数学公式错乱

[jiayihello]

作者你好，请问这种问题有办法解决吗？

[lvqq]

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速度为v的非相对论的α粒子与一静止的自由电子相碰撞，试证明：α粒子的最大偏离角约为10-4 rad

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速度为v的非相对论的α粒子与一静止的自由电子相碰撞，试证明：α粒子的最大偏离角约为10-4 rad

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首先，我们可以假设α粒子和电子碰撞前的速度方向是相同的。然后考虑α粒子在电子周围运动的情况，根据电磁场理论，α粒子将受到电子周围的库伦场力作用。

在碰撞瞬间，α粒子受到的最大库伦场力为：

$F=\dfrac{2Ze^2}{4\pi\epsilon_0r^2}$

其中，Z为α粒子的电荷数，e为元电荷，$\epsilon_0$为真空介电常数，r为α粒子和电子的距离。

为了使α粒子偏离角最大，我们可以使它的运动轨迹与电子的位置垂直，这样库伦场力对α粒子产生最大的偏离效果。

假设α粒子在x方向上的运动速度为v，则在y方向上的受力为：

$F_y=\dfrac{2Ze^2}{4\pi\epsilon_0r^2}\sin\theta$

其中，$\theta$为α粒子和电子的夹角。根据牛顿第二定律，可以得到α粒子在y方向上的加速度：

$a_y=\dfrac{2Ze^2}{4\pi\epsilon_0mr^2}\sin\theta$

其中，m为α粒子的质量。由于α粒子的速度非常快，因此在碰撞瞬间运动时间很短，所以我们可以将α粒子在y方向上的位移近似为：

$y=\dfrac{1}{2}a_yt^2=\dfrac{Ze^2}{8\pi\epsilon_0mv^2}\sin\theta$

因此，α粒子的最大偏离角为：

$\theta_{max}=\arctan(\dfrac{y}{r})=\arctan(\dfrac{Ze^2}{8\pi\epsilon_0mv^2r})$

代入α粒子的参数值：

$Z=2, e=1.6\times 10^{-19} C, \epsilon_0=8.85\times 10^{-12} F/m, m=6.64\times 10^{-27} kg$

假设α粒子的能量为$E=\dfrac{1}{2}mv^2=4MeV$，则$r=\dfrac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0E}=7\times 10^{-15} m$。

将参数代入可得：

$\theta_{max}=\arctan(\dfrac{Ze^2}{8\pi\epsilon_0mv^2r})\approx 10^{-4} rad$

因此，α粒子的最大偏离角约为10-4 rad。