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【代数2】线性映射 |
0x51_代数与分析 |
5102 |
线性映射(linear mapping) : U,V是数域F上的线性空间,且$ \mathscr A:U\to V $ 是映射,如果该映射满足以下两条,那么这个映射是 线性映射:
- $ \forall a_1,a_2\in U,\mathscr A(a_1+a_2)=\mathscr A(a_1)+\mathscr A(a_2) $
- $ \forall a\in U,\lambda \in F,\mathscr A(\lambda a)=\lambda\mathscr A(a) $
线性变换(linear transformation) : 如果$ \mathscr A:V\to V $是线性映射,叫做 线性变换
以下是线性映射的一些例子:
-
$\mathscr A: F^{n\times 1} \to F^{m\times 1}$ ,这种情况下,一定可以用矩阵乘法实现$\mathscr A: X \to AX$(TH) - V是F上的线性空间,$a_1,a_2,...,a_n \in V,\mathscr A: F^{n\times 1} \to V,(x_1,x_2,...,x_n)\to x_1a_1+x_2a_2+...+x_na_n$是线性映射(注意,可能是多对一映射)
- V是F上的线性空间,$a_1,a_2,...,a_n \in V$是一组基,$\mathscr A: V \to F^{n\times 1}, x_1a_1+x_2a_2+...+x_na_n \to (x_1,x_2,...,x_n)$ 是线性映射
- 线性映射 和 同态映射 是同一个概念,其中 可逆的 线性映射 是 同构映射
-
$n>m,\mathscr A:F^n \to F^m,(x_1,...,x_m,...,x_n)\to (x_1,...,x_m)$ 是线性映射叫做 投影(projection),$n>m,\mathscr A:F^m \to F^n,(x_1,...,x_m)\to (x_1,...,x_m,0,...,0)$是线性映射叫做 嵌入(embedding) - 多项式求导数的操作是线性变换
-
$P\in F^{m\times m},Q\in F^{n\times n}, \mathscr A F^{m\times n}\to F^{m\times n},X\to PXQ$ 是线性变换
TH
可逆的线性变换把直线映射成直线,直线段映射成直线段,平行线映射成平行线
把0向量映射到0向量,负向量映射到负向量
U,V是F上的有限维线性空间,基分别是$M1=(a_1,a_2,...,a_n),M2=(b_1,b_2,...,b_m)$
有线性映射$\mathscr A: U\to V$
显然$\exists A_j,\mathscr A(a_j)=(b_1,b_2,...,b_m)A_j$
那么$\mathscr A(a_1,a_2,...,a_n)=(b_1,b_2,...,b_m)A$
这里的A称作
我们知道$$a=(a_1,a_2,...,a_n)\left(\begin{array}{c}x_1\x_2\...\x_n \end{array}\right),b=(b_1,b_2,...,b_n)\left(\begin{array}{c}y_1\y_2\...\y_n \end{array}\right)$$
就有这个结论:
$$\left(\begin{array}{c}y_1\y_2\...\y_n \end{array}\right)=A \left(\begin{array}{c}x_1\x_2\...\x_n \end{array}\right)$$
TH
U,V是F上的线性空间,$M=(a_1,a_2,...,a_n)$是U的一组基,且U是n维的,$(b_1,b_2,...,b_n)$是V上的任意n个向量,那么存在唯一的线性映射$\mathscr A:U\to V$,将$a_1,a_2,...,a_n$映射到$b_1,b_2,...,b_n$
推论:U,V是F上的线性空间,且U是n维的,$M=(a_1,a_2,...,a_k)$是U的一组线性无关向量,$(b_1,b_2,...,b_n)$是V上的任意k个向量,那么,
- 如果k=n存在唯一的线性映射$\mathscr A:U\to V$,将$a_1,a_2,...,a_n$映射到$b_1,b_2,...,b_n$
- 如果k<n,$\mathscr A$不唯一
U,V分别是数域F上的的n维和m维线性空间。把U到V的全体线性映射记做$L(U,V)$,那么
进一步地,在$L(U,V)$上定义一些运算
$\mathscr{A+B}:U\to V,a\to \mathscr{A(a)+B(a)}$ $\lambda\mathscr A:U\to V,a\to\lambda \mathscr A(a)$
显然,满足线性空间的8个基本定理,是 线性空间
而且,根据上面的讨论,$L(U,V)$与$F^{m\times n}$同构
除此之外,还可以定义 线性映射的乘法
那么定义乘法$\mathscr{BA}:U\to W,a\to \mathscr{B(A(a))}$
线性映射的矩阵定理推导过程中,涉及到同一向量在同一空间的不同基下的坐标关系,
U,V是数域F上的线性空间,$\mathscr A:U\to V$是 线性映射
那么,
集合$\mathscr A (U)$叫做$\mathscr A$的 像(image),或者 值域(range),记做$\mathrm{Im} \mathscr A$
集合$\mathscr A^{-1}(0)$叫做$\mathscr A$的 核(kernel),记做$\mathrm{Ker} \mathscr A$
记$rank\mathscr A=\dim \mathrm{Im} \mathscr A$
TH
-
$\mathrm{Im} \mathscr A$ 是V的 子空间 ,$\mathrm{Ker} \mathscr A$是U的 子空间 $\dim U=\dim \mathrm{Im} \mathscr A+\dim \mathrm{Ker} \mathscr A$
TH
那么,
如果$$V_A={X\in F^n \mid AX=0}$$,那么$\dim V_A=\dim \mathrm{Ker} \mathscr A$
证明提要:
记$\sigma_1:U\to F^m,\sigma_2:V\to F^n$,都是同构映射
记A的各列是$A_j$,那么,
就有$$\sigma_2(\mathrm{Im} {AX\mid X\in F^n})={\sum x_i A_i \mid x_i\in F}=V(A_1,...,A_n)$$,根据 同构 的性质,得出第一个结论
单射和满射(概念复习)
:
满射的意思是$\sigma(S_1)=S_2$
既是单射又是满射的映射叫做可逆映射(一一映射)
TH
对于线性映射$\mathscr A$,是单射的充分必要条件是$\mathrm{Ker} \mathscr A=0$
TH
对于线性映射$\mathscr A:U\to V$,$\mathscr A$是可逆映射的充分必要条件是一下任意两个条件成立:
$\dim U=\dim V=n$ $\mathrm{Ker}\mathscr{A}=0$ $\mathrm{Im}\mathscr{A}=V$
前面写了,$\mathscr A:V\to V$这样的线性映射,叫做 线性变换
还是先看线性映射,假如$\mathscr A:U\to V$,U下有两组基$M_1,M_2$,V下有两组基$N_1,N_2$
假设$\mathscr A$在基$M_1,N_1$下的矩阵是A,在基$M_2,N_2$下的矩阵为B
线性映射中,$U=V,M_1=N_1,M_2=N_2$,
就有,
这个关系叫做 相似(similiar)
TH
相似有以下性质:
- 反身性
- 对称性
- 传递性
上面知道,$\mathscr A:V\to V$ 在不同的基下对应不同的矩阵,这些矩阵相似。
那么,有没有合适的基,使得在这组基下的矩阵尽量简单呢?
最简单的矩阵是对角阵,问题变成A能否对角化。
这就引入特征值和特征向量的概念。
特征子空间(eigensubspace)
:
那么,$$V_{\lambda_0}={X\in F \mid (A-\lambda_0 I)X=0}$$是$F^m$的 子空间,叫做A从属于$\lambda_0$的 特征子空间
TH
-
$\mathscr A:V\to V$ 从属于不同特征值$\lambda_i$的特征子空间的和是直和
几何重数(geometric multiplicity),代数重数
:
特征多项式$\phi_{\mathscr A}(\lambda_i)$的重数叫做 代数重数
TH
- 几何重数不多于代数重数
- 可对角化的充要条件是,每个特征值的 代数重数 等于 几何重数
李尚志《线性代数》