Praktikum Komputasi Numerik Modul 1

Dimas Fadilah Akbar_5025211010
Abdullah Yasykur Bifadhlil Midror_5025211035
Achmad Khosyi' Assajjad Ramandanta_5025211007
Arkana Bilal Imani_5025211034
Duevano Fairuz Pandya_5025211052

Requirement

• Python 3.9.12
• Code Editor

Instalasi Library

• numpy
• math
• matplotlib

Pada praktikum komputasi numerik modul 1 membutuhkan 2 instalasi library yaitu numpy dan matplotlib. Kita bisa lakukan instalasi dengan menggunakan pip.

pip install numpy
pip install matplotlib

Soal Praktikum

Implementasikan algoritma metode Bolzano menjadi sebuah program komputer yang dapat menampilkan proses iteratif numerik, lengkap dengan grafik fungsinya.

Penjelasan Kode

import library yang dibutuhkan

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math

library numpy dibutuhan untuk membuat array dengan isi sekumpulan nilai xr dan juga berisi banyak iterasi yang kita lakukan. library matplotlib digunakan untuk membuat grafik dengan parameter array yang diberikan.

Membuat inputan

xl = float(input("masukkan x lower: "))
xu = float(input("masukkan x upper: "))
iterate = int(input("masukkan jumlah interasi: "))
xt = 1.26611328125

code diatas merupakan inputan untuk x lower, x upper, dan jumlah iterasi yang kita inginkan. Kemudian juga di deklarasi x true nya yaitu 1.26611328125 yang digunakan untuk mencari error truenya.

Membuat list

list_xr = list()
list_iterate = list()

list_xr merupakan array yang akan menyimpan value dari xr untuk tiap iterasi, sedangkan list_iterate akan menyimpan nilai iterasinya.

Deklarasi fungsinya

def function(x):
    return x*x + 9*x - 13

fungsi dapat diubah sesuai dengan persoalan bolzano yang ingin diselesaikan, disini kami menggunakan persoalan fungsi x^2 + 9x -13

Program Bolzano atau Biseksi

def bisection():
    global xl, xu
    for i in range(iterate):
        xr = (xl+xu)/2
        list_xr.append(xr)
        list_iterate.append(i+1)
        
        print(f"iterasi ke - {i+1}")
        print(f"xu dan xl: {xu} || {xl}")
        print(f"xr dan xt: {xr} || {xt}")

        et = round(math.fabs((xt-xr)/xt), 5)
        print(f"et: {et}\n")

        fxl = function(xl)
        fxr = function(xr)

        mul = round(fxl * fxr, 3)
        if(mul == 0):
            print(f"hasil faktor: {xr} ")
            return
        elif (mul) < 0:
            xu = xr
        elif mul > 0:
            xl = xr

Kode diatas merupakan implementasi dari metode bolzano untuk mencari faktor dari sebuah fungsi yang telah ditentukan.

Menampilkan Grafik

plt.title("result")
plt.xlabel("iteration")
plt.ylabel("Result of xr")
plt.plot(list_iterate, list_xr)
plt.show()

Dari x lower, x upper, dan iterasi yang diinputkan kita bisa lakukan plotting menggunakan library matplotlib dengan parameter list_iterate sebagai absis dan list_xr sebagai oordinatnya.

Contoh Inputan

xl = -1
xr = 2
iterate = 13

dari contoh inputan diatas, degnan mengimplementasikan pada program yang telah dibuat maka didapatkan hasil:

masukkan x lower: -1
masukkan x upper: 2
masukkan jumlah interasi: 13
iterasi ke - 1
xu dan xl: 2.0 || -1.0
xr dan xt: 0.5 || 1.26611328125
et: 0.60509

iterasi ke - 2
xu dan xl: 2.0 || 0.5
xr dan xt: 1.25 || 1.26611328125
et: 0.01273

iterasi ke - 3
xu dan xl: 2.0 || 1.25
xr dan xt: 1.625 || 1.26611328125
et: 0.28346

iterasi ke - 4
xu dan xl: 1.625 || 1.25
xr dan xt: 1.4375 || 1.26611328125
et: 0.13536

iterasi ke - 5
xu dan xl: 1.4375 || 1.25
xr dan xt: 1.34375 || 1.26611328125
et: 0.06132

iterasi ke - 6
xu dan xl: 1.34375 || 1.25
xr dan xt: 1.296875 || 1.26611328125
et: 0.0243

iterasi ke - 7
xu dan xl: 1.296875 || 1.25
xr dan xt: 1.2734375 || 1.26611328125
et: 0.00578

iterasi ke - 8
xu dan xl: 1.2734375 || 1.25
xr dan xt: 1.26171875 || 1.26611328125
et: 0.00347

iterasi ke - 9
xu dan xl: 1.2734375 || 1.26171875
xr dan xt: 1.267578125 || 1.26611328125
et: 0.00116

iterasi ke - 10
xu dan xl: 1.267578125 || 1.26171875
xr dan xt: 1.2646484375 || 1.26611328125
et: 0.00116

iterasi ke - 11
xu dan xl: 1.267578125 || 1.2646484375
et: 0.0

hasil faktor: 1.26611328125

maka didapatkan hasil akhir faktornya adalah 1.26611328125.

Grafik Iterasi dan Xr

berikut merupakan grafik yang memplot hasil xr pada tiap iterasi yang dilakukan.

Menampilkan Grafik Fungsi

x_point = np.linspace(-50, 40, 100);
y_point = function(x_point)

kode diatas akan melakukann plotting dari x=-50 hingga x=40 dengan y merupakan nilai dari f(x)-nya.

fig = plt.figure()
ax1 = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax1.spines['left'].set_position('zero')
ax1.spines['bottom'].set_position('zero')
ax1.spines['right'].set_color('none')
ax1.spines['top'].set_color('none')
ax1.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax1.yaxis.set_ticks_position('left')
plt.plot(x_point, y_point, 'g')

kode diatas akan menampilkan fungsi dari persamaan yang sebelumnya telah ditentukan. set_position digunakan untuk menentukan titik tengah dari posisinya yang mana kami set menjadi (0, 0). Grafiknya adalah sebagai berikut:

Menampilkan kedua grafik

fig = plt.figure()
ax1 = fig.add_subplot(2, 1, 1)
ax1.spines['left'].set_position('zero')
ax1.spines['bottom'].set_position('zero')
ax1.spines['right'].set_color('none')
ax1.spines['top'].set_color('none')
ax1.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax1.yaxis.set_ticks_position('left')
plt.plot(x_point, y_point, 'g')

ax2 = fig.add_subplot(2, 1, 2)
ax2.spines['left'].set_position('center')
ax2.spines['bottom'].set_position('center')
ax2.spines['right'].set_color('none')
ax2.spines['top'].set_color('none')
ax2.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax2.yaxis.set_ticks_position('left')
plt.plot(list_iterate, list_xr)

plt.show()

Menggabungkan kedua grafik diatas dapat kita gunakan fungsi add_subplot dengan parameter (row, column, position), dengan letak grafik fungsi pada baris pertama, dan grafik xr terdapat pada baris kedua.