게임 수학 강의를 수강했다는 가정하에 자세한 개념과 공식은 이 설명에서 생략합니다.
- 3차원 물체를 나타낼때는 x, y, z 축과 관련된 회전, 위치 크기 등의 값이 존재한다.
- 월드 변환, 뷰 변환 투영 변환 등은 축소확대, 회전, 이동 등과 같은 기본적인 변환들을 조합하여 만들어진다.
위에서의 값들은 독립적인 값들이 아닌 서로가 서로에게 영향을 미칠 수 있는 값들입니다. 이러한 값들을 수학과 좀 더 연계한 동차좌표계(homogeneous coordinate)를 이용하여 이동, 축소확대, 회전 변환 모두 4 × 4 행렬 하나로 표현이 가능합니다.
Sunney Engine은 동차좌표계의 행렬을 추상화한 구조체가 존재합니다.
struct mat4 { float elements[4 * 4]; };오버로딩된 4가지 생성자와 함께 단위 행렬을 반환하는 Identity() 스태틱 함수를 가지고 있습니다.
mat4();
mat4(float diagonal);
mat4(float* elements);
mat4(const vec4& row0, const vec4& row1, const vec4& row2, const vec4& row3)
static mat4 Identity();
// mat4.cpp
mat4::mat4(float diagonal)
{
memset(elements, 0, 4 * 4 * sizeof(float));
elements[0 + 0 * 4] = diagonal;
elements[1 + 1 * 4] = diagonal;
elements[2 + 2 * 4] = diagonal;
elements[3 + 3 * 4] = diagonal;
}
// 단위 행렬을 반환한다.
mat4 mat4::Identity()
{
return mat4(1.0f);
}
| Identity | 1 col | 2 col | 3 col | 4 col |
|---|---|---|---|---|
| 1 row | d | 0 | 0 | 0 |
| 2 row | 0 | d | 0 | 0 |
| 3 row | 0 | 0 | d | 0 |
| 4 row | 0 | 0 | 0 | 0 |
mat4 구조체는 4 x 4 행렬을 추상화 하였으므로 총 16개의 원소를 가지고있습니다. 원소 데이터를 float[16] : 1차원 배열로 할당하고, C++ 공용체(union) 키워드를 사용하여 행(row)과 열(column)에 접근합니다.
| 1 row | 2 row | 3 row | 4row | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [0] | [1] | [2] | [3] | [4] | [5] | [6] | [7] | [8] | [9] | [10] | [11] | [12] | [13 | [14] | [15] |
struct mat4
{
union
{
// [row + col * 4]
float elements[4 * 4];
vec4 rows[4];
};
// more...
};vec4 mat4::GetColumn(int index) const
{
return vec4(elements[index + 0 * 4], elements[index + 1 * 4], elements[index + 2 * 4], elements[index + 3 * 4]);
}
void mat4::SetColumn(uint index, const vec4& column)
{
elements[index + 0 * 4] = column.x;
elements[index + 1 * 4] = column.y;
elements[index + 2 * 4] = column.z;
elements[index + 3 * 4] = column.w;
}행렬에서의 가장 기본 적인 변환 행렬은 다음 3가지입니다.
크기 변환
mat4 mat4::Scale(const vec3& scale)
{
mat4 result(1.0f);
result.elements[0 + 0 * 4] = scale.x;
result.elements[1 + 1 * 4] = scale.y;
result.elements[2 + 2 * 4] = scale.z;
return result;
}mat4 mat4::Rotate(float angle, const vec3& axis)
{
mat4 result(1.0f);
float r = toRadians(angle);
float c = cos(r);
float s = sin(r);
float omc = 1.0f - c;
float x = axis.x;
float y = axis.y;
float z = axis.z;
result.elements[0 + 0 * 4] = x * x * omc + c;
result.elements[0 + 1 * 4] = y * x * omc + z * s;
result.elements[0 + 2 * 4] = x * z * omc - y * s;
result.elements[1 + 0 * 4] = x * y * omc - z * s;
result.elements[1 + 1 * 4] = y * y * omc + c;
result.elements[1 + 2 * 4] = y * z * omc + x * s;
result.elements[2 + 0 * 4] = x * z * omc + y * s;
result.elements[2 + 1 * 4] = y * z * omc - x * s;
result.elements[2 + 2 * 4] = z * z * omc + c;
return result;
}이동 변환
mat4 mat4::Translate(const vec3& translation)
{
mat4 result(1.0f);
result.elements[3 + 0 * 4] = translation.x;
result.elements[3 + 1 * 4] = translation.y;
result.elements[3 + 2 * 4] = translation.z;
return result;
}행렬 곱(Multiply)과 정점 변환에서 사용할 직교 투영, 원근 투영, 뷰 변환을 구현합니다.
mat4& Multiply(const mat4& other);
friend mat4 operator*(mat4 left, const mat4& right);
mat4& operator*=(const mat4& other);
vec3 Multiply(const vec3& other) const;
friend vec3 operator*(const mat4& left, const vec3& right);
vec4 Multiply(const vec4& other) const;
friend vec4 operator*(const mat4& left, const vec4& right)
static mat4 Orthographic(float left, float right, float bottom, float top, float near, float far);
static mat4 Perspective(float fov, float aspectRatio, float near, float far);
static mat4 LookAt(const vec3& camera, const vec3& object, const vec3& up);