Model de Kuramoto

Modelo Matemático

O oscilador de Kuramoto é um modelo matemático que explica a o fenômeno de sincronização de $N$ oscilador inicialmente dessincronizados. Inicialmente dada oscilador $i=1,2,\dots,N$ possui uma frequência natural de oscilação própria $\omega_i$. Adicionalmente cada oscilador possui um termo de acoplamento $f(\theta_i,\theta_j)$ que depende da fase dos demais osciladores. A evolução dos osciladores é dada pela seguinte equação,

$$\frac{d}{dt}\theta_i = \omega_i +\frac{K}{N} \sum ^{N}_{j=1}sin(\theta_j-\theta_i)$$

Parâmetro de Ordem

Observamos que o plote do parâmetro de ordem em coordenadas polares. Interpretando o parâmetro de ordem como um análogo ao centro de massa do sistema, observamos que o sistema sob estas destas duas condições representa a duas situações no qual o centro de massa do sistema permanece estacionário.

O parâmetro de ordem do sistema é dado pelo Kernel de Dirichlet. Este parâmetro resume a interação entre os osciladores, ou seja, este mede diretamente o grau de sincronização do sistema. O Kernel de Dirichlet é dado por,

$re^{i\theta}= \sum^{N}_{j=0}e^{iθj}$

Se reescrevermos o sistema em termos do parâmetro de ordem,

$$\theta_{i} = \omega_{i} + K r sin(\theta-\theta_{j})$$,

obtemos que os zeros do kernel de Dirichlet, localizados em $\theta=\theta_{j}$ e $\theta=\frac{2\pi}{N}(j-1)$ contém as soluções estacionárias do sistema. As condições serão os pontos de estabilidade do sistema para $\theta=\theta_{j}$, obtemos o sistema sincronizados, e para $\theta=\frac{2\pi}{N}(j-1)$ teremos os sistema dessincronizado sem fase.

Dynamics

Referencial Teórico

Para uma analise, e revisão mais detalhada sobre fenômenos de emergência de sincronicidade em sistemas dinâmicos, consulte os seguintes dois artigos científicos;

• Steven H. Strogatz, 2000
• APS

Apêndice

• Modelo de Kuramoto Wikipedia

• Artigo original Link

• Kuramoto falando sobre o model de Kuramoto Video 1

• Aula - 2011 Simons Lectures - Steven Strogatz Video 1

• Metrônomos sincronizando Video 1

• Sincronização de Vagalumes Video 1 Video 2 Video 3

• Material Extra Steven H. Strogatz, 2000