即量词作用域的叠加。如
$$
\forall x \exists y\ (x+y=0)
$$
即对于所有x，都存在一个y，使得x+y=0。
再来对于我们熟悉的加法交换律，可以采用下面的形式来表示：
$$
\forall x \forall y\ (x+y=y+x)
$$
$$
式子1\ \forall x \forall y\ (x+y=y+x) \\
式子2\ \forall y \forall x\ (x+y=y+x)
$$
在上面的式子1和式子2中，前面量词的交换是不会产生影响的，两个命题都为真。但是下面这种就不行了：
$$
式子1\ \forall x \exists y (x+y=0) \
式子2\ \exists y \forall x (x+y=0)
$$
式子1是真命题，对于所有x，都存在一个y，使得x+y=0。
但是式子2的含义则是，存在一个y，使得所有x能满足y+x=0，就我目前的知识水平来说，感觉这种数不存在。
也有一种常见表现形式：
$$
P(x,y)代表x+y=0，\forall x \exists y P(x,y)
$$
$$
\frac{
p \rightarrow q \\
p
}{
\therefore q
}
$$
在推理过程中，需要保证前提都为真，在前提为真的情况下，结论必定为真。
$$
\frac{
p\\
p \rightarrow q
}{
\therefore q
}
$$
$$
\frac{
\neg q \\
p \rightarrow q
}{
\therefore \neg p
}
$$
$$
\frac{
p \rightarrow q \\
q \rightarrow r
}{
\therefore p \rightarrow r
}
$$
$$
\frac{
p \vee q \\
\neg p
}{
\therefore q
}
$$
$$
\frac{p}{\therefore p \vee q}
$$
$$
\frac{p \wedge q}{\therefore p}
$$
$$
\frac{p\q}{\therefore p \wedge q}
$$
$$
\frac{
p \vee q \\
\neg p \vee r
}{
\therefore q \vee r
}
$$
$$
\frac{
\forall x P(x)
}{
\therefore P({x}_{0})
}
$$
$$
\frac{
P(c)，c为任意值
}{
\therefore \forall x P(x)
}
$$
$$
\frac{
\exists x P(x)
}{
\therefore p(c)，c为某一特定值
}
$$
$$
\frac{
P(c)，对于某个值c
}{
\exists x P(x)
}
$$
$$
\frac{
p \\
q
}{
\therefore p \rightarrow q
}
$$
例子：
$$
p：n是奇数时 \
q: {n}^{2} 也是是奇数
$$
只需要证明在p为真的情况下，q也肯定为真，就能证明上面的命题为真。
$$
p \rightarrow q \equiv
\neg q \rightarrow \neg p
$$
这里补充一下上面的内容的真值表：
| p |
q |
逆q |
逆p |
p蕴含q |
逆q蕴含逆p |
| 0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
| 0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
| 1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
$$
\frac{
\neg q\\
\neg p \\
\neg q \rightarrow \neg p
}{
\therefore p \rightarrow q
}
$$
例子：
$$
p：3n+2 是奇数 \
q：n是奇数
$$
换个思路：
$$
\neg q：n不是奇数 \
\neg p：3n+2 不是奇数
$$
证明：
$$
k \in \textbf{N} \
3n+2 = 2k \
n+2n = 2(k-1) \
2n 不是奇数，2(k-1)也不是奇数，所以n肯定不是奇数 \
$$
$$
\frac{
\neg p \rightarrow (r \wedge \neg r)
}{
\therefore p
}
$$
这个我也没搞懂。
例子：
$$
n \in {N}_{+}，n <=4 时，{(n+1)}^{3}>={3}^{n}
$$
不用管，直接拿n=1，2，3，4往里代就行了。
例子：
$$
n \in \textbf{N},\ {n}^{2}>=n
$$
证明：
$$
\begin{cases}
n=0&,0=0 \
n>0&,n>=1 \
n<0&,{n}^{2}>0
\end{cases}
$$