假设 LeetCode 即将开始其 IPO。为了以更高的价格将股票卖给风险投资公司,LeetCode希望在 IPO 之前开展一些项目以增加其资本。 由于资源有限,它只能在 IPO 之前完成最多 k 个不同的项目。帮助 LeetCode 设计完成最多 k 个不同项目后得到最大总资本的方式。
给定若干个项目。对于每个项目 i,它都有一个纯利润 Pi,并且需要最小的资本 Ci 来启动相应的项目。最初,你有 W 资本。当你完成一个项目时,你将获得纯利润,且利润将被添加到你的总资本中。
总而言之,从给定项目中选择最多 k 个不同项目的列表,以最大化最终资本,并输出最终可获得的最多资本。
示例 1:
输入: k=2, W=0, Profits=[1,2,3], Capital=[0,1,1].
输出: 4
解释:
由于你的初始资本为 0,你尽可以从 0 号项目开始。
在完成后,你将获得 1 的利润,你的总资本将变为 1。
此时你可以选择开始 1 号或 2 号项目。
由于你最多可以选择两个项目,所以你需要完成 2 号项目以获得最大的资本。
因此,输出最后最大化的资本,为 0 + 1 + 3 = 4。
注意:
- 假设所有输入数字都是非负整数。
- 表示利润和资本的数组的长度不超过 50000。
- 答案保证在 32 位有符号整数范围内。
题目分析:
首先,由于每个项目都是获得纯利润,即不存在资本的损耗,所以我们总是去寻找当前资本下可以获得利润最高的项目即可,再将获取的利润加入到资本 W 中。
这是典型的 “贪婪算法”,我们每次都是寻找当前的最优解,并在投资 k 个不同项目后得到最优解。
思路1:
先说一个同样可以实现,但是效率不怎么高的实现吧(最终在输入数组长度为 50000 的 case 下运行超时了)。
- 首先,将所有项目根据利润从大到小排序,使用快速排序,排序时间复杂度 O(n * lg n)。
- 其次,我们从头开始遍历排序后的集合,找到第一个当前资本能够启动的项目,将其利润加入到资本 W 中,并将这个项目剔除。在这一步中,每一次我们都可以获得一个最优解。
- 重复上一步,循环 k 次后得到最终最优解。
一切看起来合乎情理,然而提交代码出现了超时的情况。再回顾上述实现,发现查询过程其实效率很低,最糟糕的情况下总是需要遍历完整个集合才找到当前最优解(资金 W 能够启动的项目总是在最后一个)。这样循环 k 次时间复杂度就达到了 O(k * n) 了。
思路2:
既然上述情况的效率卡在了查询环节,我们就得想办法优化这一块了。仔细回顾原题,我们只有 W 的资本,大可不必在整个集合中依次查找,假设我们有一个这样的集合,它只包含我们能够启动的项目,那我们的搜索范围就小很多了,并在获得利润后再将当前 W 能够启动的项目加入到这个小集合中。
- 我们选择使用一个优先队列
profitQueue
,按照利润 Pi 从高到低,将我们当前 W 资本能够启动的项目添加进入 - 我们在选择使用一个优先队列
capitalQueue
,按照启动资本 Ci 从低到高,将剩余的项目添加进入 - 我们在
profitQueue
取出利润最大者剔除,然后更新当前资本 W,资本 W 更新了就需要将当前资本 W 能够启动的项目从capitalQueue
中移到profitQueue
中 - 重复上一步,执行 k 次后最终获得最优解
选择使用两个队列的好处是,我们不在需要完整的查询了,profitQueue
中一定都是我们可以启动的项目,且最大利润的项目总是在队首,取出来的时间复杂度为 O(1),而插入新项目的时间复杂度也仅仅只有 O(lg n)。
实现: