JavaScript 数学曲线—等角螺线

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引子

继阿基米德螺线之后，发现等角螺线。

简介

等角螺线又称为黄金螺线或对数螺线，1638 年 Descartes 发现了等角螺线，后来 Jakob Bernoulli 研究发现了等角螺线自再造的特性，Jakob Bernoulli 对螺线非常着迷，以至于他要求刻在自己的墓碑上，并附词 “eadem mutata resurgo”（“纵使改变，依然故我”）。最后，Torricelli 独立完成了这项工作，并找到了曲线的长度。

等角螺线名称的由来，由于其特性：在螺线上任取一点 A ，该点与极坐标极点相连形成的直线，与该点的切线形成的夹角为定值。

在极坐标系中公式描述：

公式说明：

• r ：与原点的距离。
• a ：常数。
• b ：常数。
• e ：常数。
• θ ：与 x 轴的角度。

自然现象有：

• 鹦鹉螺的贝壳像等角螺线。
• 菊的种子排列成等角螺线。
• 昆虫以等角螺线的方式接近光源。
• 旋涡星系的旋臂差不多是等角螺线。
• 低气压(热带气旋、温带气旋等)的外观像等角螺线

绘制

用 canvas 绘制曲线，canvas 的坐标系是笛卡尔坐标系，需要做一个转换。

由上面的图可知取一个点有下面的数学转换关系：

x = rcos(θ)
y = rsin(θ)
θ = arctan(y/x)

结合极坐标系的公式可得：

这是示例，绘制主要逻辑代码：

function draw() {
  let a = 0.1, b = 0.3, angle = 0;
  let x = 0, y = 0, points = [];
  const acceleration = 0.1, circleNum = 4;
  // 注意这里角度的递增，以 2 * Math.PI 为基准进行比较，控制画多少圈
  while (angle <= circleNum * 2 * Math.PI) {
    const anglePow = Math.pow(Math.E, b * angle);
    x = a * anglePow * Math.cos(angle);
    y = a * anglePow * Math.sin(angle);
    points.push([x, y]);
    angle = angle + acceleration;
  }
  // 实现把点绘制成线的方法
  line({ points: points});
}

参考资料

• Golden spiral Wiki
• Logarithmic Spiral
• Equiangular Spiral
• 等角螺线

🗑️

最近看了《Jose与虎与鱼们》的两个版本，一个是 2003 年的真人版，一个是 2020 年的动画电影版。内容相差还真是大，动画版感觉都偏离了原著的主题。

真人版不禁让人会想，在面对一个有终生残疾的对象，除了年轻不经世的人一时的善意，还有多少人能够坚持一直陪伴余生？