forallx-ch3-truthtables.tex

%!TEX root = forallx.tex

%GF fordítása kezdet

\chapter*{Truth tables}
\label{ch.TruthTables}

\chapter{Igazságtáblázatok}
\label{ch.TruthTables}

This chapter introduces a way of evaluating sentences and arguments of SL. Although it can be laborious, the truth table method is a purely mechanical procedure that requires no intuition or special insight.

Ebben a fejezetben a KL-ben előforduló kijelentések és változók egyik kiértékelési módjával ismerkedhetünk meg. Bár nehézkes feladat lehet, az igazságtáblázat módszer csak egy gépies eljárás, amihez nem szükséges megérzés vagy különleges látásmód.

\section{Truth-functional connectives}
\section{Igazságfüggvények}

Any non-atomic sentence of SL is composed of atomic sentences with sentential connectives. The truth-value of the compound sentence depends only on the truth-value of the atomic sentences that comprise it. In order to know the truth-value of $(D\eiff E)$, for instance, you only need to know the truth-value of $D$ and the truth-value of $E$. Connectives that work in this way are called \define{truth-functional}.

Bármely nem atomi kijelentés KL-ben előállítható atomi kijelentések és a függvények segítségével. Az összetett mondatok igazságértéke a benne szereplő atomi kijelentések igazságértékétől függ. Annak érdekében, hogy megtudjuk pl. $(D\eiff E)$ igazságértékét, elég, ha tudjuk $D$, valamint $E$ igazságértékeit. Az ilyen módon működő függvényeket igazságfüggvényeknek hívjuk.

In this chapter, we will make use of the fact that all of the logical operators in SL are truth-functional--- it makes it possible to construct truth tables to determine the logical features of sentences. You should realize, however, that this is not possible for all languages. In English, it is possible to form a new sentence from any simpler sentence \script{X} by saying `It is possible that \script{X}.' The truth-value of this new sentence does not depend directly on the truth-value of \script{X}. Even if \script{X} is false, perhaps in some sense \script{X} \emph{could} have been true--- then the new sentence would be true. Some formal languages, called \emph{modal logics}, have an operator for {possibility}. In a modal logic, we could translate `It is possible that \script{X}' as {\large $\diamond$}\script{X}. However, the ability to translate sentences like these come at a cost: The {\large $\diamond$} operator is not truth-functional, and so modal logics are not amenable to truth tables.

Ebben a fejezetben azt a tényt vesszük alapul, miszerint KL-ben minden logikai operátor igazságfüggvény – ez lehetővé teszi, hogy igazságtáblákat segítségével megállapíthassuk a mondatok logikai tulajdonságait. Figyelembe kell vennünk azonban, hogy ez nem lehetséges minden nyelv esetében. A magyar nyelvben előállíthatunk egy új kijelentést bármely egyszerűbb \script{X} kijelentésből azáltal, hogy "Lehetséges, hogy \script{X}."-et mondunk. Ennek az új kijelentésnek az igazságértéke nem függ közvetlenül az \script{X} igazságértékétől. Még ha \script{X} hamis is, néhány értelemben \script{X} \emph{lehetett volna} igaz – akkor pedig az új mondat igaz lenne. Néhány formális nyelv, mint a \emph{modális logika} rendelkezik olyan operátorral, mely a lehetőséget fejezi ki. Modális logikában a "Lehetséges, hogy \script{X}" mondatot úgy is fordíthatjuk, mint {\large $\diamond$}\script{X}. Azonban a képességnek, hogy ilyen mondatokat is fordíthassunk ára van: a {\large $\diamond$} operátor nem igazságfüggvény, így a modális logika nem terjed ki az igazságtáblázatokra.

%GF fordítása vége

%LZ fordítása kezdet

\section*{Complete truth tables}
The truth-value of sentences which contain only one connective are given by the characteristic truth table for that connective. In the previous chapter, we wrote the characteristic truth tables with `T' for true and `F' for false. It is important to note, however, that this is not about truth in any deep or cosmic sense. Poets and philosophers can argue at length about the nature and significance \emph{truth}, but the truth functions in SL are just rules which transform input values into output values. To underscore this, in this chapter we will write `1' and `0' instead of `T' and `F'. Even though we interpret `1' as meaning `true' and `0' as meaning `false', computers can be programmed to fill out truth tables in a purely mechanical way. In a machine, `1' might mean that a register is switched on and `0' that the register is switched off. Mathematically, they are just the two possible values that a sentence of SL can have.

\section{Teljes igazságtáblázatok}
Azon kijelentések igazságértékeit amelyek csak egy logikai függvényt tartalmaznak, a karaktetisztikus igazságtáblázat adja meg arra a függvényre. Az előző fejezetben, a karakterisztikus igazságtáblázatban az `I'-t igaznak a `H'-t pedig hamisnak jelöltük. Fontos megjegyeznünk azonban, hogy ez nem az igazságról szól, sem mély, sem kozmikus értelemben. Költők és filozófusok hosszasan vitatkozhatnak az \emph{igazság} természetéről és jelentőségéről, de az igazság feladata a KL-ban pusztán a bemeneti értékek átalakítása kimeneti értékekké, szabályok segítségével. Ennek hangsúlyozására, ebben a fejezetben az `I' és `H' helyett `1' és `0' jelölést használnuk. Annak ellenére hogy az `1'-et `igaz'-nak és a `0'-t pedig `hamis'-nak értelmezzük, a számítógépeket beprogramozhatjuk úgy, hogy az igazságtáblázatokat teljesen mechanikus módon töltsék ki. Égy gépben az `1' jelentheti azt hogy a regiszter be van kapcsolva és a `0' pedig azt, hogy ki van kapcsolva. Matematikailag ez csak a két lehetséges érték, melyeket a KL kijelentései felvehetnek.


Here are the truth tables for the connectives of SL, written in terms of 1s and 0s.

Itt vannak a KL függvényeinek az igazságtáblázatai, egyesekkel és nullákal írva. 

\begin{table}[h!]
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c}
\script{A} & \enot\script{A}\\
\hline
1 & 0\\
0 & 1 
\end{tabular}
\ \ \ \ 
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
\script{A} & \script{B} & \script{A}\eand\script{B} & \script{A}\eor\script{B} & \script{A}\eif\script{B} & \script{A}\eiff\script{B}\\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{tabular}
\end{center}
\caption{The characteristic truth tables for the connectives of SL.}
\label{table.CharacteristicTTs}
\end{table}
\begin{table}[h!]
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c}
\script{A} & \enot\script{A}\\
\hline
1 & 0\\
0 & 1 
\end{tabular}
\ \ \ \ 
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
\script{A} & \script{B} & \script{A}\eand\script{B} & \script{A}\eor\script{B} & \script{A}\eif\script{B} & \script{A}\eiff\script{B}\\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{tabular}
\end{center}
\caption{A KL függvényeinek igazságtáblázatai}
\label{table.CharacteristicTTs}
\end{table}

The characteristic truth table for conjunction, for example, gives the truth conditions for any sentence of the form $(\script{A}\eand\script{B})$. Even if the conjuncts \script{A} and \script{B} are long, complicated sentences, the conjunction is true if and only if both \script{A} and \script{B} are true. Consider the sentence $(H\eand I)\eif H$. We consider all the possible combinations of true and false for $H$ and $I$, which gives us four rows. We then copy the truth-values for the sentence letters and write them underneath the letters in the sentence.
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|@{\TTon}*{5}{c}@{\TToff}}
$H$&$I$&$(H$&\eand&$I)$&\eif&$H$\\
\hline
 1 & 1 & \TTbf{1} & & \TTbf{1} & & \TTbf{1}\\
 1 & 0 & \TTbf{1} & & \TTbf{0} & & \TTbf{1}\\
 0 & 1 & \TTbf{0} & & \TTbf{1} & & \TTbf{0}\\
 0 & 0 & \TTbf{0} & & \TTbf{0} & & \TTbf{0}
\end{tabular}
\end{center}
Now consider the subsentence $H\eand I$. This is a conjunction \script{A}\eand\script{B} with $H$ as \script{A} and with $I$ as \script{B}. $H$ and $I$ are both true on the first row. Since a conjunction is true when both conjuncts are true, we write a 1 underneath the conjunction symbol. We continue for the other three rows and get this:

A konjunkció karakterisztikus igazságtáblázata például, megadja bármely $(\script{A}\eand\script{B})$ alakú kijelentés igazságértékét. Még ha a konjunkció \script{A} és \script{B} része hosszú, összetett kijelentés is, a konjunkció akkor és csak akkor igaz, ha \script{A} és \script{B} is igaz. Tekintsük meg a $(P\eand Q)\eif P$ kijelentést. Vegyük figyelembe az igaz és hamis lehetőségek minden lehetséges kombinációját,  $P$ -ben és $Q$-ban, ami négy sort eredményez. Ezután lemásoljuk a kijelentésbetűk igazságértékeit a kijelentésben a betűk alá.
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|@{\TTon}*{5}{c}@{\TToff}}
$P$&$Q$&$(P$&\eand&$Q)$&\eif&$P$\\
\hline
 1 & 1 & \TTbf{1} & & \TTbf{1} & & \TTbf{1}\\
 1 & 0 & \TTbf{1} & & \TTbf{0} & & \TTbf{1}\\
 0 & 1 & \TTbf{0} & & \TTbf{1} & & \TTbf{0}\\
 0 & 0 & \TTbf{0} & & \TTbf{0} & & \TTbf{0}
\end{tabular}
\end{center}
Most tekintsük a $P\eand Q$ részkijelentést. Ez egy \script{A}\eand\script{B} alakú konjunkció, amiben $P$ mint \script{A} és $Q$ mint \script{B} szerepel. $P$ és $Q$ is igaz az első sorban. Mivel a konjunkció igaz, ha mindkét konjunkció igaz, 1-et írunk a konjunkció szimbólum alá. Folytatjuk a többi három sorral, és ezt kapjuk:

%LZ fordítása vége

%AL fordítása kezdet

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|@{\TTon}*{5}{c}@{\TToff}}
$P$&$Q$&$(P$&\eand&$Q)$&\eif&$P$\\
\hline
 & & \script{A} & \eand & \script{B} & & \\
 1 & 1 & 1 & \TTbf{1} & 1 & & 1\\
 1 & 0 & 1 & \TTbf{0} & 0 & & 1\\
 0 & 1 & 0 & \TTbf{0} & 1 & & 0\\
 0 & 0 & 0 & \TTbf{0} & 0 & & 0
\end{tabular}
\end{center}
The entire sentence is a conditional \script{A}\eif\script{B} with $(P \eand Q)$ as \script{A} and with $P$ as \script{B}. On the second row, for example, $(P\eand Q)$ is false and $P$ is true. Since a conditional is true when the antecedent is false, we write a 1 in the second row underneath the conditional symbol. We continue for the other three rows and get this:

Az egész állítás egy implikáció \script{A}\eif\script{B}-vel  $(P \eand Q)$ mint \script{A}, és $P$-vel mint \script{B}.
A második sorban, például $(P\eand Q)$ hamis és  $P$ igaz.
Mivel az implikáció igaz, ha az előzmény hamis, akkor egy 1-est írunk a második sorba az implikáció szimbólum alá.
Folytatva a maradék három sorral, a következőket kapjuk:

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|@{\TTon}*{5}{c}@{\TToff}}
$P$&$Q$&$(P$&\eand&$Q)$&\eif&$P$\\
\hline
 & &  & \script{A} &  &\eif &\script{B} \\
 1 & 1 &  & {1} &  &\TTbf{1} & 1\\
 1 & 0 &  & {0} &  &\TTbf{1} & 1\\
 0 & 1 &  & {0} &  &\TTbf{1} & 0\\
 0 & 0 &  & {0} &  &\TTbf{1} & 0
\end{tabular}
\end{center}
The column of 1s underneath the conditional tells us that the sentence \mbox{$(P \eand Q)\eif P$} is true regardless of the truth-values of $P$ and $Q$. They can be true or false in any combination, and the compound sentence still comes out true. It is crucial that we have considered all of the possible combinations. If we only had a two-line truth table, we could not be sure that the sentence was not false for some other combination of truth-values.

Az implikáció alatti 1-es oszlop megmondja nekünk, hogy a \mbox{$(P \eand Q)\eif P$} állítás igaz, függetlenül a $P$ és $Q$ igazságértékétől. Bármilyen kombinációban lehetnek igazak és hamisak, az összetett mondat továbbra is igaz. Alapvető fontosságú, hogy megvizsgáljuk az összes lehetséges kombinációt. Ha csak egy kétsoros igazságtáblánk lenne, nem lehetnénk biztosak benne hogy a mondatok nem hamisak-e az igazság-értékek valamilyen más kombinációjára.

In this example, we have not repeated all of the entries in every successive table. When actually writing truth tables on paper, however, it is impractical to erase whole columns or rewrite the whole table for every step. Although it is more crowded, the truth table can be written in this way:

Ebben a példában nem ismételtük az összes bejegyzést minden egymást követő táblázatban.  Mikor ténylegesen igazság táblázatokat írunk papirra, nem praktikus teljes oszlopokat törölni vagy minden lépésre átírni a teljes táblát. Habár sokkal zsúfoltabb, az igazságtábla az alábbi módon is felírható:
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|@{\TTon}*{5}{c}@{\TToff}}
$P$&$Q$&$(P$&\eand&$Q)$&\eif&$P$\\
\hline
 1 & 1 & 1 & {1} & 1 & 1 & 1\\
 1 & 0 & 1 & {0} & 0 & 1 & 1\\
 0 & 1 & 0 & {0} & 1 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 0 & {0} & 0 & 1 & 0
\end{tabular}
\end{center}
Most of the columns underneath the sentence are only there for bookkeeping purposes. When you become more adept with truth tables, you will probably no longer need to copy over the columns for each of the sentence letters. In any case, the truth-value of the sentence on each row is just the column underneath the main logical operator of the sentence; in this case, the column underneath the conditional.

A mondat alatti oszlopok többsége csak könyvelési célokat szolgál. Mikor már ügyesebben bánunk az igazságtáblákkal, valószínűleg már nem lesz szükségünk arra, hogy az oszlopok fölé másoljuk az egyes állítások betűit.Minden esetben, az állítás igazság értékét, minden sorban éppen az állítás fő logikai operátora alatti oszlop adja; ebben az esetben feltétel alatti oszlop.

%AL fordítása vége

%CZG fordítása kezdet

A \define{complete truth table} has a row for all the possible combinations of 1 and 0 for all of the sentence letters. The size of the complete truth table depends on the number of different sentence letters in the table. A sentence that contains only one sentence letter requires only two rows, as in the characteristic truth table for negation. This is true even if the same letter is repeated many times, as in the sentence
$[(C\eiff C) \eif C] \eand \enot(C \eif C)$.

Egy \define{teljes igazságtáblázatban} van egy sor minden 0 és 1-es kombinációra a kifejezésben megtalálható tagokhoz. Az igazságtábla teljes mérete attól függ, hogy hány különböző tag van a kifejezésünkben. Egy kifejezésnél, amiben csupán egy tag szerepel, csak 2 sorra van szükség, mint a tagadás karakterisztikus igazságtáblájánál. Ez akkor is igaz, ha ugyanaz a tag többször is szerepel, mint a $[(C\eiff C) \eif C] \eand \enot(C \eif C)$ kifejezésben.

The complete truth table requires only two lines because there are only two possibilities: $C$ can be true or it can be false. A single sentence letter can never be marked both 1 and 0 on the same row. The truth table for this sentence looks like this:

A teljes igazságtáblának csak két sorra van szüksége, mivel két lehetőség van: $C$ vagy igaz, vagy hamis. Ugyanaz a kijelentésbetű sosem lehet néhol 1-es néhol 0 ugyanabban a sorban. Az igazságtábla ehhez a kifejezéshez így néz ki:

\begin{center}
\begin{tabular}{c|@{\TTon}*{15}{c}@{\TToff}}
$C$&$[($&$C$&\eiff&$C$&$)$&\eif&$C$&$]$&\eand&\enot&$($&$C$&\eif&$C$&$)$\\
\hline
 1 &    & 1 &  1  & 1 &   & 1  & 1 & &\TTbf{0}&  0& &   1 &  1  & 1 &   \\
 0 &    & 0 &  1  & 0 &   & 0  & 0 & &\TTbf{0}&  0& &   0 &  1  & 0 &   \\
\end{tabular}
\end{center}
Looking at the column underneath the main connective, we see that the sentence is false on both rows of the table; i.e., it is false regardless of whether $C$ is true or false.

A fő logikai művelethez tartozó oszlopban láthatjuk, hogy mindkét érték hamis; vagyis hamis függetlenül attól, hogy $C$ igaz-e vagy sem.

A sentence that contains two sentence letters requires four lines for a complete truth table, as in the characteristic truth tables and the table for $(H \eand I)\eif I$.

Egy kifejezésben amiben két tag is van, négy sorra van szükség az igazságtáblához, mint a karakterisztikus igazsgátáblákban és a $(H \eand I)\eif I$ kifejezés táblájában is.

A sentence that contains three sentence letters requires eight lines. For example:

Ha egy kifejezésben három tag van, akkor nyolc sorra van szükség. Példa:

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|@{\TTon}*{5}{c}@{\TToff}}
$M$&$N$&$P$&$M$&\eand&$(N$&\eor&$P)$\\
\hline
%           M        &     N   v   P
1 & 1 & 1 & 1 & \TTbf{1} & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 0 & 1 & \TTbf{1} & 1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1 & 1 & \TTbf{1} & 0 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 & 1 & \TTbf{0} & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & \TTbf{0} & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 0 & 0 & \TTbf{0} & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & \TTbf{0} & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & \TTbf{0} & 0 & 0 & 0
\end{tabular}
\end{center}
From this table, we know that the sentence $M\eand(N\eor P)$ might be true or false, depending on the truth-values of $M$, $N$, and $P$.

Ebből a táblából megállapíthatjuk, hogy a $M\eand(N\eor P)$ kifejezés lehet igaz vagy hamis az $M$, $N$, és $P$ értékei alapján.

A complete truth table for a sentence that contains four different sentence letters requires 16 lines. Five letters, 32 lines. Six letters, 64 lines. And so on. To be perfectly general: If a complete truth table has $n$ different sentence letters, then it must have $2^n$ rows.

Egy teljes igazságtábla egy négy tagos kifejezés esetében 16 sort tartalmaz. Öt tagnál 32 sort, hat tagnál 64 sort, és így tovább.
A teljesség érdekében: Ha egy teljes igazságtáblának $n$ különböző tagja van, akkor $2^n$ a sorok száma.

In order to fill in the columns of a complete truth table, begin with the right-most sentence letter and alternate 1s and 0s. In the next column to the left, write two 1s, write two 0s, and repeat. For the third sentence letter, write four 1s followed by four 0s. This yields an eight line truth table like the one above. For a 16 line truth table, the next column of sentence letters should have eight 1s followed by eight 0s. For a 32 line table, the next column would have 16 1s followed by 16 0s. And so on.

Hogy feltöltsük az oszlopokat egy teljes igazságtáblában, jobb oldalról indulva váltakozva írjunk 1-et és 0-t. Az egyel jobbra lévő oszlopba írjunk két 1-et, két 0-t, ismételve. Jobbról a 3. oszlopba négy 1-est aztán négy 0-t. Így egy 8 soros igazságtáblát kapunk, mint az fent is látszik. Egy 16 soros igazságtáblánál a következő oszlopba nyolc 1-est és nyolc 0-t írunk. Egy 32 soros táblához a következő oszlopba 16 1-est és 16 0-t. Nagyobb tábláknál ezt az elvet folytatjuk.

%CZG fordítása vége

%KO fordítása kezdet

\section*{Using truth tables}
\section{Igazság táblák használata}

\subsection*{Tautologies, contradictions, and contingent sentences}
\subsection{Tautológiák, ellentmondások és kontingens mondatok}
Recall that an English sentence is a tautology if it must be true as a matter of logic. With a complete truth table, we consider all of the ways that the world might be. If the sentence is true on every line of a complete truth table, then it is true as a matter of logic, regardless of what the world is like.

Emlékezzünk arra, hogy egy mondat tautológia, hogy ha pusztán logikai okokból igaz. A teljes igazságtáblázattal figyelembe vesszük az összes lehetséges jelentést. Ha a mondat igaz egy teljes igazságtáblázat minden sorában, akkor logikai szempontból igaz, függetlenül attól, hogy milyen a környezete.

So a sentence is a \define{tautology in SL} if the column under its main connective is 1 on every row of a complete truth table.

Tehát egy mondat akkor \define{tautológia KL-ban}, ha a legkülső logikai művelet alatti oszlop 1 a teljes igazságtáblázat minden sorában.

Conversely, a sentence is a \define{contradiction in SL} if the column under its main connective is 0 on every row of a complete truth table.

Ezzel szemben egy mondat egy \define{kontradikció} vagy \define{ellentmondás az KL-ban}, ha a legkülső logikai művelet alatti oszlop 0 a teljes igazságtáblázat minden sorában.

A sentence is \define{contingent in SL} if it is neither a tautology nor a contradiction; i.e. if it is 1 on at least one row and 0 on at least one row.

Egy mondat akkor \define{kontingens az KL-ban} (vagy \define{bizonytalan}), ha sem tautológia, sem kontradikció, vagyis ha legalább egy sorban 1 és legalább egy sorban 0.

From the truth tables in the previous section, we know that $(H\eand I)\eif H$ is a tautology, that $[(C\eiff C) \eif C] \eand \enot(C \eif C)$ is a contradiction, and that $M \eand (N \eor P)$ is contingent.


Az előző szakasz igazságtábláiból tudjuk azt, hogy $(H\eand I)\eif H$ egy tautológia, és $[(C\eiff C) \eif C] \eand \enot(C \eif C)$ egy ellentmondás,  $M \eand (N \eor P)$ pedig kontingens.

\subsection{Logical equivalence}
\subsection{Logikai ekvivalencia}
Two sentences are logically equivalent in English if they have the same truth value as a matter logic. Once again, truth tables allow us to define an analogous concept for SL: Two sentences are \define{logically equivalent in SL} if they have the same truth-value on every row of a complete truth table.

Két magyar mondat logikailag ekvivalens, ha ugyanazon igazságértékkel rendelkeznek pusztán logikai okokból. Az igazságtáblák ismét lehetővé teszik egy analóg fogalom meghatározását az KL-ra: Két mondat \define{logikailag ekvivalens KL-ban}, ha ugyanaz az igazságértékük a teljes igazságtáblázat minden sorában.

Consider the sentences $\enot(A \eor B)$ and $\enot A \eand \enot B$. Are they logically equivalent? To find out, we construct a truth table.
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|@{\TTon}*{4}{c}@{\TToff}|@{\TTon}*{5}{c}@{\TToff}}
$A$&$B$&\enot&$(A$&\eor&$B)$&\enot&$A$&\eand&\enot&$B$\\
\hline
 1 & 1 & \TTbf{0} & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & \TTbf{0} & 0 & 1\\
 1 & 0 & \TTbf{0} & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & \TTbf{0} & 1 & 0\\
 0 & 1 & \TTbf{0} & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & \TTbf{0} & 0 & 1\\
 0 & 0 & \TTbf{1} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \TTbf{1} & 1 & 0
\end{tabular}
\end{center}
Look at the columns for the main connectives; negation for the first sentence, conjunction for the second. On the first three rows, both are 0. On the final row, both are 1. Since they match on every row, the two sentences are logically equivalent.

Vegyük a $\enot(A \eor B)$ és a $\enot A \eand \enot B$ mondatokat. Logikailag egyenértékűek? Ennek megismerése érdekében összeállítunk egy igazságtáblát.
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|@{\TTon}*{4}{c}@{\TToff}|@{\TTon}*{5}{c}@{\TToff}}
$A$&$B$&\enot&$(A$&\eor&$B)$&\enot&$A$&\eand&\enot&$B$\\
\hline
 1 & 1 & \TTbf{0} & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & \TTbf{0} & 0 & 1\\
 1 & 0 & \TTbf{0} & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & \TTbf{0} & 1 & 0\\
 0 & 1 & \TTbf{0} & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & \TTbf{0} & 0 & 1\\
 0 & 0 & \TTbf{1} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \TTbf{1} & 1 & 0
\end{tabular}
\end{center}
Nézzük meg a legkülső logikai művelet oszlopait: a negációt az első mondat, konjunkciót a második mondat esetében. Az első három sorban mindkettő 0. Az utolsó sorban mindkettő 1. Mivel minden sorban egyeznek, a két mondat logikailag ekvivalens.

%KO fordítása vége

%KB fordítása kezdete
\subsection*{Consistency}
\subsection{A konzisztencia}
A set of sentences in English is consistent if it is logically possible for them all to be true at once.
A set of sentences is \define{logically consistent in SL} if there is at least one line of a complete truth table on which all of the sentences are true. It is \define{inconsistent} otherwise.

Magyar mondatok egy halmaza konzisztens, ha logikusan lehetséges, hogy mindegyik egyszerre igaz.
Egy mondatkészlet \define {logikailag következetes, más szóval konzisztens SL-ben}, ha van egy teljes igazságtáblanak legalább egy sora, amelyen az összes mondat igaz. Ellenkező esetben ez inkonzisztens.

\subsection*{Validity}
\subsection{Az érvényesség}
An argument in English is valid if it is logically impossible for the premises to be true and for the conclusion to be false at the same time.
An argument is \define{valid in SL} if there is no row of a complete truth table on which the premises are all 1 and the conclusion is 0; an argument is \define{invalid in SL} if there is such a row.

Egy érv az magyar nyelvben akkor érvényes, ha logikusan lehetetlen, hogy a hipotézis igaz legyen, és a következtetés egyszerre téves.
Az érv  \define {helyes, más szóval érvényes SL-ben}, ha nincsen olyan sor a teljes igazságtáblázatban, amelyen a hipotézisek mind 1-ek, és a következtetés 0; az érv \define {helytelen, vagy érvénytelen az SL-ben}, ha van ilyen sor.


Consider this argument:

Vegyük figyelembe ezt az érvet:
\begin{earg}
\item[] $\enot L \eif (J \eor L)$
\item[] $\enot L$
\item[\therefore] $J$
\end{earg}
Is it valid? To find out, we construct a truth table.

Érvényes? Hogy megtudjuk, összeállítunk egy igazságtáblát.
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|@{\TTon}*{6}{c}@{\TToff}|@{\TTon}*{2}{c}@{\TToff}|@{\TTon}c@{\TToff}}
$J$&$L$&\enot&$L$&\eif&$(J$&\eor&$L)$&\enot&L&J\\
\hline
%J   L   -   L      ->     (J   v   L)
 1 & 1 & 0 & 1 & \TTbf{1} & 1 & 1 & 1 & \TTbf{0} & 1 & \TTbf{1}\\
 1 & 0 & 1 & 0 & \TTbf{1} & 1 & 1 & 0 & \TTbf{1} & 0 & \TTbf{1}\\
 0 & 1 & 0 & 1 & \TTbf{1} & 0 & 1 & 1 & \TTbf{0} & 1 & \TTbf{0}\\
 0 & 0 & 1 & 0 & \TTbf{0} & 0 & 0 & 0 & \TTbf{1} & 0 & \TTbf{0}
\end{tabular}
\end{center}
Yes, the argument is valid.
The only row on which both the premises are 1 is the second row, and on that row the conclusion is also 1.

Igen, az érv érvényes.
Az egyetlen sor, amelyen mindkét hipotézis 1, a második sor, és ezen a soron a következtetés szintén 1.

\section*{Partial truth tables}
\section{Részleges igazságtáblák}
In order to show that a sentence is a tautology, we need to show that it is 1 on every row. So we need a complete truth table. To show that a sentence is \emph{not} a tautology, however, we only need one line: a line on which the sentence is 0. Therefore, in order to show that something is not a tautology, it is enough to provide a one-line \emph{partial truth table}--- regardless of how many sentence letters the sentence might have in it.

Annak érdekében, hogy megmutassuk, hogy egy mondat tautológia, meg kell mutatnunk, hogy minden sorban 1. Szóval szükség van egy teljes igazságtáblára. Hogy láthassuk egy mondat \emph{nem} tautológia, azonban csak egy sorra van szükségünk: egy sorra, amelyen a mondat 0. Ezért annak demonstrálásához, hogy valami nem tautológia, elegendő egy egysoros \emph{részleges igazságtábla} -- függetlenül attól, hogy hány mondatbetűből állhat a mondat.

%KB fordítása vége

%BM fordítása kezdet

Consider, for example, the sentence $(U \eand T) \eif (S \eand W)$. We want to show that it is \emph{not} a tautology by providing a partial truth table. We fill in 0 for the entire sentence. The main connective of the sentence is a conditional. In order for the conditional to be false, the antecedent must be true (1) and the consequent must be false (0). So we fill these in on the table:

Vegyük például a mondatot ahhol $(U \eand T) \eif (S \eand W)$ érték van. Meg szeretnénk mutatni, hogy \emph{nem} egy tautológia részleges igazságtáblázattal. Az összes esetben 0-t használunk kitöltésre. Az egész egy feltételezésen alapszik. Annak érdekében, hogy a feltétel (false) legyen, az előzménynek igaz(1) és ez utáni értékeknek pedig hamis(0)-nak kell lennie .Ezt így ábrázoljuk egy táblázatban a táblázatban:

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c|@{\TTon}*{7}{c}@{\TToff}}
$S$&$T$&$U$&$W$&$(U$&\eand&$T)$&\eif    &$(S$&\eand&$W)$\\
\hline
   &   &   &   &    &  1  &    &\TTbf{0}&    &   0 &   
\end{tabular}
\end{center}
In order for the $(U\eand T)$ to be true, both $U$ and $T$ must be true.

Ahoz, hogy $(U\eand T)$ igaz lehessen, mind $U$-nak és $T$-nek igaznak kell lennie.
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c|@{\TTon}*{7}{c}@{\TToff}}
$S$&$T$&$U$&$W$&$(U$&\eand&$T)$&\eif    &$(S$&\eand&$W)$\\
\hline
   & 1 & 1 &   &  1 &  1  & 1  &\TTbf{0}&    &   0 &   
\end{tabular}
\end{center}
Now we just need to make $(S\eand W)$ false. To do this, we need to make at least one of $S$ and $W$ false. We can make both $S$ and $W$ false if we want. All that matters is that the whole sentence turns out false on this line. Making an arbitrary decision, we finish the table in this way:

Most már csak az  $(S\eand W)$ -t kell hamis értékre hozni. Ehez valamelyiknek $S$ és $W$ közül hamisnak kell lennie. Persze ha szeretnénk mind a kettő lehet hamis. Csak az számít, hogy az egész kifejezés hamis lesz ezen a soron. Tetszőleges döntés meghozatalával a táblázatot így fejezzük be:
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c|@{\TTon}*{7}{c}@{\TToff}}
$S$&$T$&$U$&$W$&$(U$&\eand&$T)$&\eif    &$(S$&\eand&$W)$\\
\hline
 0 & 1 & 1 & 0 &  1 &  1  & 1  &\TTbf{0}&  0 &   0 & 0  
\end{tabular}
\end{center}

Showing that something is a contradiction requires a complete truth table. Showing that something is \emph{not} a contradiction requires only a one-line partial truth table, where the sentence is true on that one line.

Ha azt akarjuk belátni, hogy valami ellentmondásos, teljes igazságtáblra van szükség. Annak bizonyítására, hogy valami \emph{nem} ellentmondásos, csak egysoros részleges igazságtáblát kell csinálnunk, ahol a mondat igaz az adott soron. 

A sentence is contingent if it is neither a tautology nor a contradiction. So showing that a sentence is contingent requires a \emph{two-line} partial truth table: The sentence must be true on one line and false on the other. For example, we can show that the sentence above is contingent with this truth table:

A sor kontingens, ha nem tautológia vagy ellentmondás. Tehát egy mondat kontingenciájának bizonyításához \emph{két sorú} igazságtábla kell: Az értékeknek igaz-nak kell lennie az egyik sorban, a másikon pedig hamisnak. Például be tudjuk mutatni, hogy a fenti mondat kontingens ezzel az igazságtáblával:
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c|@{\TTon}*{7}{c}@{\TToff}}
$S$&$T$&$U$&$W$&$(U$&\eand&$T)$&\eif    &$(S$&\eand&$W)$\\
\hline
 0 & 1 & 1 & 0 &  1 &  1  & 1  &\TTbf{0}&  0 &   0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 & 0 &  0 &  0  & 1  &\TTbf{1}&  0 &   0 & 0
\end{tabular}
\end{center}
Note that there are many combinations of truth values that would have made the sentence true, so there are many ways we could have written the second line.

Megjegyezhetjük, hogy sok lehetőség van a igaz értékekre, amitől az egész sor igaz lesz, szóval sok lehetőségünk van a 2 sort kitölteni rengeteg variációval.

Showing that a sentence is \emph{not} contingent requires providing a complete truth table, because it requires showing that the sentence is a tautology or that it is a contradiction.  If you do not know whether a particular sentence is contingent, then you do not know whether you will need a complete or partial truth table. You can always start working on a complete truth table. If you complete rows that show the sentence is contingent, then you can stop. If not, then complete the truth table. Even though two carefully selected rows will show that a contingent sentence is contingent, there is nothing wrong with filling in more rows.

Annak belátásához, hogy egy mondat \emph{nem} kontingens, teljes igazságtábla szükséges, mert meg kell mutatni vagy azt, hogy tautológia, vagy azt, hogy ellentmondás. Ha nem tudjuk, hogy egy mondat kontingens-e, akkor azt sem tudjuk, szükség lesz-e teljes vagy részleges igazságtáblára. Mindig kezdhetjük egy teljes igazságtábla készítésével. Ha találunk olyan sorokat, amik azt mutatják, hogy a mondat kontingens, akkor meg lehet állni. Ha nem, akkor elkészítjük a teljes igazságtáblát. Bár két ügyesen megválasztott sor bizonyíthatja, hogy a mondat kontingens, nem baj, ha több sort töltünk ki.

%BM fordítása vége

%UD fordítása kezdet

Showing that two sentences are logically equivalent requires providing a complete truth table. Showing that two sentences are \emph{not} logically equivalent requires only a one-line partial truth table: Make the table so that one sentence is true and the other false.

Ahhoz, hogy bebizonyítsuk, hogy két kijelentés logikailag ekvivalens, teljes igazságtáblázatot kell készítenünk. Ha azonban azt akarjuk megmutatni, hogy két állítás \emph{nem} ekvivalens, elég csak egy egysoros parciális igazságtábla: készítse el a táblát úgy, hogy az egyik kijelentés igaz, a másik hamis legyen.

Showing that a set of sentences is consistent requires providing one row of a truth table on which all of the sentences are true. The rest of the table is irrelevant, so a one-line partial truth table will do. Showing that a set of sentences is inconsistent, on the other hand, requires a complete truth table: You must show that on every row of the table at least one of the sentences is false.

Kijelentéskészlet konzisztenciájának igazolásához egy sort kell csak megadni az igazságtáblából, amelyben az összes kijelentés igaz. A tábla többi része irreleváns, így egy egysoros parciális igazságtábla eleget tesz. Másrészről azonban, ha a kijelentéskészlet inkonzisztenciáját szeretnénk megmutatni, teljes igazságtáblázatra lesz szükségünk. Ekkor azt kell megmutatni, hogy a tábla valamennyi sorában legalább egy kijelentés hamis.

Showing that an argument is valid requires a complete truth table. Showing that an argument is \emph{invalid} only requires providing a one-line truth table: If you can produce a line on which the premises are all true and the conclusion is false, then the argument is invalid.

Egy érvelés érvényességének bizonyításához teljes igazságtáblára van szükségünk. \emph{Érvénytelen}ségének kimutatásához azonban csak egysoros igazságtábla kell. Ha elő tudunk állítani egy olyan sort, amelyben az összes feltétel igaz, míg a zárótétel hamis, akkor az argumentum érvénytelen.

Here is a table that summarizes when a complete truth table is required and when a partial truth table will do.

Az alábbi tábla összegzi, mikor van szükségünk teljes igazságtáblára, és mikor elég csak egy sor belőle.

\begin{table}[h!]
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|}
\cline{2-3}
 & YES & NO\\
\cline{2-3}
tautology? & complete truth table & one-line partial truth table\\
contradiction? &  complete truth table  & one-line partial truth table\\
contingent? & two-line partial truth table & complete truth table\\
equivalent? & complete truth table & one-line partial truth table\\
consistent? & one-line partial truth table & complete truth table\\
valid? & complete truth table & one-line partial truth table\\
\cline{2-3}
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Do you need a complete truth table or a partial truth table? It depends on what you are trying to show.}
\label{table.CompleteVsPartial}
\end{table}

\begin{table}[h!]
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|}
\cline{2-3}
 & IGEN & NEM\\
\cline{2-3}
tautológia? & teljes igazságtábla & egysoros parciális igazságtábla\\
kontradikció? &  teljes igazságtábla  & egysoros paricális igazságtábla\\
kontingens? & kétsoros parciális igazságtábla & teljes igazságtábla\\
ekvivalens? & teljes igazságtábla & egysoros parciális igazságtábla\\
konzisztens? & egysoros parciális igazságtábla & teljes igazságtábla\\
érvényes? & teljes igazságtábla & egysoros parciális igazságtábla\\
\cline{2-3}
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Teljes vagy parciális igazságtáblázatra van szükségünk? Attól függ, mit akarunk
megmutatni.}
\label{table.CompleteVsPartial}
\end{table}

 

%\section{The material conditional}
%\label{MaterialConditional}

%The material conditional has some odd properties. For one thing, it does not require that the antecedent and consequent are related in any way.

%contradiction in the antecedent

%tautology in the consequent


%\fix{Summary of test conditions}


\practiceproblems
If you want additional practice, you can construct truth tables for any of the sentences and arguments in the exercises for the previous chapter.

\practiceproblems
Ha további gyakorlást szeretne, készíthet teljes igazságtáblázatot bármelyik kijelentéshez és argumentumhoz a korábbi fejezetek feladataiban.

\solutions
\problempart
\label{pr.TT.TTorC}
Determine whether each sentence is a tautology, a contradiction, or a contingent sentence. Justify your answer with a complete or partial truth table where appropriate.

\solutions
\problempart
\label{pr.TT.TTorC}
Határozza meg, mely kijelentés tautológia, kontradikció, vagy kontingens. Ahol indokolt, igazolja válaszát teljes vagy parciális igazságtáblázattal!

%UD fordítása vége
\begin{earg}
\item $A \eif A$ %taut
\item $\enot B \eand B$ %contra
\item $C \eif\enot C$ %contingent
\item $\enot D \eor D$ %taut
\item $(A \eiff B) \eiff \enot(A\eiff \enot B)$ %tautology
\item $(A\eand B) \eor (B\eand A)$ %contingent
\item $(A \eif B) \eor (B \eif A)$ % taut
\item $\enot[A \eif (B \eif A)]$ %contra
\item $(A \eand B) \eif (B \eor A)$  %taut
\item $A \eiff [A \eif (B \eand \enot B)]$ %contra
\item $\enot(A \eor B) \eiff (\enot A \eand \enot B)$ %taut
\item $\enot(A\eand B) \eiff A$ %contingent
\item $\bigl[(A\eand B) \eand\enot(A\eand B)\bigr] \eand C$ %contradiction
\item $A\eif(B\eor C)$ %contingent
\item $[(A \eand B) \eand C] \eif B$ %taut
\item $(A \eand\enot A) \eif (B \eor C)$ %tautology
\item $\enot\bigl[(C\eor A) \eor B\bigr]$ %contingent
\item $(B\eand D) \eiff [A \eiff(A \eor C)]$%contingent
\end{earg}


\solutions
\problempart
\label{pr.TT.equiv}
Determine whether each pair of sentences is logically equivalent. Justify your answer with a complete or partial truth table where appropriate.
\begin{earg}
\item $A$, $\enot A$ %No
\item $A$, $A \eor A$ %Yes
\item $A\eif A$, $A \eiff A$ %No
\item $A \eor \enot B$, $A\eif B$ %No
\item $A \eand \enot A$, $\enot B \eiff B$ %Yes
\item $\enot(A \eand B)$, $\enot A \eor \enot B$ %Yes
\item $\enot(A \eif B)$, $\enot A \eif \enot B$ %No
\item $(A \eif B)$, $(\enot B \eif \enot A)$ %Yes
\item $[(A \eor B) \eor C]$, $[A \eor (B \eor C)]$ %Yes
\item $[(A \eor B) \eand C]$, $[A \eor (B \eand C)]$ %No
\end{earg}

\solutions
\problempart
\label{pr.TT.consistent}
Determine whether each set of sentences is consistent or inconsistent. Justify your answer with a complete or partial truth table where appropriate.
\begin{earg}
\item $A\eif A$, $\enot A \eif \enot A$, $A\eand A$, $A\eor A$ %consistent
\item $A \eand B$, $C\eif \enot B$, $C$ %inconsistent
\item $A\eor B$, $A\eif C$, $B\eif C$ %consistent
\item $A\eif B$, $B\eif C$, $A$, $\enot C$ %inconsistent
\item $B\eand(C\eor A)$, $A\eif B$, $\enot(B\eor C)$  %inconsistent
\item $A \eor B$, $B\eor C$, $C\eif \enot A$ %consistent
\item $A\eiff(B\eor C)$, $C\eif \enot A$, $A\eif \enot B$ %consistent
\item $A$, $B$, $C$, $\enot D$, $\enot E$, $F$ %consistent
\end{earg}

\solutions
\problempart
\label{pr.TT.valid}
Determine whether each argument is valid or invalid. Justify your answer with a complete or partial truth table where appropriate.
\begin{earg}
\item $A\eif A$, \therefore\ $A$ %invalid
\item $A\eor\bigl[A\eif(A\eiff A)\bigr]$, \therefore\ A %invalid
\item $A\eif(A\eand\enot A)$, \therefore\ $\enot A$ %valid
\item $A\eiff\enot(B\eiff A)$, \therefore\ $A$ %invalid
\item $A\eor(B\eif A)$, \therefore\ $\enot A \eif \enot B$ %valid
\item $A\eif B$, $B$, \therefore\ $A$ %invalid
\item $A\eor B$, $B\eor C$, $\enot A$, \therefore\ $B \eand C$ %invalid
\item $A\eor B$, $B\eor C$, $\enot B$, \therefore\ $A \eand C$ %valid
\item $(B\eand A)\eif C$, $(C\eand A)\eif B$, \therefore\ $(C\eand B)\eif A$ %invalid
\item $A\eiff B$, $B\eiff C$, \therefore\ $A\eiff C$ %valid
\end{earg}

%SG fordítása kezdet
\solutions
\problempart
\label{pr.TT.concepts}
Answer each of the questions below and justify your answer.
\begin{earg}
\item Suppose that \script{A} and \script{B} are logically equivalent. What can you say about $\script{A}\eiff\script{B}$?
%\script{A} and \script{B} have the same truth value on every line of a complete truth table, so $\script{A}\eiff\script{B}$ is true on every line. It is a tautology.
\item Suppose that $(\script{A}\eand\script{B})\eif\script{C}$ is contingent. What can you say about the argument ``\script{A}, \script{B}, \therefore\script{C}''?
%The sentence is false on some line of a complete truth table. On that line, \script{A} and \script{B} are true and \script{C} is false. So the argument is invalid.
\item Suppose that $\{\script{A},\script{B}, \script{C}\}$ is inconsistent. What can you say about $(\script{A}\eand\script{B}\eand\script{C})$?
%Since there is no line of a complete truth table on which all three sentences are true, the conjunction is false on every line. So it is a contradiction.
\item Suppose that \script{A} is a contradiction. What can you say about the argument ``\script{A}, \script{B}, \therefore\script{C}''?
%Since \script{A} is false on every line of a complete truth table, there is no line on which \script{A} and \script{B} are true and \script{C} is false. So the argument is valid.
\item Suppose that \script{C} is a tautology. What can you say about the argument ``\script{A}, \script{B}, \therefore\script{C}''?
%Since \script{C} is true on every line of a complete truth table, there is no line on which \script{A} and \script{B} are true and \script{C} is false. So the argument is valid.
\item Suppose that \script{A} and \script{B} are logically equivalent. What can you say about $(\script{A}\eor\script{B})$?
%Not much. $(\script{A}\eor\script{B})$ is a tautology if \script{A} and \script{B} are tautologies; it is a contradiction if they are contradictions; it is contingent if they are contingent.
\item Suppose that \script{A} and \script{B} are \emph{not} logically equivalent. What can you say about $(\script{A}\eor\script{B})$?
%\script{A} and \script{B} have different truth values on at least one line of a complete truth table, and $(\script{A}\eor\script{B})$ will be true on that line. On other lines, it might be true or false. So $(\script{A}\eor\script{B})$ is either a tautology or it is contingent; it is \emph{not} a contradiction.
\end{earg}

\solutions
\problempart
\label{pr.TT.concepts}
Válaszold meg az alábbi kérdéseket és válaszodat igazold!
\begin{earg}
\item Tegyük fel, hogy \script{A} és \script{B} logikailag ekvivalensek. Ebben az esetben mit lehet elmondani $\script{A}\eiff\script{B}$?
\item Tegyük fel, hogy $(\script{A}\eand\script{B})\eif\script{C}$ kontingens. Mit tudsz elmondani az ``\script{A}, \script{B}, \therefore\script{C}'' argumentumról?
\item Tegyük fel, hogy $\{\script{A},\script{B}, \script{C}\}$ inkonzistens. Mit tudsz elmondani $(\script{A}\eand\script{B}\eand\script{C})$-ről?
\item Tegyük fel, hogy \script{A} egy kontradikció. Mit tudsz elmondani ``\script{A}, \script{B}, \therefore\script{C}'' argumentumról?
\item Tegyük fel, hogy \script{C} tautológia. Ebben az esetben mit lehet elmondani ``\script{A}, \script{B}, \therefore\script{C}'' argumentumról?
\item Tegyük fel, hogy \script{A} és \script{B} logikailag ekvivalensek. Mit tudsz elmondani $(\script{A}\eor\script{B})$-ről?
\item Tegyük fel, hogy \script{A} és \script{B} \emph{nem} logikailag ekvivalensek. Mit tudsz elmondani $(\script{A}\eor\script{B})$-ről?
\end{earg}

\problempart
\label{pr.altConnectives}
We could leave the biconditional (\eiff) out of the language. If we did that, we could still write `$A\eiff B$' so as to make sentences easier to read, but that would be shorthand for $(A\eif B) \eand (B\eif A)$. The resulting language would be formally equivalent to SL, since $A\eiff B$ and $(A\eif B) \eand (B\eif A)$ are logically equivalent in SL. If we valued formal simplicity over expressive richness, we could replace more of the connectives with notational conventions and still have a language equivalent to SL. 

\problempart
\label{pr.altConnectives}
Az ekvivalenciát (\eiff) ki lehetne hagyni a nyelvből. Ekkora `$A\eiff B$'-t ugyanúgy felírhatnánk csak, hogy könnyítsünk a mondatok olvashatóságán, de ez csupán az $(A\eif B) \eand (B\eif A)$ kifejezésnek lenne a rövidítése. Az így kapott nyelv pedig formálisan ekvivalens lenne KL-lel, mivel $A\eiff B$, valamint $(A\eif B) \eand (B\eif A)$ logikailag ekvivalensek KL-ben. Ha a formai egyszerűséget többre tartanánk, mint a gazdag szemléltetés módot, akkor több műveletet is helyettesíthetnénk jelölési konvenciókkal és továbbra is olyan nyelvet kapnánk, ami ekvivalens KL-lel.

There are a number of equivalent languages with only two connectives. It would be enough to have only negation and the material conditional. Show this by writing sentences that are logically equivalent to each of the following using only parentheses, sentence letters, negation (\enot), and the material conditional (\eif).
\begin{earg}
\item\leftsolutions\ $A\eor B$
%$\enot A \eif B$
\item\leftsolutions\ $A\eand B$
%$\enot(A \eif \enot B)$
\item\leftsolutions\ $A\eiff B$
%$\enot [(A\eif B) \eif \enot(B\eif A)]$
\end{earg}
%...
% Break out of the {earg} environment to give new instructions. 

Számos két műveletet tartalmazó ekvivalens nyelv létezik. Elegendő lenne csupán negáció és implikáció. Bizonyítsd ezt olyan mondatokkal, melyek logikailag ekvivalensek a következőkkel, kizárólag zárójeleket, kijelentésváltozókat, negációt (\enot), és implikációt használva (\eif).
\begin{earg}
\item\leftsolutions\ $A\eor B$
%$\enot A \eif B$
\item\leftsolutions\ $A\eand B$
%$\enot(A \eif \enot B)$
\item\leftsolutions\ $A\eiff B$
%$\enot [(A\eif B) \eif \enot(B\eif A)]$
\end{earg}
%...
% Break out of the {earg} environment to give new instructions.

We could have a language that is equivalent to SL with only negation and disjunction as connectives. Show this: Using only parentheses, sentence letters, negation (\enot), and disjunction (\eor), write sentences that are logically equivalent to each of the following.

KL-lel ekvivalens olyan nyelvünk is lehetne, mely műveletként csak negációt és diszjunkciót tartalmaz. Bizonyítsd ezt: használj kizárólag zárójeleket, kijelentésváltozókat, negációt (\enot), és diszjunkciót (\eor), írj olyan mondatokat melyek logikailag ekvivalensek az alábbiakkal.
% Resume the {earg} environment and restore the counter.
%...
\begin{earg}
\setcounter{eargnum}{\arabic{OLDeargnum}}
\item $A \eand B$
%$\enot(\enot A \eor \enot B)$
\item $A \eif B$
%$\enot A \eor B$
\item $A \eiff B$
%$\enot(\enot A \eor \enot B) \eor \enot(A \eor B)$
\end{earg}
%...
The \emph{Sheffer stroke} is a logical connective with the following characteristic truthtable:

A \emph{Sheffer-funktor} (negált konjunkció) egy logikai művelet, a következő igazságtáblával:
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c}
\script{A} & \script{B} & \script{A}$|$\script{B}\\
\hline
1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{tabular}
\end{center}
%...
\begin{earg}
\setcounter{eargnum}{\arabic{OLDeargnum}}
\item Write a sentence using the connectives of SL that is logically equivalent to $(A|B)$.
\end{earg}

\begin{earg}
\setcounter{eargnum}{\arabic{OLDeargnum}}
\item Írj egy mondatot az KL műveleteit használva, amely logikailag ekvivalens $(A|B)$-vel.
\end{earg}
%...
Every sentence written using a connective of SL can be rewritten as a logically equivalent sentence using one or more Sheffer strokes. Using only the Sheffer stroke, write sentences that are equivalent to each of the following. 

Bármely KL-i művelettel felírt mondat logikailag ekvivalens módon újraírható egy vagy több Sheffer-funktor használatával. Írj az alábbiakkal ekvivalens mondatokat, kizárólag Sheffer-funktort használva.
%...
\begin{earg}
\setcounter{eargnum}{\arabic{OLDeargnum}}
\item $\enot A$
\item $(A\eand B)$
\item $(A\eor B)$
\item $(A\eif B)$
\item $(A\eiff B)$
\end{earg}

%SG fordítása vége