-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
15.html
321 lines (321 loc) · 24.9 KB
/
15.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
<head>
<meta charset="UTF-8"/>
<meta name='viewport' content='width=device-width' />
<link rel="shortcut icon" href="favicon.ico" />
<link rel="apple-touch-icon" sizes="57x57" href="apple-touch-icon-57x57.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="60x60" href="apple-touch-icon-60x60.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="72x72" href="apple-touch-icon-72x72.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="76x76" href="apple-touch-icon-76x76.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="114x114" href="apple-touch-icon-114x114.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="120x120" href="apple-touch-icon-120x120.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="144x144" href="apple-touch-icon-144x144.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="152x152" href="apple-touch-icon-152x152.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="180x180" href="apple-touch-icon-180x180.png">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-32x32.png" sizes="32x32">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-194x194.png" sizes="194x194">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-96x96.png" sizes="96x96">
<link rel="icon" type="image/png" href="android-chrome-192x192.png" sizes="192x192">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-16x16.png" sizes="16x16">
<link rel="manifest" href="/manifest.json">
<link rel="mask-icon" href="safari-pinned-tab.svg"><!--color="#5bbad5"-->
<meta name="apple-mobile-web-app-title" content="SomeBasicMathsNotions">
<meta name="application-name" content="SomeBasicMathsNotions">
<meta name="msapplication-TileColor" content="#da532c">
<meta name="msapplication-TileImage" content="mstile-144x144.png">
<meta name="theme-color" content="#e0cb5c">
<title>Алгебра | исследование функций</title>
<script type="text/x-mathjax-config">
MathJax.Hub.Config({
CommonHTML: { linebreaks: { automatic: true } },
"HTML-CSS": { linebreaks: { automatic: true } },
SVG: { linebreaks: { automatic: true } }
});
</script>
<script type="text/javascript" src="MathJax/MathJax.js?config=MML_HTMLorMML"></script>
<link rel="stylesheet" href="normalize.css">
<link rel="stylesheet" href="main.css">
</head>
<body>
<header>
<h1><span>∑</span>Некоторые алгебраические понятия - определения и работа с ними</h1>
</header>
<main>
<article>
<h1>Исследование функции: чётность, монотонность, точки экстремума, обратная функция.</h1>
<section>
<h2>Исследование функции</h2>
<p>
<dfn title="исследование функции">Исследование функции</dfn> - это задача, заключающаяся в определении основных параметров заданной функции. Вообще, это информация, помогающая узнать больше о функции, представить примерно (а затем, может быть, и точно) её график.
</p>
<p>
У функций есть достаточно много интересных свойств, многое говорящих об их природе.
</p>
</section>
<hr>
<section>
<p>
Отдельно следует упомянуть и кратко пояснить основные моменты при любой работе с функциями: всегда в первую очередь следует определить <i>область определения</i> D(x) (в отечественных учебниках для российских школьников обычно обозначается <i>D(y)</i>) и <i>облать значений</i> E(y).
</p>
<p>
Область определения заданной функции есть множество точек, на котором задаётся функция, в каждой точке которого значение функции должно быть определено. Обозначение: <i>D(x)</i>.
</p>
<p>
Область значений заданной функции есть множество, состоящее из всех значений, которые может принимать функция. Обозначение: <i>E(y)</i>.
</p>
<p>
Одной из наиболее важных задач всегда является нахождение <i>нулей функции</i>: корней уравнения <i>ƒ(x)=0</i>, где ƒ(<var>x</var>) - исследуемая функция (мест, где график функции пересекает Ox).
</p>
<p>
Также следует бегло указать, что иногда ищут <i>промежутки знакопостоянства</i> - промежутки, где знак функции не меняется. <dfn title="промежуток знакопостоянства">Промежуток знакопостоянства (обычно интервал)</dfn> – это промежуток, *в каждой точке которого* функция положительна либо отрицательна (см. <a href="12.html">числовые промежутки</a>).
</p>
<p>
Значения функции можно расписать: положительны при значениях аргумента в данных промежутках, отрицательны при значении аргумента в данных промежутках, функция обращается в ноль при аргументе равном... Это тоже важная часть исследования (которую очень удобно делать уже по готовому графику).
</p>
</section>
<section>
<h2>Чётность</h2>
<p>
Чётность/нечётность - это свойство, которым обладают функции. Функции могут быть <i>чётными</i>, <i>нечётными</i>, но основная масса является <i>ни чётными, ни нечётными</i>.
</p>
<section>
<h3>Чётные функции</h3>
<p>
<dfn>Чётные функции</dfn> - это функции, у которых противоположным значениям аргумента соответствуют одинаковые значения функции: <i>ƒ(x)=ƒ(-x)</i>.
</p>
<p>
Чётные функции обладают рядом важных свойств.
</p>
<ol>
<li>Область определения чётной функции симметрична относительно 0. (Иначе говоря, если <i>x∈D(x)</i>, то <i>-x∈D(x)</i>)</li>
<li>∀x∈D(x) <i>ƒ(x)=ƒ(-x)</i> (согласно определению).</li>
<li>График функции симметричен относительно оси ординат.</li>
</ol>
<p>
Примером чётной функции могут служить <a href="11.html">модульная</a>, <a href="7.html">квадратичная</a>.
</p>
</section>
<section>
<h3>Нечётные функции</h3>
<p>
<dfn>Нечётные функции</dfn> - это функции, у которых значению функции с противоположным аргументом соответствует значение, противоположное функции с изначальным аргументом: <i>ƒ(-x)=-ƒ(x)</i>.
</p>
<p>
Нечётные функции (как и чётные) обладают рядом важных свойств.
</p>
<ol>
<li>Область определения нечётной функции симметрична относительно 0. (Иначе говоря, если <i>x∈D(x)</i>, то <i>-x∈D(x)</i>)</li>
<li>∀x∈D(x) <i>ƒ(-x)=-ƒ(x)</i> (согласно определению).</li>
<li>График нечётной функции симметричен относительно начала координат.</li>
</ol>
<p>
Примером нечётной функции будет служить <a href="14.html">функция обратной пропорциональности</a>, <i>кубическая</i> и т.д.
</p>
</section>
<section>
<h3>Ни чётные, ни нечётные функции</h3>
<p>
Зная, что функция является чётной или нечётной, с ней очень приятно и удобно работать. Однако, большинство функций таковыми не являются.
</p>
<p>
<dfn title="ни чётные, ни нечётные функции">Ни чётными, ни нечётными</dfn> являются все остальные функции, не подпадающие под определение чётной и нечётной.
</p>
<p>
Думаю, здесь с примером проблем нет. Например, функция квадратного корня <a href="5.html">здесь уже обсуждалась</a>.
</p>
</section>
</section>
<section>
<h2>Монотонность</h2>
<p>
График той или иной функции может быть не только симметричным относительно определённой точки или прямой, но также и убывающим или возрастающим. Убывает и возрастает функция на определённых промежутках. Монотонность функции - это её возрастание/убывание на данном промежутке.
</p>
<section>
<h3>Убывание (строгое) на промежутке</h3>
<p>
Говорят, функция <i>ƒ(x)</i> является (строго) убывающей на промежутке <i>X</i>, когда ∀x<sub>1</sub><x<sub>2</sub>∈<i>X</i> <i>ƒ(x<sub>2</sub>)-ƒ(x<sub>1</sub>)>0</i>.
</p>
</section>
<section>
<h3>Возрастание (строгое) на промежутке</h3>
<p>
Говорят, функция <i>ƒ(x)</i> является (строго) убывающей на промежутке <i>X</i>, когда ∀x<sub>1</sub><x<sub>2</sub>∈<i>X</i> <i>ƒ(x<sub>2</sub>)-ƒ(x<sub>1</sub>)<0</i>.
</p>
</section>
<hr>
<p>
Соответственно, также как и чётные/нечётные функции обладают важными и удобными при работе с ними свойствами, так и <i>строго монотонная функция</i> представляет интерес. Строго монотонными называют функции между упорядоченными множествами, которые либо сохраняют, либо инвертируют отношение порядка. У них есть много полезных свойств.
</p>
<p>
На самом деле, при обсуждении монотонных функций можно говорить о более общем понятии просто (а не строго) монотонных функций. Итак, в целом, монотонная функция ƒ - это функция, приращение которой Δƒ=ƒ(x′)-ƒ(x) при Δx=x′-x>0 не меняет знака. Ещё лучше, если в дополнение приращение Δƒ не равно 0, тогда это и есть наиболее интересная <i>строго возрастающая функция</i>, обсуждающаяся выше.
</p>
<p>
Также следует заметить: если брать типом числового промежутка при определении возрастания/убывания интервал (так обычно и следует делать), то в случае, когда в концах промежутка функция оказывается определённой и непрерывной, концы также можно включить в промежуток - это не противоречит определению возр./уб. на промежутке.
</p>
<p>
За примерами монотонных (строго) функций не нужно далеко ходить: та же функция квадратного корня или совсем элементарная <a href="3.html">y=x</a> - возрастающие, а убывающей будет, например, <i>y=-x</i> (по предыдущей ссылке объясняется почему).
</p>
<p>
И под конец о полезном: строго монотонные функции имеют некоторые свойства (что и так очевидно), помогающие решать уравнения и неравенства. Например, ясно, что график возрастающей/убывающей функции <i>ƒ(<var>x</var>)</i> может лишь раз пересечь ось абсцисс (не может пересечь её более чем в одной точке), отсюда следует, что уравнение <i>ƒ(x)=0</i> имеет не более одного действительного корня. Если же этот корень удалось вычислить, то можно без труда решить неравенства <i>ƒ(x)<</i> и <i>ƒ(x)>0</i>. Следует отметить, что при неудачной попытке определения точного значения нуля функции (корня) возможно по <i>теореме Больцано-Коши</i> (<i>о нуле непрерывной функции</i>) найти достаточно узкий отрезок, этот корень содержащий. Также, если имеется уравнение вида <i>h(x)=g(x)⇔h(x)-g(x)=0</i>, где y=g(<var>x</var>) и y<sub>1</sub>=h(<var>x</var>) задают возрастающую и убывающую функции от переменной x (<i>y: X∈ℝ→Y∈ℝ</i>; <i>y<sub>1</sub>: Z∈ℝ→V∈ℝ</i>), то оно тоже, очевидно, имеет в лучшем случае лишь один корень на поле действительных чисел (если, конечно, их области значений и определений, графики вообще пересекаются).
</p>
</section>
<section>
<h2>Точки экстремума</h2>
<p>
<dfn title="экстремум">Экстремум</dfn> (от лат. <i>крайний</i>) - это максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Далее речь пойдёт о локальных экстремумах на заданных промежутках - их у функции может быть любое количество. Точка, в которой достигается экстремум, называется <i>точкой экстремума</i>. Соответственно, существуют точки максимума и минимума. Необходимо также заметить, что функция может и не иметь ни одного локального или абсолютного экстремума.
</p>
<section>
<h3>Минимум</h3>
<p>
<i>x<sub>0</sub></i>∈D(x) является точкой локального минимума функции <i>ƒ(x)</i>, если существует такая проколотая окрестность <math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mover>
<mrow>
<msub>
<mi>U</mi>
<mi>ε</mi>
</msub>
</mrow>
<mtext>.</mtext>
</mover>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
</mrow>
</mfenced>
</mrow>
</math>:=<i>[x<sub>0</sub>-ε;x<sub>0</sub>+ε]\{x<sub>0</sub>}</i>, для которой верно следующее: ∀x∈<math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mover>
<mrow>
<msub>
<mi>U</mi>
<mi>ε</mi>
</msub>
</mrow>
<mtext>.</mtext>
</mover>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
</mrow>
</mfenced>
</mrow>
</math> <i>ƒ(x)>ƒ(x<sub>0</sub>)</i>.
</p>
</section>
<section>
<h3>Максимум</h3>
<p>
<i>x<sub>0</sub></i>∈D(x) является точкой локального максимума функции <i>ƒ(x)</i>, если существует такая проколотая окрестность <math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mover>
<mrow>
<msub>
<mi>U</mi>
<mi>ε</mi>
</msub>
</mrow>
<mtext>.</mtext>
</mover>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
</mrow>
</mfenced>
</mrow>
</math>:=<i>[x<sub>0</sub>-ε;x<sub>0</sub>+ε]\{x<sub>0</sub>}</i>, для которой верно следующее: ∀x∈<math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mover>
<mrow>
<msub>
<mi>U</mi>
<mi>ε</mi>
</msub>
</mrow>
<mtext>.</mtext>
</mover>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
</mrow>
</mfenced>
</mrow>
</math> <i>ƒ(x)<ƒ(x<sub>0</sub>)</i>.
</p>
</section>
<hr>
<p>
Кроме локальных минимумов и максимумов есть также <i>абсолютные</i> (глобальные), представляющие особый интерес - абсолютный экстремум является максимумом или минимумом не просто для какой-то окрестности, но для всей области определения функции.
</p>
<p>
Далее также следует, конечно, указать, что выше обсуждаются именно строгие экстремумы, но их также можно задать и нестрого (см. <a href="10.html">числовые неравенства</a>).
</p>
<p>
И опять же: знание абсолютных максимумов/минимумов (да и локальных) очень полезно - оно позволяет сразу утверждать о рамках значения функции.
</p>
</section>
<section>
<h2>Функция, обратная данной</h2>
<p>
Теперь, обсудив все характерные и основные моменты исследования функции, можно перейти к достаточно интересному необязательному моменту: для данной функции можно определить <i>обратную</i>.
</p>
<figure>
<img src="Square_root_and_square_of_non-negative_num.svg" alt="Функция квадратного корня, квадратная функция">
<figcaption>Пример обратной функции. Функция <var>x</var> = √<var>y</var> и обратная ей функция <var>y</var> = <var>x</var>², где x≥0</figcaption>
</figure>
<p>
<dfn>Обратная функция</dfn> - это функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.
</p>
<p>
<i>Обратная функция</i> должна удовлетворять 3 условиям. Функция <i>g(x)</i> является обратной к функции <i>ƒ(x)</i> при выполнении следующих условий:
</p>
<ol>
<li>D(g)=E(ƒ) Область определения g(x) совпадает с областью значений ƒ(x).</li>
<li>E(g)=D(ƒ) Область значений g(x) совпадает с областью определения ƒ(x).</li>
<li><i>Если ƒ(x<sub>0</sub>)=y<sub>0</sub>, то g(y<sub>0</sub>)=x<sub>0</sub></i>. Eсли функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x.</li>
</ol>
<p>
Для решения самой задачи нахождения обратной функции необходимо решить уравнение <i>y=ƒ(x)</i> относительно <i>x</i>. Эту задачу можно решить только для <i>обратимых функций</i>. Если уравнение имеет более чем один корень, то функции, обратной к ƒ(x) не существует. Таким образом, функция ƒ(x) обратима на интервале (a;b) тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.
</p>
<p>
С примером взаимнообратных функций уже можно было столкнутся ещё <a href="5.html">здесь</a>. А вот <a href="7.html">квадратичная функция</a> - не биекция (взаимно-однозначное отображение), поэтому для неё нет обратной. Также функция <i>sin x</i> не является обратимой. А ещё примерами обратимых будет кубическая функция и т.д.
</p>
<p>
Обратную функцию можно обозначить <i>ƒ<sup>-1</sup></i>.
</p>
<p>
Возвращаясь к задачи нахождения обратной функции, первые два пункта, определяющие основные свойства обратной функции, очень важны - при её нахождении <strong>всегда</strong> следует проверять область определения и область значений.
</p>
<p>
Последнее очень полезное и удобное свойство взаимнообратных функций: пусть ƒ: X⊂ℝ→Y⊂ℝ - биекция, и тогда пусть ƒ<sup>-1</sup>: Y→X - обратная ей функция, тогда графики функций y=ƒ(x) и y=ƒ<sup>-1</sup>(x) симметричны относительно прямой y=x.
</p>
<p>
Пожалуй, о пользе обратной функции можно и не говорить: возможность обратить зависимость часто бывает очень полезна или даже необходима. Также обратные функции можно использовать, чтобы решать уравнения вида <i>y=ƒ(x)</i>, где ƒ(<var>x</var>) - обратимая функция.
</p>
</section>
</article>
</main>
<footer>
fedor1113<br/>
<a href="index.html">К остальным темам</a>
</footer>
</body>
</html>