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0096-unique-binary-search-trees.adoc

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96. Unique Binary Search Trees

Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1 …​ n?

Example:
Input: 3
Output: 5
Explanation:
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

给定一个有序序列 1 …​ n，为了根据序列构建一棵二叉搜索树。我们可以遍历每个数字 i，将该数字作为树根，1 …​ (i-1) 序列将成为左子树，(i+1) …​ n 序列将成为右子树。于是，我们可以递归地从子序列构建子树。

在上述方法中，由于根各自不同，每棵二叉树都保证是独特的。

可见，问题可以分解成规模较小的子问题。因此，我们可以存储并复用子问题的解，而不是递归的（也重复的）解决这些子问题，这就是动态规划法。

给定序列 1 …​ n，我们选出数字 i 作为根，则对于根 i 的不同二叉搜索树数量 \(F(i, n)\)，是左右子树个数的笛卡尔积，如下图所示:

0096 1

没想到这里还埋了一个数学知识：Catalan number：

\$C_{0}=1 \quad \text { and } \quad C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n} C_{i} C_{n-i} \quad \text { for } n \geq 0\$
\$C_{0}=1, \quad C_{n+1}=\frac{2(2 n+1)}{n+2} C_{n}\$

附加题：参考资料显示，关于 Catalan number 有好多好玩的东西可以把玩。查资料把玩把玩。

参考资料

Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1 …​ n?

Example:

Input: 3
Output: 5
*Explanation:
*Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3
link:{sourcedir}/_0096_UniqueBinarySearchTrees.java[role=include]