AVL树本质上还是一颗二叉树，它的特点是：
- 自身是一颗二叉树；
- 满足平衡二叉树条件，即对于任意一个左子树和右子树，其二者高度不能超过一，并且左右两棵子树都是一棵平衡二叉树；
在学习AVL树之前，先了解一下相关基础知识:
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二叉树
啥是二叉树？二叉树就是树形结构的一个重要类型。
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平衡二叉树
定义：平衡二叉树，对于任意一个左子树和右子树，其二者高度差不能超过一；并且左右两棵子树都是一棵平衡二叉树。 如下图：
对于平衡二叉树，这里定义两个概念：
- 树的高度；
- 平衡因子；
树的高度
对于平衡二叉树的高度，计算公式：当前节点树高度 = 左右子树最大高度 + 1。
平衡因子
对于平衡二叉树的平衡因子为左右子树高度的差。
如下图红色数字：
另外，可以通过判断一棵树的平衡因子是否大于1来判断该树是否为平衡二叉树，是的话，就不是平衡二叉树，所以很明显上面这棵树不是平衡二叉树。
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满二叉树
定义：一棵二叉树的结点要么是叶子结点，要么它有两个子结点，这样的树就是满二叉树。
下图这个图，就是一棵满二叉树：
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完全二叉树
定义：
（1）所有的叶结点都出现在第k层或k-l层（层次最大的两层）。 （2）对任一结点，如果其右子树的最大层次为L，则其左子树的最大层次为L或L+l。
平衡二叉树的高度和节点数量之间的关系
h = O(logn)
//在定义的内部类-Node节点中，定义一个height作为树的高度
private class Node{
public K key;
public V value;
public Node left, right;
//定义
public int height;
public Node(K key, V value){
this.key = key;
this.value = value;
left = null;
right = null;
height = 1;
}
}
// 获得节点node的高度
private int getHeight(Node node){
if(node == null)
return 0;
return node.height;
}
// 获得节点node的平衡因子
private int getBalanceFactor(Node node){
if(node == null)
return 0;
return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
}
因为对二叉树中序遍历之后，遍历后的元素是有序的，所以可以以这个性质来判断一棵树是否为二叉树
// 判断该二叉树是否是一棵二分搜索树
public boolean isBST(){
ArrayList<K> keys = new ArrayList<>();
inOrder(root, keys);
for(int i = 1 ; i < keys.size() ; i ++)
if(keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0)
return false;
return true;
}
// 判断该二叉树是否是一棵平衡二叉树
public boolean isBalanced(){
return isBalanced(root);
}
// 判断以Node为根的二叉树是否是一棵平衡二叉树，递归算法
private boolean isBalanced(Node node){
if(node == null)
return true;
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if(Math.abs(balanceFactor) > 1)
return false;
return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
}
旋转（左旋转、右旋转）节点是为了维持树的平衡，那么在什么时候需要维护树的平衡呢？
添加一个节点的时候，如下图：
添加完以后是这样的：
此时就已经不满足平衡二叉树的定义了，就需要进行旋转操作。所以，平衡的时机，就是在加入节点以后，沿着节点向上维护（回溯）平衡性。
有两种情况，需要进行右旋操作。
（1）
（2）
下面，来进行右旋操作，为了不失去一般性，每个节点用变量来表示：
右旋操作：
x.right = y;
y.left = T3;
// 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// x T4 向右旋转 (y) z y
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// z T3 T1 T2 T3 T4
// / \
// T1 T2
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T3 = x.right;
//向右旋转
x.right = y;
y.left = T3;
//旋转过后，需要重新维护树的高度，并且需要先计算y的高度，再计算x的高度，因为此时y已经为x的子节点了
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.heigt = Math.max(getHeight(x.left), getiHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
private int getHeight(Node node) {
if(node == null) {
return 0;
}
return node.height;
}
下面，通过分析一下树的高度，来判断，到底合不合理，旋转之后是否真的是平衡二叉树？
旋转前：
旋转后：
可以观察高度是完全合理的，所以，旋转之后的高度完全合理。
有两种情况，需要进行左旋操作。
左旋操作：
x.left = y;
y.right = T2;
// 对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// T1 x 向左旋转 (y) y z
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// T2 z T1 T2 T3 T4
// / \
// T3 T4
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node T2 = x.left;
//向左旋转
x.left = y;
y.right = T2;
//旋转过后，需要重新维护树的高度，并且需要先计算y的高度，再计算x的高度，因为此时y已经为x的子节点了
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.heigt = Math.max(getHeight(x.left), getiHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
private int getHeight(Node node) {
if(node == null) {
return 0;
}
return node.height;
}
普通的左旋和右旋，可以称作为LL和RR。怎么理解呢？下面来看看LL和LR、RR和RL的区别吧。
LL和LR
RR和RL
对于RL和LR，是不能通过普通的旋转操作，来维持树的平衡性的。
对于RL：
y y
/ \ / \ z
T1 x T1 z / \
/ \ 对x进行右旋 / \ 然后对z进行左旋 y x
z T4 --------------> T2 x ----------------> / \ / \
/ \ / \ T1 T2 T3
T2 T3 T3 T4
//当node为y节点的时候，此时的平衡因子是小于-1的，对x节点进行右旋操作，然后再进行左旋操作。
if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
对于LR：
y y z
/ \ / \ / \
x T4 对x进行左旋 z T4 对z进行右旋操作 x y
/ \ ---------------> / \ -----------------> / \ / \
T1 z x T3 T1 T2 T3 T4
/ \ / \
T2 T3 T1 T2
//当node为y节点的时候，此时的平衡因子是大于1的，对x节点进行左旋操作，然后再进行右旋操作。
if(balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
至此，对于所有的情况，都已经分析完了。
删除的节点，分为两种：
叶子节点
非叶子结点
这里需要注意的一点就是，在删除非叶子节点的时候，需要选取找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点，用这个节点顶替待删除节点的位置。然后才能进行旋转操作。
//从二分搜索树种删除键为key的节点
public V remove(K key) {
Node node = getNode(root, key);
if(node != null) {
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}
private Node remove(Node node, K key) {
if(node == null) {
return null;
}
Node retNode;
if(key.compareTo(node.key) < 0) {
node.left = remove(node.left, key);
retNode = node;
} else if(key.compareTo(node.key) > 0) {
node.right = remove(node.right, key);
retNode = node;
} else {
if(node.left == null) {//待删除节点左子树为空的情况
Node rightNode = node.right;
size --;
retNode = rightNode;
} else if(node.right == null) {//待删除节点右子树为空的情况
Node leftNode = node.left;
size --;
retNode = leftNode;
} else {//待删除的节点的左右子节点都不为空
// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
//重新维护以successor为根节点的这个子树
succesor.right = remove(node.right, successor.key);
succesor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
retNode = successor;
}
}
if(retNode == null) {
return null;
}
// 更新height
retNode.height = 1 + Math.max(getHeight(retNode.left), getHeight(retNode.right));
// 计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);
// 平衡维护
// LL
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0)
return rightRotate(retNode);
// RR
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0)
return leftRotate(retNode);
// LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
retNode.left = leftRotate(retNode.left);
return rightRotate(retNode);
}
// RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
retNode.right = rightRotate(retNode.right);
return leftRotate(retNode);
}
return retNode;
}
//返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
private Node minimum(Node node) {
if(node.left == null) {
return node;
}
return minimum(node.left);
}
public class AVLTree<K extends Comparable<K>,V> {//
private class Node {
public K key;
public V value;
public Node left, right;
public int height;
public Node(K key, V value) {
this.key = key;
this.value = value;
left = null;
right = null;
height = 1;//初始高度都为1
}
}
private Node root;
private int size;
public AVLTree() {
root = null;
size = 0;
}
//向二分搜索树种添加一个新的元素(key, value)
public void add(K key, V value) {
root = add(root, key, value);
}
//使用递归算法来添加新元素
private Node add(Node node, K key, V valu) {
if(node == null) {
size ++;
return Node(key, value);
}
if(key.compareTo(node.key) < 0) {
node.left = add(node.left, key, value);
} else if(key.compareTo(node.key) > 0) {
node.right = add(node.right, key, value);
} else {
node.value = value;
}
//更新height
node.height = Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right)) + 1;
//计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
//维护树的平衡
if(balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0) {
return rightRotate(node);
}
if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0) {
return leftRotate(node);
}
if(balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
}
}