacich funkci
    scores <- matrix(NA, ncol = nharm, nrow = length(Y.test)) # prazdna matice 
    
    for(k in 1:dim(scores)[1]) {
      xfd = X.test[k] - data.PCA$meanfd[1] # k-te pozorovani - prumerna funkce
      scores[k, ] = inprod(xfd, data.PCA$harmonics) 
      # skalarni soucin rezidua a vlastnich funkci rho (funkcionalni hlavni komponenty)
    }
    
    data.PCA.test <- as.data.frame(scores)
    data.PCA.test$Y <- factor(Y.test)
    colnames(data.PCA.test) <- colnames(data.PCA.train) 
    
    # model
    clf.LDA <- lda(Y ~ ., data = data.PCA.train)
    
    # presnost na trenovacich datech
    predictions.train <- predict(clf.LDA, newdata = data.PCA.train)
    presnost.train <- table(data.PCA.train$Y, predictions.train$class) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
      
    # presnost na trenovacich datech
    predictions.test <- predict(clf.LDA, newdata = data.PCA.test)
    presnost.test <- table(data.PCA.test$Y, predictions.test$class) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
    
    Res <- data.frame(model = 'LDA', 
                      Err.train = 1 - presnost.train,
                      Err.test = 1 - presnost.test)
    
    RESULTS <- rbind(RESULTS, Res)
    
    ## 3) Kvadratická diskriminační analýza
    
    # model
    clf.QDA <- qda(Y ~ ., data = data.PCA.train)
    
    # presnost na trenovacich datech
    predictions.train <- predict(clf.QDA, newdata = data.PCA.train)
    presnost.train <- table(data.PCA.train$Y, predictions.train$class) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
      
    # presnost na trenovacich datech
    predictions.test <- predict(clf.QDA, newdata = data.PCA.test)
    presnost.test <- table(data.PCA.test$Y, predictions.test$class) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
    
    Res <- data.frame(model = 'QDA', 
                      Err.train = 1 - presnost.train,
                      Err.test = 1 - presnost.test)
    
    RESULTS <- rbind(RESULTS, Res)
    
    ## 7) SVM
    
    ### 7.1) Diskretizace intervalu
    
    # posloupnost bodu, ve kterych funkce vyhodnotime
    t.seq <- seq(0, 12, length = 101)
       
    # normovani dat
    norms <- c()
    for (i in 1:dim(XXfd$coefs)[2]) {
      norms <- c(norms, as.numeric(1 / norm.fd(XXfd[i])))
      }
    XXfd_norm <- XXfd 
    XXfd_norm$coefs <- XXfd_norm$coefs * matrix(norms, 
                                                ncol = dim(XXfd$coefs)[2],
                                                nrow = dim(XXfd$coefs)[1],
                                                byrow = T)
    
    # rozdeleni na testovaci a trenovaci cast
    X.train_norm <- subset(XXfd_norm, split == TRUE)
    X.test_norm <- subset(XXfd_norm, split == FALSE)
    
    Y.train_norm <- subset(Y, split == TRUE)
    Y.test_norm <- subset(Y, split == FALSE)
    
    grid.data <- eval.fd(fdobj = X.train_norm, evalarg = t.seq)
    grid.data <- as.data.frame(t(grid.data)) 
    grid.data$Y <- Y.train_norm |> factor()
    
    grid.data.test <- eval.fd(fdobj = X.test_norm, evalarg = t.seq)
    grid.data.test <- as.data.frame(t(grid.data.test))
    grid.data.test$Y <- Y.test_norm |> factor()
    
    # trenovaci dataset
    data.Bbasis.train <- t(X.train$coefs) |> as.data.frame()
    data.Bbasis.train$Y <- factor(Y.train)
    
    # testovaci dataset
    data.Bbasis.test <- t(X.test$coefs) |> as.data.frame()
    data.Bbasis.test$Y <- factor(Y.test)
    
    clf.SVM.l <- svm(Y ~ ., data = grid.data,
                     type = 'C-classification',
                     scale = TRUE,
                     kernel = 'linear')
    
    clf.SVM.p <- svm(Y ~ ., data = grid.data,
                     type = 'C-classification',
                     scale = TRUE,
                     coef0 = 1,
                     kernel = 'polynomial')
    
    clf.SVM.r <- svm(Y ~ ., data = grid.data,
                     type = 'C-classification',
                     scale = TRUE,
                     kernel = 'radial')
    
    # presnost na trenovacich datech
    predictions.train.l <- predict(clf.SVM.l, newdata = grid.data)
    presnost.train.l <- table(Y.train, predictions.train.l) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
    
    predictions.train.p <- predict(clf.SVM.p, newdata = grid.data)
    presnost.train.p <- table(Y.train, predictions.train.p) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
    
    predictions.train.r <- predict(clf.SVM.r, newdata = grid.data)
    presnost.train.r <- table(Y.train, predictions.train.r) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
    
    # presnost na testovacich datech
    predictions.test.l <- predict(clf.SVM.l, newdata = grid.data.test)
    presnost.test.l <- table(Y.test, predictions.test.l) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
    
    predictions.test.p <- predict(clf.SVM.p, newdata = grid.data.test)
    presnost.test.p <- table(Y.test, predictions.test.p) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
    
    predictions.test.r <- predict(clf.SVM.r, newdata = grid.data.test)
    presnost.test.r <- table(Y.test, predictions.test.r) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
    
    Res <- data.frame(model = c('SVM linear - diskr', 
                                'SVM poly - diskr', 
                                'SVM rbf - diskr'), 
                      Err.train = 1 - c(presnost.train.l,
                                        presnost.train.p, presnost.train.r),
                      Err.test = 1 - c(presnost.test.l, 
                                       presnost.test.p, presnost.test.r))
    
    RESULTS <- rbind(RESULTS, Res)
    
    ### 7.2) Skóre hlavních komponent
    
    # sestrojeni modelu
    clf.SVM.l.PCA <- svm(Y ~ ., data = data.PCA.train,
                         type = 'C-classification',
                         scale = TRUE,
                         kernel = 'linear')
    
    clf.SVM.p.PCA <- svm(Y ~ ., data = data.PCA.train,
                         type = 'C-classification',
                         scale = TRUE,
                         coef0 = 1,
                         kernel = 'polynomial')
    
    clf.SVM.r.PCA <- svm(Y ~ ., data = data.PCA.train,
                         type = 'C-classification',
                         scale = TRUE,
                         kernel = 'radial')
    
    # presnost na trenovacich datech
    predictions.train.l <- predict(clf.SVM.l.PCA, newdata = data.PCA.train)
    presnost.train.l <- table(data.PCA.train$Y, predictions.train.l) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
    
    predictions.train.p <- predict(clf.SVM.p.PCA, newdata = data.PCA.train)
    presnost.train.p <- table(data.PCA.train$Y, predictions.train.p) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
    
    predictions.train.r <- predict(clf.SVM.r.PCA, newdata = data.PCA.train)
    presnost.train.r <- table(data.PCA.train$Y, predictions.train.r) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
      
    # presnost na testovacich datech
    predictions.test.l <- predict(clf.SVM.l.PCA, newdata = data.PCA.test)
    presnost.test.l <- table(data.PCA.test$Y, predictions.test.l) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
    
    predictions.test.p <- predict(clf.SVM.p.PCA, newdata = data.PCA.test)
    presnost.test.p <- table(data.PCA.test$Y, predictions.test.p) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
    
    predictions.test.r <- predict(clf.SVM.r.PCA, newdata = data.PCA.test)
    presnost.test.r <- table(data.PCA.test$Y, predictions.test.r) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
    
    Res <- data.frame(model = c('SVM linear - PCA', 
                                'SVM poly - PCA', 
                                'SVM rbf - PCA'), 
                      Err.train = 1 - c(presnost.train.l, 
                                        presnost.train.p, presnost.train.r),
                      Err.test = 1 - c(presnost.test.l, 
                                       presnost.test.p, presnost.test.r))
    
    RESULTS <- rbind(RESULTS, Res)
    
    ### 7.3) Bázové koeficienty
    
    # sestrojeni modelu
    clf.SVM.l.Bbasis <- svm(Y ~ ., data = data.Bbasis.train,
                            type = 'C-classification',
                            scale = TRUE,
                            kernel = 'linear')
    
    clf.SVM.p.Bbasis <- svm(Y ~ ., data = data.Bbasis.train,
                            type = 'C-classification',
                            scale = TRUE,
                            coef0 = 1,
                            kernel = 'polynomial')
    
    clf.SVM.r.Bbasis <- svm(Y ~ ., data = data.Bbasis.train,
                            type = 'C-classification',
                            scale = TRUE,
                            kernel = 'radial')
    
    # presnost na trenovacich datech
    predictions.train.l <- predict(clf.SVM.l.Bbasis, newdata = data.Bbasis.train)
    presnost.train.l <- table(Y.train, predictions.train.l) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
    
    predictions.train.p <- predict(clf.SVM.p.Bbasis, newdata = data.Bbasis.train)
    presnost.train.p <- table(Y.train, predictions.train.p) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
    
    predictions.train.r <- predict(clf.SVM.r.Bbasis, newdata = data.Bbasis.train)
    presnost.train.r <- table(Y.train, predictions.train.r) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
      
    # presnost na trenovacich datech
    predictions.test.l <- predict(clf.SVM.l.Bbasis, newdata = data.Bbasis.test)
    presnost.test.l <- table(Y.test, predictions.test.l) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
    
    predictions.test.p <- predict(clf.SVM.p.Bbasis, newdata = data.Bbasis.test)
    presnost.test.p <- table(Y.test, predictions.test.p) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
    
    predictions.test.r <- predict(clf.SVM.r.Bbasis, newdata = data.Bbasis.test)
    presnost.test.r <- table(Y.test, predictions.test.r) |>
      prop.table() |> diag() |> sum()
    
    Res <- data.frame(model = c('SVM linear - Fbasis', 
                                'SVM poly - Fbasis', 
                                'SVM rbf - Fbasis'), 
                      Err.train = 1 - c(presnost.train.l, 
                                        presnost.train.p, presnost.train.r),
                      Err.test = 1 - c(presnost.test.l, 
                                       presnost.test.p, presnost.test.r))
  
    RESULTS <- rbind(RESULTS, Res)
    
    ### 7.4) Projekce na Fourierovu bázi
    
    # hodnoty pro Fourierovu bazi
    rangeval <- range(t)
    n_basis_min <- 3
    n_basis_max <- 40
    
    dimensions <- n_basis_min:n_basis_max
    
    folds <- createMultiFolds(1:sum(split), k = k_cv, time = 1)
    CV.results <- list(SVM.l = matrix(NA, nrow = length(dimensions), ncol = k_cv),
                       SVM.p = matrix(NA, nrow = length(dimensions), ncol = k_cv),
                       SVM.r = matrix(NA, nrow = length(dimensions), ncol = k_cv))
    
    for (d in dimensions) {
      fbasis <- create.fourier.basis(rangeval = rangeval, 
                                     nbasis = d)
      Projection <- project.basis(y = XX, argvals = t, basisobj = fbasis) 
      XX.train <- subset(t(Projection), split == TRUE)
      
      for (index_cv in 1:k_cv) {
        fold <- folds[[index_cv]]
        cv_sample <- 1:dim(XX.train)[1] %in% fold
        
        data.projection.train.cv <- as.data.frame(XX.train[cv_sample, ])
        data.projection.train.cv$Y <- factor(Y.train[cv_sample])
        data.projection.test.cv <- as.data.frame(XX.train[!cv_sample, ])
        Y.test.cv <- Y.train[!cv_sample]
        data.projection.test.cv$Y <- factor(Y.test.cv)
        # sestrojeni modelu
        clf.SVM.l.projection <- svm(Y ~ ., data = data.projection.train.cv,
                                type = 'C-classification',
                                scale = TRUE,
                                kernel = 'linear')
        
        clf.SVM.p.projection <- svm(Y ~ ., data = data.projection.train.cv,
                                type = 'C-classification',
                                scale = TRUE,
                                coef0 = 1,
                                kernel = 'polynomial')
        
        clf.SVM.r.projection <- svm(Y ~ ., data = data.projection.train.cv,
                                type = 'C-classification',
                                scale = TRUE,
                                kernel = 'radial')
        # presnost na validacnich datech
        ## linear kernel
        predictions.test.l <- predict(clf.SVM.l.projection,
                                      newdata = data.projection.test.cv)
        presnost.test.l <- table(Y.test.cv, predictions.test.l) |>
          prop.table() |> diag() |> sum()
        ## polynomial kernel
        predictions.test.p <- predict(clf.SVM.p.projection, 
                                      newdata = data.projection.test.cv)
        presnost.test.p <- table(Y.test.cv, predictions.test.p) |>
          prop.table() |> diag() |> sum()
        ## radial kernel
        predictions.test.r <- predict(clf.SVM.r.projection,
                                      newdata = data.projection.test.cv)
        presnost.test.r <- table(Y.test.cv, predictions.test.r) |>
          prop.table() |> diag() |> sum()
        
        # presnosti vlozime na pozice pro dane d a fold
        CV.results$SVM.l[d - min(dimensions) + 1, index_cv] <- presnost.test.l
        CV.results$SVM.p[d - min(dimensions) + 1, index_cv] <- presnost.test.p
        CV.results$SVM.r[d - min(dimensions) + 1, index_cv] <- presnost.test.r
      }
    }
    
    # spocitame prumerne presnosti pro jednotliva d pres folds
    for (n_method in 1:length(CV.results)) {
      CV.results[[n_method]] <- apply(CV.results[[n_method]], 1, mean)
    }
    
    d.opt <- c(which.max(CV.results$SVM.l) + n_basis_min - 1, 
               which.max(CV.results$SVM.p) + n_basis_min - 1, 
               which.max(CV.results$SVM.r) + n_basis_min - 1)
    
    # ulozime optimalni d do datove tabulky
    CV_RESULTS[sim, 4:6] <- d.opt
    
    # pripravime si datovou tabulku pro ulozeni vysledku
    Res <- data.frame(model = c('SVM linear - projection', 
                                'SVM poly - projection', 
                                'SVM rbf - projection'), 
                      Err.train = NA,
                      Err.test = NA)
    
    for (kernel_number in 1:3) {
      kernel_type <- c('linear', 'polynomial', 'radial')[kernel_number]
      fbasis <- create.fourier.basis(rangeval = rangeval, 
                                     nbasis = d.opt[kernel_number])
      Projection <- project.basis(y = XX, argvals = t, basisobj = fbasis) 
      
      XX.train <- subset(t(Projection), split == TRUE)
      XX.test <- subset(t(Projection), split == FALSE)
      
      data.projection.train <- as.data.frame(XX.train)
      data.projection.train$Y <- factor(Y.train)
      
      data.projection.test <- as.data.frame(XX.test)
      data.projection.test$Y <- factor(Y.test)
      
      # sestrojeni modelu
      clf.SVM.projection <- svm(Y ~ ., data = data.projection.train,
                                type = 'C-classification',
                                scale = TRUE,
                                coef0 = 1,
                                kernel = kernel_type)
      
      # presnost na trenovacich datech
      predictions.train <- predict(clf.SVM.projection, newdata = data.projection.train)
      presnost.train <- table(Y.train, predictions.train) |>
        prop.table() |> diag() |> sum()
        
      # presnost na trenovacich datech
      predictions.test <- predict(clf.SVM.projection, newdata = data.projection.test)
      presnost.test <- table(Y.test, predictions.test) |>
        prop.table() |> diag() |> sum()
      
      # ulozeni vysledku
      Res[kernel_number, c(2, 3)] <- 1 - c(presnost.train, presnost.test)
    }
    
    RESULTS <- rbind(RESULTS, Res)
    
    ## pridame vysledky do objektu SIMULACE
    
    SIMULACE$train[sim, ] <- RESULTS$Err.train
    SIMULACE$test[sim, ] <- RESULTS$Err.test
    cat('\r', paste0(n_shift, ': ', sim))
  }
  
  # Nyní spočítáme průměrné testovací a trénovací chybovosti pro jednotlivé klasifikační metody.
  
  # dame do vysledne tabulky
  
  SIMULACE.df <- data.frame(Err.train = apply(SIMULACE$train, 2, mean),
                            Err.test = apply(SIMULACE$test, 2, mean),
                            SD.train = apply(SIMULACE$train, 2, sd),
                            SD.test = apply(SIMULACE$test, 2, sd))
  
  SIMUL_params[, , n_shift] <- as.matrix(SIMULACE.df)
}

# ulozime vysledne hodnoty 
save(SIMUL_params, file = 'RData/simulace_parametry_shift_02b.RData')
```

### Grafický výstup

```{r, echo=FALSE}
load("RData/simulace_parametry_shift_02b.RData")
```

Podívejme se na závislost simulovaných výsledků na hodnotě parametru směrodatné odchylky vertikálního posunu.

```{r fig.cap='Graf závislosti testovací chybovosti pro jednotlivé klasifikační metody na hodnotě parametru $\\sigma_{shift}$, který definuje směrodatnou odchylku pro generování vertikálního posunutí simulovaných křivek.', warning=FALSE, eval=T}
# pro testovaci data
SIMUL_params[, 2, ] |> 
  as.data.frame() |> 
  mutate(method = methods) |>
  pivot_longer(cols = as.character(shift_vector), 
               names_to = 'shift', 
               values_to = 'Err') |>
  mutate(method = factor(method, levels = methods, labels = methods, ordered = TRUE), 
         shift = as.numeric(shift)) |> 
  filter(method %in% c('KNN', 'LDA', 'SVM linear - diskr',
                       'SVM linear - PCA', 'SVM linear - Fbasis',
                       'SVM linear - projection', 'SVM rbf - projection')) |>
  ggplot(aes(x = shift, y = Err, colour = method)) + 
  geom_line() + 
  theme_bw() + 
  labs(x = expression(sigma[shift]),
       y = expression(widehat(Err)[test]),
       colour = 'Klasifikační metoda') + 
  theme(legend.position = 'bottom')
```

```{r echo=FALSE, eval=T}
ggsave('figures/sim_02b_dependence_on_shift.pdf', width = 10, height = 6)
```