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<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN">
<html lang="ja">
<head>
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<title>中トポを読む人のために</title>
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<meta property="og:description" content="通称中トポの誤植訂正、行間埋め(途中)です。">
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})(document);
</script>
</head>
<body>
\[
\def\i{\mathrm{i}}
\def\e{\mathrm{e}}
\]
<h1>中トポを読む人のために</h1>
『理論物理学のための幾何学とトポロジーⅠ[原著第 $2$ 版]』(中原 幹夫、佐久間 一浩)第 $1$ 版第 $2$ 刷の誤植の指摘、行間埋めです。
<ul>
<li>【誤】p17_13L_固「<b>生成演算子</b> $\hat{a}$ と<b>消滅演算子</b> $\hat{a}^\dagger$」$\to$「<b>消滅演算子</b> $\hat{a}$ と<b>生成演算子</b> $\hat{a}^\dagger$」
<li>【誤】p20_22L_式 $\boxed{\ds(1-\i)\int_{-\infty}^\infty\cdots}\to\boxed{\ds(1-\i)\int_{+\infty}^{-\infty}\cdots}$</li>
<li> p37_9L_式について(ちょっと冗長)<br>
\begin{align}
N\ket{0}=0,\quad N\ket{1}=\ket{1},\quad \braket{a}{b}=\delta_{ab}
\end{align}
となるように $N$ の固有値に対する固有状態を定める。
\begin{align}
[AB,C]=A(BC+CB)-(AC+CA)B=A\{B,C\}-\{A,C\}B
\end{align}
と $\{c,c^\dagger\}=\{c^\dagger,c\}=1$ を用いれば
\begin{align}
[N,c]&=[c^\dagger c,c]=-c\\
[N,c^\dagger]&=[c^\dagger c,c^\dagger]=c^\dagger
\end{align}
が成り立つ。$c$ を $\ket{n}$ に作用させた状態は
\begin{align}
Nc\ket{n}&=(cN+[N,c])\ket{n}=(n-1)c\ket{n}\\
Nc^\dagger\ket{n}&=(c^\dagger N+[N,c^\dagger])\ket{n}=(n+1)c^\dagger\ket{n}\\
\end{align}
と、$N$ に対する固有値を出力するので
\begin{align}
c\ket{n}&\propto\ket{n-1}\\
c^\dagger\ket{n}&\propto\ket{n+1}
\end{align}
の関係にあることが分かる。これと
\begin{align}
\norm{c\ket{n}}^2&=\mel{n}{c^\dagger c}{n}=n
\end{align}
より
\begin{align}
c\ket{n}=\e^{\i\alpha}\sqrt{n}\ket{n-1}
\end{align}
と、$c$ の $\ket{n}$ に対する作用が $\alpha$ の位相の不定性を残して定まる。簡単さのため、あるいは慣習より $\alpha=0$ とすることに決める。すると
\begin{align}
(n+1)\ket{n+1}&=N\ket{n+1}=c^\dagger c\ket{n+1}=\sqrt{n+1}\,c^\dagger\ket{n}\\
\therefore c^\dagger\ket{n}&=\sqrt{n+1}\ket{n+1}
\end{align}
より $c^\dagger$ の $\ket{n}$ に対する作用も定まる。あとは $n=0,1$ を代入すればよい。ただし、$c^\dagger\ket{1}$ については
\begin{align}
c^\dagger\ket{1}=c^\dagger N\ket{1}=c^\dagger c^\dagger c\ket{1}=0
\end{align}
とする必要がある。
</li>
<li>p_39_問1.8 もちろん $\ds{\pdv{\theta_i}}(\theta_j f)+\theta_j\pdv{f}{\theta_i}=\delta_{ij} f$ を示せ、の意。
</li>
<li>p41_12L_を 「$\{\theta_i\}$ と $\{\theta_i^\ast\}$ は,$2$ つの独立な Grassmann 数の集合である」とは、
\begin{align}
\{\theta_i,\theta_j\}=\{\theta_i^\ast,\theta_j^\ast\}=\{\theta_i,\theta_j^\ast\}=0,\quad \forall i,j
\end{align}
が成り立つという意味であろう。あるいは簡単に、「$\{\theta_i,\theta^\ast_i\}_i$ は Grassmann 代数の基底となりうる」と言い換えてもいいかもしれない。
</li>
<li>【誤】p42_4L_第2式 $\ds\boxed{\eta_k^\ast=\dfrac{1}{\sqrt{2}\i}(\theta_k-\i\theta'_k)}\to
\boxed{\eta_k^\ast=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\theta_k-\i\theta'_k)}$</li>
<li>p42_問1.9 右辺の符号は決まらないはず。</li>
</ul>
</body>
</html>