原文： http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter16/section04.html
在给定间隔内具有被积函数
的黎曼积分被定义为当
接近
的大小的子区间的总和，乘以
的值时的极限。该子区间中的任意点，当该限制存在时，并且对于所有区间中的每个点选择都是相同的。否则，该函数被称为在该间隔内不可积。
所有有理数上的
和所有其他数上的的函数在这个意义上显然不可积，因为任何非零大小的每个区间都包含有理数和无理数，因此这两个函数的值都是和。有许多非有理数而不是有理数，这表明我们可能忘记有理数，并说积分是。另一方面，如果我们在计算机上执行数值计算，由于计算机将每个点都舍入到理性点，我们会找到每个区间的值。
还有另一种方法来定义函数的积分，刚才描述的函数是可积的。
我们可以通过平行于
轴的切片分割成碎片，而不是通过平行于
轴的切片来分割由积分计算的面积。
假设，为方便起见，被积函数是非负的，我们在有限的区间内进行积分。然后，对于每个切片，我们将发现对于域内的某些点，切片在被积函数之下，对于某些切片在其上方，并且对于一些而言，被积函数位于切片内。随着切片的大小减小，来自最后一个的贡献变得可以忽略不计，并且积分将是切片低于被积函数的贡献的总和。
对于连续的被积函数，对于每个切片，它下面的点将在实线上形成一些区间集。我们很快就会注意到有很多种积分。在每一个中，我们为切片低于被积函数的点集的每个切片定义“度量”，并且所有切片上的这些度量的总和必须收敛到积分。
什么构成措施？主要必要条件是不相交集的度量之和（这些是没有共同点的集合）是它们并集的度量（并集是任何一个中的点集）。这必须适用于任何有限数量的相互不相交的集合的联合：它们的联合必须具有与其度量的总和相等的度量。由于可数列表中的任何点都位于可数列表的有限初始段中，因此任何可数数量的集合的并集度量必须是其度量的总和才有意义。
在通常的积分
的情况下，间隔的度量是其长度。单个点是长度的间隔，并且具有度量。
这告诉我们，任何可计数的点集的度量必须是的可数和，因此必须是以及此度量（和它们一样的度量。）
我们可以得出结论，对于通常的积分，有理数上的和其余实数上的的奇怪函数是可积的。有理数的数字是可数的，它是的可数和，因此是。因此，其余部分的度量是积分的区间的长度，并且这个奇怪的函数确实是可积的。
还有哪些措施？
我们已经遇到了一些其他措施;如果我们处理
，即
，我们使用
定义的度量来积分。例如，如果
是
，则间隔的度量不是其长度，而是在间隔的端点处其值之间的的差异。
此外，普通总和，例如
，也可以写成 Lebesgue 积分，在这种情况下使用点
上的，以及
和其他地方的量度。
自物理学家
世纪以来一直使用这种积分，并且有一段时间被数学家所厌恶。物理学家引入了“δ函数”
，它是，除非是
，但其积分是。然后可以将表示前一段总和的积分写为
delta 函数的明显问题是当为时它必须是无限的。幸运的是，允许它作为的函数在周围具有不可测量的小宽度的后果，在这种情况下它可以保持有限，对于所有用途都是不可检测的，在最终应用时，它被集成过度。从勒贝格积分的角度来看，这只是另一种衡量标准。
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