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Textos de Ayuda para el M¢dulo de Informaci¢n del programa
Fractales Lineales, Versi¢n 1.2.
Desarrollado por: Fernando P‚rez
Departamento de F¡sica, Universidad de Antioquia
Abril/1991 (Ver. 1.0) - Septiembre/1992 (Ver. 1.2).
Medell¡n, Colombia.
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Los Fractales
El concepto de "objeto fractal" fu‚ b sicamente desarrollado por el
investigador polaco BenoŒt B. Mandelbrot durante las d‚cadas del 60 y el
70, y tiene una historia peculiar en cuanto a su g‚nesis, dada la
diversidad y aparente inconexi¢n de los fen¢menos que lo originaron.
Mandelbrot pose¡a un especial talento para lograr una imagen mental de
car cter geom‚trico de casi cualquier problema, por abstracto o desligado
de la geometr¡a que pareciese en un principio. Estudiando fen¢menos a
primera vista tan dis¡miles como los cambios del nivel de un r¡o a lo
largo del a¤o, la medici¢n de la longitud de una costa, la evoluci¢n de
los precios del algod¢n, y la aparici¢n de ruido en l¡neas de transmisi¢n
de datos, encontr¢ que a la luz de una mirada geom‚trica particular, todos
ellos exhib¡an algunas caracter¡sticas comunes bastante interesantes. En
especial, llam¢ su atenci¢n algo que posteriormente vino a conocerse como
"invariancia bajo escala". Este nombre describe el hecho de que las
gr ficas de todos estos fen¢menos presentaban un aspecto muy similar al
ser observadas a diferentes escalas, lo que parec¡a chocar con el sentido
com£n. Por ejemplo, los economistas siempre hab¡an considerado que las
fluctuaciones de precios a corto plazo eran originadas por factores
pasajeros y altamente aleatorios, mientras que los cambios a largo plazo
se deb¡an a factores de gran escala, f cilmente identificables. Lo que
Mandelbrot encontr¢ iba en contra de este cl sico supuesto: la forma
general de la gr fica de los precios (o del nivel del r¡o, o la distribu-
ci¢n en el tiempo del ruido electr¢nico, etc.) en un intervalo de unos
pocos d¡as era muy similar a una gr fica que abarcase un per¡odo de varios
meses.
En los fen¢menos del mundo real, la escala no pod¡a ser reducida
arbitrariamente (los precios no fluct£an en un milisegundo, por ejemplo),
pero la idealizaci¢n matem tica s¡ permit¡a tal cosa. As¡, surgi¢ la idea
de figuras que pod¡an ser magnificadas ad infinitum, y que en cada
ampliaci¢n ofrec¡an una imagen similar a la de la figura original. Los
objetos que exhiben esta peculiar caracter¡stica, ser "iguales a s¡
mismos", se denominan autosimilares. Esto conlleva como consecuencia
necesaria la aparici¢n de nuevos detalles en cada paso de ampliaci¢n, y
por lo tanto estas figuras tienen una estructura sumamente (en realidad,
infinitamente) compleja, llena de divisiones, rugosidades y
fragmentaciones. A grandes rasgos, tales objetos constituyen lo que se
conoce como un fractal.
La caracterizaci¢n matem tica precisa del t‚rmino tiene relaci¢n con la
idea de dimensi¢n, en una acepci¢n relativamente especializada de este
concepto que no detallaremos aqu¡. B stenos con decir que se considera
como fractal una figura que exhibe una dimensi¢n, apropiadamente
calculada, no entera (fraccionaria). El t‚rmino dimensi¢n intenta
describir, entre otras cosas, "qu‚ tanto llena el espacio" un objeto dado;
as¡, un plano tiene una dimensi¢n (igual a 2) mayor que la de una l¡nea
(1) porque "ocupa" m s espacio que ‚sta. Cuando se dice que un fractal
tiene, por ejemplo, una dimensi¢n de 1.6, esto indica que llena m s el
espacio que una recta o curva convencional, aunque no ocupa un plano por
completo. La dimensi¢n tambi‚n describe la irregularidad del objeto, que
est ¡ntimamente ligada con su capacidad para llenar un espacio: un objeto
muy irregular ocupa m s espacio que uno liso. Esto es bien sabido por todo
aquel que haya empacado una maleta: la ropa arrugada es m s dif¡cil de
acomodar que la ropa planchada y doblada. As¡, entre dos fractales, ser
m s irregular aquel con la mayor dimensi¢n.
A los fractales se les ha encontrado aplicaci¢n en las reas m s diversas
de las ciencias, desde la f¡sica de las superficies hasta los modelos de
distribuci¢n de las galaxias, pasando por el an lisis de problemas de
hidrolog¡a y el estudio de las poblaciones animales. Han sido
desarrollados m‚todos para calcular la dimensi¢n fractal de muchos
objetos, encontr ndose por ejemplo que la dimensi¢n del sistema venoso
humano es aproximadamente 2.7, y la de la superficie de los pulmones 2.17.
Parece ser que la naturaleza tiene una especial predilecci¢n por la
generaci¢n de dimensiones no enteras (al punto que Mandelbrot mismo titula
su mayor obra de divulgaci¢n sobre el tema La geometr¡a fractal de la
naturaleza), y es posible que esto vaya m s all de una mera coin-
cidencia. Por ejemplo, un sistema como los pulmones opera en el organismo
intercambiando gases sobre su superficie, luego su eficiencia es
proporcional a su rea superficial. Dado que el volumen total de la
cavidad tor xica es limitado, una distribuci¢n altamente rugosa (y que por
lo tanto conduce a una dimensi¢n fraccionaria) logra producir una gran
rea superficial dentro de ese volumen (mediciones hechas con microscopio
electr¢nico sugieren un rea de unos 140 mý). Es decir, las estructuras
biol¢gicas de car cter fractal llegan a ser bastante eficientes con
relaci¢n a problemas de aprovechamiento del espacio, lo que las favorece
sobre el terreno evolutivo.
Los conceptos desarrollados por la teor¡a de fractales, y sus aplicaciones
pr cticas, son objeto hoy en d¡a de intenso estudio en muchos lugares del
mundo, y constituyen un cuerpo te¢rico que a la vez re£ne una gran belleza
matem tica, especiales atractivos est‚ticos (las im genes de algunos
fractales son verdaderas "obras de arte matem tico"), y un importante
potencial de aplicaci¢n.
Este programa de computador, denominado FracLin 1.2, manipula una parte
espec¡fica de tan vasto mundo: los conocidos como fractales lineales.
Existen diversos procedimientos matem ticos para generar fractales: se
pueden emplear transformaciones reales, complejas, o ecuaciones
diferenciales, entre otros. El programa utiliza un tipo de operaciones
reales en el plano llamadas Transformaciones Afines , que son b sicamente
operaciones de multiplicaci¢n y suma. Esta es tal vez la manera m s
sencilla de introducirse al mundo de los fractales, pues aunque no se
necesitan conocimientos matem ticos de alto nivel, las figuras as¡
obtenidas ilustran las caracter¡sticas fundamentales de estos llamativos
objetos (autosimilitud, dimensi¢n fraccionaria, detalle y complejidad
infinita, etc.).
FracLin 1.2 ofrece al usuario la posibilidad de obsevar figuras (incluye
algunas previamente programadas para demostraci¢n), alterarlas, crear
otras nuevas, ampliarlas en cualquier punto para estudiar su autosi-
militud, y grabarlas en disco. As¡, este puede crear sus propias
"librer¡as" de fractales a medida que encuentre figuras de inter‚s.ï