title | addons | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Exercices |
|
- TOC {:toc}
Fonctions utiles : degree
, leading_coefficient
, coefficients
,
expand
, factor
, gcd
, quo
, rem
.
–{:.exercise}
Soient les polynômes
- Déterminer le degré, le coefficient dominant et la liste
des termes de
$$P=P_1P_2$$ . - Effectuer la division euclidienne de
$$P_1$$ par$$P_2$$ . - Calculer
$$Q=\PGCD(P_1,P_2)$$ . - Factoriser
$$P$$ . Calculer$$P(2)$$ .
–{:.exercise}
Soit le polynôme
- Factoriser
$$P$$ dans$$\Z[x]$$ . - Factoriser
$$P$$ dans$$\Z[i][x]$$ et dans$$\Q(i)[x]$$ . - Factoriser
$$P$$ dans$$\F_2[x]$$ . - Factoriser
$$P$$ dans$$\F_4[x]$$ .
–{:.exercise}
Soit le polynôme
- Factoriser
$$P$$ dans$$\F_2$$ et$$\F_7$$ . - En déduire une preuve de l'irréductibilité de
$$P$$ dans$$\Z[x]$$ . - Vérifier l'irréductibilité de
$$P$$ avec Sage.
–{:.exercise}
Soit
–{:.exercise}
Soit
À partir de maintenant, il est préférable de se servir des anneaux de polynômes de Sage, plutôt que des variables symboliques.
–{:.exercise}
Soit le polynôme
- Donner le degré total de
$$P$$ . - Écrire
$$P$$ comme polynôme en$$x$$ .
–{:.exercise}
Transformer le polynôme
-
$$x^3+2x^2y+xy^2+x^2+2xy+y^2$$ ; -
$$(x+1)(x+y)^2$$ ; -
$$x^3+(2y+1)x^2+(y^2+2y)x+y^2$$ ; -
$$(x+1)y^2+(2x^2+2x)y+x^3+x^2$$ .
–{:.exercise}
-
Soit le polynôme
$$P=xy^5+2y^4+3y^3x^3+4x^2y^2+5xy^2+6yx^3+7y$$ .- Ordonner
$$P$$ pour l'ordre lexicographique. - Ordonner
$$P$$ pour l'ordre lexicographique gradué. - Ordonner
$$P$$ pour l'ordre lexicographique inverse gradué. - Montrer qu'en deux variables, l'ordre lexicographique gradué et l'ordre lexicographique inverse gradué coïncident.
- Ordonner
-
Soit le polynôme
$$Q=x y^{3} z t +x^{2} y z^{3} t + x^{2} y z^{2} t+ x^{3} z^{2} t^{2}$$ .- Ordonner
$$Q$$ à la main pour l'ordre lexicographique gradué. - Ordonner
$$Q$$ à la main pour l'ordre lexicographique inverse gradué.
- Ordonner
–{:.exercise}
Soit
–{:.exercise}
Montrer que l'ordre lexicographique est un ordre admissible. (voir aussi la proposition 4, p.55 du Cox, Little & O'Shea)
–{:.exercise}
-
Soient
$$g=x-y$$ ,$$h=x-y^2$$ et$$p=xy-x$$ dans$$\Q[x,y]$$ muni de l'ordre lexicographique.- À quoi correspond la commande
p.reduce([g, h])
? - À quoi correspond la commande
p.reduce([h, g])
? - Montrer que
$$p$$ est dans l'idéal$$(g,h)$$ .
- À quoi correspond la commande
-
Soient
$$g=x^2y^2-x$$ et$$h=xy^2+y$$ .- À quoi correspond la commande
g.reduce([g, h])
? - À quoi correspond la commande
h.reduce([g, h])
? - Pleurer.
- À quoi correspond la commande
–{:.exercise}
Déterminer quel ordre monomial (lex
, deglex
, degrevlex
) a été
utilisé pour ordonner les termes des polynômes suivants :
-
$$f(x, y, z) = 7x^2y^4z-2xy^6 + x^2y^2$$ . -
$$f(x, y, z) = xy^3z + xy^2z^2 + x^2z^3$$ . -
$$f(x, y, z) = x^4y^5z + 2x^3y^2z-4xy^2z^4$$ .
–{:.exercise}
Soient
- Calculer
$$\overline{f}^F$$ pour les ordres lexicographique et lexicographique gradué. - Effectuer les mêmes calculs en inversant l'ordre de
$$F$$ .
–{:.exercise}
-
Montrer que tout polynôme
$$f\in k[x, y, z]$$ peut s'écrire sous la forme$$f = h_1(y-x^2) + h_2(z-x^3) + r$$ avec
$$h_1, h_2\in k[x,y, z]$$ et$$r\in k[x]$$ . -
Trouver une écriture explicite de la forme
$$z^2-x^4y = h_1(y-x^2) + h_2(z-x^3)$$ .
–{:.exercise}
On étend l'ordre lexicographique
-
Montrer que si
$$A\in \mathcal{M}_n\left(\Q\right)$$ et$$\det A=0$$ alors$$\succA$$ n'est pas un ordre admissible. -
Quelles conditions (nécessaires et suffisantes) doit vérifier
$$A\in\mathcal{M}_n\left(\Q\right)$$ pour que l'ordre associé soit un ordre admissible ? -
Pour
$$n\geq 2$$ , trouver$$A = \begin{pmatrix} a_1 & \cdots & a_n\ 0 & \cdots & 0\ \vdots & & \vdots \ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n\left(\R\right)$$
telle que
$$\succA$$ soit un ordre admissible. -
Quelles conditions (nécessaires et suffisantes) doit vérifier
$$A\in\mathcal{M}_n\left(\R\right)$$ pour que l'ordre associé soit un ordre admissible ? -
Donner successivement un exemple de matrice
$$A$$ tel que l'ordre associé soit l'ordrelex
,deglex
,degrevlex
, un ordre produit (avec à chaque fois$$x_1>\cdots> x_n$$ ).
Fonction utiles : lc
, lm
, lt
.
–{:.exercise}
Soit
–{:.exercise}
Dans l'anneau
Montrer que
–{:.exercise}
Soit l'idéal
- Donner une base de Gröbner
$$G$$ de$$I$$ pour l'ordre lexicographique. - Même question pour l'ordre degrevlex.
–{:.exercise} Que fait la procédure suivante ? Quels sont les arguments de la procédure ? Comment les variables sont elles initialisées ? Quelle est la condition d'arrêt de la boucle ? Que doit renvoyer la procédure ?
def euclidepol (A,B):
A0 = A; A1 = B
S0 = 1; S1 = 0
T0 = 0; T1 = 1
while A1 != 0:
Q = A0//A1
U = A1; A1 = A0 - Q*A1; A0 = U
U = S1; S1 = S0 - Q*S1; S0 = U
U = T1; T1 = T0 - Q*T1; T0 = U
return (A0,S0,T0)
–{:.exercise} Écrire une fonction qui prend en entrée un corps
.irreducible_element()
. Écrivez une boucle
qui tire des polynômes au hasard jusqu'à en trouver un
irréductible. Vous pouvez utiliser la méthode .random_element()
des
anneaux de polynômes pour tirer des polynômes au hasard.
–{:.exercise} Même question qu'à l'exercice précédent, mais cette
fois-ci
–{:.exercise} Nous allons adopter une représentation distribuée creuse pour les polynômes : un monôme sera représenté par une liste à deux éléments. Le premier est le coefficient et le second la liste des exposants.
- Écrire une fonction qui teste si un monôme
$$m_1$$ est plus petit qu'un monôme$$m_2$$ pour l'ordre lexicographique. - Écrire une fonction qui, étant donnée une liste de
monômes, renvoie son plus petit élément
$$m$$ . - Écrire une fonction qui, étant donnée une liste de monômes, énumère les monômes dans l'ordre croissant pour l'ordre lexicographique.
- Écrire une fonction qui affiche un monome de la manière
habituelle (par ex.
5 x^10 y^20
). Vous êtes libres de choisir la façon dont les noms des variables sont assignés (pour référence,chr(97)
équivaut au caractère'a'
). - (avancé) Transformer ces fonctions en une classe
Monome
, munie de deux champs, et au minimum des méthodes spéciales__lt__
,__repr__
et__mul__
.
–{:.exercise}
Soit l'idéal
- Donner une base de Gröbner de
$$I$$ pour l'ordre lexicographique. - Vérifier que les éléments obtenus appartiennent effectivement
à
$$I$$ . - Soit
$$P=x^3y^2+2xy^4$$ . Calculer$$\overline{P}^G$$ .
–{:.exercise}
Dans
–{:.exercise}
Soit
–{:.exercise}
Le polynôme
–{:.exercise}
Soit
–{:.exercise}
Soit l'ideal
de
- Montrer que le système générateur de
$$I$$ est une base de Gröbner pour l'ordre lexicographique avec$$x > y > z > t$$ . - Trouver un ordre sur les variables tel que
$$\left\langle z^{11}, yz^2, y^3t^2, y^4t, y^5, x^2y^2t^3, x^4yt^4 \right\rangle$$ soit$$\left\langle\LT(I) \right\rangle$$ .
–{:.exercise}
On se place dans un anneau
–{:.exercise}
Soit l'anneau
- Pour
$$m=3$$ , montrer que les$$D_{k,\ell}$$ forment une base de Gröbner universelle de$$I$$ . - Pour
$$m\ge3$$ , montrer que les$$D_{k,\ell}$$ forment une base de Gröbner universelle de$$I$$ .
–{:.exercise}
Soit
On dit qu'une forme linéaire non nulle de
-
Montrer que les circuits sont précisément les formes linéaires non nulles
$$D_{k_1,\ldots,k_{d-1},1}x_1+D_{k_1,\ldots,k_{d-1},2}x_2+\cdots+D_{k_1,\ldots,n}x_n$$ où
$$1 \le k_1<\cdots<k_{d_1} \le n$$ . -
En déduire qu'il y a au plus
$$\binom{n}{d-1}$$ circuits. -
Soit
$$I'$$ un idéal engendré par des formes linéaires. Montrer que l'ensemble des circuits dans$$I$$ est une base de Gröbner universelle de$$I$$ .
–{:.exercise}
Soient les polynômes
- Calculer
$$P=\Syz(P_1,P_2)$$ . - Soit
$$I=\left\langle P_1,P_2 \right\rangle$$ . La base$$(P_1,P_2)$$ est-elle de Gröbner ?
–{:.exercise} Déterminer si les ensembles suivants sont des bases de Gröbner des idéaux qu'ils engendrent.
-
$${x^2-y,x^3-z}$$ pour l'ordre lexicographique gradué. -
$${x^2-y,x^3-z}$$ pour l'ordre lexicographique avec$$x<y<z$$ puis$$x>y>z$$ . -
$${xy^2-xz+y,xy-z^2,x-yz^4}$$ avec l'ordre lexicographique.
–{:.exercise}
La fonction
–{:.exercise}
Soit
- Montrer que
$$\overline{f_1}^G=\overline{f_2}^G$$ si, et seulement si,$$f_1-f_2\in I$$ . - En déduire que
$$\overline{f_1+f_2}^G=\overline{f_1}^G+\overline{f_2}^G$$ . - En déduire que
$$\overline{f_1f_2}^G=\overline{\overline{f_1}^G\overline{f_2}^G}^G$$ .
–{:.exercise} Déterminer une base de Gröbner des idéaux suivants :
-
$$I=\left\langle x^2,xy+y^2 \right\rangle$$ de$$k[x,y]$$ pour l'ordre lexicographique. -
$$I=\left\langle y^2,xyz+z^3 \right\rangle$$ de$$\Q[x,y,z]$$ pour l'ordre lexicographique inverse gradué. -
$$I=\left\langle x^2y-1,xy^2-x \right\rangle$$ de$$\Q[x,y]$$ pour les ordres lexicographique et lexicographique gradué. -
$$I=\left\langle x-z^3,y-z^5 \right\rangle$$ de$$\Q[x,y,z]$$ pour les ordres lexicographique et lexicographique inverse gradué.
–{:.exercise}
Montrer que pour tout
pour l'ordre lexicographique inverse gradué contient
–{:.exercise}
Soient
- Soient
$$r\ge1$$ un entier et$$J=(m_1,\ldots,m_r)$$ un idéal monomial de$$k[X_1,\ldots,X_n]$$ . Donner des générateurs de l'idéal$$J\cap (X_{n'},\ldots,X_n)$$ . Dans la suite on fixe sur$$k[X_1,\ldots,X_n]$$ l'ordre lexicographique, on désigne par$$I$$ un idéal homogène non nul et par$$I'$$ l'intersection$$I'=I\cap (X_{n'},\ldots,X_n)$$ . - Montrer que
$$\LT(I')=\LT(I) \cap (X_{n'},\ldots,X_n)$$ . - Soit
$$(f_1,\ldots,f_s)$$ une base de Gröbner de$$I$$ formée de polynômes homogènes. Déduire des questions précédentes des générateurs de$$\LT( I')$$ . En déduire une base de Gröbner de$$I'$$ . - Soit
$$(f_1,\ldots,f_s)$$ une base de Gröbner réduite de$$I$$ formée de polynômes homogènes. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que l'on ait$$I\cap (X_n)=X_n I$$ .
–{:.exercise}
Soient
- On pose :
$$\LT(f)=\lambda m m'$$ ,$$\LT(g)=\mu m m''$$ , où$$m$$ est un monôme,$$m'$$ et$$m''$$ sont deux monômes premiers entre eux et$$\lambda$$ et$$\mu$$ deux scalaires. En utilisant la division du$$S$$ -polynôme$$\Syz(f,g)$$ par la suite$$(f,g)$$ , montrer qu'il existe un polynôme$$g_1$$ dont$$\LT(g_1)$$ n'est pas divisible par$$\LT(f)$$ et tel que$$f$$ divise$$g_1+\lambda m'$$ . - En déduire que
$$m=1$$ . - En déduire que
$$(f,g)$$ est une base de Gröbner de$$I$$ si, et seulement si,$$\LT(f)$$ et$$\LT(g)$$ sont premiers entre eux. - On pose
$$f=hf'$$ ,$$g=hg'$$ , où$$f'$$ et$$g'$$ n'ont pas de facteur commun. Montrer que$$(f,g)$$ est une base lde Gröbner de$$I$$ si, et seulement si,$$(f',g')$$ est une base de Gröbner de l'idéal$$I'$$ engendré par$$f'$$ et$$g'$$ . - Donner une condition nécessaire et suffisante pour que
$$(f,g)$$ soit une base de Gröbner de$$I$$ .
–{:.exercise}
Soit l'idéal
- Montrer que
$$I\cap \Q[x]=\left\langle x^3-x^2 \right\rangle$$ . - Montrer que
$$I\cap \Q[y]=\left\langle y^5-2y^4 \right\rangle$$ .
–{:.exercise}
- Calculer une base de Gröbner réduite de l'idéal engendré par
$$(x + y- z; x^2- 2t^2; y^2 -5t^2)$$ pour l'ordre lexicographique induit par$$x > y > z > t$$ . - En déduire que
$$\sqrt{2}+\sqrt{5}$$ est un nombre algébrique sur le corps des rationnels$$\Q$$ , en exhibant un polynôme à une variable à coefficients rationnels dont il est racine. - Quel est le résultant de
$$(y - z)^2 - 2$$ et$$y^2 - 5$$ par rapport à$$y$$ ? - En déduire que
$$\Q(\sqrt{2},\sqrt{5})=\Q(\sqrt{2}+\sqrt{5})$$ . Exprimer$$\sqrt{2}$$ et$$\sqrt{5}$$ en fonction de$$\sqrt{2}+ \sqrt{5}$$ .
–{:.exercise}
Soient
- Fabriquer un polynôme dont les racines sont les sommes d'une
racine de
$$A$$ et d'une racine de$$B$$ . (Quels sont les Y tels que le système$$A(X) = B(Y-X) = 0$$ ait une solution ?) - Fabriquer un polynôme à coefficients entiers qui a
$$2^{1/2}+7^{1/3}$$ pour racine.
–{:.exercise}
Le degré (resp. le poids) du monôme non nul
- Si
$$P$$ est symétrique, montrer que le degré par rapport à n'importe quel variable est le même. Ce degré est appelé degré partiel de$$P$$ . - Montrer que pour tout polynôme
$$P\in k[x_1,\ldots,x_n]$$ symétrique de degré$$d$$ , il existe un unique polynôme$$F\in k[x_1,\ldots,x_n]$$ tel que$$P(x_1,\ldots,x_n)=F(S_1,\ldots,S_n)$$ où$$F$$ est de poids$$d$$ et de degré le degré partiel de$$P$$ .
–{:.exercise}
Déterminer à l'aide d'un résultant l'intersection des courbes de
–{:.exercise}
On considère la courbe plane d'équation rationnelle
-
Comment trouver une équation implicite de la courbe ?
-
On considère la paramétrisation rationnelle
$$ \left{\begin{aligned} x & = \frac{u^2}{v}\ y & = \frac{v^2}{u}\ z & = u \end{aligned}\right. $$
Vérifier que les points
$$(x,y,z)$$ sont sur la surface$$x^2y = z^3$$ . -
Soit
$$I$$ l'idéal$$\left\langle vx-u^2, uy-v^2,z-u \right\rangle$$ . Calculer$$I_2=I\cap\R[x,y,z]$$ . -
Impliciter l'exemple
$$x=t^2+t+1$$ ,$$y=(t^2-1)/(t^2+1)$$ .
–{:.exercise}
Donner l'aire d'un triangle en fonction des longueurs
–{:.exercise}
Soit
- Montrer qu'il existe
$$(a_1, . . . , a_{n-1})$$ dans$$K^{n-1}$$ tel que le polynôme$$P(X_1 + a_1X_n,\cdots, X_{n-1} + a_{n-1}X_n,X_n)$$ soit de la forme$$cX_n^d +Q$$ , où$$c$$ est un élément non nul de$$K$$ et$$Q$$ un polynôme de degré$$< d$$ par rapport à$$X_n$$ . - En utilisant un résultant en déduire le théorème des zéros de Hilbert.
–{:.exercise} En utilisant Sage, donner les solutions des équations suivantes :
-
$$x^3-1=0$$ . -
$$x^3-5ax^2+x=1$$ . -
$$x^7-2x^6-4x^5-x^3+x^2+6x+4=0$$ .
–{:.exercise} En utilisant Sage, donner les solutions des systèmes d'équations suivants :
- $$\left{\begin{array}{cc} x^2+y^2=25,\cr x^2-9=y.\cr\end{array}\right.$$.
- $$\left{\begin{array}{cc}x^2+y^2=1,\cr z=x-y,\cr z^2=x+y.\cr\end{array}\right.$$.
- $$\left{\begin{array}{cc} cx+xy^2+xz^2=1,\cr cy+yx^2+yz^2=1,\cr cz+zx^2+zy^2=1.\cr\end{array}\right.$$ où
$$c$$ est un paramètre réel.
–{:.exercise}
Résoudre l'équation suivante dans
–{:.exercise}
On considère la surface
et la courbe
- Obtenir une équation implicite de
$$S$$ . - Obtenir des équations implicites de
$$C$$ . - Vérifier à l'aide de ces équations que
$$C\subset S$$ .
–{:.exercise}
Soient les idéaux de
Montrer que
–{:.exercise}
Soient les idéaux de
- Montrer que
$$I\neq J$$ . - A-t-on
$$I\subset J$$ ? - A-t-on
$$J\subset I$$ ?
–{:.exercise}
Soient
- Montrer que
$$a^4+b^4+c^4=9.$$ - Montrer que
$$a^5+b^5+c^5\neq 11$$ . - Que valent
$$a^5+b^5+c^5$$ et$$a^6+b^6+c^6$$ ?
–{:.exercise} ([Sagebook]({{ site.data.bib.sagebook }}),
exercice 36) Soit
Calculer
–{:.exercise}
Soit
- Montrer que
$$I_{\ell}=I\cap k[x_{\ell+1},\ldots,x_n]$$ est un idéal de$$k[x_{\ell+1},\ldots,x_n]$$ . - Montrer que l'idéal
$$I_{\ell+1}\subseteq k[x_{\ell+2},\ldots,x_n]$$ est le premier idéal d'élimination de$$I_{\ell}\subseteq k[x_{\ell+1},\ldots,x_n]$$ . - En déduire comment appliquer le théorème d'élimination pour éliminer plusieurs variables.
–{:.exercise} Soient le système d'équations
et
- Déterminer des bases de
$$I\cap k[x]$$ , et de$$I\cap k[y]$$ . - En déduire l'ensemble des solutions de ce système.
–{:.exercise}
Soit
- Calculer les idéaux
$$I_1$$ et$$I_2$$ . - Combien le système associé admet-il de solutions
$$(x,y,z)\in\Q^3$$ ? - Combien le système associé admet-il de solutions
$$(x,y,z)\in\C^3$$ ?
–{:.exercise}
Utiliser le théorème d'élimination pour résoudre le système suivant
dans
–{:.exercise}
Soit
- Soit
$$J$$ l'ideal$$\displaystyle \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle$$ . Quelle est la dimension de$$J$$ ? Peut-on calculer simplement les points critiques de$$f$$ ? - En considérant l'idéal
$$\displaystyle \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, f-t \right\rangle\subset\Q[x,y,t]$$ , trouver un polynôme de$$\Q[t]$$ dont l'ensemble des racines contient les valeurs critiques de$$f$$ .
–{:.exercise}
Soient
–{:.exercise}
Calculer, dans
–{:.exercise}
Écrire un algorithme qui détermine l'intersection de deux idéaux.
–{:.exercise}
Soit
- Montrer qu'un idéal propre
$$I$$ est de dimension zéro si, et seulement si, il contient un polynôme non constant en chaque variable$${x_1,\ldots,x_n}$$ .
Soit
- Si
$$I$$ est de dimension zéro, montrer que pour tout ordre admissible sur$$k[x_1,\ldots,x_n]$$ et pour toute base de Gröbner$$G$$ de$$I$$ , pour tout$$1\leq i\leq n$$ , il existe$$g_i\in G$$ avec$$\LM(g_i)=x_i^{\alpha_i}$$ pour un$$\alpha_i>0$$ . - Supposons qu'il existe un ordre sur
$$k[x_1,\ldots,x_n]$$ et une base de Gröbner$$G$$ de$$I$$ telle que pour tout$$1\leq i\leq n$$ , il existe$$g_i\in G$$ avec$$\LM(g_i)=x_i^{\alpha_i}$$ pour un$$\alpha_i>0$$ . Montrer que$$k[x_1,\ldots,x_n]/I$$ est un$$k$$ -espace vectoriel de dimension finie. - Si
$$k[x_1,\ldots,x_n]/I$$ est un$$k$$ -espace vectoriel de dimension finie, montrer que$$I$$ est de dimension zéro. - En déduire que
$$I$$ est de dimension zéro si, et seulement si,$$k[x_1,\ldots,x_n]/I$$ est un$$k$$ -espace vectoriel de dimension finie. {: start="2" }
–{:.exercise}
Soit
–{:.exercise}
Quelle est la dimension de l'idéal
–{:.exercise}
Écrire un algorithme qui teste si un idéal est de dimension
–{:.exercise}
À un
On dit que
Soit
-
On suppose que la base de Gröbner réduite
$$G$$ de$$I$$ est de la forme$$G={x_1-g_1,\ldots,x_n-g_n}.$$ Montrer que
$$\varphi_f$$ est inversible. -
On suppose dans cette question que
$$\varphi_f$$ est inversible d'inverse$$\varphi_g$$ .- Montrer que l'ensemble
$$G={x_1-g_1,\ldots, x_n-g_n}$$ est un sous-ensemble réduit de$$I$$ . - Montrer que
$$I\cap k[y_1,\ldots,y_n]={0}$$ . - En déduire que
$$G$$ est une base de Gröbner réduite de$$I$$ . - Montrer que
$$g_i(f_1,\ldots,f_n)=x_i$$ ,$$1\leq i\leq n$$ .
- Montrer que l'ensemble
-
Soit
$$f_1,\ldots,f_n,g_1,\ldots,g_n\in k[x_1,\ldots,x_n]$$ tels que$$g_i(f_1,\ldots,f_n)=x_i$$ ,$$1\leq i\leq n$$ .- Montrer que
$$f_i(g_1,\ldots,g_n)=x_i$$ ,$$1\leq i\leq n$$ . - En déduire que $$\varphi_g\circ\varphi_f=\mathrm{Id}{k^n}$$ implique $$\varphi_f\circ\varphi_g=\mathrm{Id}{k^n}$$.
- Montrer que
–{:.exercise}
Soit
-
Montrer que les monômes de n'importe quel ensemble de générateurs de
$$I$$ ont un facteur commun non constant. -
On écrit
$$\mathbb{V}\left(I\right)=V_1\cup\ldots\cup V_p$$ , où les$$V_i$$ sont des sous-espaces de coordonnées tels que$$V_i \nsubseteq V_j$$ pour$$i\neq j$$ . On suppose de plus qu'un seul des$$V_i$$ est de dimension$$n-1$$ .- Quelle est la valeur maximale que peut prendre
$$p$$ ? - Donner un exemple où ce
$$p$$ maximum est atteint.
- Quelle est la valeur maximale que peut prendre
–{:.exercise}
Soit
- Si
$$\mathbb{V}\left(I\right)$$ est de dimension$$0$$ , que peut être$$\mathbb{V}\left(I\right)$$ ? - Montrer que
$$\mathbb{V}\left(I\right)$$ est de dimension$$0$$ si et seulement si pour tout$$i\in\left{1,\ldots,n\right}$$ , il existe$$\ell_i\geq 1$$ tel que$$x_i^{\ell_i}\in I$$ .
–{:.exercise}
Soit
Calculer la fonction de Hilbert
–{:.exercise}
Soit
Calculer la fonction de Hilbert
–{:.exercise}
Soit
Calculer la fonction de Hilbert
–{:.exercise}
Soient
- Montrer que
$$C(\left\langle \LT(I_2) \right\rangle)\subset C(\left\langle \LT(I_1) \right\rangle)$$ . - Montrer que pour tout
$$s\geq 0$$ ,$$^aHF_{I_2}(s)\leq ^aHF_{I_1}(s).$$ - Montrer que
$$\deg ^aHP_{I_2}\leq \deg ^aHP_{I_1}.$$
–{:.exercise}
Soit
-
$$I=\left\langle xz,xy-1 \right\rangle$$ . -
$$J=\left\langle zw-y^2,xy-z^3 \right\rangle$$ .
–{:.exercise}
On se donne des entiers
- Montrer qu'il existe un entier
$$d_0$$ tel qu'on ait$$h(d_0)\neq 0$$ et$$h(d)=0$$ pour tout$$d>d_0$$ . Calculer$$d_0$$ et$$h(d_0)$$ . - Montrer que pour tout
$$d\in\mathbb{Z}$$ on a$$h(d)=h(d_0-d)$$ . - Calculer
$$h$$ quand$$a_i=2$$ pour tout$$i\in [1,n]$$ . - Calculer
$$h$$ quand$$n=2$$ ,$$a_1\leq a_2$$ .
–{:.exercise}
Montrer qu'un point
–{:.exercise}
Soit
- Montrer que
$$I\cap k[x]=0$$ mais que$$I\cap k[x,y]$$ et$$I\cap k[x,z]$$ ne sont pas nuls. - Montrer que
$$I\cap k[y,z]=0$$ mais que$$I\cap k[x,y,z]\neq 0$$ . - Quelle est la dimension de
$$V(I)$$ ?